13.2 命题与证明-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（沪科版）

第13章三角形中的边角关系、命题与证明 13.2 命题与证明 课时1命题与证明 ND.1/课堂基础训练 7.用一组a,b,c的值说明命题“若a>b, 则ac>bc”是假命题，这组值可以是 知识点1命题的判断及形式 (按a,b,c的顺序填写). 1.对于下面命题：(1)同位角相等：(2)若x2=y2, 知识点3基本事实，定理、证明的概念 则x=y,说法正确的是 () 8.下面关于“证明”的说法正确的是( A.(1)(2)都是真命题 A.“证明”是一种命题 B.(1)(2)都是假命题 B.“证明”是一种定理 C.只有(1)是真命题 C.“证明”是一种推理过程 D.只有(2)是真命题 D.“证明”就是举例说明 2.下列句子中，是命题的是 9.下列不是基本事实的是 A.美丽的天鹅 A.两点确定一条直线 B.相等的角是对顶角 B.两点之间线段最短 C.作线段AB=CD C.两条平行线被第三条直线所截，内错角 D.你喜欢打篮球吗？ 相等 3.请将命题“在平面直角坐标系中，y轴上的点 D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这 的横坐标为0”改写成“如果…那么…” 条直线平行 的形式： 知识点4推理证明 10.如图，点A N 知识点2互逆命题与举反例 在MN上， 4.对于命题“若a<b,则4a2<b2”,小明想通过 点B在PQ 举一个反例说明它是假命题，则下列符合要 上，连接 PB C O 求的反例是 () AB,过点A作AC⊥AB,交PQ于点C,过 A.a=0,b=1 B.a=-2,b=-1 点B作BD平分∠ABC,交AC于点D,且 D.a=1,b=2 ∠NAC+∠ABC=90°， (1)求证：MN∥PQ, 5.下列命题的逆命题是假命题的是( (2)若∠ABC=∠NAC+10°，求∠ADB的 A.同旁内角互补，两直线平行 度数 B.偶数一定能被2整除 C.如果两个角相加等于180°，那么这两个角 相等 D.如果一个数能被4整除，那么这个数也能 被8整除 6.“对顶角相等”的逆命题是 (用“如果…那么…”的形式写出)》 47 带多第带后第通量。电单年金重亲第型 数学八年级上册 N02课后提升训练， 6.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是 假命题，举出一个反例. 1,以下命题的逆命题为真命题的是 (1)一个角的补角大于这个角： A.邻补角相等 (2)已知直线a,b,c在同一平面内，若a⊥b, B.同旁内角互补，两直线平行 b⊥c,则a⊥c, C.若a=b,则a2=b2 D.若a>0,b>0,则a2+b2>0 2.下列命题中，真命题有 ①如果a=b,b=e,那么a=c: ②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这 个点到这条直线的距离； 7.如图，∠ACD是∠ACB ③如果a·b=0,那么a=b=0: 的邻补角，请你从下面的 ④如果a=b,那么a3=3. 三个条件中，选出两个作 A.1个 B.2个 为已知条件，另一个作为结论，得出一个真 C.3个 D.4个 命题.①CE∥AB:②∠A=∠B:③CE平 3.将命题“末位数是5的整数能被5整除”写成 分∠ACD. “如果…那么…”的形式为 (1)由上述条件可得哪几个真命题？请按 ,此命题是 “⑧⑧⑧”的形式一一列举出来： (2)请根据(1)中列举出的真命题，选择一个 (填“真”或“假”)命题。 进行证明. 4,下列命题：①两直线平行，内错角相等： ②如果m是无理数，那么m是无限不循环小 数：③同旁内角相等，两直线平行：④如果a 是实数，那么ā是无理数：⑤64的立方根是8. 其中是真命题的是 ,(填序号) 5.如图，已知∠1+∠2= 8.如图，直线AB,CD被EF E/I 180°，∠A=∠D. 所截，∠1+∠2=180°， 求证：AB∥CD.(在每步证 EM,FN分别平分∠BEF 明过程后面注明理由) 和∠CFE. F/2 (1)判断EM与FN之间 的位置关系，并证明你的结论： (2)由(1)的结论我们可以得到一个命题： 如果两条平行线被第三条直线所截，那么一 组内错角的平分线互相 (3)由此可以探究并得到： 如果两条平行线被第三条直线所截，那么一 组同旁内角的平分线互相 48 。。