精品解析： 上海市虹口区部分学校2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考试题

2024学年初三第一学期第一次学情调研 数学学科 满分：150分 时间：100分钟 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为，那么的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 2. 下列图形中，一定相似的是（ ） A. 两个圆 B. 两个矩形 C. 两个直角梯形 D. 两个等腰三角形 3. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是（   ） A. B. C. D. 4. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，已知直线，下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”下一步应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ） A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么的值是____________． 8. 已知线段厘米，厘米，那么线段与的比例中项是______厘米． 9. 如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是____________厘米． 10. 已知的三边之比是2：3：4，与它相似的的最小边长是6，那么的最大边长是____________． 11. 如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 _______． 12. 如图所示，已知等边的边长为4，点D在边上且，点E在边上，，那么的长是____． 13. 如图所示，在正方形中，为对角线，点在边的延长线上，，连接交于点，那么的值是____________． 14. 如图所示，在梯形中，，点、分别在、上，且，如果，，，那么的长为_____． 15. 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆的高度为____________米． 16. 如图所示，点是的重心，点是边的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，如果四边形的面积为12，那么的面积为______． 17. 定义：有且只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做单邻等对补四边形．如图所示，在Rt中，，，，分别在、上取点、，如果四边形为单邻等对补四边形，那么的长为____________． 18. 如图所示，在中，已知，，点为边上一点，点在边上，且，将沿翻折，使得的对应边经过点，当时，点到点的距离是____________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 已知，，求、、的值． 20. 如图所示，在中，点在边上，已知，，，如果在上找一点，使得与相似，求的长． 21. 已知如图所示，在中，点在边上，点、在边上，且，使． （1）求证：； （2）把与的周长分别记作、，如果，求的值． 22. 表示一块直角三角形空地，已知，边米，米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图1、图2所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大． 23. 如图所示，在四边形中，为对角线，过点作，垂足为，已知，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接、，如果点在的垂直平分线上，求证：． 24. （1）如图所示，在梯形中，，，点为边上一点，连接、，已知，求的长； （2）①在一场数学设计活动中，老师提出了一个问题： 【问题】已知直线、，满足，点为直线、之间一点，试用直尺、圆规在如图所示中作出，使得，其中点A在直线上，点在直线上． 【设计】活动成员小明结合作业题中的解题思路，尝试利用尺规完成作图： 第一步：利用直尺，过点作直线的垂线，分别交直线、于点、； 第二步：在点、的右边分别取点、，由于　　∽　　，可以得到的值是　　； 第三步：利用圆规，分别在直线、上截出、，连接，即可得到所求的三角形． 【操作】请你根据上述思路，完成第二步填空，并在图中作出满足条件的． ②通过小明同学的思路与作法，请你尝试设计：当直线、不平行时，利用尺规在如图中作出，使得，其中点在直线上，点在直线上．（不写作图过程，保留作图痕迹） 25. 如图所示，已知在梯形中，，，点为边上一点，且，，连接、交于点，已知，过点作的平行线交于点，连接交于点． （1）求证：点是的中点； （2）如果，求的长； （3）如图所示，如果与互补，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年初三第一学期第一次学情调研 数学学科 满分：150分 时间：100分钟 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为，那么的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意，， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， ∴． 解得． 故选：C． 2. 下列图形中，一定相似的是（ ） A. 两个圆 B. 两个矩形 C. 两个直角梯形 D. 两个等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可．熟练掌握相似图形的对应边成比例，对应角相等是解题关键． 【详解】解：两个圆是相似图形，故A选项符合题意， 两个矩形对应角相等，对应边不一定成比例，不一定是相似图形，故B选项不符合题意， 两个直角梯形的对应角不一定相等，不一定是相似图形，故C选项不符合题意， 两个等腰三角形的对应角不一定相等，不一定是相似图形，故D选项不符合题意， 故选：A． 3. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的相似比问题．利用相似三角形的周长比，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比来解答． 【详解】解：∵两个三角形相似，且对应边之比为， ∴相似比为， ∵相似三角形的对应中线之比等于相似比， ∴对应中线之比为． 故选：B． 4. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据矩形的性质，得到，进而列出方程即可． 【详解】解：∵井的截面图为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 5. 如图所示，已知直线，下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】， ，故A选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，故C选项不正确，不符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； 故选：D． 6. 