第5章 第1课时 平面向量的概念及线性运算-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第五章　 平面向量、复数 第1课时　平面向量的概念及线性运算 链接教材　夯基固本 第1课时　平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有____的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称__)． (2)零向量：长度为_的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于_______长度的向量． (4)平行向量(共线向量)：方向____或____的非零向量．规定：0与任意向量____． (5)相等向量：长度相等且方向____的向量． (6)相反向量：长度相等且方向____的向量． 方向 模 0 1个单位 相同 相反 平行 相同 相反 2．向量的线性运算 提醒：λ，μ为实数． 3．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使______． 提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一． 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法    三角形法则 平行四边形法则 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法   　几何意义 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λ a|＝|λ||a|； 当λ>0时，λa的方向与a的方向____； 当λ<0时，λa的方向与a的方向____； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 相同 相反 b＝λa 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 [常用结论] 1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔＝)． 2．若＝v＋μ(μ，v为常数)，O不在直线AB上，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1． 3．若G为△ABC的重心，则有 (1)＝0；(2)＝)． 4．对于任意两个向量a，b，都有 (1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式)； (2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关． (　　) (2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反． (　　) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c． (　　) (4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上． (　　) √ × × × 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第二册P10练习T4改编)下列各式化简结果正确的是(　　) A．＝　　　　 B．＝ C．＝0　　 D．＝ 2．(人教A版必修第二册P23习题6.2T13改编)设e是单位向量，＝3e，＝－3e，||＝3，则四边形ABCD是(　　) A．梯形　　　B．菱形　　　C．矩形　　　D．正方形 B　[∵＝3e，＝－3e， ∴＝－，∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵||＝3，∴四边形ABCD是菱形，故选B.] √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 3．(人教A版必修第二册P16例8改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________． 　[∵λa＋b与a＋2b共线，∴存在实数μ，使得λa＋b＝μ(a＋2b), ∴∴] 4．(人教A版必修第二册P23习题6.2T10(1)改编)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________． 8　2　[|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，当且仅当a，b同向时取等号，所以|a＋b|max＝8.又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，当且仅当a，b反向时取等号，所以|a＋b|min＝2．] 　 8　 2　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 典例精研　核心考点 第1课时　平面向量的概念及线性运算 考点一　平面向量的概念 [典例1]　(1)(2024·江苏南京模拟)下列说法正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．平行向量不一定是共线向量 C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| D．若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b (2)(多选)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论正确的是(　　) A．＝　　　　　　　B．与共线 C．与是相反向量　　　　D．＝|| √ √ √ √ (1)C　(2)ABC　[(1)对于A，单位向量的模都相等，方向不一定相同，故错误； 对于B，平行向量就是共线向量，故错误； 对于C，若a，b同向共线，|a＋b|＝|a|＋|b|， 若a，b反向共线，|a＋b|<|a|＋|b|， 若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及三角形中两边之和大于第三边，知|a＋b|<|a|＋|b|. 综上可知，对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故正确； 对于D，两个向量不能比较大小，故错误．故选C. (2)＝，故D错误，其余均正确．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 名师点评　向量有关概念的四个关注点 (1)平行向量就是共线向量，二者是等价的． (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量不可以比较大小，但向量的模可以比较大小． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)是与非零向量a同方向的单位向量． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 [跟进训练] 1．