13.1 三角形中的边角关系&专题3-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（沪科版）

第13章三角形中的边角关系、命题与证明 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 13.1三角形中的边角关系 13.1.1三角形中边的关系 八0.1课堂基础训练 5.如图，为估计南开中学 桃李湖岸边A,B两点 知识点1三角形的有关概念 之间的距离，小华在湖 1,下列是小明用三根火柴组成的图形，其中是 的一侧选取一点O,测 三角形的是 得OA=15米，OB=10米，则A,B两点之间 的距离可能是 () A.5米 B.15米 C.25米 D.30米 2.如图，点D,E在线段BC 6.在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的 上，图中共有 个 对边，且a=3,b=4,若三边长为连续整数， 三角形：在△ABE中，AE 则c= 所对的角是 B D E C 7.若a,b,c是△ABC的三边长，则4-h-S ∠AEB所对的边是 ;在△ADE中， -6+c AD是 的对边：在△ADC中，AC是 0(填“>”“=”或“<”)」 的对边， 8.已知a,b,c分别为△ABC的三边，且满足 知识点2三角形按边分类 a+b=3c-2,a-b=2c-6. 3.如图表示的是三角形的分类， (1)求c的取值范围. 下列说法正确的是() (2)若△ABC的周长为12，求c的值. A.M表示等腰三角形，N表 示等边三角形，P表示三 边均不相等的三角形 B.M表示等边三角形，N表示等腰三角形. P表示三边均不相等的三角形 C.M表示三边均不相等的三角形，N表示等 腰三角形，P表示等边三角形 D.M表示三边均不相等的三角形，N表示等 边三角形，P表示等腰三角形 知识点3三角形的三边关系 4.以下列各组线段的长为边长，能组成三角形 易错点未明确腰长，没有分类讨论致错 的是 () 9.已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则 A,1,2,3B.3,4,5C.3,5,10D.4,48 这个等腰三角形的周长是 41 多通●套金通第量的意每意角事 数学八年级上册 NO2课后提升训练， 7.用四条线段首尾相接连成一个框架，其中 AB=12,BC=14,CD=18,DA=24,则A, 1.已知三角形的三边长分别为4，a,8,那么在 B,C,D任意两点之间的最长距离为 下列数轴上表示α的取值范围正确的是 8.四个村庄A,B,C,D的位 04812 0612 置如图所示，现在要建一个 A B 供水站H,试问建在何处， 才能使它到4个村庄的距 0246 04812 D 离之和最小？请说明理由， 2.已知a,b,c是△ABC的三边长，b,c满足 (b-2)2+|c-3|=0,且a为方程1x-4 =2的解，则△ABC的周长为 () A.4B.5 C,7或11 D.7 3.已知三角形的三边长分别为a,b,c,化简 la+b-cl-2a-b-cl+|a+b+cl的结果 为 () A.4a-2c B.2a-26-c C.4b+2c D.2a-2b+c 4.已知△ABC三边长分别为3，a,7(a为整数)，且 9.若三边均不相等的三角形三边a,b,c满足a 1 一b>b-c(a为最长边，c为最短边)，则称它 -(2x+8)≥7， 关于x的不等式组 无解，则满 为“不均衡三角形”，例如：一个三角形三边长 x-d<2 分别为7,5,4，因为7-5>5-4，所以这个三 足所有条件的a的和为 ( 角形为“不均衡三角形” A.17 B.26 C.27 D.30 (1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三 5.如图，弟弟将一根长度为10cm的小棒（实 角形”的为 (填序号). 线)分成两段，使它们可以和另一根小棒（虚 ①4cm,2cm,1cm:②13cm,18cm,9cmt 线)首尾相接构成一个三角形.若小棒（虚线） ③19cm,20cm,19cm:④9cm,8cm.6cm 的长为acm(a为正整数)，则a的最大值为 (2)已知“不均衡三角形”三边长分别为2x十2， 16,2x一6(x为整数)，求x的值. 10cm 6.