象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”下一步应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ） A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用勾股定理分别求出每一处所构成的三角形的边长，再结合相似三角形的判定方法进行判断即可求解，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由图可得，“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为，，，当“马”落在①处时，“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为，，，因为三边对应不成比例，所以①处不符合；当“马”落在②处时，“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为，，，因为，所以②处符合；当“马”落在③处时，“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为，，，因为三边对应不成比例，所以③处不符合；当“马”落在④处时，“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为，，，因为三边对应不成比例，所以④处不符合， 故选：． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质．正确表示出x，y的值是解题关键． 由可得，设，则，代入分式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即：， ∴设，则， ∴． 故答案为：． 8. 已知线段厘米，厘米，那么线段与的比例中项是______厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可求解，根据比例中项的定义列出比例式是解题的关键． 【详解】解：∵线段和的比例中项为， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 9. 如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是____________厘米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，先过点作于点，延长交于点，依题意得，，证明，再根据相似三角形的性质求解即可 【详解】解：过点作于点，延长交于点，如图， 依题意得：，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴厘米， 故答案为：4 10. 已知的三边之比是2：3：4，与它相似的的最小边长是6，那么的最大边长是____________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，则可求得最长边的边长． 【详解】解：∵的三边之比是2：3：4，与它相似的的最小边长是6， ∴， 解得， 则的最大边长是12， 故答案为：12 11. 如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 _______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质．根据得出，由相似三角形的性质得出，再由得出，从而可求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 12. 如图所示，已知等边的边长为4，点D在边上且，点E在边上，，那么的长是____． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，由等边三角形的性质可得，，证明，得出，代入计算即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图所示，在正方形中，为对角线，点在边的延长线上，，连接交于点，那么的值是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质．设正方形的边长为，得，，，根据勾股定理得，证明，得，即可得解．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 14. 如图所示，在梯形中，，点、分别在、上，且，如果，，，那么的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键．如图，连接，延长交延长线于，根据可证明，利用相似三角形的性质可得，可求出，根据，得出，可证明，利用相似三角形的性质可得，可求出，根据线段的和差关系即可得答案． 【详解】解：如图，连接，延长交延长线于， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 15. 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆的高度为____________米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的应用，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．根据，得到，根据相似三角形的对应边成比例得到，又根据，得出，根据相似三角形的对应边成比例得到，列出等式，即可求出，的长． 【详解】解：如图：由题意得： 米，米，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴米， ∴． ∴米， ∴灯杆的高度为米， 故答案为：． 16. 如图所示，点是的重心，点是边的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，如果四边形的面积为12，那么的面积为______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．连接，，根据为的重心，得到，证明，得到与的相似比为，设的高为，得到四边形底边的高为，根据平行四边形的面积求得，据此求解即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵点是的重心，点是边的中点， ∴点在线段上，， ∵， ∴， ∴与的相似比为， 设的高为， ∴的高为，即的高为， ∴四边形底边的高为， ∵四边形的面积为12， ∴， ∴的面积为， ∵点是边的中点， ∴的面积为36， 故答案为：36， 17. 定义：有且只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做单邻等对补四边形．如图所示，在Rt中，，，，分别在、上取点、，如果四边形为单邻等对补四边形，那么的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质及判定、勾股定理，理解“单邻等对补四边形”定义，熟练运用相似三角形的性质及判定、勾股定理是解决问题的关键． 根据题意，分四种情况画出图形，证明，根据相似三角形的性质逐一求解判断即可． 【详解】解：在中，，，， ， ①当时，如下图所示： ， ， 由“单邻等对补四边形”的定义可得：， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ，不符合“单邻等对补四边形”的定义； ②当时，如图所示： ， ，即， ， ③当时，如图所示： ， ， ，即， ， 综上所述，的长为或． 18. 如图所示，在中，已知，，点为边上一点，点在边上，且，将沿翻折，使得的对应边经过点，当时，点到点的距离是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，则；由等腰三角形的性质及翻折的性质得，，从而得，由相似三角形的性质得到关于x的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图，设，则； ∵，， ∴； ∵， ∴； 由翻折的性质得，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； ∵， ∴， 整理得：， 解得：； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，等腰三角形的性质，翻折的性质等知识，证明三角形相似是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 已知，，求、、的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】考查了比例的性质，设k法得到关于k的方程是解题的关键．