专题7 等腰三角形的常用作辅助线的方法-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（沪科版）

..BD-BE. (2)连接BF. 21×(180*-乙B)-75°。 .BDE-BED= “.AB一BC,且点F是AC的中点, .在ABC中,AB一AC,AD是BC边上的中线, *.ADBC..'. ADB-90*. ..CFD+BFD-90* *. ADE= ADB- BDE-15*。 又: CBF+ BFD-90*, (2)△ADF是等边三角形,理由:',CD的垂直平分 线MF交AC于F,交BC于M.*.DF=CF. “.C-30,.FDC-C-30 3.证明:过C作CMAB,垂足为M. ..AC-BC.CMIAB. .AFD-C+ FDC-60 . ACM-/BCM-1 .AD BC.'ADC90. -ACB. 'DAF-90*- C-60* .DE 1AB.'DEB- CMB-90* . ADF-60*, *.CM//DE...BCM=D, ACM= DFC. 即 FAD- ADF- /AFD-60* .'.D-DFC...CD=CF. ·△ADF是等边三角形. '.CDF是等腰三角形 (3).MF垂直平分CD...FMC-90*。 4.(1)解:.AB-AC...B-C .C=30*,MF-2...FC-2MF-4 “ BAC-100. ·.DF-FC...DF-4..△ADF是等边三角形. 'AF=DF=4.'.AC=AF+CF=4+4=8 “AB-AC,..AB-8. (2)证明:过点A作AP BC于P. 6.(1)解:△AMN是等腰三角形,理由如下; “.AB-AC...BP-PC. .AB=AC..ABC=ACB .AD三AE..:.DP-PE. “.MN/ BC,.'AMN=ABC,ANM '.BP-DP=PC-PE.:.BD=CE. ACB. ' AMN= ANM..'.AMAN 5.证明,如图,延长AD到G使DG一AD,连接CG ·△AMN是等腰三角形 (2)①证明。*.BP乎分 ABC. .PBM- PBC..MN/BC. ..MPB=PBC... PBM=MPB '.MB一MP,.BPM是等腰三角形 ②解:由①知MB一MP,同理可得NC一NP. G 'AMN的周长为AM+MP+NP+AN=AM+ .:AD为中线, MB+NC+AN=AB+AC..△ABC的周长为a. ..BD-CD.又. ADB- CDG,AD=DG. B$C=b,'AB+AC+b=a,'AB+AC=a-b$ 'ADBGDC(SAS). .△AMN的周长为a-b. ..AB-CG. EAF- G. 专题7 等腰三角形的常用作辅助 “.AE-EF,..EAF= EFA. 线的方法 “ EFA= CFG..'.G= CFG .CF-CG..'.AB-CF. 专题精练 6.解:如图,延长GE交CB的延长线于M 1.A D C 2.解:(1)'.AFD-155*..DFC-25* E ·.DF 1BC,DE 1AB..' FDC-AED-90* *.在Rt△FDC中,C-90*-25*-65*。 “.AB-BC..'C- A-65*. 1, 'EDF-360*-65*-155*-90*-50°。 M 59 .四边形ABCD是正方形, *.△ADC△FDC(SAS). '.AD//CM.. AGE=M *$AD=DF.A= DFC-$1 0$。 在/AEG和/BEM中 .AB-AC,A-100* ( AGE- M, AEG= MEB, AE-BE, ' 1=2-20。 ·BE=DE. B= BDE=4$ 0$.$ ..△AEG△BEM(AAS). . DEF-80. '.GE-EM,AG-BM-2 . DFC-100*.. DFE-80*. 又'.'EF MG.'FG-FM-BF+BM-4+2-6$ :.DEF三DFE..'.DF-DE. 7.解:方法一(截长法):在DC上截取DE三BD,连接 ..BE-DE=DF-AD. AE,如图所示。 “ 1-2-20*,DEF-80* *EDC-180*-20*-80-80. ' DEF/EDC'CD=CE B ..BC-CE士BE..'BC=CD十AD “.AD ]BC..'. ADB- ADE-90*。 9.证明:过点D作DG/AC交BC于点G,如图所示 (AD-AD. 在△ABD和△AED中,ADB=ADE. DB-DE. ·ABD2AED(SAS). '.AB-AE,.B-AEB. 