第1章 第4课时 基本不等式-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

课时分层作业(四)　基本不等式 一、单项选择题 1．(2024·山东济南模拟)已知4a2＋b2＝6，则ab的最大值为(　　) A．　　 B．　 C．　　 D．3 2．(2024·山西晋中期中)已知0<x<2，则y＝2x的最大值为(　　) A．2 　 B．4 C．5 　 D．6 3．(2024·哈师大附中模拟)若正数x，y满足x＋6y＝3，则的最小值为(　　) A．4 　 B． C．2 　 D．2 4．下列函数中，函数的最小值为2的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝ C．y＝ex＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0<x<1) 5．(2024·河南名校联考期中)现设计一个两邻边长度分别为a，b的矩形广告牌，其面积为S，且S＝a－b＋5，则当该广告牌的周长l最小时，S＝(　　) A．3 　 B．4 C．5 　 D．6 6．原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是(　　) A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算 C．两种方案一样 D．无法确定 二、多项选择题 7．下列说法正确的有(　　) A．若x<，则2x＋的最大值是－1 B．若x>－2，则4 C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2 D．若x<1，则有最大值－5 8．(2024·河南信阳模拟)已知正实数x，y满足2x＋y＝3，则(　　) A．xy 　 B．4x＋2y4 C．x2＋ 　 D． 三、填空题 9．已知a＞0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________ ；a＋b的取值范围是________． 10．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________；若a恒成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题 11．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为多少时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)? 12．甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是(速度v的单位为km/h)元，固定成本为a元． (1)将全程运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？ 13．某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3 m，底面为24 m2，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的背面靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元．设屋子的左、右两面墙的长度均为x m(3x6)． (1)当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左、右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(四)　基本不等式 1．B　[由题意得，6＝4a2＋b2＝(2a)2＋b2≥2·2a·b，即ab≤， 当且仅当2a＝b，即a＝，b＝或a＝－，b＝－时等号成立， 所以ab的最大值为.故选B.] 2．B　[因为0<x<2，所以y＝2x＝2≤2＝4， 当且仅当x2＝4－x2时取等号，因为0<x<2，解得x＝.故选B.] 3．A　[∵x，y为正数，x＋6y＝3， ∴＝＝＋2≥2＋2＝4，即的最小值为4.故选A.] 4．C　[当x＜0时，选项A不符合；当0＜x＜1时，log3x＜0，logx3＜0，选项D不符合；因为y＝＝＞2，故选项B不符合．因为ex＞0，e－x＞0，所以y＝ex＋e－x≥2＝2，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立．故选C.] 5．A　[由题意知a>0，b>0，且ab＝a－b＋5，所以b＝，则该广告牌的周长l＝2(a＋b)＝2＝2≥2×2＝8，当且仅当a＋1＝，即a＝1，b＝3时，取得等号，此时S＝ab＝3. 故选A.] 6．B　[设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(x≠y)，则 方案一：两次加油平均价格为＝>， 方案二：两次加油平均价格为＝＜，故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．故选B.] 7．ABD　[对于A，因为x<，所以2x－1<0，1－2x>0，所以2x＋＝(2x－1)＋＋1＝－＋1≤－2＋1＝－1(当且仅当x＝0时等号成立)，此时2x＋有最大值为－1，故A正确； 对于B，因为x>－2，所以x＋2>0，所以＝＝≥2＝4，当且仅当＝，即x＝2时取等号，故B正确； 对于C，因为x>0，y>0，所以x·2y≤，即2xy≤，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4(当且仅当x＝2y时等号成立)，所以x＋2y的最小值为4，故C错误； 对于D，＝＝－＋1≤－2＋1＝－5，当且仅当－(x－1)＝－，即x＝－2时，等号成立．故D正确．] 8．ABD　[因为2x＋y＝3，且x，y均为正实数，所以由基本不等式得2x＋y＝3≥2，即xy≤，4x＋2y≥2＝2＝4，当且仅当2x＝y时等号成立，A，B正确； 由不等式，得，所以4x2＋y2≥，即x2＋，当且仅当2x＝y时等号成立，C错误. 因为2x＋y＝3，所以＝(2x＋y)＝＋2＝，当且仅当y＝x时等号成立，D正确．故选ABD.] 9．[9，＋∞)　[6，＋∞)　[因为a＞0，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2，于是ab－2－3≥0，解得≤－1(舍去)或≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)． 因为a＞0，b>0，所以a＋b＋3＝ab ≤，变形，得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号，即a＋b的取值范围是[6，＋∞)．] 10．　(－∞，9]　[因为x＋y＝1，所以xy≤＝， 所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－×2＝，当且仅当x＝y＝时取等号，即x2＋y2的最小值为. 