专题4 全等三角形的判定-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（沪科版）

在Rt△ABC和Rt△ADC中. '. A一B(全等三角形的对应角相等). .'AE三BF(已知)..'.AE-EF BF-EE(等式的 .Rt△ABC-Rt△ADC(HL). AB-AD. 性质),即AF一BE. (2).△ABC△ADC...BAC=DAC. [AF-BE, (AB-AD. 在△ACF和△BDE中,:乙A- B, 在△ABE和△ADE中,'BAE= DAE AC-BD. AE-AE, ..△ACF△BDE(SAS). ..△ABE△ADE(SAS)..'.BE-DE. 8.解:(1)DB乎分EF成立.理由如下: 6.证明:(1).:BM1.CN /. .AE-CF..'.AF-CE .AMB-CNA-90*。 “.DEAC.BF1AC. [AB-CA. 在Rt△AMB和Rt△CNA中, 'CED- AFB-90. IBM-AN. 在Rt△ABF和Rt△CDE中, [AF-CE. ..Rt△AMBRt△CNA(HL)..'.CN-AM. 1AB-CD. 'MN-AM+AN-BM+CN *.Rt△ABFRt△CDE(HL.)...BF=DE.在 (2)由(D)得Rt/AMBoRt/CNA (BOF-DOE, '. BAM-ACN..CAN+ ACN-90* △BOF和△DOE中,BFO= DEO-90*, 'CAN+ BAM-90*. BF-DE, ■BAC-180*-90*-90* ..△BOF△DOE(AAS)...EO=FO 7.(1)证明:·.BE1CD 'DB乎分EF '. BEC= DEA-90*,在Rt△BCE和Rt△DAE (2)DB平分EF仍成立,理由如下: 中, [BE-DE, . DE AC,BF 1AC.. CED= AFB=90* 1BC-DA, .AE-CF..'.AF-CE. ..Rt△BCERt△DAE(HL). ]AF-CE: (2)解:DF1BC.理由如下: 在Rt△ABF和Rt△CDE中, AB-CD. ..由(1)知△BCE△DAE '.Rt ABF2Rt/CDE(HL)..'BFDE . B-D (BOF= DOE. “ D+ DAE-90*, DAE-BAF, 在△BOF和△DOE中,BFO-DEO-90*, ' BAF+ B-90* BF-DE. '. BFA-90*,即DF 1BC. '.△BOF△DOE(AAS)..'.EO-FO. 课后提升训练 .DB平分EF. 1.B 2.C 3. ABC+ DFE-90 4.50{ 专题4 5.8或4 全等三角形的判定 专题精练 6.证明:(1)在Rt△ADE和Rt△BCA中, (AD-BC. 1.证明:'.AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三 AE-BA. ..Rt△ADE2Rt△BCA(HL). 角形ABE的高,具AD一AF,AC三AE, 'AED=BAC ''AED+EAD90*. 'RtADCRtAFE(HL)..'.CD=EE : BAC+ EAD-90*. .*AD-AF,AB-AB. '. EAB-90{,即AE AB. 'Rt ABDRtABF(HL).'BD=BE (2)'.'Rt/ ADE2RtBCA..DEAC ..BD-CD=BF-EF,即BC-BE. .CD-AC-AD..'.CD-DE-BC 2.证明:.AE/BC..EAD- BDA. 7.证明:·.ACCE,BD]DF(已知). .AB-AD.BDA- B.EAD= B$$ '.ACE= BDF=90{(垂直的定义). [AB-AD. [AE-BF, 在△ABC和△DAE中,B-EAD. 在Rt△ACE和Rt△BDF中,.: AC-BD, BC-AE. ..RtACE2RtBDF(HL). .△ABC△DAE(SAS). 51 3.(1)解;*'点B(0.3)..