第5章 高考研究在线5 平面向量与三角形“四心”的交汇问题-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第五章　 平面向量、复数 高考研究在线5　 平面向量与三角形“四心”的交汇问题 三角形的“四心”(外心、内心、重心、垂心)各自有一些特殊的性质，在高考中常以向量作为载体，对三角形的“四心”进行考查．这就要求我们不仅要熟悉三角形“四心”的概念，还要掌握三角形“四心”的向量形式． 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 1．三角形“四心”的概念： (1)重心－－三角形的三条中线的交点； (2)垂心－－三角形的三条高线的交点； (3)内心－－三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)； (4)外心－－三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． 2．三角形的“四心”的向量形式： 设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 (1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝. (2)O为△ABC的重心⇔＝0. (3)O为△ABC的垂心⇔＝＝. (4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0. 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 命题点一　“四心”的判断 [典例1]　若三个不共线的向量满足＝＝＝0，则点O为△ABC的(　　) A．内心　　B．外心　　C．重心　　D．垂心 √ A　[由题意知与＝(E在∠BAC的邻补角的平分线上)垂直，所以点O在∠BAC的平分线上．同理，点O在∠ABC的平分线上，故点O为△ABC的内心．] 名师点评　熟知三角形“四心”各自的特征是求解此类问题的关键．如：重心将中线长度分成2∶1；垂线与对应边的向量的数量积为0；角平分线上的任意一点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等． 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 [跟进训练] 1．已知点O为△ABC所在平面内一点，在△ABC中，满足2＝||2，2＝||2，则点O为△ABC的(　　) A．内心 　 B．外心 C．垂心 　 D．重心 √ B　[根据题意，2＝||2，即2＝2||||cos 〈〉＝||2，所以||·cos 〈〉＝||，则向量在向量上的投影向量的长度为||的一半，所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，所以点O为△ABC的外心．故选B.] 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 命题点二　与“四心”有关的计算 角度1　外心 [典例2]　(1)在△ABC中，O是三角形的外心，过点B作BG⊥AO于点G，AB＝4，则＝(　　) A．4 　B．8 C．12 　D．16 (2)在△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝3．若O是△ABC的外心，且＝p＋q，则p＝________，q＝________． √ 　 (1)B　(2)　[(1)如图，·＝·()＝· ·.因为BG⊥AO，即·＝0，所以·＝·. 又因为O是三角形的外心，所以||cos ∠BAO＝||，所以·＝·＝||||cos ∠BAO＝||2＝×16＝8.故选B. 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 (2)∵＝，∴＝()2，即＝＋－2·，∴10＝4＋9－2·，∴·＝. 如图，设AB的中点为D，AC的中点为E，∵＝p＋q， ∴ ∵·＝||·||·cos ∠BAO＝||·||＝2，·＝||·||·cos ∠CAO＝||·||＝， ∴解得p＝，q＝.] 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 角度2　重心 [典例3]　已知△ABC的重心为O，且AB＝4，BC＝6，AC＝8，则·＝(　　) A．－ 　　　B． 　　　C． 　　　D．16 √ B　[如图所示，设D为边AC的中点，则＝)． 根据重心的性质可得＝＝ ()＝)， 则·＝)·＝)·()＝ －)＝(36－16)＝. 故选B.] 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 角度3　垂心 [典例4]　已知H为△ABC的垂心，AB＝4，AC＝6，M为边BC的中点，则·＝(　　) A．20 　　　B．10 　　　C．－20 　　　D．－10 B　[由题意可知＝)，＝·＝0，·＝()·＝··＝)·()＝－)＝(62－42)＝10.故选B.] √ 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 角度4　内心 [典例5]　在△ABC中，若||＝2，||＝3，||＝4，O为△ABC的内心，且＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． C　[∵O为△ABC的内心，∴O为△ABC的内角角平分线的交点． 