14.1 勾股定理-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（华东师大版）

第14章 勾股定理 第14章 勾股定理 第1课时 勾股定理(1) NO,1课前自主预习分花装精抵搭、落美点精 4.如图，在Rt△ABC中， 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等 ∠A=90°，BD平分 于斜边的平方，即对于任意的直角三角形， ∠ABC交AC于点D,且 如果它的两条直角边分别为a,b,斜边为c, AB=4,BD=5,则点D到BC的距离为 那么一定有 2.证明勾股定理常用的方法是 ,如 5.在△ABC中，∠C=90°，AB=c,BC=a,AC “赵爽弦图” =b. N02课堂砚固训练蛛是路，琳方法、能力提开 (1)若a=15,c=25,求b: 1.如图，以直角三角形的三边长 为边长向外作正方形，其中一 22 个以直角边为边长的正方形 的面积为22，以斜边为边长 的正方形的面积为45，则另一个以直角边 为边长的正方形A的面积是 ( ) A.67 B.23 C.30 D.33 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12,AC= 16,则AB的长为 () (2)若c=61,b=60,求a. A.26 B.18 C.20 D.21 3.如图，在Rt△ABC中，两条直角边AC、BC 的长分别为7和4，则以斜边AB为边长的 正方形的面积是 71 。。,,,，￥ 数学八年级上册 6.如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，BC= 11.勾股定理精秘而美妙，它的证法多样，其巧 6,AC=8,求△ABC斜边上的高h. 妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以 灵感.他惊喜地发现：当两个全等的直角三 角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积 法”来证明.下面是小聪利用图①证明勾股 定理的过程： ② 将两个全等的直角三角形按图①所示摆 放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b=c2 证明：连接DB,过点D作BC边上的高 DF,DF=EC=6-a. N门3☑课后提升训练器拉巧、接著向、冲利满分 上S品B=SAND+SAMC=)b大1 2a6 7.如图，△ABC是直角三角形， ∠ACB=90°，以AB和AC为边 又：Sa5m-Sam+Sm-专d 的两个正方形的面积分别为41 +a6-a. 和25，则直角边BC的长是 2a(6-a).a2+6 A.16 B.66 =c2. C.4 D.8 请参照上述证法，利用图②完成下面的 8.一个直角三角形，两直角边长分别为3和 证明. 4,则下列说法正确的是 ( ) 将两个全等的直角三角形按图②所示摆 A.斜边长为5 放，其中∠DAB=90°.求证：a2+b=c2. B.三角形的周长为25 C.斜边长为25 D.三角形的面积为20 9.如图，两个三角形都是直角三角形，则图① 中m :图②中n 40 41 15 ① ② 10.如果一个直角三角形的斜边长为8cm,一 条直角边长为6cm,那么这个直角三角形 的面积为 .(精确到0.1cm). 国0量ggg。g。 第14章勾股定理 第2课时 勾股定理(2) N0.1课前自主预羽5根理，精机精、等矣点满 1.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A ∠B、∠C的对边，根据勾股定理可以写出的 关系式有 2.从勾股定理的内容可以看出，它渗透着代数 4.如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地 运算与 之间的关系.勾股定理把直 面示意图，小明沿图中所示的折线从A→ 角三角形中的“形”的特征，转化为三边 B→C所走的路程为 m(精确到 ”的关系，是数形结合的一个 0.1m). 典范。 1m 3.勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的 数量关系，是直角三角形的重要性质，其主 要作用有：由直角三角形任意两边的长度， 5.如图，一只蜗牛在△ABC的点 可以求出 :证明含 数量关 A处，以0.3m/h的速度沿AC 系的式子 边爬行.测得∠A=53°，∠B N门2课堂现固训练装基融，珠方法、能力提开 37°，AB=5m,BC=4m.蜗牛 爬到点C处至少需要 h. 1.已知Rt△ABC的直角边BC比斜边AB短 6.