第一章 1 探索勾股定理-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（北师大版）

第一章勾股定理 第一章勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 N0.1基础达标练防杭型、精能格、感实点满 知识点2勾股定理与图形的面积 5.如图，在Rt△ABC中， 知识点1勾股定理 ∠ACB=90°，分别以 1.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是 AC,BC,AB为边在三角 形外部作正方形.若以 3 a,b,c,若∠B十∠C=90°，则下列等式中成 AC和BC为边的正方形面积分别为5和 立的是 ( 3,则以AB为边的正方形面积S的值为 A.a2+b=c2 B.b2+c2=a" ) C.a+c=b D.b+c=a A.4 B.8 2.下列说法正确的是 ( C.16 D.34 A.若a,b,c是△ABC的三边长，则a°+b=c 6.如图，在四边形ABCD中， A ∠B=∠D=90°，AB B.在直角三角形中两边长和的平方等于第 20 m,BC 15 m,CD= 三边长的平方 7m,求四边形ABCD的 C.在Rt△ABC中，∠C=90°，且∠A,∠B,∠C 面积. 的对边分别为a,b,c,所以a2+6= D.在Rt△ABC中，∠B=90°，且∠A,∠B,∠C 的对边分别为a,b,c,所以a2十6=c2 3.如图所示，△ABC的顶点A,B,C在边长为 1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点 D,则BD的长为 易错点没有明确已知边是哪条边而忽视分 类讨论而致错 7.已知一个直角三角形的两条边长分别为3 和5，则第三边长的平方为 4.已知在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，则 A.16 B.4或34 AB+AC+BC的值为 C.16或34 D.4或24 事重第。，，，里g器。￥1 数学八年级上册 N02能力提升练然系路，恭方法，能力提升 ■核心素养练 12.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多 8.已知一个直角三角形的两边长分别为3和 人的兴趣.1955年希腊发行了两枚以勾股 4,则第三边长的平方是 ( ) 图为背景的邮票.勾股图是指以直角三角 A.25 B.14 形的三边为边向外作正方形构成的图形 C.7 D.7或25 [如图1，在△ABC中，∠BAC=90] 9.如图，在△ABC中，AB=AC=10,CB=16, 分别以AB,AC为直径作半圆，BD=CD, 则图中阴影部分的面积是 图 图2 10.如图，在直线1上依次摆放着七个正方形. 已知斜放的三个正方形的面积分别是1， 2,3,正放的四个正方形的面积依次是S, 图3 图4 S2,S,S,S S2 Ss+S= 请解答下列问题： (1)如图2，若以直角三角形的三边为边向 外作等边三角形，则它们的面积S1,S2,S s. 之间的数量关系是什么？请说明理由。 (2)如图3，若以直角三角形的三边为直径 11.如图，将长方形ABCD 沿着AE折叠，点D落 向外作半圆，则它们的面积S,S:,S之间 在BC边上的点F处， 的数量关系是什么？请说明理由 已知AB=8,BC=10, (3)如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC, ∠ABC+∠BCD=90°，BC=2AD,分别以 求EC的长。 AB,CD,AD为边向梯形外作正方形，其面 积分别为S1,S2,S4,则S1,S2,S之间的 数量关系是什么？请说明理由. ■m。量gg。用9。g0 第一章 勾股定理 第2课时 验证并应用勾股定理 八0.1基础达标练码抗程、精瓶指、落实点满 知识点1勾股定理的证明 1.“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法 -2m 证明了勾股定理.小明受此启发，探究后发 现，若将4个直角边长分别为a,b,斜边长为 A.12m B.13m 的直角三角形拼成如图所示的五边形，用 C.17m D.16m 等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种 4.如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的 方法表示五边形的面积分别是（用含有a, 垂直高度DE=1m,将它往前推送6m(水 b,c的式子表示) 平距离BC=6m)时，秋千的踏板离地的垂 直高度BF=4m,秋千的绳索始终拉得很 直，则绳索AD的长度为 m. 2.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了 运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种 根据图形直观推论或验证数学规律和公式 的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可 5.如图，一辆小汽车在一 小汽车 B小汽车 用于验证数与代数，图形与儿何等领域中的 条限速为70km/h的 许多数学公式和规律，它体现的数学思想是 公路上直线行驶，某一 时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前 方30m的B处，过了2s后，测得小汽车 (位于C处)与车速检测仪A的距离为 50m,这辆小汽车超速了吗？ A.统计思想 B.分类思想 C.数形结合思想 D.函数思想 知识点2勾股定理的应用 3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳 子末端刚好接触到地面.然后将绳子末端拉 到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离 地面2m,则旗杆的高度为（滑轮上方的部 分忽略不计) () 数学八年级上册 N02能力提升练然果路，恭方法，能力提升 ■核心素养练 9.图1是用硬纸片做成的两个全等的直角三 6.