第3章 第1课时 导数的概念及运算-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第三章 一元函数的导数及其应用 第1课时　导数的概念及运算 链接教材　夯基固本 第1课时　导数的概念及运算 1．导数的概念 (1)函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率称为y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作_______或y'，即f ′(x0)＝＝. (2)函数y＝f (x)的导函数(简称导数) f ′(x)＝y′＝. f ′(x0) 2．导数的几何意义 函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的____，相应的切线方程为_____________________． 提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 斜率 y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝_ f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝______ f (x)＝sin x f ′(x)＝_____ f (x)＝cos x f ′(x)＝_______ f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝______ f (x)＝ex f ′(x)＝__ f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝ f (x)＝ln x f ′(x)＝ 0 αxα-1 cos x －sin x axln a ex 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 4．导数的运算法则 若f ′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝___________； (2)[f (x)g(x)]′＝__________________； (3)′＝(g(x)≠0)； (4)[cf (x)]′＝_______． 5．复合函数的定义及其导数 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数． 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝_________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． f ′(x)±g′(x) f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x) cf ′(x) y′u·u′x 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 [常用结论] 几类重要的切线方程 (1)直线y＝x－1是曲线y＝ln x的切线，直线 y＝x是曲线y＝ln (x＋1)的切线，如图1. (2)直线y＝x＋1与直线y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2. (3)直线y＝x是曲线y＝sin x与y＝tan x的切线，如图3. (4)直线y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝x ln x 及y＝1－的切线，如图4. 由以上切线方程可得重要不等式， 如ln x≤x－1，x＋1≤ex等． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x0)是函数y＝f (x)在x＝x0附近的平均变化率． (　　) (2)求f ′(x0)时，可先求f (x0)，再求f ′(x0)． (　　) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． (　　) (4)函数f (x)＝sin (－x)的导数是f ′(x)＝cos x． (　　) × × × × 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 √ 二、教材经典衍生 1．(人教A版选择性必修第二册P59探究改编)某跳水运动员离开跳板后， 他的重心相对于水面的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(高度单位：m，时间单位：s)，则他在0.5 s时的瞬时速度为(　　) A．9.1 m/s　　　　 B．6.75 m/s C．3.1 m/s 　 D．2.75 m/s C　[∵h′(t)＝－9.8t＋8，∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.故选C.] 2．(多选)(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T1改编)下列求导正确的是(　　) A．(3x)′＝3x ln 3　　　　　　 B．(x2ln x)′＝2x ln x＋x C．′＝　　　 D．(sin xcos x)′＝cos 2x √ √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 √ 3．(人教A版选择性必修第二册P70练习T2改编)函数y＝f (x)的图象如图所示，f ′(x)是函数f (x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5) B．2f ′(3)<2f ′(5)<f (5)－f (3) C．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5) D．2f ′(5)<2f ′(3)<f (5)－f (3) A　[由题图知：f ′(3)<<f ′(5)， 即2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)．故选A.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f (x)＝ex＋的图象在x＝1处的切线方程为_______________． y＝(e－1)x＋2　[∵f ′(x)＝ex－，∴f ′(1)＝e－1，又f (1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f ′(1)＝e－1，切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2．] y＝(e－1)x＋2 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 典例精研　核心考点 第1课时　导数的概念及运算 考点一　变化率问题 [典例1]　(多选)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f (t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示． 