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平 3cm,另一直角边AC长9cm,则斜边AB 面示意图，根据图中标出的尺寸（单位 的长为 ( mm),计算两圆孔中心A和B之间的距离. A.10 cm B.12 cm 60 C.15 cm D.18 cm 2.如图，每个小正方形的边长为1，则△ABC 的三边a、b,c的大小关系是 () 60 180 A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a 3.如图，为了测量一湖泊的宽度，小明在点A、 B、C分别设桩，使AB⊥BC,并量得AC= 52m,BC=48m,请你算出湖泊的宽度应为 m. 73 ,,,, 数学八年级上册 N03课后提升训练陈技巧、教等向、冲制满分 12.如图，在铁路线CD附近有两个村庄A,B, 到铁路的距离分别是15km和10km,过 7.已知直角三角形有一条直角边长为6，另两 点A、B分别作AC⊥CD、BD⊥CD,垂足 条边长是连续的偶数，则该三角形的周长为 分别为点C、D,且CD=25km.现在要在 ) 铁路线旁建一个农副产品收购站E,使A、 A.20 B.22 B两村到E站的距离相等，你知道应该把 C.24 D.26 8.如图，小明在广场上先出发点母 收购站E建在距离点C多远的地方吗？ 向东走10米，又向南走 40 40米，再向西走20米， 20 40 又向南走40米，再向东 终止点 70 走70米，则小明到达的终止点与原出发点 的距离为 () A.80米 B.100米 C.110米 D.180米 9.在△ABC中，∠C=90°，若AB=10cm,BC ：AC=3:4,则BC= cm. 10.如图，在Rt△ABC中，∠B =90°，AB=3,BC=4,将 △ABC折叠，使点B恰好落 在斜边AC上，与点B重合，AE为折痕， 则EB' 11.如图，每个小方格都是边长为1的正方形 求图中五边形ABCDE的周长和面积（精确 到0.1). 74 重。，量gg目。0 第14章勾股定理 第3课时 勾股定理(3) N0.1课前自主预习根理.精版搭，蒂来床裤 7.判断下面边长为a、b、c的三角形是不是直 角三角形，如果是，请指出哪条边为斜边. 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c有关系 ,那么这个三角形是 0a=26=6c=号 直角三角形，且边c所对的角为直角， 2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整 数，称为 ND2课堂现固训练蛛基验，韩芬法，能力提升 1.下列四组线段的长度中，可以构成直角三角 形的是 () A.4,5,6 B.1.5,2,2.5 C.2,3,4 D.1,2,3 2.下列各数是勾股数的是 ) A.5,11,12 B.0.6,0.8,1 (2)(a+b)2=c2+2ab. C.9,12,14 D.11,60,61 3.在△ABC中，AB=12cm,BC=16cm,AC =20cm,则△ABC的面积是 () A.96 cm B.120 cm C.160 cm D.200 cm 4.木工师傅做一个长方形桌面，量得它的长为 80分米，宽为60分米，对角线长为100分 米，则这个桌面 (填“合格”或 “不合格”) 5.一个三角形的三边的长度之比为3：4：5， 周长为18cm,则这个三角形的形状是 ,面积是 6.一个三角形的三边长为a、b、c,且满足(a十 b)(a一b)=c2,则这个三角形的形状是 国面套年。里。。用g指￥ 75 数学八年级上册 8.探险队的A组由驻地出发以12千米/时的 A.直角三角形 B.锐角三角形 速度前进，同时，B组也由驻地出发以9千 C.钝角三角形 D.无法确定 米时的速度向另一个方向前进，2小时后 12.如图，AD为△ABC的中线，且AB=13, 他们同时停下来，这时A、B两组相距30千 BC=10,AD=12,则AC= 米，那么A、B两组行驶的方向成直角吗？ 请说明理由. 13.观察下列各组数：3、4、5是勾股数，32=4 +5:5、12、13是勾股数，52=12+13：7、 24、25是勾股数，72=24十25…若13、b、 c是勾股数，根据上述数据的规律，可求得 b= C= 14.如图，供电所张师傅要安装电线杆，按要求 NO3课后提升训练除技巧，装考有、冲利满分 电线杆要与地面垂直，因此，从离地面8m 9.在△ABC中，AB=8,BC=15,AC=17,则 高的地方向地面拉一条长10m的纲绳.现 测得地面钢绳固定点到电线杆底部的距离 下列结论错误的是 ( 为6m,则张师傅的安装方法是否符合要 A.△ABC是直角三角形，且AC为斜边 求？请说明理由， B.△ABC是直角三角形，且∠ABC=90 C.△ABC的面积为60 D.△ABC是直角三角形，且∠A=60 10.下列说法错误的是 A.在△ABC中，若∠C=∠A一∠B,则 △ABC为直角三角形 B.