又'AB+BD-CD.DE-BD & “:DG/AC...GDF= E. DGB- ACB :.AB+DE-CD-DE+EC. 在△GDF和△CEF中. '.AB-EC,..AE=EC,..设EAC=C= [GDF- E. . AEB为/AEC的外角。 DF-EF, 'AEB- EAC+C-2x DFG-/EFC. ..B-2t.BAE-180*-2 -2-180*-4$$ '.△GDF△CEF(ASA)..'.GD-CE .BAC-120*..BAE+ EAC-120* .. BD-CE.'BD-GD 即180{*-4.x+x-120{,解得x-20*,则 C-20 '. B=DGB= ACB...AB-AC 方法二(补短法):延长DB至F。 '△ABC是等腰三角形. 使BF-AB,连接AF,则AB十BD-DF=CD 10.(D证明:':' ACD= ACE十ECD= A+B 又.'AD BC.'AFAC.'CF B-ACE,.'A-ECD 设C-F-x. 在△ABC和△CDE中, “.AB-BF,.. F- FAB-x. (B-乙D, .3x+120-180*,解得x-20*. AB-CD, .C-20. A-ECD. 8.证明:如图,在CB上截取CF一AC,连接DF ..△ABC△CDE(ASA)..'.AC=CE. (2)解:3a-23-180,理由如下: 如图(1)所示,连接GC并延长至点K ·AH,EI分别平分BAC,DEC. E F :.设 CAH= BAH=a, CEI= DEI-b$$ ..CD乎分ACB :ACK为△ACG的外角, .1-2. . ACK-a十AGC. .AC-FC.CD-CD 同理可得 ECK一b十EGC. 60 . ACE=ACK+ECK-B==(a+$ *. AEN= ANE-54*: $ AGC)+(+EGC)=a+b十 AGE-a+b+$$ 即ANE是等腰三角形. 即a-a+b+3,.a+b-a-B. ②解:CD一BN十CE.证明如下 又由(1)中证明可知 ECD=BAC-2a, 由①知AN-AE. 由三角形内角和定理可得 ECD十 DEC 又.BA-BC,DB-AC. 十D-180. 'BNAB-AN-BC-AE.CEAE-AC-AE-BD 即2a+2b+a-180*, '.BN+CE=BC-BD=CD,即CD=BN+CE. .2(a+b)+a-180,.'3a-2{-180。 6.解:(1)由题意得AB-15×2-30(海里) “ NBC-60*.NAC-30{*. K *.ACB- NBC-NAC-30*. '. ACB-NAC. 'AB-BC-30海里 答:海岛B到灯塔C的距离为30海里 (2)过点C作CPAN于点P,则 BPC一90*,根 图(1) 图(2) 据垂线段最短,知线段CP的长为小船与灯塔C的 (3)解:当AH/EI时,如图(2)所示 最短距离,. NBC-60{. 过点C作MN//AH,则MN/AH/EI. ' PCB-180*-BPC-CBP-30* 设 CAH= ACM=c, CEI=ECM-d -BC-15海里, .PB一 /B-: .ACE= ACM+ECM-c+d-7, *.AP-AB+BP-30+15-45(海里). 即7-c十d. '.航行的时间为45-15一3(时). 由(1)中证明可得 ECD BAC-2c 答:若这条船继续向正北航行,则11时小船与灯塔 D-B-7. C的距离最短. 15.4 在△CED中,根据三角形内角和定理有 ECD十 角的平分线 CED+D-180*, 课时1 角的平分线的作法与性质 即2c+2d+y-180{,即2(c+d)+-180*。 课堂基础训练 即3y-180{*,解得y-60{}故 B-60{。 1.解:(1)如图,OB即为所求. 课后巩固训练 1.A 2.B 3.C 4.60* 2 5.(1)解:·:BA-BC. 'C=BAC=BAD+DAC .DA-DB..BAD= B (2)''AE/ON.. MON- MAE-48*。 “.AD-AC.. ADC= C- BAC-2 B. . DAC-B. .DAC十 ADC+C-180*. .:AB/ON. 'B+2 B+2B-180*, ' OBE-180$*- BON-180*-24*-156* ' B-36{*,C-2 B-72*. 2.解:如图所示,射线OC即为已知钝角和平角 AOB 故答案为36,72. 的平分线. (2)①证明:在△ADB中,':DB=DA, B=36^{. ## BAD-36*. 