则下列结论正确的是(　　) A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标 D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强 √ √ √ ABC　[－表示在[a，b]上割线斜率的相反数，－越大治理能力越强． 对于A，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数比乙企业大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确； 对于B，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确； 对于C，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确； 对于D，甲在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误．故选ABC.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 名师点评　函数的平均变化率和瞬时变化率的关系 平均变化率＝，如果当Δx趋于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数就是函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率．求函数的瞬时变化率可以利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 [跟进训练] 1．(多选)吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V)，r′为r(V)的导函数．已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示，若0≤V1<V2≤3，则下列结论正确的是(　　) A．< B．r′(1)>r′(2) C．r< D．存在V0∈(V1，V2)，使得r′(V0)＝ √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 BD　[对于A，设tan α＝，tan θ＝， 由图得α>θ，所以tan α>tan θ，所以>，所以该选项错误； 对于B，由题图得图象上点的切线的斜率越来越小， 根据导数的几何意义，得r′(1)>r′(2)，所以该选项正确； 对于C，设V1＝0，V2＝3，所以r＝r＝，因为r－r(0)>r(3)－r，所以r>，所以该选项错误； 对于D，表示A(V1，r(V1))，B(V2，r(V2))两点之间的斜率，r′(V0)表示C(V0，r(V0))处切线的斜率，由于V0∈(V1，V2)，所以可以平移直线AB使之和曲线相切，切点就是点C，所以该选项正确．故选BD.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 考点二　导数的运算 [典例2]　(1)(2023·重庆巴蜀中学一模)已知函数f (x)＝3x－2f ′(1)ln x，则f ′(1)＝(　　) A．ln 3　B．2　C．3 　D．3ln 3 (2)(多选)下列求导正确的是(　　) A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2 C．′＝ D．(2x＋cos x)′＝2x ln 2－sin x √ √ √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 (1)A　(2)ABD　[(1)∵f ′(x)＝3x ln 3－， ∴f ′(1)＝3ln 3－2f ′(1)，∴f ′(1)＝ln 3.故选A. (2)对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确； 对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确； 对于C，′＝＝，故C错误； 对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确．故选ABD.] 名师点评　导数的运算方法 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 [跟进训练] 2．(1)若函数f (x)，g(x)满足f (x)＋xg(x)＝x2－1，且f (1)＝1，则f ′(1)＋g′(1)＝(　　) A．1　　B．2 　　C．3　　D．4 (2)(2024·广东广州模拟)已知函数f (x)＝ln (2x－3)＋axe－x，若f ′(2)＝1，则a＝________． √ (1)C　(2)e2　[(1)∵f (1)＝1，∴f (1)＋g(1)＝0，∴g(1)＝－1，∵f (x)＋xg(x)＝x2－1， ∴f ′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x， ∴f ′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2， ∴f ′(1)＋g′(1)＝2－(－1)＝3. (2)因为f (x)＝ln (2x－3)＋axe－x， 所以f ′(x)＝＋ae－x－axe－x，所以f ′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2．] e2　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 考点三　导数的几何意义 考向1　求切线方程 [典例3]　(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x 　　B．y＝x　　C．y＝x＋ 　　D．y＝x＋ √ C　[因为y＝， 所以y′＝＝， 故曲线在点处的切线斜率k＝， 所以切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋.故选C.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 考向2　求参数的值(范围) [典例4]　(1)(2023·山东济南二模)已知直线y＝x－1与曲线y＝ex＋a相切，则实数a的值为(　　) A．－2　　 B．－1 C．0　　 D．2 (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________． √ (－∞，－4)∪(0，＋∞) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 (1)A　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞)　[(1)设切点为(x0，y0)，易知y′＝ex＋a，则 解得故选A. (2)∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex， 设切点为(x0，y0)，则y0＝，切线斜率k＝， ∴切线方程为＝(x－x0)， ∵切线过原点， ＝(－x0)， 整理得＋ax0－a＝0， ∵切线有两条， ∴Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0， ∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 名师点评　导数几何意义的应用要点 (1)已知切点A(x0，f (x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f ′(x0)． (2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．. 