如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个 图中共有5个三角形，第3个图中共有9个 三角形，…，以此类推，则第6个图中共有 个三角形 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 13.1.2 三角形中角的关系 ND.1课堂基础训练 8.如图，∠1+∠2+∠3+∠4 知识点1三角形按角分类 1.图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三 40 角形是 9.如图，已知在△ABC中， A.锐角三角形 B.直角三角形 ∠ABC=∠C,BD⊥AC C.钝角三角形 D.以上都有可能 于点D (1)若∠ABD=40°，求 ∠C的度数： (2)若∠DBC=a,求∠A (第1题图) (第2题图) 2.如图，图中直角三角形共有 的度数.（用含α的式子表示） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.三角形的三个角的度数分别是70°，60°，50°， 这个三角形是 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.图中有 个三角 形，其中， 是锐 角三角形， DE 是直角三角形， 是钝角三角形。 10.在△ABC中，若∠A-∠B-∠C=20°，求 知识点2三角形内角和为180 ∠A的大小 5.一个缺角的三角形ABC残片如 图所示，量得∠A=60°，∠B 75°，则这个三角形残缺前的∠C 的度数为 A.75 B.60 C.45 D.40 6.如果一个三角形的两个内角都小于40°，那么 这个三角形是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 7.如图，直线m∥n,将直 易错点判断三角形形状时，把三角形中的某 角三角板ABC(∠C= 个角当成了最大角致错 90°，∠B=30)按如图 11.判断正误：如果一个三角形中有一个角的度 所示的方式放置，若 数为88°，那么这个三角形是锐角三角形.以 ∠1=48°，则∠2等于 上说法 (填“正错”或“错误”) A.72°B.60 C.48 D.45° 43 。，，。。 数学人年级上册 13.1.3三角形中几条重要线段 ND.1课堂基础训练 5.如图，在ABC中，AB=8,AC=5,AD为 △ABC的中线，则△ABD与△ACD的周长 知识点1三角形的高线 之差为 ( ) 1.如图，AD⊥BC于点D, G A.2 B.3 C.4 D.5 GC⊥BC于点C,CF⊥AB 于点F,下列说法中正确 的是 () B D A.△ABC中，AD是BC边上的高 (第5题图) (第6题图) B.△ABC中，GC是BC边上的高 6.如图，AD是△ABC的中线，若AB：AC= C.△GBC中，CF是BC边上的高 3:4,则S△ABD:S△ACD= D.△GBC中，GC是BG边上的高 知识点3三角形的角平分线 2.下列四个图形中，线段BD是△ABC的高的 7.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，下 是 ( 列结论错误的是 () A.BD是△ABC的角平分线 B.CE是△BCD的角平分线 第1题图 C∠3=2∠ACB D.CE是△ABC的角平分线 知识点4定义 8.下列句子是定义的是 .(填序号) ①三角形的内角和为180°：②三角形的三条 中线交于一点，这个交点就是三角形的重心： 知识点2三角形的中线 ③三角形的三条高都在三角形内：④用不等 3.如图，在△ABC中有四条线段DE,BE,EF, 号连接的式子是不等式， FG,其中有一条线段是△ABC的中线，则该 易错点忽视对等腰三角形的分类讨论而漏解 中线是 ( 9.等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长 分为13.5和11.5两部分，则这个等腰三角 :: 形各边的长是 4 :: NO2课后提升训练 1.若线段AM,AN分别是△ABC中BC边上 A.线段DE B.线段BE 的高线和中线，则 () C.线段EF D.线段FG A.AMAN 4,一定可以平分一个三角形的面积的是( B.AM>AN或AM=AN A.中线 B.高线 C.AM<AN C.角平分线 D.以上都不对 D.AM<AN或AM=AN 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 62.如图，在△ABC中，AD 7.