第9章 第5课时 离散型随机变量的分布列和数字特征-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第九章　 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 链接教材　夯基固本 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有____的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以________的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 唯一 一一列举 (2)离散型随机变量分布列的性质 ①pi __0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝_． 3．两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为 我们称X服从两点分布或0－1分布． 提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布． X 0 1 P 1－p p ≥ 1 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 4．离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量X的分布列为 (1)均值 称E(X)＝____________________＝为随机变量X的____或数学期望，数学期望简称____．它反映了离散型随机变量取值的________． (2)方差 称D(X )＝为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X的取值与其均值E(X )的________，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X )． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 均值 期望 平均水平 偏离程度 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 5．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝__________．(a，b为常数) (2)D(aX＋b)＝________．(a，b为常数) [常用结论] 1．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)． 2．均值与方差的关系：D(X )＝E(X2)－(E(X ))2． aE(X )＋b a2D(X ) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1． (　　) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． (　　) (3)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究． (　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小． (　　) × √ √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 二、教材经典衍生 1．(人教A版选择性必修第三册P60练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是(　　) A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚1点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点 D　[第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5.故选D.] √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 2．(人教A版选择性必修第三册P60练习T3改编)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝________． 　[由题意可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝2a＋a＝1，解得a＝.] 3．(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)已知随机变量X的分布列为 若Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________． 　[E(X )＝－＝－，则E(Y )＝E(2X＋3)＝2E(X )＋3＝－＋3＝.] X －1 0 1 P 　 　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 4．已知离散型随机变量X的取值为有限个，E(X )＝，D(X )＝，则E(X2)＝________． 　[因为E(X )＝，D(X )＝， 由D(X )＝E(X2)－(E(X ))2， 得E(X2)＝D(X )＋(E(X ))2＝＝.] 　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 典例精研　核心考点 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 考点一　分布列的性质 [典例1]　(1)(多选)设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则(　　) A．a＝　B．P＝C．P＝　D．P(ξ＝1)＝ (2)设X是一个离散型随机变量，其分布列为 则q＝________． X －1 0 1 P 1－q q－q2 √ √ 　 (1)AB　(2)　[(1)∵随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)， ∴P＋P＋P＋P＋P(ξ＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，解得a＝，A正确； 易知P＝P＝3×＝，B正确； 易知P＝P＋P＝＋2×＝，C错误； 易知P(ξ＝1)＝5×＝，D错误． 故选AB. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 (2)由离散型随机变量分布列的性质得 解得q＝.] 名师点评　分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性． (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 [跟进训练] 1．(1)若随机变量X的分布列为 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　 B．[1，2] 　　 C．(1，2]　　 D．(1，2) (2)设随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10，若随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)＝________． √ X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 0.3　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 (1)C　(2)0.3　[(1)由随机变量X的分布列知，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，故当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]. (2)因为随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10，所以P(ξ＝i)＝(i＝1，2，3，…，10)，所以η＝2ξ－1等可能地取1，3，5，7，…，19，则P(η＝j)＝(j＝1，3，5，…，19)，所以P(η<6)＝P(η＝1)＋P(η＝3)＋P(η＝5)＝0.3．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 【教师备选资源】 (1)离散型随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为(　　) A．　　B．　　　C．　　D． (2)设离散型随机变量X的分布列为 ①求2X＋1的分布列； ②求随机变量η＝|X－1|的分布列． X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 (1)D　[(1)因为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，所以＝1，即a＝，所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝.故选D.] (2)[解]　①由分布列的性质知， 0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3. 列表为 从而2X＋1的分布列为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 ②由①知m＝0.3，列表为 所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3， 故η＝|X－1|的分布列为 X 0 1 2 3 4 |X－1| 1 0 1 2 3 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 考点二　离散型随机变量的分布列及数字特征 [典例2]　(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望． [解]　(1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为P＝P(ABC)＋P() ＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2 ＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 (2)由题意可知， X 的可能取值为0，10，20，30，所以，P(X＝0)＝0.5×0.4× 0.8＝0.16， P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44， P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34， P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06 . 即X 的分布列为 期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13 . X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 名师点评　离散型随机变量分布列的求解步骤 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 [跟进训练] 2．(1)编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________． (2)(2024年1月九省联考卷)盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球． ①求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； ②记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)． 1　 1　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 (1)1　1　[ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ＝0)＝＝；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P(ξ＝1)＝＝； ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝＝.所以ξ的分布列为 E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1. D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1．] ξ 0 1 3 P 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 (2)[解]　①记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M， 先确定3个不同数字，有种方法， 然后每种小球各取1个，有种取法，所以P＝＝. ②由题意可知，X的可能取值为1，2，3， 当X＝1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球， 所以P(X＝1)＝＝； 当X＝2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球， 所以P(X＝2)＝＝； 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 当X＝3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球， 所以P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 所以E(X )＝1×＋2×＋3×＝. X 1 2 3 P 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 考点三　数字特征在决策中的应用 [典例3]　(2024·湖北武汉模拟)口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止． (1)记总的抽取次数为X，求E(X )； (2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球．采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y，求E(Y )并从实际意义解释E(Y )与(1)中的E(X )的大小关系． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 [解]　(1)X可能取值为4，5，6，7， P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝＝， 所以E(X )＝4×＋5×＋6×＋7×＝. (2)Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为Y1和Y2， P(Y＝4)＝P(Y1＝2)P(Y2＝2)＝＝， P(Y＝5)＝P(Y1＝2)P(Y2＝3)＋P(Y1＝3)P(Y2＝2)＝＝， P(Y＝6)＝P(Y1＝2)P(Y2＝4)＋P(Y1＝3)P(Y2＝3)＝＝， 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 P(Y＝7)＝P(Y1＝3)P(Y2＝4)＝＝， 所以E(Y )＝4×＋5×＋6×＋7×＝6． 在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其他球，则该球的干扰作用已经消失，所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低． 名师点评　利用均值、方差进行决策的方法 随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 [跟进训练] 3．(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 [解]　(1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X )＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100， P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列为 则E(Y )＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为E(Y )＞E(X )， 所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题． Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 【教师备选资源】 2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场，则专业队获胜；若甲连续输两场，则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中<p<. (1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？ (2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了(1)中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望E(X)的取值范围． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 [解]　(1)第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为 P1＝×p＋×p×＝p； 第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为 P2＝p×＋(1－p)××p＝－p2＋p， 因为<p<，所以P1－P2＝p2－p ＝p>0，所以P1>P2. 所以业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 (2)由已知X＝4.5万元或X＝3.6万元．由(1)知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛．此时，业余队获胜的概率为P1＝p，专业队获胜的概率为P3＝×(1－p)＋×(1－p)×＝p，所以非平局的概率为P(X＝4.5)＝P1＋P3＝p，平局的概率为P(X＝3.6)＝1－P1－P3＝p.X的分布列为 X的数学期望为E(X )＝4.5×＋3.6×＝(4.4－0.3p)(万元)， 而<p<，所以E(X )的取值范围为(4.25，4.3)(单位：万元)． X 4.5 3.6 P(X) p p 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 $$