提醒：“在点P处的切线”与“过点P的切线”不同． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 [跟进训练] 3．(1)若过点(a，b)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则(　　) A．a＜ln b　　B．b＜ln a　　C．ln b＜a 　　D．ln a＜b (2)(2023·江苏南通八市联考)过点(－1，0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程__________________________． √ (1)D　(2)2x－y＋2＝0(或x＋4y＋1＝0)　[(1)设切点坐标为(x0，ln x0)，由于y′＝，因此切线方程为y－ln x0＝(x－x0)． 又切线过点(a，b)，则b－ln x0＝，即b＋1＝ln x0＋，则b＋1＝ln x0＋有两个不等实根， 设f (x)＝ln x＋，定义域是(0，＋∞)，即直线y＝b＋1与曲线f (x)＝ln x＋有两个不同的交点． f ′(x)＝＝，当a≤0时，f ′(x)＞0恒成立，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不合题意； 当a＞0时，若0＜x＜a，则f ′(x)＜0，f (x)单调递减，若x＞a，则f ′(x)＞0，f (x)单调递增． 所以f (x)min＝f (a)＝ln a＋1，由题意知b＋1＞ln a＋1，即b＞ln a．故选D. 2x－y＋2＝0(或x＋4y＋1＝0) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 (2)因为y＝x3－x，所以y′＝3x2－1， 设切点坐标为－x0)，则切线斜率为－1，得切线方程为－x0)＝－1)(x－x0)， 代入点(－1，0)，得－1＝0， 即(x0＋1)2(2x0－1)＝0，解得x0＝－1或x0＝. 当x0＝－1时，切线方程为2x－y＋2＝0；当x0＝时，切线方程为x＋4y＋1＝0．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 考点四　两曲线的公切线问题 [典例5]　(1)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是(　　) A．(0，2e]　　B．　　C． 　　D．[2e，＋∞) (2)(2024·四川泸州开学考试)若曲线y＝kx-1(k＜0)与曲线y＝ex有两条公切线，则k的值为________． √ (1)B　(2)－　[(1)设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为，其中x1＞0， 对于y＝ln x－1有y′＝，则y＝ln x－1的切线方程为y－(ln x1－1)＝(x－x1)， 即y＝＋ln x1－2， － 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 对于y＝ax2有y′＝2ax，则y＝ax2的切线方程为＝2ax2(x－x2)，即y＝，所以则＝ln x1－2，即＝ln x1(x1＞0)，令g(x)＝2x2－x2ln x，则g′(x)＝3x－2x ln x＝x(3－2ln x)，令g′(x)＝0，得x＝，当x∈(0，)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增； 当x∈(，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g()＝e3，故0＜e3，即ae-3.故选B. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 (2)令f (x)＝kx-1(k＜0)，g(x)＝ex，则f ′(x)＝－，g′(x)＝ex， 设A(x1，f (x1))，则曲线y＝f (x)在A处切线为y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)，即y＝x＋，设B(x2，g(x2))，则曲线y＝g(x)在B处切线为y－g(x2)＝g′(x2)(x－x2)， 即y＝， 由题意消去x1，得－4k＝. 由题意，方程－4k＝(1－x)2ex有两个不同的实数根， 令φ(x)＝(1－x)2ex，则φ′(x)＝(x2－1)ex＝(x－1)(x＋1)ex， 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 当x＜－1时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增； 当－1＜x＜1时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减； 当x＞1时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增， 故当x＝－1时，φ(x)取极大值，为φ(－1)＝； 当x＝1时，φ(x)取极小值，为φ(1)＝0， 又当x≠1时，φ(x)＞0，根据以上信息作出φ(x)的大致图象， 由图可知当－4k＝，即k＝－时，直线y＝－4k与φ(x)的图象有两个交点，从而方程－4k＝(1－x)2ex有两个不同的实数根， 所以曲线y＝kx-1(k＜0)与曲线y＝ex有两条公切线时，k的值为－.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 名师点评　曲线公切线的求解策略 设直线与曲线y＝f (x)切于(x1，f (x1))，与曲线y＝g(x)切于(x2，g(x2))，则切线方程为y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)，即y＝f ′(x1)x＋f (x1)－f ′(x1)x1，同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2. 所以解出x1，x2，从而可得切线方程． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 [跟进训练] 4．