在/ACD中.AD-AC :ACD- ADC-72*. MOB . B/AD- CAD-36*. .MHIAD... AHN= AHE-90*. 61数学人年级上册 专题7等腰三角形的常用作铺助线的方法 专题精练以 类型2作垂线 类型1作中线 3.如图，在△ABC中，CA=CB,D 1.如图，在等腰直角三 是BC延长线上一点，DE⊥AB 角形ABC中，∠C 于点E,交AC于点F,求证： 90°，AC=8,F为AB △CDF是等腰三角形. 边的中点，点D,E分 别在AC,BC边上运动，且保持AD=CE,连 接DE,DF,EF.在此运动变化的过程中，下列 结论：①△DEF是等腰直角三角形：②四边形 CDFE的面积保持不变：③AD十BE>DE.其 中正确的是 r 4.如图，点D,E在△ABC A.①②③ B.① 的BC边上，AB=AC C.② D.①② AD=AE. 2.如图所示，△ABC中，AB (1)若∠BAC=100°，则 =BC,DE⊥AB于点E, ∠B= DF⊥BC于点D,交AC (2)求证：BD=CE. 于F. (1)若∠AFD=155°，求 ∠EDF的度数」 (2)若点F是AC的中点，求证：∠CFD 3LB 类型3倍长中线法 5.如图，在△ABC中，AD 为中线，E为AB上一 点，AD,CE交于点F, 且AE=EF. 求证：AB=CF. 86 量，， 第15章轴对称图形与等腰三角形 类型4作延长线 类型6作平行线法 6.如图，在正方形ABCD中，ED 9.如图，点E在△ABC的AC 为AB边的中点，G,F分别 边的延长线上，D点在AB 为AD,BC边上的点，若 边上，DE交BC于点F, AG=2,BF=4,∠GEF= DF=EF,BD=CE.求证：B 90°.求GF的长. △ABC是等腰三角形. 类型5截长补短法 7.如图，在△ABC中. 10.已知在△ABC与△CDE中，AB=CD, ∠BAC=120°，AD⊥BC ∠B=∠D,∠ACE=∠B,点B,C,D在同一直 于点D,且AB十BDB D 线上，射线AH,EI分别平分∠BAC,∠CED =DC,求∠C的度数.（用两种方法） 图() 图2 各刀图 (1)如图(1)，求证：AC=CE. (2)如图(2)，当AH,EI交于点G时，设 ∠B-a,∠AGE=3,求B与a的数量关系， 并说明理由 8.如图，在△ABC中， (3)当AH∥EI时，求∠B的度数. AB=AC,∠A=100°， CD平分∠ACB交 AB于点D,E为BC 上一点，BE=DE,求证：BC=CD十AD. 多第第套第通量。金金数重每年第第常重 数学八年级上册 NO3课后巩固训练， 1.如图，在△ABC中，AB N AC=9,点E在边AC上， D B M AE的垂直平分线交BC于 D H 图(0) 图2 点D,若∠ADE=∠B,CD B D (1)填空：∠B= =3BD,则CE等于 °，∠C (2)若M为线段BC上的点，过M作直线 A.3 B.2 MH⊥AD,交AD的延长线于点H,分别交 c n号 直线AB,AC于点N,E,如图(2) 2.如图，在△ABC中，∠ACB ①求证：△ANE是等腰三角形： =90°，D是AB上的点，过 ②试写出线段BN,CE,CD之间的数量关 点D作AB的垂线DE交 系，并加以证明。 BC于点F,交AC的延长 线于点E,连接CD, ∠DCA=∠A,则下列结论中一定正确的是 ( ①∠DCB=∠B:②CD= AB:@△ADC是 等边三角形：④若∠E=30°，则DE=EF +CF. A.①②③ B.①②④ 6.如图，一条船8时从海岛A出 C.②③④ D.①②③④ 发，以15海里/时的速度向正 3.如图，△ABC是等边三角形， 北方向航行，10时到达海岛B D为BA的中点，DE⊥AC,垂 处，分别从A,B处望灯塔C, 足为点E,EF∥AB,AE=1,下 测得∠NAC=30°，∠NBC 609 列结论错误的是 =60. A.∠ADE=30 (1)求海岛B到灯塔C的 30 B.AD=2 距离： C.△ABC的周长为10 (2)若这条船继续向正北航 D.△EFC的周长为9 行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ 4.如图，在△ABC中， AB=AC,点D在边 BC上，过点D作 DE⊥AB,垂足为 E,DF⊥BC,交AC于F,连接EF.若BD= CF,∠A=100°，则∠AFE的度数为 5.如图(1)，在△ABC中，BA=BC,D在边CB 上，且DB=DA=AC