第10章 第4课时 概率、统计的综合问题-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第十章　 统计与成对数据的统计分析 第4课时　概率、统计的综合问题 典例精研　核心考点 第4课时　概率、统计的综合问题 考点一　以统计图表为载体的概率统计问题 [典例1]　(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病 学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄， 得到如下的样本数据的频率分布直方图． (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中 的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)． [解]　(1)该地区这种疾病患者的平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)． (2)设A＝{一人患这种疾病的年龄在区间[20，70)}，则P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89. (3)设B＝{任选一人年龄位于区间[40，50)}，C＝{任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式，得P(C|B)＝＝＝0.001 437 5≈0.001 4. 名师点评　该类问题常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考查考生的直观想象和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合统计的相关知识进行数据分析或结合概率模型求解相应概率． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 [跟进训练] 1．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表： (1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且σ＝6.1，若全校有3 000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)； 天数 [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25) [25，30] 人数 4 15 33 31 11 6 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 (2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15)的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动不低于15天的学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表： 性别 活动天数 合计 [0，15) [15，30] 男生       女生       合计       典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联．如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响． 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 [解]　(1)由频数分布表知 μ＝×(4×2.5＋15×7.5＋33×12.5＋31×17.5＋11×22.5＋6×27.5)＝14.9， 则X～N(14.9，6.12)， ∵P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， ∴P(X＞21)＝P(X＞14.9＋6.1)≈＝0.158 65， ∴3 000×0.158 65＝475.95≈476， ∴参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476. 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 (2)由频数分布表知，锻炼活动的天数在[0，15)的人数为4＋15＋33＝52， ∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15)的学生中有20名男生， ∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15)的学生中女生人数为52－20＝32. 由频数分布表知，锻炼活动的天数在[15，30]的人数为31＋11＋6＝48， ∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15，30]的学生中有30名男生， ∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15，30]的学生中女生人数为48－30＝18. 列联表如下： 性别 活动天数 [0，15) [15，30] 合计 男生 20 30 50 女生 32 18 50 合计 52 48 100 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 零假设为H0：学生性别与获得“运动达人”称号无关， χ2＝≈5.769＞3.841，依据α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关，而且此推断犯错误的概率不大于0.05. 根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数不低于15天的频率分别为＝0.6和＝0.36，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”称号频率的≈1.67倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得“运动达人”称号． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 考点二　概率、统计与数列的综合问题 [典例2]　(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．求： (1)第2次投篮的人是乙的概率． (2)第i次投篮的人是甲的概率． (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则 记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y )． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 [解]　(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则A＝BA＋A， 所以P(A)＝P(BA＋)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6. (2)设第i次投篮的人是甲的概率为pi，由题意可知，p1＝，pi＋1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝pi＋，所以pi＋1－＝， 又p1－＝＝，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以pi－＝， 所以pi＝. 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 (3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi. Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，则E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，由(2)知，pi＝，所以E(Y)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn＝＝＝. 名师点评　解答此类问题关键是借助概率知识(如相互独立事件的概率公式、条件概率的公式等)建立Pn＋1与Pn的递推关系，然后利用数列知识(一般是构造法)求解． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 [跟进训练] 2．(2024·山东青岛开学考试)某篮球赛事采取四人制形式．在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．n次传球后，记事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为Pn. (1)求P3； (2)当n＝3时，记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望； (3)当n≥4时，证明：Pn＝Pn－1－. 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 [解]　(1)乙、丙、丁三人每次接到传球的概率均为，3次传球后，事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为P3＝＝. (2)由题意知，X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝3×＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝，X的分布列为 E(X)＝1×＋2×＋3×＝. X 1 2 3 P 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 (3)证明：n次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，有两种情况， 第一种：n－1次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，这种情况的概率为Pn－1； 第二种：n－1次传球后乙、丙、丁中只有两人接过他人传球，第n次传球时将球传给剩余一人，这种情况的概率为. 所以，当n≥4时，Pn＝Pn－1＋＝Pn－1－， 所以Pn＝Pn－1－. 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 【教师备选资源】 (2019·全国Ⅰ卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X. (1)求X的分布列； (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8. (i)证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列； (ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 [解]　(1)由题意可知X所有可能的取值为－1，0，1. P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)． 