(1)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝___________． (2)已知f (x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是曲线y＝f (x)与曲线y＝g(x)的公切线，则直线l的方程为_________________． (1)1－ln 2　(2)y＝ex或y＝x＋1　[(1)设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln (x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln (x2＋1))，则切线方程分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，y－ln (x2＋1)＝·(x－x2)，化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln (x2＋1)，依题意， 解得x1＝，x2＝－，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2. 1－ln 2　 y＝ex或y＝x＋1 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 (2)设直线l与曲线f (x)＝ex的切点为，与曲线g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，ln x2＋2)． 因为f ′(x)＝ex，g′(x)＝，所以l：y＝，y＝·x＋ln x2＋1. 所以解得或 所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝ex.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 微点突破2　导函数与原函数的性质联系问题 1．导函数与原函数对称性的关系 性质1：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于直线x＝a对称⇔导函数f ′(x)的图象关于点(a，0)对称． 性质2：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于点(a，f (a))对称⇔导函数f ′(x)的图象关于直线x＝a对称．(证明略) 2．导函数与原函数奇偶性的关系 性质1：若f (x)为偶函数且可导，则f ′(x)为奇函数． 性质2：若f (x)为奇函数且可导，则f ′(x)为偶函数． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 [典例1]　已知定义在R上的函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，且f (2＋x)＝－f (2－x)，f ′(x)是f (x)的导数，则(　　) A．f ′(x)是奇函数，且是周期函数 B．f ′(x)是偶函数，且是周期函数 C．f ′(x)是奇函数，且不是周期函数 D．f ′(x)是偶函数，且不是周期函数 [赏析]　突破点1：熟知函数的性质 根据题意，定义在R上的函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，所以f (－x)＝f (2＋x)， 又f (2＋x)＝－f (2－x)，所以f (－x)＝－f (4＋x)， 所以f (x＋4)＝－f (x＋2)，即f (x＋2)＝－f (x)， 所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以f (x)是周期为4的周期函数， 所以f ′(x＋4)＝[f (x＋4)]′＝f ′(x)，所以f′(x)是周期函数． √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 突破点2：导函数与原函数的奇偶性关系 因为f (－x)＝f (2＋x)＝－f (x)， 即f (x)＝－f (－x)， 所以f ′(－x)＝－[f (－x)]′＝f ′(x)， 所以f ′(x)是偶函数． 故选B. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 [典例2]　(多选)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)．若 f 为偶函数，g为奇函数，则(　　) A．f ＝0　　B．g＝0　　C．g(1)＋g(2)＝0　　D．g＋g＝0 [赏析]　突破点：原函数与导函数间的性质关系 因为f 为偶函数，所以f ＝f ，所以f ＝f ， 所以f (x)的图象关于直线x＝对称，例如f (x)＝1，则函数f (x)满足条件，但f ＝1≠0，所以选项A错误； 因为g为奇函数，所以g＝－g，所以函数g(x)的图象关于点对称． √ √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 令x＝0，得g＝0，故选项B正确； 因为f (x)的图象关于直线x＝对称，所以f ＝f ，所以′＝′，即－f ′＝f ′， 所以f ′(1)＋f ′(2)＝0，所以g(1)＋g(2)＝0，故选项C正确； 所以f ′＋f ′＝0，所以g＋g＝0，故选项D正确． 故选BCD. 名师点评　求解此类问题的关键是熟知原函数与导函数间的性质关系，明确函数的奇偶性、对称性、周期性之间的内化条件，体会赋值法在解题中的应用． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 [跟进训练] (2023·江苏盐城中学三模)设函数f (x)的定义域为R，其导函数为f ′(x)，若f ′(－x)＝f ′(x)，f (2x)＋f (2－2x)＝3，则下列结论不一定正确的是(　　) A．f (1－x)＋f (1＋x)＝3 B．f ′(2－x)＝f ′(2＋x) C．f ′( f (1－x))＝f ′ ( f (1＋x)) D．f ( f ′(x＋2))＝f ( f ′(x)) √ C　[对于选项A，f (2x)＋f (2－2x)＝3，令x＝2x，得f (x)＋f (2－x)＝3，则函数 f (x)的图象关于点对称． 若f (1－x)＋f (1＋x)＝3，则函数f (x)的图象关于点对称，符合题意，故A正确； 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 对于选项B，由选项A的分析知f (x)＋f (2－x)＝3，等式两边同时求导，得f ′(x)－f ′(2－x)＝0，即f ′(x)＝f ′(2－x)①，又f ′(x)＝f ′(－x)，f ′(x)为偶函数，所以f ′(2－x)＝f ′(x－2)②，由①②得f ′(x)＝f ′(x－2)，所以函数f ′(x)的周期为2. 所以f ′(2－x)＝f ′(x)＝f ′(2＋x)，即f ′(2－x)＝f ′(2＋x)，故B正确； 对于选项C，由选项B的分析知f ′(2－x)＝f ′(2＋x)，则函数f ′(x)的图象关于直线x＝2对称．令f (1－x)＝－Δ(x)，f (1＋x)＝＋Δ(x)，若f ′＝f ′，则函数f ′(x)的图象关于直线x＝对称，不符合题意，故C错误； 对于选项D，由选项B的分析可知函数f ′(x)的周期为2，则f ′(x)＝f ′(x＋2)， 所以f ( f ′(x))＝f ( f ′(x＋2))，故D正确．故选C.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　导数的概念及运算 $$