第7章 第2课时 球的切、接与截面问题-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第七章　 立体几何与空间向量 第2课时　球的切、接与截面问题 典例精研　核心考点 第2课时　球的切、接与截面问题 考点一　简单几何体的外接球 考向1　柱体的外接球问题 [典例1]　(1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠BAC＝，AA1＝BC＝2，则球O的体积为(　　) A．4π　　 B．8π　 C．12π　　 D．20π (2)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________． √ 14π　 (1)A　(2)14π　[(1)在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圆的半径为r＝＝＝，则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径为R＝＝＝，则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的体积为πR3＝4π.故选A. (2)设外接球的半径为R，长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R＝＝，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.] 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 [拓展变式]　若将本例(1)的条件“∠BAC＝，AA1＝BC＝2”换为“AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12”，则球O的半径为________． 　[如图所示，过球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.         又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝.] 　 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 考向2　台体的外接球问题 [典例2]　(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π 　　　B．128π 　　C．144π 　　　D．192π √ A　[由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为×3＝3，×4＝4．设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A.] 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 考向3　锥体的外接球问题 [典例3]　(1)已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB＝，BC＝，AC＝2，则此三棱锥的外接球的体积为(　　) A．π 　　　B．π 　　　C．π 　　　D．π (2)(2021·天津高考)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为(　　) A．3π 　　　B．4π 　　　C．9π 　　　D．12π (3)(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________． √ √ 2　 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 (1)B　(2)B　(3)2　[(1)∵AB＝，BC＝，AC＝2， ∴PA＝1，PC＝，PB＝2. 以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图所示，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC的外接球． ∵长方体的体对角线长为＝2， ∴球的直径为2，半径R＝， ∴三棱锥P-ABC外接球的体积是πR3＝π×()3＝π.故选B. 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 (2)如图，设球O的半径为R，由题意＝，可得R＝2，则球O的直径为4.   ∵两个圆锥的高之比为1∶3， ∴AO1＝1，BO1＝3， 由直角三角形中的射影定理可得：r2＝1×3，即r＝. ∴这两个圆锥的体积之和为V＝π×()2×(1＋3)＝4π.故选B. 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 (3)法一：如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝×3＝. 将三棱锥S-ABC补形为正三棱柱SB1C1-ABC，由题意知SA为侧棱，设球心为O，连接OO1，OA，则OO1⊥平面ABC，且OO1＝SA. 又球的半径R＝OA＝2，OA2＝＋O1A2，所以4＝SA2＋3，得SA＝2. 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 法二：如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝×3＝. 设三棱锥S-ABC的外接球球心为O，连接OO1，则OO1⊥平面ABC.又SA⊥平面ABC，所以OO1∥SA，连接OS，OA，由题意知OS＝OA＝2．过O作SA的垂线，设垂足为H，则四边形AO1OH为矩形，所以OO1＝AH，由OS＝OA可知H为SA的中点，则OO1＝AH＝SA.所以在Rt△OO1A中，由勾股定理可得OA2＝＋O1A2，即4＝SA2＋3，得SA＝2．] 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 [拓展变式]　若将本例(1)的条件改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥的各顶点都在以O为球心的球面上”，则其外接球的半径为________． 3　[依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3＝6，高为＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3．] 3　 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 名师点评　求解外接球问题的方法 (1)解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置． (2)对于特殊的多面体还可通过补成正方体或长方体、直棱柱的方法找到球心的位置． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 [跟进训练] 1．(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　) A． 　　　B．16π 　　C．9π 　　　D． (2)(2023·江苏盐城一模)三星堆古遗址作为“长江文明之源”，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现．假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12 cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为(　　) A．72π cm2 　B．162π cm2　　C．216π cm2 　D．288π cm2 (3)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________． √ √ 61π　 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 (1)A　(2)C　(3)61π　[(1)如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P-ABCD中AB＝2，∴AO′＝.∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中， AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝， ∴该球的表面积为4πR2＝4π×＝，故选A. (2)不妨设正方体的棱长为2a，球O的半径为R，则圆柱的底面半径为a，因为正方体的体对角线即为球O直径，故2R＝2a，利用勾股定理得：62＋a2＝R2＝3a2，解得a2＝18，球的表面积为S＝4πR2＝4π×3×18＝216π(cm2)．故选C. (3)如图所示，下底面半径为5，球的直径为10. 则球心在下底面上，OC＝OB＝5，O′C＝4，∠OO′C＝， 则圆台的高为3，V＝h(S1＋＋S2)＝25π＋16π＋20π＝61π.] 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 考点二　简单几何体的内切球 [典例4]　(1)(2023·河北邢台一模)已知圆台的上、下底面圆的半径之比为，侧面积为9π，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为(　　) A．3π 　 B．5π C．8π 　 D．9π (2)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． √ π　 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 (1)C　(2)π　[(1)设圆台的上底面圆半径为r，则下底面圆半径为2r，母线长为l，如图所示，作出圆台与球的轴截面． 由于球O与圆台的上、下底面及母线均相切， 故l＝AD＝AH＋DG＝r＋2r＝3r. 根据圆台的侧面积公式S＝(πr＋2πr)l＝9π，可得r＝1， 所以球的直径为HG＝2，即半径为，则球的表面积为4π×()2＝8π.