则X的分布列为 (2)∵α＝0.5，β＝0.8，∴a＝0.5×0.8＝0.4，b＝0.5×0.8＋0.5×0.2＝0.5，c＝0.5×0.2＝0.1. (i)证明：∵pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，即pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1(i＝1，2，…，7)，整理可得：5pi＝4pi－1＋pi＋1(i＝1，2，…，7)，∴pi＋1－pi＝4(i＝1，2，…，7)，又∵p1－p0＝p1≠0，∴(i＝0，1，2，…，7)是以p1为首项，4为公比的等比数列． X －1 0 1 P (1－α)β αβ＋(1－α)(1－β) α(1－β) 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 (ii)由(i)知：pi＋1－pi＝(p1－p0)·4i＝p1·4i， ∴p8－p7＝p1·47，p7－p6＝＝p1·40. 作和可得：p8－p0＝p1·＝p1＝p1＝1，∴p1＝， ∴p4＝p4－p0＝p1·＝p1＝＝＝. p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 考点三　概率、统计与函数的交汇问题 [典例3]　(12分)根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为： 其中α＞0，0＜p＜1．每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件Ai表示一个家庭有i个孩子(i＝0，1，2，3)，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多)． (1)若p＝，求α及P(B)； (2)为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等)． ①若希望P(X＝2)增大，如何调控p的值？ ②是否存在p的值使得E(X)＝，请说明理由． X 1 2 3 0 P α α(1－p) α(1－p)2 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 [规范解答]　(1)由题意得＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝1，p＝，解得α＝.·1分 又因为P(B|A1)＝，P(B|A2)＝＝， P(B|A3)＝＝. ···················4分 　　　　　　　↓　　　　 所以P(B)＝＝＝(i＝1，2，3) ··5分 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 (2)①由已知＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝1， 　　　　　　↓　　　　 变形整理得，＝p2－3p＋＋3. ··················6分 可设f (p)＝p2－3p＋＋3，0＜p＜1， 所以f ′(p)＝. ······················7分 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 设g(p)＝2p3－3p2－1， 即g′(p)＝6p2－6p＝6p(p－1)＜0， 故g(p)在(0，1)上单调递减， 因为g(0)＝－1，所以g(p)＜0，所以f ′(p)＜0， 　　　　　　　　↓ 关键点：视“p”为变量，建立函数f (p)，g(p) 故f (p)在(0，1)上单调递减，所以增加p的取值，会减小，α增大，即P(X＝2)增大． ······························9分 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 ②假设存在p使E(X )＝＋2α＋3α(1－p)＝，又因为＝p2－3p＋＋3， 将上述两等式相乘，化简整理得：5p3－6p2＋2＝0， 设h(p)＝5p3－6p2＋2，0＜p＜1， 即h′(p)＝15p2－12p＝3p(5p－4). ··················11分 所以h(p)在上单调递减，在上单调递增，故h(p)min＝h＝＞0. 所以不存在p，使得E(X)＝.····················12分 名师点评　该类问题常以实际生活中的概率、统计知识为背景，将概率、统计与函数建模融合在一起，充分借助函数的性质研究相关问题的最值，可能涉及函数的单调性、导数等知识，求解时注意合理转化． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 [跟进训练] 3．(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)． (1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X )； (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X )≤1时，p＝1，当E(X )>1时，p<1； (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 [解]　(1)E(X )＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1. (2)法一(常规求导)： p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x＞0，令f (x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，f ′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，令g(x)＝f ′(x)，则g′(x)＝2p2＋6p3x≥0，∴f ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，当E(X )＝p1＋2p2＋3p3≤1时，注意到x∈(0，1]时，f ′(x)≤f ′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0，∴f (x)在(0，1]上单调递减，注意到f (1)＝0，∴x＝1，即p＝1. 当E(X )＝p1＋2p2＋3p3＞1时，注意到f ′(0)＝p1－1＜0，f ′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1＞0，∴存在唯一的x0∈(0，1)使f ′(x0)＝0，且当0＜x＜x0时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；当x0＜x＜1时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，注意到f (0)＝p0＞0，f (1)＝0，∴f (x0)＜f (1)＝0. ∴f (x)在(0，x0)上有一个零点x1，另一个零点为1，∴p＝x1＜1. 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 法二(巧妙因式分解)： 由题意知p0＋p1＋p2＋p3＝1，E(X )＝p1＋2p2＋3p3， 由p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x⇒p0＋p2x2＋p3x3－(1－p1)x＝0， ∴p0＋p2x2＋p3x3－(p0＋p2＋p3)x＝0⇒p0(1－x)＋p2x(x－1)＋p3x(x－1)(x＋1)＝0， (x－1)[p3x2＋(p2＋p3)x－p0]＝0， 令f (x)＝p3x2＋(p2＋p3)x－p0，f (x)的对称轴为x＝－＜0， 注意到f (0)＝－p0＜0，f (1)＝2p3＋p2－p0＝p1＋2p2＋3p3－1＝E(X )－1， 当E(X )≤1时，f (1)≤0，f (x)的正实根x0≥1，原方程的最小正实根p＝1， 当E(X )＞1时，f (1)＞0，f (x)的正实根x0＜1，原方程的最小正实根p＝x0＜1. (3)当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝，当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 【教师备选资源】 踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动．某次体育课上，甲、乙、丙、丁四人一起踢毽子．毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为；当乙接到毽子时，乙传给甲、丙、丁的概率分别为；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为；当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为.假设毽子一直没有掉地上，经过n次传毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为an，bn，cn，dn，已知a1＝0. (1)记丁在前2次传毽子中，接到毽子的次数为X，求X的分布列； (2)证明为等比数列，并判断经过150次传毽子后甲接到毽子的概率与的大小． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 [解]　(1)X的所有可能取值为0，1，P(X＝0)＝2×＝， P(X＝1)＝＋2×＝，所以X的分布列为 (2)当n≥2且n∈N*时，an＝bn－1＋cn－1＋dn－1. bn＝an－1＋cn－1＋dn－1，cn＝an－1＋bn－1＋dn－1，dn＝an－1＋bn－1＋cn－1， 所以bn＋cn＋dn＝an－1＋(bn－1＋cn－1＋dn－1)＝an－1＋2an， X 0 1 P 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 因为an＝bn－1＋cn－1＋dn－1，所以3an＋1＝bn＋cn＋dn， 所以3an＋1＝2an＋an－1，所以3an＋1＋an＝3an＋an－1， 因为a1＝0，a2＝，所以3an＋an－1＝1，所以＝－. 所以是首项为－，公比q＝－的等比数列， 所以an－＝－，即an＝－＋， 所以a150＝－＋＝＋>， 故经过150次传毽子后甲接到毽子的概率大于. 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　概率、统计的综合问题 $$