重量g用，后子0。 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 课时2三角形内角和定理的推论一直角三角形的性质 ND.1课堂基础训练， 7.如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，AE平分 知识点】直角三角形的性质 ∠CAB,CD⊥AB于D, 1.如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为 AE,CD相交于点F,若 D.则下列结论中正确的是 ∠DCB=50°，求∠CEF的度数. A.∠1=∠A B.∠1+∠B=90 C.∠2=∠A D.∠A=∠B 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=37°，则 ∠B的度数为 A.53 B.63 8.如图，在Rt△DAC D C.73 D.83 与Rt△EBC中 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B-∠A=10°， ∠A=∠B=90° 则∠A的度数为 CD⊥CE,求证：∠D A.50 B.40 =∠ECB. C.35 D.30 4.如图，小明在计算机上用 “几何画板”画了一个Rt △ABC,其中∠C=90°，并 画出了两锐角的平分线 AD,BE及其交点F.小明发现，无论怎样变 动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数 都是定值，则这个定值为 5.如图，在三角形ABC中， 知识点2直角三角形的判定 ∠BAC=90°，AD是BC边 9.在△ABC中，若∠A-∠B=∠C,则此三角 上的高，∠CAD=35°，则B 形是 ∠B= A.钝角三角形 B.直角三角形 6.在△ABC中，∠ABC=90°， C.锐角三角形 D.无法确定 ∠A=50°，DB∥AC,则 10.在△ABC中，如果∠A:∠B:∠C=1·2:3, ∠CBD= 那么△ABC的形状是 三角形 49 有第和第。年知金常 数学八年级上册 N02课后提升训练， 6.如图，已知△ABC,D是线段BC的延长线上 一点，点O在线段AC上，∠ACD=∠ACB, 1.在直角三角形ABC中，∠A:∠B:∠C= ∠COD=∠B,DO的延长线交AB于E.求 2：m:4,则m的值是 证：△AOE是直角三角形. A.3 B.4 C.2或6 D.2或4 2.如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，过点C作 CD∥AB交∠ABC的平 分线于点D,若∠ABD=20°，则∠ACD的 度数为 A.20 B.30 C.40° D.50° 7.在△AOB中，∠AOB=90°，点C为直线AO 3.将一副学生用三 上的一个动点（点C与点O,A不重合），分别 角板按如图的方 D<45 作∠OBC和∠ACB的平分线，两角平分线 式叠放，则下列4 30 所在直线交于点E. 个结论中正确的个数为 (1)若点C在线段AO上，如图(1). ①依题意补全图(1)： ①OE平分∠AOD:②∠AOC=∠BOD: ②求∠BEC的度数. ③∠AOC- ∠CEA=15°：④∠COB+ (2)当点C在直线AO上运动时，∠BEC的 ∠AOD=180°. 度数是否变化？若不变，请说明理由：若变 A.0 B.1 化，画出相应的图形，并直接写出∠BEC的 C.2 D.3 度数 4.如图，已知点P是射 线ON上一动点（不 与点O重合)，∠AON 0 0 图(1) 备用图 各用图 =30°，当∠A= 时，△AOP为直角三 角形. 5.如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，点D在 AB上，沿CD折叠 △CBD,使点B恰好落在AC边上的点E 处.若∠A=m°，则∠BDC等于 (用含m的式子表示) 0 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 课时3三角形内角和定理的推论一三角形外角的性质 ND.1课堂基础训练 7.