第2章 高考研究在线2 高考试题中的抽象函数-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第二章 函数的概念与性质 高考研究在线2　 高考试题中的抽象函数 抽象函数可以全面考查函数的概念和性质，新高考连续三年在此点命题，破解此类问题的一般方法为赋值法、函数性质法和构造函数法． 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 命题点一　与奇偶性、对称性相关的求值问题 [典例1]　(1)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (xy)＝y2f (x)＋x2f (y)，则(　　) A．f (0)＝0　　　　　　 B．f (1)＝0 C．f (x)是偶函数　　　　 D．x＝0为f (x)的极小值点 (2)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)．若f ，g(2＋x)均为偶函数，则(　　) A．f (0)＝0　　　　　 B．g＝0 C．f (－1)＝f (4) 　 D．g(－1)＝g(2) √ √ √ √ √ 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 (1)ABC　(2)BC　[(1)取x＝y＝0，则f (0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝0，取y＝－1，则f (－x)＝f (x)＋x2f (－1)，所以f (－x)＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，故C正确；由于f (0)＝0，且函数f (x)为偶函数，所以函数f (x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f (x)的极小值点，也可能为函数f (x)的极大值点，也可能不是函数f (x)的极值点，故D不正确．故选ABC. (2)因为f ，g(2＋x)均为偶函数，所以f ＝f ，即f ＝f ，g(2＋x)＝g(2－x)，所以f (3－x)＝f (x)，g(4－x)＝g(x)，则f (－1)＝f (4)，故C正确； 函数f (x)，g(x)的图象分别关于直线x＝，x＝2对称，又g(x)＝f ′(x) ，且函数f (x)可导，所以g＝0，g(3－x)＝－g(x)，所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，所以g＝g＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误； 若函数f (x)满足题设条件，则函数f (x)＋C(C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x)的函数值，故A错误．故选BC.] 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 名师点评　本例(2)改编于2021年新高考Ⅱ卷T8，主要考查原函数与导函数之间的性质关联问题． 设函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，则f (x)与f ′(x)有如下关系： (1) f (x)的图象关于直线x＝a对称⇒f ′(x)的图象关于点A(a，0)中心对称； (2) f ′(x)关于直线x＝b对称⇒f (x)关于点B(b，f (b))中心对称； (3) f (x)的图象是周期为T的周期函数⇒f ′(x)图象是周期为T的周期函数． 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 [跟进训练] 1．(多选)已知函数f (x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)，若f (3－x)，g均为奇函数，则(　　) A．f (3)＝0　　　B．g(3)＝0　　C．f ＝f 　　D．g(5)＝－g(8) √ AD　[∵f (3－x)，g均为奇函数，∴f (3＋x)＝－f (3－x)，g＝－g，∴f (x)的图象关于点(3，0)对称，g(x)的图象关于点对称，∴A正确；∵g(x)＝f ′(x)，∴g(x)的图象关于直线x＝3对称，B错误；∵g(x)图象关于点对称，又关于直线x＝3对称，∴g(x)的周期为2，∴g(5)＝－g(0)，g(8)＝g(0)，∴g(5)＝－g(8)，D正确；∵f (3＋x)＝－f (3－x)，∴f ＝－f ，C错误．故选AD.] √ 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 命题点二　与周期性相关的求值问题 [典例2]　(2022·新高考Ⅱ卷)若函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋f (x－y)＝ f (x) f (y)，f (1)＝1，则　＝(　　) A．－3　　B．－2 　　C．0　　D．1 A　[法一(赋值法)：令y＝1得f (x＋1)＋f (x－1)＝f (x)·f (1)＝f (x)⇒f (x＋1)＝f (x)－f (x－1)， 故f (x＋2)＝f (x＋1)－f (x)，f (x＋3)＝f (x＋2)－f (x＋1)，消去f (x＋2)和f (x＋1)得到f (x＋3)＝－f (x)，故f (x)的周期为6； √ 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 令x＝1，y＝0得f (1)＋f (1)＝f (1)·f (0)⇒f (0)＝2， ∴f (2)＝f (1)－f (0)＝1－2＝－1， f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－1＝－2， f (4)＝f (3)－f (2)＝－2－(－1)＝－1， f (5)＝f (4)－f (3)＝－1－(－2)＝1， f (6)＝f (5)－f (4)＝1－(－1)＝2， 故 ＝3[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]＋f (19)＋f (20)＋f (21)＋f (22)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3，即＝－3.故选A. 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 法二(特殊函数法)：取f (x)＝2cos x符合条件，则T＝6，计算可得f (2)＝f (1)－f (0)＝－1， f (3)＝f (2)－f (1)＝－2， f (4)＝f (3)－f (2)＝－1， f (5)＝f (4)－f (3)＝1， f (6)＝f (5)－f (4)＝2， ∴＝1－1－2－1＋1＋2＝0， 一个周期内的f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0．由于22除以6余4，所以＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1－1－2－1＝－3.故选A.] 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 名师点评　常见的抽象函数7大模型： (1)一次函数：f (x＋y)＝f (x)＋f (y)－b. (2)二次函数：f (a－x)＝f (a＋x)． (3)幂函数：f (xy)＝f (x) f (y)． (4)指数函数：f (x＋y)＝f (x) f (y)，f (x－y)＝. (5)对数函数：f (xy)＝f (x)＋f (y)，f ＝f (x)－f (y)． (6)正切函数：f (x±y)＝. (7)余弦函数：f (x＋y)＋f (x－y)＝2f (x) f (y)，f (x)＋f (y)＝2f f . 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 [跟进训练] 2．(多选)已知函数f (x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，且f (x＋y)＝，f (1)＝1，则(　　) A．f (0)＝0 B．f (x)为偶函数 C．f (x)为周期函数，且4为f (x)的周期 D．f (2 023)＝－1 √ √ √ 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 ACD　[对于A，令x＝y＝0，得f (0)＝0，故A正确； 对于B，令y＝－x，则f (0)＝＝0，因此f (－x)＝－f (x)， 又f (x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，关于原点对称，所以f (x)为奇函数，故B错误； 对于C，令y＝1，则f (x＋1)＝＝＝－1＋， 所以f (x＋2)＝－1＋＝－，因此f (x＋4)＝－＝f (x)， 所以f (x)为周期函数，且周期为4，故C正确； 对于D，f (2 023)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，故D正确．故选ACD.] 点拨：(1)挖掘背景函数；(2)抽象恒等式．如f (x＋y)＝f (x)＋f (y)．①恰当赋值；②正逆应用． 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 $$