*QB=3,故答案为3 因为 EAF-45{*, (2)证明:'.A(2,0),B(0.3),C(0,2),点D的坐标 所以 GAF= DAG+ DAF= BAE+ 为(-3,0)...OC-OA=2,OB=OD=3.在/\AOE DAF= BAD- EAF-90{*-45*-45^*, (OA-OC. 所以/EAF- /GAF 和△COD中,AOB-COD-90*. (AE-AG. OB-OD. 在△AEF和△AGF中,EAF=GAF. ..△AOB△COD(SAS) AF-AF, 4 (1)证明:''DE-EB.FG-EB.DE AB. 所以△AEF△AGF(SAS), *$DE=EB-EG.DEG- DEB-90* 所以EF-GF, .DE-DE...△DEG△DEB. 所以EF=GF-DG+DF=BE+DF. ..DG-DB. 即BE+DF-EF. $ FGD- EDG- EDB- EBD-45*$$ 7.解:如图,过点A作y轴的垂线段AC,垂足为C;过 ' AGD= FDB=135{$ 点B作y轴的垂线段BD,垂足为D. ACF=90{*$AED-90{*,ADE= FDC 21 '.A-F.. ADG-FBD (乙ADG-FBD. 在ADG和 FBD中,'3DGBD. AGD- FDB. '.ADG2△FBD(ASA)...AG=DF. (2)解:与AB相等的线段为DM.证明如下: .AOB-90. .DE=EB,EG=EB,.$DE=EB-EG .AOC+BOD-90* . DE AB,GH AD “:AOC+CAO-90..BOD-OAC. * A+ ADE- M+ ADE=90* (乙ACO-ODB, . A-M. 在△AOC和△OBD中,OAC=BOD. [乙A-M. 1OA-BO. AED- MEG, 在AED和/MEG中,.. '.△AOC△OBD(AAS). ED-EG, 由A(2.3)得AC-2.OC=3. 'AED/MEG(AAS)..'AE=EM .'.OD-AC-2,BD=OC-3. '.AE+EB-EM+DE,即AB-DM '点B的坐标为(3,-2). 5.证明:*'12..1+BAE-2+BAE 8.证明:连接BC,如图. 即 BAD= CAE (BAD-CAE. 在△ABD与△ACE中,AB-AC, B-乙C .△ABD△ACE(ASA) [AB-DC, 6.证明:如图,延长CD到点G,使 在△ABC和△DCB中,BC=CB, DG-BE,连接AG (AC-DB, 在正方形ABCD中,AB一AD. B- ADC-90*. ..△ABC△DCB(SSS)...A-D 所以 ADG- B (AOB-DOC. [AB-AD, 在△AOB和△DOC中A-D, 在△ABE和△ADG中, B-ADG. AB-DC. BE-DG, ..△AOB△DOC(AAS). 所以△ABE△ADG(SAS). 9.证明:.BEAD.CF |AD. 所以AE=AG, BAE= DAG ' BED-F-90 52 (BED-F: (2)①若ACP BPQ,则 AC=BP.AP=BQ 在△BED和△CFD中,BDE一CDF, 可得5-7-2.2x,解得x-2,(-1. BE-CF, ②若\ACP%2\BQP,则 AC=BO.AP-BP.$ 'BED2CFD(AAS).'.BD=CD. '.AD是△ABC的中线. 10.证明:.1=2,AFD-BFC. '.B-D.又2-3. '2+ACD-3+ACD. 即 BCA- DCE. 4.a [乙B-D, 5.证明:(1):ACB-DCE. 在△ABC和△EDC中,BCA-DCE. ..ACD-BCE. AC-EC. 在△ACD和△BCE中, :ABCEDC(AAS)..'.AB-ED [CA-CB. 11.证明:. A- B- CED-90*, ACD-BCE. '. C+CEA-90{CEA+DEB=90* CD-CE: .C-DEB. ..ACD△BCE(SAS)...BE=AD [A-B. (2)解;△CPQ为等腰直角三角形,证明如下: 在△ACE和△BED中,. C- DEB, 由(1)知AD-BE. CE-ED. “.AD,BE的中点分别为P,Q...AP=BQ. '.