故选C. 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 (2)法一：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC.在Rt△BCD中，CD＝＝2.易知BE＝BD＝1，则CE＝2．设圆锥的内切球半径为R，则OC＝2－R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即(2－R)2－R2＝4，所以R＝，圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π. 法二：如图，记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝＝2，则S△ABC＝2.设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝＝，所以圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π.] 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 名师点评　“切”的问题处理规律 (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决． (2)体积分割是求内切球半径的通用方法． (3)正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长)． (4)等体积法求内切球半径． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 [跟进训练] 2．(1)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　) A．4π 　B． 　　C．6π 　 D． (2)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________． (1)B　(2)　[(1)要使球的体积最大，必须使球的半径最大．设球的半径为R，∵△ABC的内切圆半径为＝2，∴R≤2，由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的直径取得最大值为3，∴R＝，∴Vmax＝π＝π.故选B. (2)设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4××a2＝a2，其内切球半径为正四面体高的，即r＝a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.] √ 　 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 考点三　与球有关的截面问题 [典例5]　(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　　) A． 　 B． C．1 　 D． C　[由等边三角形ABC的面积为，得×AB2＝，得AB＝3，则△ABC的外接圆半径r＝AB＝AB＝.设球的半径为R，由球的表面积为16π，得4πR2＝16π，得R＝2，则球心O到平面ABC的距离d＝＝1，故选C.] √ 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 名师点评　巧用直角三角形解决截面圆问题的步骤 (1)确定球心O和截面圆的圆心O′. (2)探求球的半径R和截面圆的半径r. (3)利用OO′2＋r2＝R2计算相关量． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 [跟进训练] 3．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高是8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　) A． cm3 　 B． cm3 C． cm3 　 D． cm3 A　[设球心为O，半径为R cm，正方体上底面中心为A，上底面一边的中点为B(图略)，在Rt△OAB中，OA＝R－2，AB＝4，OB＝R，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，∴V球＝πR3＝(cm3)．故选A.] √ 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 微点突破4　简单几何体外接球球心的确定方法 简单几何体的外接球与内切球问题是立体几何的重点，也是历年高考考查的一个热点，研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何关系与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用． √ 一、定义法确定球心 [典例1]　已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则四面体P-ABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为(　　) A．π　　B．π　　C．2π　　D． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 [赏析]　突破点1：发现垂直关系，如下①②处 如图，取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得， 又因为AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB，所以. 在Rt△PBC中，OB＝PC， 同理OA＝PC， 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 名师点评　到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可． 突破点2：得出四点共圆 所以OA＝OB＝OC＝PC，因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上， 在Rt△ABC中，AC＝＝.在Rt△PAC中，PC＝＝， 球O的半径R＝PC＝，所以球的体积为π×＝. 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 [跟进训练] 1．(2023·广东茂名一模)已知菱形ABCD的各边长为2，∠B＝60°.将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P-ACD，如图所示，当三棱锥P-ACD的表面积最大时，三棱锥P-ACD的外接球体积为(　　) A．π　　B．π　　C．2π　　D．π √ 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 D　[由题意可得：△ACD，△ACP均为边长为2的等边三角形，△PAD，△PCD为全等的等腰三角形，则三棱锥P-ACD的表面积S＝2S△ACD＋2S△PCD＝2××2×2×＋2××2×2×sin ∠PCD＝2＋4sin ∠PCD≤2＋4， 当且仅当sin ∠PCD＝1，即PC⊥CD时，三棱锥P-ACD的表面积取最大值， 此时△PAD，△PCD为直角三角形，PD＝＝2， 取PD的中点O，连接OA，OC，由直角三角形的性质可得： OA＝OC＝OD＝OP＝， 即三棱锥P-ACD的外接球的球心为O，半径为R＝，故三 棱锥P-ACD的外接球体积为V＝π×()3＝π. 故选D.] 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 二、交轨法确定球心 [典例2]　已知△ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________． [赏析]　突破点1：找过△ABC外接圆圆心的垂线 如图所示，设M为BC的中点，在平面PBC内过点M作MN⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABC，所以MN⊥平面ABC. 10π 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 突破点2：寻找△PBC的外心，交轨法得球心 又△ABC是以BC为斜边的直角三角形，所以直线MN上任意一点到A，B，C的距离相等．在平面PBC内作线段PB的垂直平分线DE，设DE与MN的交点为O，则点O到P，A，B，C的距离都相等，即点O为三棱锥P-ABC外接球的球心，并且O也是△PBC的外心．因此三棱锥P-ABC外接球的半径与△PBC的外接圆半径相等．又PB＝2，BC＝3，PC＝，所以cos ∠PBC＝＝，则sin ∠PBC＝.设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，则2R＝＝，即R＝，则外接球的表面积S＝4πR2＝10π. 名师点评　分别过几何体的两个相交平面的外接圆的圆心作各自所在平面的垂线，垂线的交点就是球心． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 [跟进训练] 2．已知A，B是球O的球面上两点，AB＝2，过AB作互相垂直的两个平面截球得到圆O1和圆O2，若∠AO1B＝90°，∠AO2B＝60°，则球O的表面积为(　　) A．5π 　　　B．10π 　　　C．15π 　　　D．20π D　[取AB的中点M，连接O1M，O2M，OM，因为圆O1所在平面与圆O2所在平面垂直，所以O1M∥OO2，且O1M＝OO2，O2M∥OO1，且O2M＝OO1，所以四边形OO1MO2是矩形．因为AB＝2，∠AO2B＝60°，∠AO1B＝90°，△ABO2是正三角形，所以O2M＝，O1M＝1，所以OM＝＝2，所以球O的半径为＝＝，所以球O的表面积为4π×()2＝20π.] √ 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　球的切、接与截面问题 $$