如图，在△ABC中， 是高，AE是角平分线， AD⊥BC,AE平分 AF是中线，则下列说法 B E D ∠BAC,∠B=70°，∠C B D E 中错误的是 =30° A.BF=CF (1)求∠BAE的度数； B.∠C+∠CAD=90 (2)求∠DAE的度数： C.∠BAF=∠CAF (3)如果条件中的“∠B=70°，∠C=30”改 D.S△ABC=2S△ABF 成“∠B-∠C=40”,还能得出∠DAE的 3.如图，图(1)中有3个以MN为高的三角形， 度数吗？若能，请你写出求解过程：若不 图(2)中有10个以MN为高的三角形，图 能，请说明理由. (3)中有21个以MN为高的三角形，…，以 此类推，则图(6)中以MN为高的三角形的 个数为 图(1) 图(2) 图3) A.55 B.78 C.96 D.105 4.如图所示，在△ABC中，点D,E,F分别为 BC,AD,CE边的中点，且S△ABc=4cm,则 阴影部分的面积为 cm2. A (第4题图) (第6题图) 5.在△ABC中，∠B=30°，AD是BC边上的 高，∠CAD-40°，则∠BAC= 6.X如图，△ABC的周长是21cm,AB=AC, 中线BD把△ABC分为两个三角形，且 △ABD的周长比△BCD的周长大6cm,求 AB,BC的长. 8.如图，在△ABC中，AD是 中线，DE⊥AB于E,DFI AC于F,若AB=6cm,AC -4m则B 45 入》金。。。，g。 数学人年级上册 专题3 利用三角形的高、角平分线和中线求线段的 长度和角的度数 专题精练瓜 类型1求线段长 类型2求角度 1.如图，已知AD,AE分别 3.如图(1)，已知线段AB,CD交于点O,连接 是△ABC的高和中线， AC,BD,我们把形如这样的图形称为“8字 AB=3 cm,AC =4 cm, 形” B DE BC=5cm,∠CAB (1)试说明：∠A+∠C=∠B+∠D, 90°，求： (2)如图(2)，若∠CAB和∠BDC的平分线 (1)AD的长： AP和DP交于点P,且与CD,AB分别交于 (2)△ACE和△ABE的周长的差. 点M,N. ①以线段AC为边的“8字形”有 个，以点O为交点的“8字形”有 个： ②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数： ③若将角平分线中角的关系改为“∠CAP= 专∠CAB,∠CDP=专∠CDB,试探究∠P 与∠B,∠C之间的数量关系，并说明理由， 2.如图，在ABC中，AD是BC 边上的中线，△ABD的周长 比△ADC的周长多2，且AB 图2) 与AC的和为10. (1)求AB,AC的长. (2)求BC边的取值范围. 46 。量，，，章末综合训练 y与x之间的函数关系式为y=-2x+48. 考点突破 由上可得，y与x之间的函数关系式为 1.D2.A3.A4.B5.D 5.x(0≤x≤4)， 6.解：(1)设团队制作一个A类微课的成本为x元，制 y= 20(4<x≤14)， 作一个B类微课的成本为y元.根据题意得 -2x十48(14<x≤24). 3x+5y=4600. x=700, (2)由(1)可知A(4,20),故恒温系统设定的恒定温 解得 5x+10y=8500, y=500. 度是20℃. 答：团队制作一个A类微课的成本为700元，制作一 (3)把y=15代入y=-2x十48， 个B类微课的成本为500元. 得15=-2x十48，解得x=16.5. (2)由题意，得w=(1500-700)a十(1000-500)× 16.5-14=2.5(h). 1.5(22-a)=50a+16500,1.5(22-a)≥2a,解得 故这天内恒温系统最多可以关闭2.5h就必 a≤的.又因为每月制作的A、B两美：课的个教均 须重新启动，才能避免草莓受到伤害 14.解：(1)在y=-x十3中，令x=0,则y=3: 为整数，所以a的值为0,2,4,6,8. 令y=0,则x=3,所以A(3,0),B(0,3). (3)由(2)得=50a十16500.图为50>0，所以随 所以一次函数=一x十3的图象如图所示， a的增大而增大，所以当a=8时，有最大值， 0最大-50×8+16500=16900. 答：每月制作A类微课8个时，该团队月利润最 大，最大利润是16900元. .-3 --r2- 综合练习闯关 rt A 1.D2.B3.D4.B5.B6.A7.C -65434241 2 3456x 8(-兰4)（停-4）号1o号 --2 --3 4 11.2018.5 12.