如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=36°， 知识点三角形外角的性质 △ABC的外角∠CBD 1.如图，∠A,∠1，∠2的大小关系是( 的平分线BE交AC的 A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A 延长线于点E. C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1 (1)求∠CBE的度数： (2)点F是AE延长线上一点，过点F作 ∠AFD=27°，交AB的延长线于点D.求证： BE∥DF. (第1题图) (第2题图) 2.如图，已知∠1=58，∠B=60°，则∠2=( A.108 B.62 C.118 D.128 D 8.如图，在△ABC中，三条角 (第3题图) (第4题图) 平分线AE,BD,CF相交 3.如图，点B,C分别在∠EAF的边AE,AF 于点O,过点O作 上，点D在线段AC上.下列是△ABD的外 B OG⊥BC,垂足为点G. 角的是 ( A.∠BCF B.∠CBE (1D猪想∠BOC与90°+号∠BAC之间的数 C.∠DBC D.∠BDF 量关系，并说明理由： 4.如图，AB∥CD,∠B=68°，∠E=20,则∠D (2)∠BOE与∠COG相等吗？为什么？ 的度数为 ( A.32°B.48 C.30° D.22° 5.如图，∠A=40°，∠CBD是△ABC的外角， ∠CBD=120°，则∠C的大小是 () A.90°B.80° C.60°D.40 6.如图，在△ABC中，∠A：∠B=1:2, DE⊥AB于E,且∠FCD=75°，则∠D= B (第5题图) (第6题图) 至第通量用年金重金第重 数学八年级上册 易错点忽视分类讨论而导致漏解 个内角之和).又因为∠BEC=∠B+∠C,所以 9.若△ABC的一个外角等于140°，且∠B ∠B=▲，故AB∥CD(●相等，两直线平行).则 ∠C,则∠A= 回答错误的是 () 晓丽和佳佳的解题过程如下： A.★代表CD B.■代表∠EFC 晓丽：解：当140°是顶角的外角时，∠A=40, C.▲代表∠EFC D.●代表同位角 佳佳：解：当140°是底角的外角时，：∠B=∠C, 3.如图所示是某零件的平面 ∴.∠B=∠C=40°， 图，其中∠B=∠C=30°， .∠A=180-40°-40°=100° ∠A=40°，则∠ADC的度B 数为 请问晓丽和佳佳的解题过程正确吗？如果不正 4.如图，在△ABC中，∠ABC 确，请写出正确的解题过程. ∠ACB,AD,BD,CD分别平分 △ABC的外角∠EAC,内角 ∠ABC,外角∠ACF,以下结论： ①AD∥BC:②∠ACB=∠ADB:③∠ADC+ ∠ABD=90:④∠ADB=45-2∠CDB.其中 正确的结论有 .(填序号) 5.将一副三角板叠放在一起. ND2∥课后提升训练 1,如图，在平面直角坐标 图() 图(2) 系中，A,B分别为x 轴，y轴正半轴上两动 (1)如图(1)，若∠1=A∠2，请计算出∠CAE的度数： 点，∠BAO的平分线 (2)如图(2)，若∠ACE=2∠BCD,请求出∠ACD 与∠OBA的外角平分 的度数. 线所在直线交于点C,则∠C的度数随A,B运动 的变化情况是 ( A.点B不动，在点A向右运动的过程中，∠C的 度数逐渐减小 B.点A不动，在点B向上运动的过程中，∠C的 度数逐渐减小 C,在点A向左运动，点B向下运动的过程中， : ∠C的度数逐渐增大 D.在点A,B运动的过程中，∠C的度数不变 6.如图，在△ABC中，∠A=a, 2.下面是投影屏上出示的抢答题，A ∠ABC与∠ACD的平分线 需要回答符号代表的内容.已知： 交于点A1,得∠A:∠ABC D 如图，∠BEC=∠B+∠C.求证：D 与∠A1CD的平分线相交于点A2,得∠A:: AB∥CD.证明：延长BE交★于点F,则∠BEC ∠AwBC与∠AeCD的平分线相交于点 =■+∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两 Aan,得∠A22n,则∠Ano=因为AD[BC,所以 ADE=90{,$$ 所以 DAE-180$- ADE-$AEB- 0*$ 以点M为交点的“8字形”中, 有 P+CDP-C+CAP, 专题3 利用三角形的高、角平分线和 以点N为交点的“8字形”中, 中线求线段的长度和角的度数 有 P+ BAP= B十 BDP$$$$ 专题精练 3 1.