在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=5:2 :3,则△ABC为直角三角形 C,在△ABC中，三边长分别为a、b、c,若a= 6言，则△AC为直角三角形 D.在△ABC中，三边长分别为a、b、c,若a :b:c=2:3:4,则△ABC为直角三 角形 11.如图，每个正方形小方格的边长都为1，则 网格中的△ABC是 76 重8国00里。g日年10■0。。。08 第14章勾股定理 15.在△ABC中，AC=2a,BC=a+1,AB=a 16.如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为点 一1，其中a>1,△ABC是不是直角三角形？ D.如果CD=1,AD=2,BD=4,试判断 如果是，哪一个角是直角？ △ABC的形状，并说明理由 国雪第多g。言。。用华南南华 77 数学八年级上册 第4课时 勾股定理(4) N01课前自主预习5桃是、精机格、就实点德 4.用反证法证明：两条直线被 第三条直线所截.如果同旁 1.先假设原命题的结论不正确，然后从这个 内角不互补，那么这两条直 出发，经过逐步推理论证，最后推 线不平行 出矛盾，得出假设是错误的，原结论是正确 已知：如图，直线(、l,被1，所截，∠1+∠2 的，这种证明方法叫做反证法 ≠180° 2.反证法是一种 的证明方法.它的证 求证：l1与12不平行. 明方法是肯定条件而否定结论，从而得出矛 证明：假设 l2 盾，步骤可以概括为“假设一得出矛盾→否 则∠1+∠2 180°（两直线平行，同 定假设”.当命题从正面不容易或不能得到 旁内角互补)。 证明时，就可以考虑运用反证法。 这与 矛盾，故 不成立 3.用反证法证明一个命题是其命题的一般 所以 步骤： 5.如图，P是直线1外一点，过点P的直线与1 (1)假设 垂直，垂足为点A,请你利用反证法证明：过 (2)通过演绎推理，推出与 点P只有一条直角PA与I垂直， 或 相矛盾： (3)说明假设不成立，进而得出原结论正确， N02课堂现固训练然基路、陈为法、能力状升 1.用反证法证明命题“如果a>b,那么a>b” 时，下列假设正确的是 () A.a<b B.a3<b3或a3=b C.a3<b且a=b D.a>b 2.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两 个角是直角”，应先假设这个三角形中 ( A.有两个角是直角 B.有两个角是钝角 C.有两个角是锐角 D.一个角是钝角，一个角是直角 :.: 3.设无1x2、都是正数，且x,十x2十x=1,那 么这三个数中至少有一个数大于或等于号 用反证法证明这一结论的第一步是 78 。。,，。,g。4 第14章勾股定理 N03课后提升训练蛛技巧、装等向、冲制满分 11.用反证法证明：等腰三角形的底角都是 锐角. 6.利用反证法证明命题“直角三角形中至少有 一个锐角不小于45”，应先假设 () A.直角三角形中的每个锐角都小于45 B.直角三角形中有一个锐角大于45° C.直角三角形中的每个锐角都大于45 D.直角三角形中有一个锐角小于45 7.用反证法证明命题“在△ABC中，若∠A>∠B, 则a≥>b”时，第一步应先假设 8.用反证法证明“若a≠fb,则a≠b”时，应 先假设 9.用反证法证明“四边形的四个内角不能都是 锐角”时，应先假设 10.如图，直线a、b被直线c所截，∠1、∠2是 同位角，且∠1≠∠2.求证：a不平行于b. 12.如图，在△ABC中，D是BC边的中点， AD=BD=CD.用反证法证明：∠BAC =90° 南年金面了电第多g南童都金南原数重 79又，M是BC边的中点， 又：S五边形ACBED=S△ACB十SAABD ∴.MC=MB.∴.ME=MB 十S△BDE 又，'ME⊥AD,MB⊥AB ∴.点M在∠BAD的平分线上， 2a6++2ah-a 即AM平分∠BAD. 2ab+号b+ 2ab1 b+ 12十 第14章 勾股定理 (b-a). a2+b=c2. 第1课时 勾股定理(1) 第2课时 勾股定理(2) 课前自主预习 1.a2+b=c2 2.面积法 课前自主预习 课堂巩固训练 1.a2+b=c2a2=c2-bb2=c2-a2 1.B2.C 2.几何图形数3.第三边的长平方 3.654.3 课堂巩固训练 5.(1)b=√/e2-a2=√252-15=20 1.C2.C 3.204.4.55.10 (2)a=√c2-b=√612-602=11 6.由图可知AB=150-60=90(mm), 6.由勾股定理， 得AB2=AC2+BC2=82+62=100. BC=180-60=120(mm). 在Rt△ABC中， ∴.AB=10. AC·BC=3ABh, AB=√/AC+BC=/120+902=150(mm), :SABC= 即两圆孔中心A和B之间的距离为 即2X8X6=2×10hh=48. 150mm. 课后提升训练 课后提升训练 7.C8.A9.91710.15.9cm 7.C8.B9.610.