令AB＝c，AC＝b，BC＝a，则有a＋b＋c＝0，∴a＋b()＋c()＝0，∴(a＋b＋c)＝(b＋c)＋c，∴＝，∴λ＋μ＝＝＝.故选C.] 名师点评　求解此类问题的关键是结合三角形的特点，运用“四心”的向量表达式及其相关性质． √ 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 [跟进训练] 2．(1)在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　) A． 　　　B． 　　　C．4 　　　D．6 (2)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线．设点O，G，H分别为△ABC的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是(　　) A．＝ 　B．＝　C．＝ 　D．＝ (3)已知相异两点O，H分别为△ABC的外心与垂心，且＝m·()，则实数m＝________． √ √ 1　 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 (1)B　(2)D　(3)1　[(1)根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍． 在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则bc sin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝，∴S△BOC＝·a·r＝×7×＝.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝. (2)如图，∵O，G，H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，∴＝，∴＝＝，A错误，B错误； ＝＝＝)＝，C错误； ＝＝＝)＝，D正确．故选D. 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 (3)如图所示，∵＝＝m·()， ∴＝m()， ∴＝(m－1)＋m()， 取BC边的中点D，连接OD，则OD⊥BC， ∴＝2·＝0. 又AH⊥BC, ∴·＝0. ∴·＝(m－1)·＋2m·， ∴0＝(m－1)·，又·不恒为0， ∴m－1＝0，解得m＝1．] 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 【教师备选资源】 1．(多选)已知△ABC的重心为G，外心为O，内心为I，垂心为H，则下列说法正确的是(　　) A．若M是BC的中点，则AG∶GM＝2∶1 B．若||＝1，则·＝ C．与不共线 D．若||＝1，||＝2，∠BAC＝π，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝ √ √ √ 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 ABD　[对于A，如图①，连接CG交AB于D点，则点D是AB的中点，连接DM， 所以DM∥AC，所以DM＝AC，可得AG∶GM＝AC∶DM＝2∶1，故A正确； 对于B，如图②，取AB的中点N，连接AO，NO，因为点O为△ABC的外心， 所以NO⊥AB，所以||cos ∠NAO＝||，若||＝1，则||＝， 所以·＝||·||cos ∠NAO＝||·||＝，故B正确； 对于C，如图③，因为点H为垂心，所以⊥.因为·＝＝＝－||＋||＝0，所以⊥，又⊥，所以与共线，故C错误； 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 对于D，如图④，分别作IF⊥AB，IE⊥AC交AB，AC于F，E两点，连接AI并延长交BC于点P，可得∠BAP＝∠CAP＝，设内切圆半径为r，则||＝||＝r，所以||sin ∠BAP＝||＝r，·＝·(λ＋μ)＝λ·＋μ·，所以||·||·cos ＝||··cos ＝＝λ×12＋μ×2×＝λ－μ，即＝λ－μ①，·＝·＝λ·＋μ·，所以||·||cos ＝||··cos ＝＝λ×2×＋μ×22＝－λ＋4μ，即＝－λ＋4μ②，由①②可得λ＝，μ＝，在△ABC中由余弦定理可得||＝＝＝，因为S△ABC＝||·||sin ＝(||＋||＋||)r，可得r＝，所以λ＋μ＝＝r＝＝，故D正确．故选ABD.] 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 2．在平行四边形ABCD中，G为△BCD的重心，＝x＋y， 则x－2y＝________． －　[如图所示，设AC与BD相交于点O，由G为△BCD的重心，可得CG＝2GO，则＝＝＝＝＝，因为＝x＋y，所以x＝y＝，故x－2y＝－.] －　 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 3．已知点O是边长为的等边△ABC的内心，则·＝________． －1　[设D为BC边的中点(图略)，因为点O是边长为的等边△ABC的内心，所以两两夹角为120°，且||＝||＝||＝||＝＝. 所以·＝＋···＝2－2×－2×－2×＝－1．] －1　 高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题 $$