解:(1)因为 BAC-90*},AD是△ABC中BC边上 _CAB), 的高,所以AB·AC-BC·AD. P- B= BDP- BAP= (CDB一 所以AD-AB·AC34-12(cm),即AD的长 /CAB). BC 所以2( C- P)= P- B. 所以3P-B+2C. (2)因为AE为△ABC中BC边上的中线,所以BE 13.2 命题与证明 -CE,所以C△ACE-C△ABE-AC+CE+AE-(AB 课时1 命题与证明 +BE+AE)=AC-AB-4-3=1(cm),即△ACE 课堂基础训练 和△ABE的周长的差是1cm. 1.B 2.B 2.解:(1)因为AD是BC边上的中线,所以BD一CD,所 以CAnp-CAC=(AB十AD+BD)-(AC+AD+ 3.在平面直角坐标系中,如果一个点在轴上,那么它 的横坐标为0 CD)=AB-AC-2,即AB-AC-2.① 4.B 5.C 又因为AB+AC-10,② 所以①+②得2AB-12,解得AB-6. 6.如果两个角相等,那么这两个角是对顶角 7.1 -10(答案不唯一) ②-①得2AC一8,解得AC-4. 8.C 9.C (2)因为AB-6,AC-4,所以2<BC10 10.证明:(1)..ACAB,(已知) 3.(1)解:在题图(1)中,有 A十C=180{一AOC. ·BAC一90{,(垂直的定义) B+ D=180*-BOD ..NAC十ABC-90*,(已知) 因为 AOC-BOD '. NAB十 ABC-180{*},(等式的性质) 所以A+C-B+ D (2)①34 '.MV/PO(同旁内角互补,两直线平行) (2)解:. ABC=NAC+10*,NAC+ABC 解:②以点M为交点的“8字形”中,有 -90 P十CDP=C十CAP. '.NAC+ NAC+10*-90*. 以点N为交点的“8字形”中,有 P十BAP B十BDP,所以2P+BAP+CDP ..NAC-40{,.'ABC-50. B+C+CAP+BDP. 因为AP,DP分别乎分 CAB和BDC, “: BAC-90*. 所以 BAP-CAP,CDP= BDP ' ADB-180*-90*-25*-65^*。 所以2P-B+C. 课后提升训练 因为 B-100*,C-120*, 1.B 2.B -×(100{*+120) 3.如果一个整数的末位数是5,那么这个整数能被5整 -110{ 除 4.①② ③3 P= B+2C.理由如下; 5.证明:·.1与 CGD是对项角(对项角的定义). . 1一CGD(对项角相等). 44 ·1十2=180(已知). 课后提升训练 ·CGD+ 2-180*(等量代换); 1.C 2.D 3.D '.AE/FD(同旁内角互补,两直线平行), 4.60{或90*}5.(45+m) ' A一/BFD(两直线乎行,同位角相等) 6.证明;:由题意得 ACD十ACB-180{,ACD 又.A一D(已知). - ACB.ACD-ACB-90 .. BFD一D(等量代换). :AOE=COD.COD=B. '.AB/CD(内错角相等,两直线平行) * AOE= B· BAC+ B-90*. 6.解:(1)“一个角的补角大于这个角”是假命题,例如 'BAC+ AOE-90*. 当这个角是直角或钝角时,这个角的补角等于或小 'AEO一90{},即△AOE是直角三角形. 于这个角, 7.解:(1)①补全图形如图(1)所示. (2)“已知直线a,b.c在同一平面内,若aIb,blc ②如图(1),令 ACB的乎分线交AB于点K. 则alc”是假命题,在同一平面内,若a|b,bc,则 a/c. 7.解:(1)可得三个真命题,分别是 命题1:①②→③:命题2:①③→②; 命题3:②③→①. 图() (2)(答案不唯一)选择命题2:①③→②. 设 EBO-EBC-x. ACK- BCK-. 证明如下: (180*-90*-2x-180*-2y, :CE//AB.'ACE-A.DCE=B. 则有 1180*-x- BEC-180*-y, .CE乎分 ACD..'. ACEDCE 2y-2r+90*. 整理得 .A-B. y-x十BEC. 8.