解：(1)因为点A的横坐标为一3，AH⊥x轴，所以 OH=3. (2)依题意得A0=B0=3,2AC·0B=3, 又因为三角形AOH的面积为4.5，所以，点A的纵 所以AC=2.因为A(3,0), 坐标为3，所以点A的坐标为（一3,3）. 所以点C的坐标为(1,0)或(5,0). 因为正比例函数y=kx的图象经过点A, 所以一3k=3,解得k=一1， 第13章 三角形中的边角关系、 所以正比例函数的表达式是y=一x (2)因为AH=3,所以将正比例函数y=一x的图 命题与证明 象向下平移3个单位后经过点H, 13.1 三角形中的边角关系 所以平移后的函数表达式为y=一x一3. 13.1.1三角形中边的关系 13.解：(1)当0≤x≤4时，设y与x之间的函数关系式 课堂基础训练 为y=kx. ∠AED 由图象可得2k=10,解得k=5,即当0≤x≤4时， 1.D2.6∠BAB ∠ADC y与x之间的函数关系式为y=5x: 3.D4.B5.B6.2或57.< 当4<x≤14时，y=4×5=20: 8.解：(1)因为a,b,c分别为△ABC的三边， 当14<x≤24时， 13c-2>c, a十b=3c-2,a-b=2c-6,所以 设y与x之间的函数关系式为y=a.x十b. 112c-61<c, 14a+b=20, 解得2<c<6.故c的取值范围为2<c<6. 由图象可得 24a+b=0. (2)因为△ABC的周长为12，a十b=3c-2, 解得/0=2. 所以a十b+c=4c-2=12,解得c=3.5. b=48, 故c的值是3.5. 即当14<x≤24时， 9.24 42 课后提升训练 所以∠C=∠ABC= (180°-∠A)=2 1.A2.D3.A4.B5.96.217.32 8.解：供水站H应建在AC,BD的交点处.理由如下： (180°-50°)=65°. 如图，连接AC,BD交于点H, (2)直角△CBD中 在平面内取H以外的任一点 ∠C=90-∠CBD P,连接PA,PB,PC,PD. =90-a 在△PBD中， ∠ABC=∠C PD+PB>BD. :∠A=2a. 10.解：因为∠A一∠B-∠C=20°，所以∠B+∠C 所以PD+PB>HD十HB, ∠A-20°.因为∠A+∠B+∠C=180°， 同理可得PA十PC>HA十HC, 所以∠A十（∠A-20°）=180°，所以∠A=100°. 所以PD+PB+PC+PA>HD+HB+HA+HC, 11.错误 所以建在AC,BD的交，点处时，才能使HA十HB+ HC+HD最小. 13.1.3 三角形中几条重要线段 9.解：(1)①因为1十2<4，不满足三角形三边关系，所 课堂基础训练 以长度为4cm,2cm,1cm的小木棍不能组成“不均 1.A2.C3.B4.A5.B6.1:1 衡三角形”，②@因为18一13>13一9，所以长度为 7.D8.②④ 9997或号学号 13cm,18cm,9cm的小木棍能组成“不均衡三角 课后提升训练 形”：③不满足“三边均不相等”这一条件，所以长度 1.D2.C3.B4.15.100°或20 为19cm,20cm,19cm的小木棍不能组成“不均衡 6.解：因为BD是△ABC的中线， 三角形”：④因为9一8<8一6，所以长度为9cm, 8cm,6cm的小木棍不能组成“不均衡三角形”.故 所以AD=CD=号AC M 答案为② 因为△ABD的周长比△BCD的周长大6cm, (2)分三种情况讨论：①当16>2.x+2,即x<7时， 所以(AB+AD+BD)一(BD+CD+BC)= 16-(2.x+2)>2x+2-(2.x-6),解得x<3.因为 AB-BC=6cm.① 2x-6>0,解得x>3,故不合题意；②当2x+2> 因为△ABC的周长是21cm,AB=AC, 16>2x-6,即7<x<11时，2x+2-16>16 所以2AB+BC=21cm.② (2x一6)，解得x>9,所以9<x<11.因为x为整数， 联立①②，解得AB=9cm,BC=3cm. 所以x=10.经检验，当x=10时，可构成三角形： 7.解：(1)因为∠B+∠C+∠BAC=180°， ③当2.x-6>16,即x>11时，2x+2-(2x-6)> 所以∠BAC=180°-∠B-∠C-180°-70°-30°=80 2.x-6-16,解得x<15,所以11<x<15.因为x为 因为AE平分∠BAC, 整数，所以x=12或13或14，都可以构成三角形.综 所以∠BAE=7∠BAC=40 上所述，x的整数值为10或12或13或14. (2)由(1)知∠BAE=40°， 13.1.2三角形中角的关系 所以∠AEB=180°-∠B-∠BAE=70. 