如图，在长方形ABCD中，AD∥BC,∠C=90, 角形，两条直角边长分别为a和b,斜边长为 △BCD与△BCD关于直线BD对称，BC=6, c;图2也是用硬纸片做成的等腰直角三角 CD=3,点C与点C对应，BC交AD于点E, 形，且两直角边长均为c.请你开动脑筋，将 则线段DE的长为 ( ) B 它们拼成一个能验证勾股定理的图形 A.3 C.5 5 0.2 图2 (1)画出拼成的这个图形的示意图，并用它 验证勾股定理. (2)假设图1中的直角三角形有若干个，你 第6题图 第7题图 能运用图中所给的直角三角形拼出另一种 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3, 能够验证勾股定理的图形吗？若能，画出拼 BC=4,BE平分∠ABC,CD⊥AB于D,BE 成的这个图形的示意图（不写验证过程）. 与CD相交于F,则CF的长是 () A.1 B号 c号 D.2 8.四个全等的直角三角形按 如图的方式围成正方形 ABCD,过各较长直角边 的中点作垂线，围成面积 为S的小正方形EFGH. 已知AM为Rt△ABM较长的直角边， AM=8EF2,则正方形ABCD的面积是 多少？ 重。。。g年gg书。g，参芳答案 课时作业区 第一章 勾股定理 的长分别为a,b,c,则a2=c2+b2 (1)S1十S2=S3.理由如下： 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 1.B2.C3.34.85.B 所以S+5=5e2+6)=。=s 6.解：连接AC. (2)S1十S2=S3.理由如下： 因为在Rt△ABC中，AB=20m, BC=15m,∠B=90°， 因为s=ga2,S1=g2,S=8, 所以由勾股定理，得AB2十BC2=AC2,即202 所以5十5=gc2+gb=8a2=5 +152=AC, (3)S1+S2=S3.理由如下： 所以AC=25(m)(负值已舍去). 如图，过点D作DE∥AB,交BC于点E,所 因为在Rt△ACD中，CD=7m, 以∠DEC=∠ABC AC=25m,∠D=90°， 所以由勾股定理，得CD+AD=AC2,即72+ AD2=252, 所以AD=24(m)(负值已舍去). 设梯形的边AB,DC,AD的长分别为，n, 所以Sg边形ABCD=SR△ABC+十SR△ACD= p,可证BE=AD=p,DE=AB=m, 2AB:BC+2AD.CD=2×20X15+号 ∠EDC=180°-（∠DEC+∠BCD)= 180°-（∠ABC+∠BCD)=90°， ×24×7=234(m2). 则p2=m2十n2. 7.C8.D9.25π-4810.4 因为S1=m2,S2=n2,S3=p2, 11.解：依题意，得AD=AF=BC=10, 所以S1十S2=S3. DE=EF. 第2课时验证并应用勾股定理 在△ABF中，∠ABF=90°， 所以BF2=AF2-AB2=102-82=62, 1.c2+aba2+b2+ab2.C3.C4.7.5 5.解：在Rt△ABC中，由勾股定理， 所以BF=6,所以FC=10一6=4. 得BC2=AC2-AB2=502-302=402, 设EC=x,则EF=DE=8-x. 所以BC=40m, 因为∠C=90°，所以EC2+FC2=EF2, v=40÷2=20(m/s). 所以x2+42=(8-x)2,解得x=3, 因为20m/s=72km/h,72>70, 所以EC=3. 所以这辆小汽车超速了. 12.解：设直角三角形ABC的三边BC,CA,AB 6.B7.B -37 8.解：设AM-2a,BM-b,则正方形ABCD的 DE=5,△ABE的面积为25，所以S△BE= 面积为4a2+b2. 2 ABX DE=-2ABX5=25,所以AB=10, 由题意可知，EF=(2a一b)一2(a-b)=2a一b (2)因为在△ABC中，BC=6,AC=8, 2a+2b=b. AB=10,所以AC2+BC2=82+62=102, 因为AMP=8EF2, 所以(2a)2=8b2,所以a2=2b2 所以AC2+BC2=AB,所以△ABC是直角 因为正方形EFGH的面积为S,所以b2=S. 三角形，所以S△版=号×6X8=24,所以 所以正方形ABCD的面积为4a2十b2= 四边形ACBE的面积为S△ABC十S△ABE= 9b2=9S. 24+25=49. 9.解：(1)如图1，示意图为梯形.根据梯形的面 9.D10.C11.A12.直角三角形13.18 积公式可知，稀形的面积为2（a十b)(a十b》. 14.解：(1)观察题中表格，知a=m2十n2,b= 2mn,c=m2-2. 故答案为m2十n2,2mn,m2一n2. (2)以a,b,c为边长的三角形一定为直角三 角形，理由如下： 图！ 图2 因为2=(m2+2)2=m+2m22+n,2+2 由图1可知，梯形的面积等于三个直角三角形 =m-22+n+4m2=m+22+n3= 的面积和，即2(a十b)(a十b)=2b+2 (m2+)2,所以a2=b2+2,所以以a,b,c为边 长的三角形一定为直角三角形， 2,化简，得a2+= 3勾股定理的应用 (2)答案不唯一.其中一种是画边长为a十b 1.A2.13 的正方形，如图2，其中，b分别为两直角边 3.解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为 长，c为斜边长 20dm,宽为(2+3)×3=15(dm). 2一定是直角三角形吗 20 1.D2.B3.直角 4.解：在△ABD中，AB=13,BD=5,AD=12, 2 所以BD+AD=52+122=169,AB=132=169, 所以BD2+AD=AB2, 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此 所以∠ADB=∠ADC=90° 长方形的对角线长 在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=AC2 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B,点的最短路程为 AD2=152-122=92,即CD=9. x dm. 所以BC=BD+CD=5+9=14. 由勾股定理得x2=202+152=252, 5.B6.137.直角 所以x=25(负值舍去) 8.解：(1)因为在△ABE中，DE是AB边上的高， 4.4cm -38