第10章 第2课时 用样本估计总体-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第十章　 统计与成对数据的统计分析 第2课时　用样本估计总体 链接教材　夯基固本 第2课时　用样本估计总体 1．众数、中位数、平均数、百分位数   样本数据 频率分布直方图 众数 一组数据中，出现________的数据 取最高的小矩形底边____的横坐标 中位数 把一组数据按从小到大的顺序排列，处在________的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分为左右两个____相等的部分，分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘小矩形底边____的横坐标之和 百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值 对于数据组[a，b)，a以下的数据比例为m%，b以下的数据比例为n%，若m≤p<n，则第p百分位数为________________ 次数最多 中点 中间位置 面积 中点 a＋(b－a)· 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按________排列原始数据； 第2步，计算i＝______； 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第_项数据；若i是整数，则第p百分位数为第_项与第______项数据的平均数． 3．四分位数 (1)第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． (2)第__百分位数又称第一四分位数或下四分位数；第__百分位数又称第三四分位数或上四分位数． 从小到大 n×p% j i (i＋1) 25 75 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 4．总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，称 为这组数据的方差，也可以写成的形式；称为这组数据的标准差． (2)总体方差和标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为f i(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝．总体标准差：S＝. (3)样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝ 为样本方差，s＝为样本标准差． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 [常用结论] 平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2. ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势． (　　) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中． (　　) (3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高． (　　) (4)任何一组数据的第50百分位数与中位数的值是相同的． (　　) √ × √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 √ 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第二册P206探究改编)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在如图两种分布形态中，a，b，c，d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是(　　) A．a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数 B．a为平均数，b为中位数，c为平均数，d为中位数 C．a为中位数，b为平均数，c为中位数，d为平均数 D．a为平均数，b为中位数，c为中位数，d为平均数 A　[在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积和相等，平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标乘以小矩形的面积之和近似代替，结合两个频率分布直方图得：a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数．故选A.] 2 4 3 题号 1 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 2．(人教A版必修第二册P204练习T2改编)某车间12名工人一天生产某产品的质量(单位：kg)分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是________________． 2 4 3 题号 1 13.7，14.7，15.3　[将12个数据按从小到大排序：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8. 由i＝12×25%＝3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数，即＝13.7； 由i＝12×50%＝6，得所给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即＝14.7； 由i＝12×75%＝9，得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，即＝15.3．] 13.7，14.7，15.3　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 3．(人教A版必修第二册P215练习T2改编)一组数据的平均数是28，方差是4，若将这组数据中的每一个数据都加上20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是________，方差是________． 2 4 3 题号 1 48　4　[设该组数据为x1，x2，…，xn， 则新数据为x1＋20，x2＋20，…，xn＋20，记新数据的平均数为'， 因为＝＝28，所以'＝＝20＋28＝48. 因为s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]， 所以s'2＝｛[x1＋20－(＋20)]2＋[x2＋20－(＋20)]2＋…＋[xn＋20－(＋20)]2｝＝s2＝4.] 48　 4　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 4．(人教A版必修第二册P198练习T1改编)为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1 000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100]，得到如图所示的频率分布直方图．图中部分数据丢失，若已知这1 000名观众评分的中位数估计值为87.5，则m＝________． 0.02　[由题可知，5(m＋0.025＋0.03)＋(87.5－85)×0.05＝0.5，解得m＝0.02．] 2 4 3 题号 1 0.02　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 典例精研　核心考点 第2课时　用样本估计总体 考点一　总体百分位数的估计 [典例1]　(1)某中学高一年级10位女生的身高(单位：cm)数据为148，155，157，159，162，163，164，165，170，172，则数据的第50，75百分位数分别为(　　) A．162，165　　B．162.5，164.5 C．162，164.5 　D．162.5，165 (2)将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出频率分布直方图如图，则此班的模拟 考试成绩的80%分位数是________．(结果保留 两位小数) √ 124.44　 (1)D　(2)124.44　[(1)由题意，该数据已经从小到大排列，10×50%＝5，10×75%＝7.5，所以第50百分位数为＝162.5 ，第75百分位数为165.故选D. (2)由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.022 5)×10×100%＝92.5%， 因此，80%分位数一定位于[120，130)内． 因为120＋×10≈124.44， 所以此班的模拟考试成绩的80%分位数约为124.44．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 【教师备选资源】 已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　) A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数 C　[因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，则C正确，其他选项均不正确，故选C.] √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 名师点评 1．