(2024·北京大兴模拟)设a，b是非零向量，“＝”是“a＝b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[由＝表示单位向量相等，得a，b同向，但不能确定它们的模是否相等，即不能推出a＝b，由a＝b表示a，b同向且模相等，则＝， 所以“＝”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B.] √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 【教师备选资源】 (2023·湖南雅礼中学一模)下列说法正确的是(　　) A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反 B．若a，b为非零向量，且＝，则a与b共线 C．若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λb D．若e1，e2是两个单位向量，且＝1，则＝ B　[对于A，当a＝0时，a与b的方向可以既不相同也不相反，所以该选项错误； 对于B，a，b为非零向量，表示与a方向相同的单位向量，表示与b方向相同的单位向量，因为＝，所以a与b共线，所以该选项正确； 对于C，当b＝0，a为非零向量时，λ不存在，所以该选项错误； 对于D，由＝1，得＝1，所以＝1，所以＝＝＝，所以该选项错误．故选B.] √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 考点二　平面向量的线性运算 考向1　向量的线性运算 [典例2]　(1)如图，O是▱ABCD两条对角线的交点，则下列等式成立的是(　　) A．＝　　 B．＝ C．＝ 　 D．＝ (2)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b 　 B．a＋b C．a－b 　 D．a－b √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 (1)D　(2)A　[(1)由向量减法的运算可得＝，又因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝.故选D. (2)法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于 点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝， 因为＝，所以＝＝，所以＝ ＝a＋b，故选A. 法二：＝＝＝)＝＝a＋b，故选A. 法三：由＝，得＝)，所以＝)＝＝a＋b，故选A.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 考向2　根据向量的线性运算求参数 [典例3]　(2024·山西大同模拟)在△ABC中，D为BC的中点，M为AD的中点，＝m＋n，则m＋n＝(　　) A．－　　B．　　C．1　　D．－1 √ A　[因为D是BC的中点，所以＝＝＝. 又因为M是AD的中点， 所以＝＝－)＝－， 又＝m＋n，所以m＝－，n＝， 所以m＋n＝－.故选A.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 名师点评　平面向量线性运算的求解策略 (1)共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用向量减法的几何意义，求首尾相连向量的和用三角形法则． (2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的线性运算将目标向量表示出来，再进行比较，求参数的值． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 [跟进训练] 2．(1)已知单位向量e1，e2，…，e2 024，则|e1＋e2＋…＋e2 024|的最大值是________，最小值是________． (2)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y＝____． 2 024　 0　 2　 (1)2 024　0　(2)2　[(1)当单位向量e1，e2，…，e2 024方向相同时， |e1＋e2＋…＋e2 024|取得最大值， |e1＋e2＋…＋e2 024|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 024|＝2 024； 当单位向量e1，e2，…，e2 024满足e1＋e2＋…＋e2 024＝0时，|e1＋e2＋…＋e2 024|的最小值为0. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 (2)由题意得＝＝， ＝＝， 因为＝x＋y， 所以＝， 所以解得所以x－y＝2．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 考点三　向量共线定理的应用 [典例4]　(1)已知＝a＋5b，＝－3a＋6b，＝4a－b，则(　　) A．A，B，D三点共线 　 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 　 D．A，C，D三点共线 (2)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与边AB，AC交于M，N两点，设＝x＝y，则的值为(　　) A．3 　B．4 　　C．5 　D．6 √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 (1)A　(2)A　[(1)由题意得＝＝a＋5b＝，又有公共点B，所以A，B，D三点共线．故选A. (2)延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点，∵G为△ABC的重心， ∴＝＝)＝)＝＝. ∵M，G，N三点共线，∴＝1，即＝3.故选A.] 名师点评　利用向量共线定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量是否共线的主要依据． (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔共线． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 [跟进训练] 3．(1)(2023·广东广州二模)在△ABC中，M是AC边上一点，且＝，N是BM上一点，若＝＋m，则实数m的值为(　　) A．－ 　　　B．－ 　　　C． 　 　　D． (2)设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积之比是(　　) A． 　　　 B． 　　　 C． 　　 　D． (1)D　(2)B　[(1)由＝，得＝3，由＝＋m，得＝＋m()＝－m＝－m，因为B，N，M三点共线，所以＋(－m)＝1，解得m＝.故选D. (2)∵＝2，∴P为边AC靠近A点的三等分点，∴△PAB与△PBC的面积之比为.] √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　平面向量的概念及线性运算 $$