若a≤恒成立，则a≤， 因为＝(x＋y)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时等号成立，所以的最小值为9，即a≤9， 故实数a的取值范围是(－∞，9].] 11．解：设直角梯形的高为x cm， ∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝(x＋4)cm，海报长DC＝cm， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472， 当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立． ∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少． 12．解：(1)由题意得，可变成本为v2元，固定成本为a元，所用时间为小时，所以y＝＝1 000，定义域为(0，80]. (2)y＝1 000≥1 000×2＝1 000，当v＝时，得v＝2，因为0<v≤80， 所以当0<a≤1 600时，货车以2 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当a＞1 600时，货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最小． 13．解：(1)设甲工程队的总报价为y元， 则y＝3＋14 400＝1 800＋14 400≥1 800×2＋14 400＝28 800，当且仅当x＝，即x＝4时等号成立． 故当左、右两侧墙的长度为4 m时，甲工程队的报价最低为28 800元． (2)由题意可得1 800＋14 400>，对任意的x∈[3，6]恒成立，故＞，从而>a恒成立， 令x＋1＝t，＝＝t＋＋6，t∈[4，7]. 令g(t)＝t＋＋6，则g(t)在t∈[4，7]上单调递增，故g(t)min＝12.25. 所以a的取值范围为(0，12.25)． 点拨：当f (x)＝x＋(a＞0)不能用基本不等式求最值(“＝”取不到)时，要用对勾函数的单调性． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时　基本不等式 [考试要求]　1．了解基本不等式的推导过程.2．会用基本不等式解决简单的最值问题.3．理解基本不等式在实际问题中的应用． 1．基本不等式： (1)基本不等式成立的条件：______________． (2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． (3)其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 (1)x＋y≥2，若xy等于定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值___(简记：积定和最小)． (2)xy≤，若x＋y等于定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大)． 提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． [常用结论] 几个重要的不等式 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的． (　　) (2)若a>0，则a3＋的最小值为2． (　　) (3)函数f (x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4． (　　) (4)“x＞0且y＞0”是“≥2”的充要条件． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P45例2改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80　　 B．77　 C．81　　 D．82 2．(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x>2，则x＋的最小值是(　　) A．1 　 B．2 C．2 　 D．4 3．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A．≥2 　 B．ab≤ C． 　 D． 4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，当这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积最大． 考点一　利用基本不等式求最值 　配凑法 [典例1]　(1)(2024·河北衡水模拟)若x<，则函数f (x)＝3x＋1＋有(　　) A．最大值0　　　　 B．最小值9 C．最大值－3 　 D．最小值－3 (2)函数y＝(x>1)的最小值为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　常数代换法 [典例2]　已知x，y都是正数，且x＋y＝1，则的最小值为________；的最小值为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　消元法 [典例3]　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1．利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式，常用手段有添加项、拆项、调整参数、分离参数等． 2．常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为·，再用基本不等式求最值． 3．当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值． 4．构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解． [跟进训练] 1．(1)(多选)(2024·河北沧州模拟)下列函数中，函数的最小值为4的是(　　) A．y＝x(4－x) B．y＝ C．y＝(0＜x＜1) D．y＝ (2)(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是(　　) A．4　　 B．5　 C．7　　 D．9 (3)若实数x>1，y>且x＋2y＝3，则的最小值为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点二　基本不等式的常见变形应用 [典例4]　(多选)(2023·广东汕头三模)若a＞0，b＞0，a＋b＝4，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是(　　) A．