第9章 第3课时 随机事件与概率-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第九章　 计数原理、概率、随机变量及其分布 第3课时　随机事件与概率 链接教材　夯基固本 第3课时　随机事件与概率 1．样本空间与样本点 (1)样本点：随机试验E的每个可能的________称为样本点，常用ω表示． (2)样本空间：__________的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． 基本结果 全体样本点 2．随机事件、必然事件与不可能事件 (1)随机事件：________________称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生． (2)随机事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件∅(不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点)． 样本空间Ω的子集 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 3．两个事件的关系和运算   含义 符号表示 包含关系 A发生导致B发生 _____ 相等关系 B⊇A且A⊇B ______ 并事件(和事件) A与B至少一个发生 _____________ 交事件(积事件) A与B同时发生 ___________ 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 _________ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 __________，_________ A⊆B A＝B A∪B或A＋B A∩B或AB A∩B＝∅ A∩B＝∅ A∪B＝Ω 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 4．古典概型的特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有______； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性____． 5．古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 有限个 相等 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 6．概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝______________． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝_________． 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：(一般概率加法公式)设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝______________________． P(A)＋P(B) 1－P(B) P(A)＋P(B)－P(A∩B) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 7．频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐______事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A)． (3)频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 稳定于 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)必然事件一定发生． (　　) (2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生． (　　) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． (　　) (4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件． (　　) √ √ √ × 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第二册P235练习T1改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是(　　) A．至少有一次中靶　　 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 　 D．两次都不中靶 B　[“至多有一次中靶”的对立事件是“两次都中靶”．] 2．(人教A版必修第二册P238例9改编)袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为(　　) A．　　B．　　　C．　　D． B　[P＝＝.] √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 3．(人教A版必修第二册P247习题10.1T13改编)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为(　　) A．0.9 　 B．0.3 C．0.6 　 D．0.4 D　[设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A，则事件A的对立事件是“该射手在一次射击中不小于8环”． ∵事件包括射中10环，9环，8环，这三个事件是互斥的， ∴P()＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6， ∴P(A)＝1－P()＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4．] √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 4．(人教A版必修第二册P245练习T1改编)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2. (1)如果B⊆A，则P(A∪B)＝__________，P(AB)＝__________； (2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝__________， P(AB)＝__________． (1)0.4　0.2　(2)0.6　0　[(1)因为B⊆A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB) ＝P(B)＝0.2. (2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6，P(AB)＝P(∅)＝0．] 0.4　 0.2　 0.6　 0　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 典例精研　核心考点 第3课时　随机事件与概率 考点一　随机事件与样本空间 [典例1]　(1) 同时投掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是(　　) A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6 (2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是(　　) A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少有一个红球；都是白球 D．至多有一个红球；都是红球 √ √ (1)D　(2)B　[(1)事件A包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个样本点．故选D. (2)对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．故选B.] 名师点评　1．求样本空间中样本点个数的方法： (1)列举法；(2)树状图法；(3)排列组合法. 2．互斥事件与对立事件的关系 对立事件是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．对立事件是互斥事件的充分不必要条件． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 [跟进训练] 1．(1)掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则(　　) A．A∪B表示向上的点数是1或3或5 B．A＝B C．A∪B表示向上的点数是1或3 D．A∩B表示向上的点数是1或5 (2)已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率是，且P(A)＝3P(B)，则P()＝________． √ 　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 (1)A　(2)　[(1)设A＝{1，3}，B＝{1，5}， 则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，5}， ∴A≠B，A∩B表示向上的点数是1，A∪B表示向上的点数为1或3或5.故选A. (2)由题意事件A与B互斥，它们都不发生的概率是，则P(A)＋P(B)＝1－＝，结合P(A)＝3P(B)， 可得4P(B)＝，即P(B)＝，可得P(A)＝， 故P()＝1－P(A)＝.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 考点二　随机事件的频率与概率 [典例2]　某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示． 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率． 一次购 物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件及 以上 顾客数/人 x 30 25 y 10 结算时间/(min/人) 1 1.5 2 2.5 3 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 [解]　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．则顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)． (2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，则可估计概率约为 P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝. 因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， 所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＝， 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率约为. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 名师点评　计算简单随机事件的频率或概率的步骤 提醒：互斥事件的概率加法公式的适用条件是事件必须是互斥事件．重视利用对立事件的概率和等于1，用间接法求概率． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 [跟进训练] 2．某座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：mm)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160. (1)完成近20年六月份降雨量频率分布表； (2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率． 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率       链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 [解]　(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为 (2)由已知可得Y＝＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210) ＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220) ＝＝. 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 考点三　古典概型 [典例3]　有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据： 其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品． (1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率； (2)从这些一等品中，随机抽取2个零件． ①用零件的编号列出样本空间； ②求这2个零件直径相等的概率． 编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 [解]　(1)由题表知一等品共有6个，设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A，则P(A)＝＝. (2)①一等品的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6个一等品中随机抽取2个，样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15个样本点． ②将“从一等品中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件B，则B包含的样本点有(A1，A4)，(A1，A6)，(A4，A6)，(A2，A3)，(A2，A5)，(A3，A5)，共6个，∴P(B)＝＝. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 名师点评　利用公式法求解古典概型问题的步骤 提醒：若样本点个数不多，要列出样本空间，若样本点个数多，用排列组合方法求． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 [跟进训练] 3．(1)(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　) A． 　　　B． 　　C． 　　　D． (2)(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A． 　　　B． 　　C． 　　　D． √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 (1)A　(2)D　[(1)设6个主题分别 为A，B，C，D，E，F，甲、乙 两位同学所选主题的所有可能情 况如表： 共36种情况．其中甲、乙两位同 学抽到不同主题的情况有30种， 故抽到不同主题的概率为＝. 故选A. (2)从2至8的7个整数中随机取2 个不同的数，共有＝21(种)不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，故所求概率P＝＝.故选D.] 乙 甲 A B C D E F A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) (A，E) (A，F) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) (B，E) (B，F) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) (C，E) (C，F) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) (D，E) (D，F) E (E，A) (E，B) (E，C) (E，D) (E，E) (E，F) F (F，A) (F，B) (F，C) (F，D) (F，E) (F，F) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　随机事件与概率 $$