解:(1)EM/FN (2) BEC的度数发生变化,如图(1),当点C在线 证明:1+2-180*,EFD+2-180* 段OA上时,BEC-45* ..1= EFD..AB//CD..BEF=CFE. 如图(2),当点C在线段OA的延长线上时, .EM,FN分别平分 BEF和CFE, BEC-135*。 ' NFE= MEF...EM//FN. B (2)由(1)可知EM/FN,故答案为平行 (3)由“两直线平行,同旁内角互补”可得,如果两条 AC 平行线被第三条直线所截,那么一组同旁内角的平 图(2) 分线互相垂直,故答案为垂直. . AOB-90. 课时2 三角形内角和定理的推论- *.OBC十OCB-90。 直角三角形的性质 课堂基础训练 1.C 2.A 3.B 4.135* 5.35* 6.40{ 7.解:'CD1AB..'.DCB+ B-90*. -×90-450 .'EBC+ECB一 1 “. ACB-90{..CAB+ B-90* *.CAB- DCB-50{*}:AE乎分 CAB. .*.BEC-180*-45*-135*。 如图(3),当点C在线段AO的延长线上时 .CEF-90*-CAE-65。 8.证明:在Rt△DAC中,.A一90{. '. D+ACD-90.CD1CE. 2 (3) .ACD+ ECB-90*,.D- ECB 9.B 10.直角 同法可证 BEC一135*. 45 课时3 三角形内角和定理的推论--三角形外 .2-18. 角的性质 又.DAE-90. 课堂基础训练 *1+CAE- 2+1-90*, 1.B 2.C 3.D 4. B 5.B 6.40* *CAF- 2-18。 7. (1)解:'.在Rt△ABC中.ACB-90,A-36* (2). ACE+BCE=90*.BCD+BCE-60*.$ ' ABC-90*- A-54*,.' CBD-126* 'ACE-BCD-30*。 .BE是CBD的平分线, 又." ACE-2 BCD..2 BCD-BCD=30{.$$ .'. BCD-30*. (2)证明:.ACB-90*,CBE-63* * ACD= ACB+ BCD-90*+30*-120* ' CEB-90*-63*}-27*又' F-27* .200 '.F=CEB..'.DF/BE 章末综合训练 考点突破 理由:.在△ABC中,三条角平分线AE,BD,CF相 1.A 交于点O, 2.5(答案不唯一)3.17 4.-3<a<-2 5.A 6.B 7.D 8.B 9.减少 10 10.12:15:10 11.B . ABC+ ACB=180{*- BAC. *. BOC=180{*-(OBC十OCB)=180*- 综合练习闯关 1( ABC+ ACB)-180*-1 1.C 2.A 3.B 4.C 5.A 6.144 7.110* (180*- BAC) 8.解:(1)*·BD,BE分别为ABC.CBF的平分线, . DBG-]/ABC, EBG- CBF, (2) BOE- COG. . DBE=DBG+ EBG= -X(ABC+ CBF)-90{。 (2).ACG是△ABC的外角, '. ACG- ABC- A=70* ·BD.CD分别为ABC.ACG的平分线. 又.CO平分ACB,OGBC, #}ACG, .BOE-COG 9.解:晓丽和佳佳的解题过程都不正确,正确解题过程 ABC)-35*. 如下: 9.解:(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm. ①当140{}是项角的外角时,A-40*; 依题意,得2x+2x+x-25,解得x-5. ②当140{}是底角的外角时, 所以2x一10,所以三角形三边长分别为10cm. “B=C.B-C-40* 10 cm,5cm. ' A-180*-40*-40*-100。 (2)能,若腰长为6cm,则底边长为25-6-6=13(cm). 综上,A-40{或100{。 因为6十6 13,所以不能围成腰长为6cm的等腰三 课后提升训练 角形;若底边长为6cm, 1.D 2.D 3.100*4.①③④ 则腰长为x(25-6)-9.5(cm). 5.解:(1): BAC-90*. .1+2-90。 此时能围成等腰三角形,三条边的长分别为6cm. .1-42,.42+2-90. 9.5 cm.9.5cm. 46