第1章勾股定理 例题精讲与跟踪训练2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第1章勾股定理例题精讲与跟踪训练-数学八年级上册北师大版 【例题精讲】+【跟踪训练】 目录导航 第一部分：例题精讲 第二部分：跟踪训练 【第一部分】 例题精讲 1．（2024春•鹤山市期末）有一块四边形草地ABCD（如图），测得AB＝AD＝10m，CD＝26m，BC＝24m，∠A＝60°． （1）求∠ABC的度数； （2）求四边形草地ABCD的面积． 【分析】（1）连接BD，由等边三角形的判定证得△ABD是等边三角形，得到∠ABD＝60°，再由勾股定理的逆定理证得∠CBD＝90°，即可求得∠ABC； （2）过D作DE⊥AB于E，由等腰三角形的性质求得AE，再由勾股定理求得DE，由三角形的面积公式可求得S△ABD和S△BCD，即可求得结论． 【解答】解：（1）连接BD， ∵AB＝AD＝10m，∠A＝60°． ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝10m，∠ABD＝60°， 在△BCD中，BD＝10m，CD＝26m，BC＝24m， ∵BD2+BC2＝102+242＝262＝CD2， ∴∠CBD＝90°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝150°； （2）过D作DE⊥AB于E， ∵AD＝BD， ∴AE＝BE＝AB＝5（m）， ∴DE＝＝5（m）， ∴四边形草地ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•BD＝×10×5+×24×10＝（120+25）（m2）， 答：四边形草地ABCD的面积为（120+25）m2． 【点评】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，正确作出辅助线证得△ABD是等边三角形是解决问题的关键． 2．（2024春•天山区校级期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°． （1）△ACD是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【分析】（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，易求AC2+CD2＝AD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°； （2）分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积，再乘以80，即可求总花费． 【解答】解：（1）是直角三角形．理由如下： 如图，连接AC， 在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2， ∴AC＝5m， 在△ACD中，AC＝5m，CD＝12m，DA＝13m， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°； （2）∵S△ABC＝×3×4＝6，S△ACD＝×5×12＝30， ∴S四边形ABCD＝6+30＝36， 费用＝36×80＝2880（元）． 答：铺满这块空地共需花费2880元． 【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 3．（2024春•莆田期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400， 所以，CD＝20（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）， 答：风筝的高度CE为21.6米； （2）由题意得，CM＝12， ∴DM＝8， ∴BM＝（米）， ∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米）， ∴他应该往回收线8米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 【第二部分】 跟踪训练 一、单选题 1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（    ） A．25 B．14 C．7 D．7或25 2．如图，直线l上有三个正方形a，b，c．若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（    ） A．6 B．16 C．4 D．55 3．下面三组数中是勾股数的一组是（    ） A． B． C． D． 4．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（     ）（杯壁厚度不计）． A． B． C． D． 5．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A，B均在格点上，则线段的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 6．如图，四边形中，，且，则的长度是（   ）． A．7 B．8 C．9 D．10 7．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，根据题意，可列方程为（   ）    A． B． C． D． 8．如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 二、填空题 9．直角三角形的两条边长分别3和4，这个直角三角形斜边儿上的高为 ． 10．如图，在，，则 ．    11．如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，，经测量得到如下数据：，，，则警示牌的高为 m． 12．如图，在中，，，于点，为上任意一点，则 ． 13．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 海里． 14．如图所示，在中，，，，求的长度．在这个问题中，可求得的长度为 ． 15．如图，象棋盘中各个小正方形的边长为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照马走日的规则，走两步后的落点与出发点间的最远距离为 ．    16．在中，，点D是线段上的动点，连接，以线段为直角边如图所示作等腰直角三角形，则周长的最小值为 ．      三、解答题 17．已知：如图，直角三角形中，，，，．请你用两种方法证明． 18．请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形中，于点E，且．求证：． 19．如图，在中，过点作，在上截取，上截取，连接，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 20．如图，在中，于，，，求的长．    21．如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 22．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． (1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； (2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； (3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C C C A D C 1．D 【分析】本题考查了勾股定理，正确分两种情况讨论是解题关键． 分两种情况：①边长为4的边是直角边，②边长为4的边是斜边，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：①当边长为4的边是直角边时，第三边长的平方是， ②当边长为4的边是斜边时，第三边长的平方是， 综上，第三边长的平方是25或7， 故选：D． 2．