计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤 2．频率分布直方图中第p百分位数的计算 (1)确定百分位数所在的区间[a，b)． (2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为f a%，f b%，则第p百分位数为a＋×(b－a)． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 [跟进训练] 1．(1)(2023·山东滨州二模)某组样本数据的频率分布直方图 如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分 别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(注：同一组中数 据用该组区间中点值近似代替)(　　) A．x3<x1<x2　B．x2<x1<x3 C．x1<x3<x2 　D．x1<x2<x3 (2)(2023·河北邯郸一模)身体质量指数，也就是BMI指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．某校为了解该校学生的身体健康情况，从某班随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生的BMI指数分别是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，则这组数据的第65百分位数是 ________． √ 20.7　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 (1)A　(2)20.7　[(1)由频率分布直方图可知众数为＝2.5，即x1＝2.5，平均数x2＝0.2×1.5＋0.24×2.5＋0.2×3.5＋0.16×4.5＋0.12×5.5＋0.04×6.5＋0.04×7.5＝3.54， 显然第一四分位数位于[2，3)之间， 则0.2＋(x3－2)×0.24＝0.25，解得x3≈2.208， 所以x3<x1<x2.故选A. (2)因为20×0.65＝13， 所以这组数据的第65百分位数是＝20.7．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 考点二　总体集中趋势的估计 [典例2]　某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分组，绘成频率分布直方图(如图)． (1)求x的值； (2)分别求出抽取的20人中得分落在[0，20)和[20，40)内的人数； (3)估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 [解]　(1)由频率分布直方图的性质得： (0.005 0＋0.007 5＋x＋0.012 5＋0.015 0)×20＝1，解得x＝0.010 0. (2)由频率分布直方图能求出： 得分落在[0，20)内的人数为20×0.005 0×20＝2， 得分落在[20，40)内的人数为20×0.007 5×20＝3. (3)所有参赛选手得分的平均数为： 0.005 0×20×10＋0.007 5×20×30＋0.015 0×20×50＋0.012 5×20×70＋0.010 0×20×90＝56. 设所有参赛选手得分的中位数为a， 则0.005 0×20＋0.007 5×20＋0.015 0×(a－40)＝0.5，解得a＝. 所有参赛选手得分的众数估计值为＝50. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 名师点评　频率分布直方图的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 [跟进训练] 2．(1)(2023·山东济南二模)某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为(　　) A．7.6　 B．7.8 C．8　 D．8.2 (2)有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额，某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是________．(填“众数”“中位数”或“平均数”) √ 中位数　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 (1)B　(2)中位数　[(1)依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6，7，8，9，9，所以平均数为＝7.8.故选B. (2)因为7位获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的，所以把13个不同的分数按从小到大排序，只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 【教师备选资源】 一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，现定义这组数据的平均差D＝.如图是甲、乙两组数据的频率分布折线图： √ 根据折线图，可判断甲、乙两组数据的平均差D1，D2的大小关系是(　　) A．D1<D2　　B．D1＝D2　　C．D1>D2 　　D．无法确定 C　[由给定的平均差公式可知：数据越集中于平均值附近，平均差越小．甲、乙两图的纵坐标表示的为频率/组距，反映了各组样本数据的疏密程度，甲图中，数据较为均匀的分布在各区间，而乙图数据较为集中的分布在乙图最高处值的区间，其他区间分布的比较少，故乙图平均差比较小．故选C.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 考点三　总体离散程度的估计 [典例3]　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下： 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高). 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 [解]　(1)由题意，求出zi的值如表所示， 则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11， s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)因为2＝2＝＝11＝>， 所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 名师点评　标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)较大，数据的离散程度越大；标准差(方差)较小，数据的离散程度越小． 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 [跟进训练] 3．(1)已知数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是5，方差是9，则＝(　　) A．159　 B．204 C．231　 D．636 (2)已知某7个数的平均数为4，方差为2．现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则(　　) A．＝4，s2<2 　 B．＝4，s2>2 C．>4，s2<2 　 D．>4，s2>2 √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 (1)B　(2)A　[(1)根据题意，数据x1，x2，x3，x4，x5，x6中，平均数＝5，方差s2＝9， 则s2＝－＝9， 所以＝204，故选B. (2)因为某7个数的平均数为4，所以这7个数的和为4×7＝28．因为加入一个新数据4，所以＝＝4．又因为这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，所以这8个数的方差s2＝＝<2.故选A.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 【教师备选资源】 1．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的有(　　) A．样本x1，x2，…，xn的标准差 B．样本x1，x2，…，xn的中位数 C．样本x1，x2，…，xn的极差 D．样本x1，x2，…，xn的平均数 AC　[中位数是反应数据的变化， 标准差是反应数据与均值之间的偏离程度， 极差是反映最大值与最小值之间的差距， 平均数是反应数据的平均水平， 故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．故选AC.] √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 2．在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是(　　) A．100　 B．85 C．65　 D．55 D　[∵s2＝＝10.2，n＝40， ∴＝10.2×40＝408. 若存在x＝55，则(x－)2＝(55－82)2＝729>408＝， 导致方差必然大于10.2，不符合题意． ∴55不可能是该班数学成绩．故选D.] √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　用样本估计总体 $$