课堂基础训练 因为AD⊥BC,所以∠ADE=90°， 1.D2.C3.A 所以∠DAE=180°-∠AEB-∠ADE=20. 4.6△ADC△ABE,△ADE,△AEC,△ABC,△ABD (3)能.因为∠B+∠C+∠BAC-180°， 5.C6.C 所以∠BAC=180-∠B-∠C 7.A8.280 因为AE平分∠BAC, 9.解：(1)因为BD⊥AC, 所以∠BAE=2∠BAC=2180-∠B+∠C)= 所以∠ADB=90°， 又因为∠ABD=40°， 90°- 号（∠B+∠C),所以∠AEB=180°-∠B 所以∠A=180°-∠ABD-∠ADB=180°-40° 90°=50°， ∠BAE=90°-2（∠B-∠C=70. 43 因为AD⊥BC,所以∠ADE=90°， 所以∠BAP=号∠CAB,∠BDP=号∠CDB, 所以∠DAE=180°-∠ADE-∠AEB=20° 以点M为交点的“8字形”中， 8.3 有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP, 专题3利用三角形的高、角平分线和 以点N为交点的“8字形”中， 中线求线段的长度和角的度数 有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP, 专题精练 所以∠C∠P=∠CDP-∠CAP=号（∠CDB 1.解：(1)因为∠BAC=90°，AD是△ABC中BC边上 ∠CAB), 的高，所以2AB·AC=2BC·AD, ∠P-∠B=∠BDP-∠BAP=号（∠CDB 所以AD=AB:AC=3X4=12(em),即AD的长 ∠CAB), BC 5 5 所以2（∠C-∠P)=∠P-∠B, 为 cm. 所以3∠P=∠B+2∠C. (2)因为AE为△ABC中BC边上的中线，所以BE 13.2命题与证明 =CE,所以C△AE-C△ABE=AC+CE+AE-(AB 课时1命题与证明 +BE+AE)=AC-AB=4-3=1(cm),即△ACE 课堂基础训练 和△ABE的周长的差是1cm. 1.B2.B 2.解：(1)因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD,所 以C△BD-C△AC=(AB+AD+BD)-(AC+AD+ 3.在平面直角坐标系中，如果一个点在y轴上，那么它 的横坐标为0 CD)=AB-AC=2,即AB-AC=2.① 4.B5.C 又因为AB+AC=10,②@ 6.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 所以①十②得2AB=12,解得AB=6. 7.1-10(答案不唯一) ②-①得2AC=8,解得AC=4. 8.C9.C (2)因为AB=6,AC=4,所以2<BC<10. 10.证明：(1)∴.AC⊥AB,(已知) 3.(1)解：在题图(1)中，有∠A十∠C=180°-∠AOC, .∠BAC=90°，（垂直的定义） ∠B+∠D=180°-∠BOD. .∠NAC+∠ABC=90°，（已知） 因为∠AOC=∠BOD, .∠NAB+∠ABC=180°，（等式的性质） 所以∠A十∠C=∠B+∠D, (2)①34 .MN∥PQ.(同旁内角互补，两直线平行) (2)解：∠ABC=∠NAC+10°，∠NAC+∠ABC 解：②以点M为交点的“8字形”中，有 =90°， ∠P+∠CDP=∠C+∠CAP, 以点N为交点的“8字形”中，有∠P十∠BAP .∠NAC+∠NAC+10°=90°， ∠B+∠BDP,所以2∠P十∠BAP十∠CDP= .∠NAC=40°，.∠ABC=50°. ∠B+∠C+∠CAP+∠BDP :BD平分∠ABC,∠ABD=2∠ABC=25 因为AP,DP分别平分∠CAB和∠BDC, ∠BAC=90°， 所以∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP, .∠ADB=180°-90°-25°=65 所以2∠P=∠B+∠C. 课后提升训练 因为∠B=100°，∠C=120°， 1.B2.B 所以∠P=号（∠B+∠C)=合×(100+1209 3.如果一个整数的末位数是5，那么这个整数能被5整 =110. 除 ③3∠P=∠B+2∠C.理由如下： 4.①② 5.证明：：∠1与∠CGD是对顶角（对顶角的定义）， 因为∠CAP=3∠CAB,∠CDP=号∠CDB. ∠1=∠CGD(对顶角相等). 44