第7章 第4课时 空间直线、平面的平行-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第七章　 立体几何与空间向量 第4课时　空间直线、平面的平行 链接教材　夯基固本 第4课时　空间直线、平面的平行 1．线面平行的判定定理和性质定理   文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果平面外一条直线与________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)   ⇒l∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面____，那么该直线与____平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)   ⇒l∥b 此平面内 相交 交线 2．面面平行的判定定理和性质定理   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)   ⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面____，那么两条____平行   ⇒a∥b 相交直线 相交 交线 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 [常用结论] 1．平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β ，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 2．与平行关系有关的性质 (1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (3)同一条直线与两个平行平面所成的角相等． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线． (　　) (2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (　　) (3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面． (　　) (4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α． (　　) × √ × × 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第二册P142练习T2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是(　　) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D　[若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C.故选D.] √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 2．(人教A版必修第二册P139练习T3改编)下列命题中正确的是(　　) A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α D　[A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交．] 3．(人教A版必修第二册P170复习参考题8T7改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______________． 平行四边形　[∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF， 平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形．] √ 平行四边形　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 4．(人教A版必修第二册P134例1改编)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件____________时，四边形EFGH为菱形； (2)当AC，BD满足条件_____________________时，四边形EFGH为正方形． (1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD　[(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD. (2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.] AC＝BD　 AC＝BD且AC⊥BD　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 典例精研　核心考点 第4课时　空间直线、平面的平行 考点一　直线与平面平行的判定与性质 考向1　直线与平面平行的判定 [典例1]　如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别为 AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE. [四字解题] 读 想 算 思 四边形ABCD是平行四边形，E，F分别为AB，PD的中点 线面平行的证明方法 线线平行 取PC的中点M，证明AF∥EM 转化、化归 面面平行 取CD的中点G，证明平面AFG∥平面PCE [证明]　法一(应用线面平行的判定定理)：如图，设M为PC的中点，连接EM，MF. ∵E是AB的中点， ∴AE∥CD，且AE＝CD， 又∵MF∥CD，且MF＝CD， ∴AE綉FM，∴四边形AEMF是平行四边形， ∴AF∥EM. 又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE， ∴AF∥平面PCE. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 法二(应用面面平行的性质定理)：如图，设G为CD的中点，连接FG，AG. ∵F，G分别为PD，CD的中点， ∴FG∥PC.又E为AB中点，四边形ABCD为平行四边形， ∴AE綉GC，∴四边形AECG为平行四边形，AG∥EC， 又FG⊄平面PCE，AG⊄平面PCE. PC⊂平面PCE，EC⊂平面PCE， ∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE. 又FG，AG⊂平面AFG，FG∩AG＝G， ∴平面AFG∥平面PCE.又AF⊂平面AFG， ∴AF∥平面PCE. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 考向2　线面平行性质定理的应用 [典例2]　如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上 的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG. 证明：FG∥平面AA1B1B. [证明]　在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D， 所以CC1∥平面BB1D. 又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG. 因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG. 而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B， 所以FG∥平面AA1B1B. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 名师点评　判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． (3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 提醒：应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 [跟进训练] 1．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 [解]　(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE. 因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形， 所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE. 又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE. (2)l∥m，证明如下： 由(1)知AM∥平面BDE， 又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l， 所以l∥AM， 同理，AM∥平面BDE. 又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m， 所以m∥AM，所以l∥m. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 考点二　平面与平面平行的判定与性质 [典例3]　如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分 别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. [证明]　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面． (2)∵在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 [拓展变式] 1．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值． [解]　如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1. 由平面BC1D∥平面AB1D1， 且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1， 平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O， 所以BC1∥D1O，则＝＝1. 又由题设＝，所以＝1，即＝1. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. [证明]　如图所示，连接A1C交AC1于点M， ∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD， ∵D为BC的中点，∴A1B∥DM. ∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1. 又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD， ∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1. 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1. 又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D， ∴平面A1BD1∥平面AC1D. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 名师点评　证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义． (2)利用面面平行的判定定理． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． (4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 [跟进训练] 2．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形． (1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1； (2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l. [证明]　(1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綉B1C1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1. (2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 【教师备选资源】 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点． (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF； (2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点． [证明]　(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1， ∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G， 又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG， ∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G， ∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G， 又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 (2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，由题意得平面A1C1G∩BC＝H，即平面A1C1G∩平面ABC＝GH， ∴A1C1∥GH，得GH∥AC， ∵G为AB的中点， ∴H为BC的中点． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 考点三　平行关系的综合应用 [典例4]　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行 四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点． (1)求证：平面MNQ∥平面PCD； (2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． [解]　(1)证明：∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，∴NQ∥CD，MQ∥PC. ∵NQ∩MQ＝Q，CD∩PC＝C，且NQ，MQ⊂平面MNQ，CD，PC⊂平面PCD， ∴平面MNQ∥平面PCD. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 (2)线段PD上存在一点E，使得MN∥平面ACE，且＝. 证明如下： 取PD的中点E，连接NE，CE，AE， ∵N，E，M分别是AP，PD，BC的中点，BC綉AD， ∴NE綉MC，∴四边形MCEN是平行四边形，∴MN∥CE. ∵MN⊄平面ACE，CE⊂平面ACE，∴MN∥平面ACE，且＝. 名师点评　三种平行关系的转化 线线平行 线面平行 面面平行 提醒：解答探索性问题的基本策略是先假设，再证明． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 [跟进训练] 3．如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？ 若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由． [解]　(1)证明：如图，取PA的中点H，连接EH，DH， 因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝AB， 又AB∥CD，CD＝AB，所以EH∥CD，EH＝CD， 因此四边形DCEH为平行四边形， 所以CE∥DH，又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，因此CE∥平面PAD. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 (2)存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF， 证明如下： 取AB的中点F，连接CF，EF， 则AF＝AB，因为CD＝AB，所以AF＝CD， 又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形， 因此CF∥AD. 又AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD， 所以CF∥平面PAD. 由(1)可知CE∥平面PAD， 又CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD， 故存在AB的中点F满足要求． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　空间直线、平面的平行 $$