专题一&第一章 勾股定理 章末考点集训-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（北师大版）

第一章 勾股定理 专题(一) 运用勾股定理解题的几种常见类型 类型1 利用勾股定理求折叠问题中的线段长 类型3 利用勾股定理证明与线段相关的等 1.如图,正方形纸片ABCD的边长为12,E,F 量关系 分别是边AD,BC上的点,将正方形纸片沿 3.如图,在△ABC中,C=90*,AM=CM. EF折叠,使得点A落在CD边上的点A MP AB于点P.求证:BP*}=AP*}+BC^{②}$$ 处,点B落在BC边外的点B'处.已知折痕 EF-13,则AE的长等于 类型2 勾股定理在动点问题中的应用 类型4 2. 如图,在Rt△ABC中,C=90*,AB 勾股定理与最值问题 10 cm.AC-6cm,动点P从点B出发沿射 4.如图,一个长方体盒子(无盖) 线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为 的长、宽、高分别是12cm; ts. 8 cm,30 cm. 30 17 (1)在侧校AB中点C处有一 滴密糖,若一只小虫想从点D 备用图(1 备用图(2) 外沿长方体盒子的表面爬到 (1)求BC边的长; 点C处去吃密糖,有无数种走法,求最短路 程是多少. (2)当△ABP为直角三角形时,求:的值 (3)当△ABP为等腰三角形时,求:的值 (2)给该长方体盒子加上盖子,则能放入木 棒的最大长度的平方是多少? 数学八年级上册 章末考点集训 考点1 勾股定理的应用 5.如图是“弦图”的示意图 1.在Rt△ABC中,若 C-90*},AC=3,BC=4 “弦图”最早是由三国时期 ) ( 则点C到直线AB的距离为 的数学家赵爽在为《周 A.3 B.4 算经》作注时给出的,它标 志着中国古代的数学成 C.5 D.2.4 就,它由4个全等的直角三角形与一个小正 2.如图,数字代表所在正方形的面积,则A所 方形组成,恰好拼成一个大正方形,每个直 代表的正方形的面积为 角三角形的两条直角边分别为。、,斜边为 c. 请你运用此图形证明勾股定 理:a十6一c. 第2题图 第3题图 3.《九章算术》中一道“引覆赴岸”问题:“今有 池一丈,生其中央,出水一尺,引赴岸, 适与岸齐,问水深,覆长各几何?”题意是:有 一个池塘,其地面是边长为10尺的正方形, 一棵芦苇AC生长在它的中央,高出水面部 分BC为1尺,如果把该芦苇沿与水池边垂 考点2 直的方向拉向岸边,那么芦苇的项部C恰好 勾股定理的逆定理 6.如图,某港口P位于东 碰到岸边的C处(如图),水深和芦苇长各 1N 尺. 多少尺?则该问题的水深是 西方向的海岸线上, 甲、乙轮船同时离开港 4.《九章算术》是我国古代数学名著, 口,各自沿一固定方向 书中有下列问题:“今有户高多于广 航行,甲、乙轮船每小时分别航行12海里和 六尺八寸,两隅相去适一丈,问户 16海里,1小时后两船分别位于点A,B处, 高、广各几何?”其意思为:今有一 且相距20海里,如果知道甲船沿北偏西40。 门,高比宽多6尺8寸,门对角线距 方向航行,则乙船沿 方向 离恰好为1丈,问门高、宽各是多少?(1丈 航行. =10尺,1尺一10寸)如图,设门高AB为 考点3 分类讨论思想的应用 尺,根据题意,可列方程为 7.直角三角形的两条边长分别为3和4,则这 个直角三角形斜边上的高为 10专题（一） 运用勾股定理解题的几 因为△BPM与△BCM都是直角三角形， 种常见类型 所以BMP=BP2+MP2=CMP+BC2, 所以CMP+BC2一MP2=BMP-MP2=BP2 ③. 2.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC= 把①③代入②，得AB2-AC2+AP2=BP2, AB2-AC2=102-62=64, 即BP2=AP2+BC2. 所以BC=8(cm)(负值已舍去). 4.解：(1)经分析，将长方体盒子沿侧棱AB剪 (2)由题意知，BP=2tcm.分两种情况讨论： 开，部分展开后如图1时，可得到最短路程， ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP= 连接CD BC=8cm,则t=4. 已知长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是 12 cm,8 cm,30 cm, ②当∠BAP为直角时，BP=2tcm,则CP= pDE=12 cm,EF=30 cm,AE=8 cm, (2t-8)cm. 所以AD=AE+DE=8+12=20(cm),AC= 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2, 即AP2=62+(21-8)2」 AB-EF-15(cm). 在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2, 在Rt△ACD中，AD2+AC2=CD, 即102+[62+(21-8)2]=(2)2， 即202+152=CD2, 解得1一华 所以CD=25(cm)(负值已舍去). 故最短路程是25cm. 故当△ABP为直角三角形时4=4或织 (3)分三种情况讨论： ①当AB=BP时，t=5. ②当AB=AP时.BP=2BC=16(cm),即2t= 16,解得t=8. G 12 F ③当BP=AP时，AP=BP=2tcm,CP= 图1 图2 (8-2t)cm,AC=6 cm. (2)如图2，连接AG,BG 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2, 在Rt△BFG中，GF=12cm,BF=8cm,由勾 即(2)2=62+(8-2)2，解得1=25」 股定理，得GB2=GF2+BF2=208. Γ8 在Rt△AGB中，GB2=208,AB=30cm,由勾 综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t=5 股定理，得AG心=AB2十GB2=1108. 或8或积 故给该长方体盒子加上盖子，能放入木棒的 最大长度的平方是1108. 3.证明：连接BM.因为△ABC是直角三角形， 章末考点集训 且∠C=90°， 1.D2.1003.12 所以AB2一AC2=BC2, 4.(x-6.8)2+x2=102 在Rt△AMP中. AP2=AM2-MP2①. 5.解：由题图可知：S正方考=4×2b十(6-a) 因为AB2-AC2+(AM-MP2)=BC2十 =2ab+b2+a2-2ab=a2+b2. (AM2-MP2).AM=CM, S正方形=c2,所以a2+62=c2. 所以AB2-AC2+(AMP-MP2)=BC2+ (CMP-MP2)②. 6北偏东507号或 40