可设，可得，，，再根据可得关于k的方程，解方程求出k，进一步求得a、b、c的值． 【详解】解：设， 则、、， ∵， ， ， 、、． 20. 如图所示，在中，点在边上，已知，，，如果在上找一点，使得与相似，求的长． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．由题意知，分，两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，， ∴； 当时，，即， 解得，； ∴； 综上所述，或． 21. 已知如图所示，在中，点在边上，点、在边上，且，使． （1）求证：； （2）把与的周长分别记作、，如果，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，解一元二次方程． （1）由得比例，结合已知比例，利用过渡比得出，即可证明，得到，即可证明结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴解得：（舍负）， ∴． 22. 表示一块直角三角形空地，已知，边米，米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图1、图2所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大． 【答案】方案一：，方案二：，方案一的正方形水池面积更大． 【解析】 【分析】方案一：设正方形边长为x米，利用平行线分线段成比例定理即可求出正方形的边长；方案二：根据题意画出图形，作交于点．根据直角三角形的面积得出的长，利用相似三角形的判定定理即可得出∽，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出正方形的边长；把两方案中正方形的边长进行比较即可得出结论． 【详解】解：设正方形的边长为米． 方案一：∵， ∴， ∴， ∴； 方案二：如图2，作于H，交于点， 则四边形是矩形， ∴米，米； 由勾股定理得：米， ∵， ∴米； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∵， ∴方案一的正方形水池面积更大． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质等知识，利用相似三角形的性质是解题的关键． 23. 如图所示，在四边形中，为对角线，过点作，垂足为，已知，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接、，如果点在的垂直平分线上，求证：． 【答案】（1）证明：∵ ∴ 在与中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； （2）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵点在的垂直平分线上 ∴ ∴ ∴． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先证明出，得到，然后证明出，得到，进而证明即可； （2）首先证明出，得到，然后证明出，得到，然后由垂直平分线的性质得到，进而证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. （1）如图所示，在梯形中，，，点为边上一点，连接、，已知，求的长； （2）①在一场数学设计活动中，老师提出了一个问题： 【问题】已知直线、，满足，点为直线、之间一点，试用直尺、圆规在如图所示中作出，使得，其中点A在直线上，点在直线上． 【设计】活动成员小明结合作业题中的解题思路，尝试利用尺规完成作图： 第一步：利用直尺，过点作直线的垂线，分别交直线、于点、； 第二步：在点、的右边分别取点、，由于　　∽　　，可以得到的值是　　； 第三步：利用圆规，分别在直线、上截出、，连接，即可得到所求的三角形． 【操作】请你根据上述思路，完成第二步填空，并在图中作出满足条件的． ②通过小明同学的思路与作法，请你尝试设计：当直线、不平行时，利用尺规在如图中作出，使得，其中点在直线上，点在直线上．（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】（1）； （2）①，，1， 即为所求； ②为所求作的三角形． 【解析】 【分析】（1）先用勾股定理求出的长，延长，与的延长线交于点F，证明，进而可求的长，用勾股定理示的长，证明，求出的长，进而用勾股定理可求、，即可得解； （2）①由作法及可证明，得，由，可得，，即可得答案；②由①可得求作的． 【详解】（1）解：，， ， 延长，与的延长线交于点F， ， ，， ， ，即， ， 中，， ， ， ， ， ， ，即， ， 中，， 中，； （2）解：①，于点， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 同理可得， 在a上截取，在b上截取，连接，即为所求； 故答案为：，，1； ②利用直尺，过点作直线的垂线，交直线于点D； 以D为圆心，长为半径作弧，交直线b于点E， 过点E作直线b的垂线，交直线a于点A， 以C为圆心，的长为半径作弧，交直线b于点B， 连接， 当于点F时，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 即为所求作的三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理及复杂的尺规作图，综合性强，比较有难度，熟知相关性质及基本的尺规作图方法是正确解决本题的关键． 25. 如图所示，已知在梯形中，，，点为边上一点，且，，连接、交于点，已知，过点作的平行线交于点，连接交于点． （1）求证：点是的中点； （2）如果，求的长； （3）如图所示，如果与互补，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 延长交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴，即点是的中点； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得，求出，延长交于点，证明四边形为平行四边形，设，则，证明，得，，推出，求解后可求出，，即可得证； （2）根据推出，证明得，证明得，设，，则，代入，得：，求出，即可得解；（3）延长，交于点，证明得，证明得，推出，，代入，得：，解得：，根据勾股定理得，解得，作，垂足为点，证明，得，求出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，，则， ∴代入，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴的长为； 【小问3详解】 延长，交于点， ∵与互补，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，即， 代入，得：， 解得：， ∵， ∴，即：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 作，垂足为点， ∴， 在梯形中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查梯形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $