第7章 高考研究在线7 从“一题多解”“一题多变”角度探究立体几何-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第七章　 立体几何与空间向量 高考研究在线7 从“一题多解”“一题多变”角度探究立体几何 2022年新高考Ⅰ卷第19题的命制思路并没有同往年一样，(1)问位置关系的证明为(2)问的建系求解做好铺垫，而是把推理融在计算之中，深度考查同学们对立体几何图形的直观想象、逻辑推理和数学运算素养，下面我们对这道高考真题以一题多解、一题多变、回归教材的思路来领悟高考题的命制与求解． 高考研究在线7　从“一题多解”“一题多变”角度探究立体几何 【真题示例·领悟高考】 (2022·新高考Ⅰ卷)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2 . (1)求A到平面A1BC的距离； (2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值． 高考研究在线7　从“一题多解”“一题多变”角度探究立体几何 【真题溯源·大题拆解】本题是以直三棱柱为载体的立体几何模型，倘若同学们对教材比较熟知，不难发现，该高考题的原图源于人教A版数学必修第二册2019年6月第1版第164页19题(如下)，将19题与人教A版数学必修第二册2019年6月第1版第161页例10(如下)融合在一起，便形成了2022年新高考Ⅰ卷第19题． [教材题19]　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°， AA1＝AB，求证A1C⊥AB1. [教材例10]　如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC， 求证：BC⊥平面PAB. 倘若同学们能这样拆解问题，学会分析问题，相信2022年新高考 Ⅰ卷第19题第(2)问的求解已不算太难． 高考研究在线7　从“一题多解”“一题多变”角度探究立体几何 【一题多解·撬动思维】 【赏析】(1)设A到平面A1BC的距离为h，因为＝＝4，则＝×h×2＝A1A·S△ABC＝＝，解得h＝. 即A到平面A1BC的距离为. (2)法一：(坐标法)取A1B的中点E，连接AE，如图，因为AA1＝AB，所以AE⊥A1B，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，且AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC，所以AE＝h＝.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面ABC，可得AE⊥BC，BB1⊥BC.又AE，BB1⊂平面ABB1A1且相交，所以BC⊥平面ABB1A1， 所以BC，BA，BB1两两垂直．以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 因为AE＝，所以AA1＝AB＝2，A1B＝2，所以BC＝2， 则A(0，2，0)，A1(0，2，2)，B(0，0，0)，C(2，0，0)，所以A1C的中点 D(1，1，1)，则＝(1，1，1)，＝(0，2，0)，＝(2，0，0)． 高考研究在线7　从“一题多解”“一题多变”角度探究立体几何 设平面ABD的法向量m＝(x，y，z)，则 可取m＝(1，0，－1)为平面ABD的一个法向量， 设平面BDC的法向量n＝(a，b，c)，则 可取n＝(0，1，－1)为平面BDC的一个法向量， 则cos 〈m，n〉＝＝＝， 所以二面角A-BD-C的正弦值为＝. 高考研究在线7　从“一题多解”“一题多变”角度探究立体几何 法二：(几何法) 因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1是正方形，故AB1⊥A1B， 因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，且平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AB1⊂平面ABB1A1，所以AB1⊥平面A1BC. 设AB1∩A1B＝E，如图，过点E作EF⊥BD，垂足为点F，连接AF，根据三垂线定理可知AF⊥BD，则∠AFE即为二面角A-BD-C的平面角的补角． 因为AE＝，AA1＝AB，所以AB＝BC＝AA1＝2，AC＝2， A1C＝2，AD＝BD＝CD＝. 根据等面积法得S△ABD＝×2×＝＝·AF，解得AF＝. 所以sin ∠AFE＝＝＝，所以二面角A-BD-C的正弦值为. 高考研究在线7　从“一题多解”“一题多变”角度探究立体几何 法三：(射影面积法) 由法二知△EBD是△ABD在平面A1BC内的射影． 设二面角A-BD-A1的平面角为θ，它与二面角A-BD-C的平面角互补． 因为S△ABD＝×2×＝，S△EBD＝＝＝×2×2＝，所以cos θ＝＝，于是sin θ＝. 因此，二面角A-BD-C的正弦值为. 高考研究在线7　从“一题多解”“一题多变”角度探究立体几何 法四：(补体法) 结合题意，由法一、法二知AB＝BC＝AA1，BC⊥AB1，则构造正方体如图所示，则∠AB1C＝60. 由法二知，AB1⊥平面A1BC，B1C⊥平面ABD， 所以二面角A-BD-C的平面角大小为120°. 所以二面角A-BD-C的正弦值为. 以上四种解法，在计算量、思维量上有较大差别．法一是常规向量坐标运算，计算量大；法二、法三都是纯几何法，通过直观想象感知空间中的线面角、二面角的作图方法，减少计算量，提高抽象思维；法四跳出问题看本质，通过补体，直击问题本质，大道至简，一招妙解． 高考研究在线7　从“一题多解”“一题多变”角度探究立体几何 【变式研究·触类旁通】 1．条件不变，变结论：(1)求C到平面ABD的距离；(2)求二面角A-BD-C的余弦值． 2．结论不变，变条件：把(2)问的条件“平面A1BC⊥平面ABB1A1”换成“BC＝2，且AC与平面A1BC所成的角为30°”，再求二面角A-BD-C的正弦值． 以上变式的解答略，感兴趣的同学自己思考求解． 高考研究在线7　从“一题多解”“一题多变”角度探究立体几何 $$