△ACE△BED(AAS). 由(1)知△ACD△BCE...CAP=CBQ 专题5 全等三角形的常见模型 [CA-CB, 专题精练 在△ACP和△BCQ中CAP=CBQ. 1.(1)证明:·'CF/AB. AP-BQ. *.ADF=F,A=ECF. .ACPBCO(SAS). (乙A-ECF, ..CP-CQ.ACP-BCQ 在△ADE和△CFE中,ADE=F. “.a-90{'ACP十 PCB-90{. DE-FE, .. BCQ+PCB=90{.PCQ-90*. .△ADE△CFE(AAS). .△CPQ为等腰直角三角形. (2)解:.由(1)得△ADE△CFE. 专题6 与全等三角形有关的线段和角 .AD-CF. 的证明及计算 .D是AB的四等分点,BD一2, *$AB-8...AD-AB-BD=8-2-6, 专题精练 .CF-6. 1.证明:..BE-FC..'.BE+EF-FC+EF. 2.10 即BF-EC. 3.解:(1)△ACP△BPQ.PC |PQ (AB-DC, 在△ABF和△DCE中,. 理由如下: B=C. .*AC AB.BD AB.' A=B90* BF-EC. ".AP=BQ-2cm..'.BP=5cm..'BP=AC ..△ABF△DCE(SAS)...A-D. [AP-BQ, 2.解:AM|CD 在△ACP和△BPQ中,A- B, 如图,延长AM到点F,使MF一AM,交CD于点 AC-BP, N,连接BF,EF. ..△ACP△BPQ(SAS)...C=BPQ 则△AMB△FME(SAS). “.C+APC=90{,.APC+BPQ-90, .$AB-FE-AC, ABM- FEM '.CPQ-90..'.PC1PQ '.AB/EF, 53第14章全等三角形 专题4全等三角形的判定 专题精练狐 类型2已知两角对应相等 类型1已知两边对应相等 4.如图(1)，∠ACB=0°，点D在AC上，DE⊥AB, 1.如图，已知AD,AF分别 垂足为E,交BC的延长线于点F,DE=EB, 是钝角三角形ABC和钝A 点G在AE上，EG=EB. 角三角形ABE的高，其 (1)求证：AG=DF: 中AD=AF,AC=AE.求证：BC=BE. (2)过点G作GH⊥AD,垂足为H,与DE的 延长线交于点M,如图(2)，找出图中与AB 相等的线段，并证明. 图() 2.如图，点D在△ABC的 M 图2) 边BC上，AB=AD,BC =AE,AE∥BC.求证： △ABC≌△DAE. 5.如图，AB=AC,∠1= 2 ∠2，∠B=∠C.求证： 3.在平面直角坐标系中， △ABD≌△ACE. A(2,0),B(0,3)和C(0,2). (1)请直接写出OB的 长度：OB= D 0 (2)如图，若点D在x轴上，且点D的坐标为 (-3,0),求证：△AOB≌△COD 多第第场至第通量。电通第第量量重金重每年第第 数学八年级上册 类型3已知一边及一角对应相等 类型4通过添加适当辅助线证全等 6.如图，已知正方形ABCD,从顶 9.如图，在△ABC中，D是 点A引两条射线分别交BC, BC边上的一点，连接 CD于点E,F,且∠EAF=45 AD,过点B作BE⊥AD 求证：BE十DF=EF, 于点E,过点C作CF AD交AD的延长线于点F,且BE=CF.求 证：AD是△ABC的中线. 7.如图，已知在平面直角坐标系 中，O是坐标原点，A(2,3), 点B在第四象限，在△AOB 中，OA=OB,∠AOB=90°， 10.如图，△ABC的一个顶 求点B的坐标. 点A在△DEC的边DE D 上，AB交CD于点F,且 AC=EC,∠1=∠2= ∠3，求证：AB=ED. 8.如图所示，O是线段AC, BD的交点，并且AC=BD, AB=CD.小明认为证明图 中的△AOB和△DOC全 等，只需连接BC或AD即可，请你用其中一 种方法试试看。 11.如图，点E在AB上，∠A=∠B=∠CED=90°， CE=ED.求证：△ACE≌△BED. 68 。。至量，，，后。。