号 11.如图，连结BD,过点B作DE边上的高 11.周长约为17.9，面积约为21.0 BF,则BF=b-a. 12..AC⊥CD,BD⊥CD, :.AC+CE=AE.BD2+DE2=BE2. 又，AE=BE,∴.AC2+CE2=BD +DE". 设CE=xkm,则152十x2=10+(25-x)2, 解得x=10. :S五边形ACBED=S△AB十S△ABE十S△AED ∴.应该把收购站E建在距离点C10km ab+号6+2ab. 的地方 44 16.△ABC是直角三角形理由：在Rt 第3课时勾股定理(3) △ACD中，AC2=CD2+AD=12+2 课前自主预习 =5. 1.a2+b=c22.勾股数 在Rt△ABD中，AB=AD+BD=2+4 课堂巩固训练 =20. 1.B2.D3.A 又.BC=(CD+BD)2=(1+4)2= 4.合格5.直角三角形13.5cm2 25,∴.AB2+AC=BC. 6.直角三角形 ∴.△ABC是直角三角形，且∠CAB 7.(1)是直角三角形，c为斜边 =90°. (2)是直角三角形，c为斜边 第4课时 勾股定理(4) 8.成直角理由：2小时后， 课前自主预习 A组所走路程为12×2=24（千米），B组 1.假设2.间接 所走路程为9×2=18（千米）， 3.(1)结论的反面是正确的 (2)基本事实 .A组、B组所走路程与这时A、B两组 已证的定理定义已知条件 之间的距离所组成的三角形的边长分别 课堂巩固训练 为24千米、18千米、30千米 1.B2.A 242+182=900=302, .A、B两组行驶的方向成直角. 3.假设西都小于号 课后提升训练 4.∥= ∠1+∠2≠180° 假设L与l, 9.D10.D11.A 不平行 12.1313.8485 5.假设过点P还有一条直线PB⊥l,垂足为 14.张师傅的安装方法符合要求 理由：由 点B. 题意， :PA⊥，∠PAB=90 .PB⊥l,.∠PBA=90 可知BC=8m,AC=10m,AB=6m. ∴.∠PAB+∠PBA+∠APB>180°， .BC2+AB=82+62=100,AC2=10 这与三角形的内角和定理相矛盾， =100, 过点P还有一条直线PB⊥l的假设不 .BC+AB2=AC2. 成立. ∴.△ABC是直角三角形，且∠ABC .过点P只有一条直线PA与l垂直 =90° 课后提升训练 .BC⊥AB 6.A 15.,AC2+AB=4a2+a-2a2+1=a+2a 7.a≤b8.a=b9.四边形的四个内角都是 +1,BC=(a2+1)2=a+2a2+1, 锐角 即AC+AB=BC. 10.假设a∥b,则∠1=∠2，这与∠1≠∠2相 .△ABC是直角三角形，且∠A是直角 矛盾，.假设不成立..a不平行于b 45 11.已知：在△ABC中，AB=AC ∴.AE=AC-CE=2-1.5=0.5(米). 求证：∠B和∠C都是锐角. ∴.滑杆顶端A下滑0.5米 证明：假设等腰三角形ABC的底角∠B 课后提升训练 和∠C都不是锐角，是∠B≥90°，∠C 7.B8.B9.100m210.20 ≥90°. 11.会理由：由题意，得AB=3m, ,AB=AC,.∠B=∠C..∠B+∠C 则BC'=BC=8-3=5(m), ≥180° ∴.AC2=BC2-AB2=52-32=16. .该三角形的三个内角的和一定大 .'.AC'=4 m. 于180°， ,4m>3.8m,.电线杆顶部C会落在 这与三角形的内角和定理相矛盾」 距离它的底部3.8m的快车道上. .假设不成立，即∠B和∠C都是锐角. 12.在Rt△ABC中，BC=5尺， .等腰三角形的底角都是锐角 AC=AD=AB+BD=AB+1, 12.假设∠BAC≠90°，则∠BAD+∠DAC 由勾股定理，得AB2+BC2=AC, ≠90°.AD=BD,.∠BAD=∠B. 即AB2+5=(AB+1)2, ,AD=CD,.∠CAD=∠C. 解得AB=12尺， ∴.∠BAC+∠B+∠C=∠BAD+ 所以AC=AB十1=13尺，所以水深12 ∠CAD+∠B+∠C=2(∠BAD+ 尺，葭长13尺. ∠CAD)≠180°， 这与三角形的内角和定理相矛盾。 假设不成立.原命题的结论正确， 即∠BAC=90° 第5课时勾股定理的应用(1) 第6课时 勾股定理的应用(2) 课前自主预习 课前自主预习 1.勾股定理2.平面图形线段 勾股 转化数形结合 课堂巩固训练 定理 1.D2.B 课堂巩固训练 3.764.65.如图所示 1.C2.D3.C4.不能5.25 6..AB=DE=2.5米，BC=1.5米，∠C 90°，∴.AC=√AB2-BC=√2.5-1.5 =2(米).BD=0.5米， .CD=BC+BD=1.5+0.5=2(米). 6.连结BC.在Rt△ABC中， ∴.在Rt△ECD中， 由勾股定理， CE=WDE2-CD=√2.52-22=1.5 得BC=√J/AB+AC2=√/9+122=15 (米). (米). 46