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．利用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理可得出，进而计算即可． 【详解】解：有三个正方形a，b，c， ，， ， ， ，， ， ，， 在中，勾股定理得：， ． ∴ 故选A． 3．C 【分析】本题考查勾股数，勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此判断即可． 【详解】解：A，不是正数，因此不是勾股数，不合题意； B，不是整数，因此不是勾股数，不合题意； C，，因此是勾股数，符合题意； D，，因此不是勾股数，不合题意； 故选C． 4．C 【分析】将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 连接，交于点F，此时点、 、在同一条直线上， 则为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， 依题意，， 此时． 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了网格与勾股定理，根据正方形网格（每个小正方形的边长都是1）列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定，在上取一点G，使，然后证明可得，；然后再证明可得，设，即，，最后在运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图：在上取一点G，使， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 设，即， 在中， ∴，解得：． ∴， 故选A． 7．D 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 故选D 8．C 【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．本题考查勾股定理的证明，关键是根据正方形、直角三角形的性质及分析问题解答． 【详解】解：由条件可得， 即，， 则， 所以（负值已舍去）， 故选：C． 9．或 【分析】本题主要考查勾股定理，分类讨论是解题的关键．可分两种情况：若3，4是直角三角形的两条直角边；若3为直角三角形的直角边，4为斜边，利用勾股定理分别求解直角三角形的第三边，利用三角形的面积可求解斜边上的高． 【详解】解：若3，4是直角三角形的两条直角边，则斜边长为：， 斜边上的高为：； 若3为直角三角形的直角边，4为斜边，则另一条直角边长为：， 斜边上的高为：， 综上所述，这个直角三角形斜边上的高为或． 故答案为：或 10．4 【分析】本题主要考查了勾股定理，在直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边的平方，据此求出，最后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 11．2 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理的应用，属于中考常考题型． 首先根据等腰直角三角形的性质可得，设，在中根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：由题意可得：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， 在中，， ∴， 解得， ∴， 则， 故答案为：2． 12．45 【分析】本题主要考查了勾股定理，由，，，即可根据计算即可． 【详解】∵， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴ ． 故答案为：45． 13．16 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：16． 14． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵在中，， ∴，即． 解得： 故答案为． 15． 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，    走两步后的落点与出发点间的最远距离的点为A处，最远距离为． 故答案为：． 16． 【分析】取的中点F，连接，证明出，得到，作点C关于的对称点G，连接与的交点为D，此时的周长最小，过点G作交于点K，连接，然后利用等面积法和勾股定理求解即可． 【详解】取的中点F，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴的周长 作点C关于的对称点G，连接与的交点为D， 由对称性可得， ∴，此时的周长最小 过点G作交于点K，连接    ∵是的垂直平分线 ∴ 在中， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， 在中， ∴ ∴ ∴在中， ∴ 在中， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称求最短距离，勾股定理，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 17．见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的证明方法有很多种，熟练掌握应用面积法证明勾股定理的方法是解题的关键．解法一构造正方形求解；解法二构造直角梯形求解． 【详解】解法一：如图，， ， ； 解法二：如图，， ． 18．见解析 【分析】连接，根据四边形面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 即． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由得，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由，根据全等三角形的对应角相等证明，然后利用勾股定理即可解决问题． 此题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ，， ， ， ． 20． 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 根据，在中运用勾股定理求出的值，在中运用勾股定理即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴的长为． 21．(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）根据勾股定理求出，可得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，分别求出，最后根据即可求解； （）由勾股定理得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，可得，，，进而得到，即得，即可得； 本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则，，， ∴； （2）证明：∵， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则， 同理得，，， ∴， ∴， ∴． 22．(1)， (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）先证，再根据即可证明； （2）先证，再根据即可证明； （3）连接，先证，则可得，，进而可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与都是等腰三角形， ∴， 又∵ ∴，即， 在和中，， ∴． 故答案为： ， （2）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接，如图所示： ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$