第2章 高考培优1 指数式、对数式、幂式的大小比较-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

高考培优1　指数式、对数式、 幂式的大小比较 题型一 典例1　(1)D　(2)A　[(1)结合函数y＝5x，y＝lox，y＝lg x的图象易知0<a＝5－0.7<50＝1，b＝lo>lo＝1，c＝lg<lg 1＝0，所以b>a>c.故选D. (2)∵log51<log52<log5， ∴0<a<. ∵b＝＝log0.70.1>log0.70.7＝1， ∴b>1，∵0.71<0.70.3<0.70，∴0.7<c<1，∴a<c<b.故选A.] 跟进训练 1．(1)A　(2)B　[(1)∵<＝1，log23＝log2>log2>1， ∴a<b<c.故选A. (2)根据换底公式log32＝，log52＝. 因为log25>log23>1， 所以0<log52<log32<1， 故1<<<2. 又c＝＝21.1>21＝2， 所以b<a<c.故选B.] 题型二 典例2　A　[法一(特值法)：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225<log232＝5z，3y＝log3125<log3243＝5z，所以5z最大.取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29>3y.综上可得，3y<2x<5z.故选A. 法二(设元法)：设2x＝3y＝5z＝k，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，所以＝logk＝logk＝logk.又易知k>1，<<，所以logk<logk<logk，即0<<<，所以3y<2x<5z.故选A.] 跟进训练 2．ACD　[法一(特值法)：取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知，选项C正确；取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知<<，选项A正确；取x＝，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝，z＝<<，选项D正确. 法二(设元法)：设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，所以＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1．又易知k>0，若k＝1，则＝1，＝1，＝1，所以，所以选项C有可能正确；若0<k<1，则根据函数f (t)＝tk－1在(0，＋∞)上单调递减可得2k－1>3k－1>5k－1，所以<<，所以选项D有可能正确；若k>1，则根据函数f (t)＝tk－1在(0，＋∞)上单调递增可得2k－1<3k－1<5k－1，所以<<，所以选项A有可能正确.] 题型三 典例3　(1)D　(2)B　[(1)，∵6π>0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较. 设f (x)＝，则f '(x)＝，当x＝e时，f '(x)＝0，当x>e时，f '(x)<0，当0<x<e时，f '(x)>0，∴f (x)在(e，＋∞)上单调递减，∵e<3<π<4，∴>>，∴b>c>a，故选D. (2)令f (x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增.又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log2(2b)，所以f (a)<f (2b)，所以a<2b.故选B.] 跟进训练 3．(1)A　(2)B　[(1)由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－<2y－.设f (x)＝2x－，则f (x)<f (y).因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－在R上为增函数，所以f (x)＝2x－在R上为增函数，则由f (x)<f (y)，得x<y，所以y－x>0，所以y－x＋1>1，所以ln(y－x＋1)>0．故选A. (2)令f (x)＝x－，则f (x)在R上单调递增，由f (1)>0，f <0，则存在x∈，使得f (x)＝0，即x＝，而loy＝⇒y＝， ∵x<，∴x－y＝>0⇒x>y. x＝logxz⇒z＝xx>＝x. 综上：y<x<z.故选B.] 题型四 典例4　(1)D　(2)C　[(1)画出函数y＝，y＝ln x，y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示， 由图象可知x2<x1<x3. (2)因为x，y，z均为大于0的实数， 所以令2x＝3y＝log5z＝t>1，进而将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝log5x的图象与直线y＝t(t>1)的交点的横坐标x1，x2，x3的大小关系，故作出各函数图象，如图，由图可知x3>x1>x2，即z>x>y.故选C. ] 跟进训练 4．ABD　[作出y＝2x和y＝x2的图象，如图所示.由图象可得，当x∈时，2x>x2， 当x∈时，x2>2x， 1.92<21.9，22.9<2.92，故A，B正确. 令f ，则f ＝1＋，f >，故C错误. log74－log127＝log74－<<0，所以log74<log127，故D正确.故选ABD.] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　指数式、对数式、幂式的大小比较 题型一　临界值法比较大小 [典例1]　(1) 设a＝5-0.7，b＝，c＝lg ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c　　　　　 B．a＞c＞b C．b＞c＞a 　 D．b＞a＞c (2)已知a＝log52，b＝，c＝0.70.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<c<b 　 B．a<b<c C．b<c<a 　 D．c<a<b [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　临界值法比较大小的关键是寻找合适的中间值，如常考虑a，b，c与特殊数字“0”“1”“”的大小关系． [跟进训练] 1．(1)(2024·江苏如皋模拟)若a＝，b＝，c＝log23，则下列关系正确的是(　　) A．a＜b＜c 　 B．a＜c＜b C．b＜a＜c 　 D．b＜c＜a (2)已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c 　 B．b<a<c C．c<b<a 　 D．c<a<b 题型二　特值法、设元法比较大小 [典例2]　设x，y，z为正实数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．3y＜2x＜5z 　 B．2x＜3y＜5z C．3y＜5z＜2x 　 D．5z＜2x＜3y [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　本题利用特值法求解，显得简洁、明了；利用设元法求解，关键在于转化为比较的大小，其优点是便于运用对数函数的单调性． [跟进训练] 2．(多选)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则的大小关系可能是(　　) A．＜＜ 　 B．＜＜ C．＝＝ 　 D．＜＜ 题型三　构造函数法比较大小 [典例3]　(1)已知a＝3ln 2π，b＝2ln 3π，c＝3ln π2，则下列选项正确的是(　　) A．a＞b＞c 　 B．c＞a＞b C．c＞b＞a 　 D．b＞c＞a (2)(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a>2b 　 B．a<2b C．a>b2 　 D．a<b2 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　破解此类问题的关键是发现题眼、构造函数，如(1)的题眼是“对a，b，c同除以6π”，进而从中发现共性函数f (x)＝. [跟进训练] 3．(1)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　) A．ln (y－x＋1)＞0 　 B．ln (y－x＋1)＜0 C．ln |x－y|＞0 　 D．ln |x－y|＜0 (2)(2023·山东临沂一模)已知x＝y＝，x＝logxz，则(　　) A．x＜y＜z 　 B．y＜x＜z C．z＜x＜y 　 D．z＜y＜x 题型四　数形结合法比较大小 [典例4]　(1)设x1，x2，x3均为实数，且＝＝＝lg x3，则(　　) A．x1<x2<x3 　 B．x1<x3<x2 C．x2<x3<x1 　 D．x2<x1<x3 (2)已知x，y，z均为大于0的实数，且2x＝3y＝log5z，则x，y，z的大小关系正确的是(　　) A．x>y>z 　 B．x>z>y C．z>x>y 　 D．z>y>x [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　本例(1)(2)均属于方程根问题，求解的关键是等价转化为相应函数图象的交点问题，如本例(2)将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝log5x的图象与直线y＝t(t>1)的交点的横坐标的大小关系，再作出图象，数形结合求解即可． [跟进训练] 4．(多选)下列大小关系正确的是(　　) A．1.92<21.9 　 B．22.9<2.92 C．< 　 D．log74<log127 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$