≤2 　 B．≤2 C．＋b2≥4 　 D．≥1 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　基本不等式的常见变形 (1)ab≤(a∈R，b∈R)． (2)(a>0，b>0)． [跟进训练] 2．(1)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 　 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 　 D．x2＋y2≥1 (2)当＜x＜时，函数y＝的最大值为________． 考点三　基本不等式的实际应用 [典例5]　(2024·山东威海期末)某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200 m2，深度为2米，育苗池的四周均设计为2米宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20)，甬路的面积为S m2. (1)求S与x之间的函数关系式； (2)已知育苗池四壁的造价为200元/平方米，池底的造价为600元/平方米，甬路的造价为100元/平方米，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低造价． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　利用基本不等式解决实际问题的注意点 (1)设变量时，一般把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响． (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)＝x＋(a＞0)的单调性． (4)在实际问题中利用基本不等式求最值，必须指明等号成立的条件． [跟进训练] 3．(1)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，“道路容量”与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路1 h通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0(单位：m)为安全距离，v为车速(m/s)．当安全距离d0取30 m时，该道路1 h“道路容量”的最大值约为(　　) A．135　　 B．149　　 C．165　　 D．195 (2)(2023·浙江温州三模)某公司计划租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．经测算，若在距离车站10 km处建仓库，则每月的土地费用与运输费用分别为2万元和8万元．要使每月的两项费用之和最小，仓库和车站的距离应为(　　) A．4 km 　 B．5 km C．6 km 　 D．7 km 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时　基本不等式 梳理·必备知识 1．(1)a>0，b>0　(2)a＝b　(3)　 2．(1)2　(2) 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、1．C　[xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.故选C.] 2．D　[∵x>2，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立.故选D.] 3．BC　[当<0时，A不成立；当ab<0时，D不成立.] 4.15　　[设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30(0<x≤18)，所以S＝xy＝x·2y≤，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.] 考点一 考向1　典例1　(1)C　(2)2＋2　[ (1)因为x<，故3x－2<0，f ＝3x＋1＋＝3x－2＋＋3＝－＋3≤－2＋3＝－3， 当且仅当－，即x＝－时取等号.故选C. (2)因为x>1，所以x－1>0，则 y＝ ＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号.] 考向2　典例2　9　3　[由x>0，y>0，x＋y＝1，得＝(x＋y)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当4x2＝y2，即x＝，y＝的最小值为9．＝1＋，又x>0，y>0，所以≥2＝2，所以≥1＋2＝3，当且仅当x＝y，即x＝，y＝的最小值为3.] 考向3　典例3　6　[法一(换元消元法)： 由已知得x＋3y＝9－xy， ∵x>0，y>0， ∴x＋3y≥2， ∴3xy≤， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， ∴x＋3y＋≥9， 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 解得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)： 由x＋3y＋xy＝9，得x＝， ∴x＋3y＝＋3y＝ ＝ ＝3(1＋y)＋－6 ≥2－6 ＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝，即x＝3，y＝1时等号成立， ∴x＋3y的最小值为6.] 跟进训练 1．(1)CD　(2)C　(3)4　[(1)y＝x(4－x)≤＝4，A错误；y＝无解，B错误； ∵x(1－x)≤， ∴y＝≥4， 当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号，C正确；y＝≥2＝4，当且仅当＝2时取等号，D正确.故选CD. (2)因为xy＋x－2y＝4，故(y＋1)x＝4＋2y，即x＝＝2＋， 故2x＋y＝4＋＋y＋1－1≥4＋2－1＝7，当且仅当＝y＋1，即x＝3，y＝1时取等号.故选C. (3)令x－1＝m，2y－1＝n， 则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1， ∴＝·(m＋n)＝2＋≥2＋2＝4， 当且仅当，即m＝n＝，x＝，y＝时取“＝”. ∴的最小值为4.] 考点二 典例4　ACD　[对于A，a>0，b>0，a＋b≥2≤＝2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以A正确； 对于B，a>0，b>0，()2＝a＋b＋2＝4＋2≤4＋2×2＝8， 又>0，则≤2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以B错误； 对于C，a＋b＝4，b＝4－a>0，所以0<a<4， 则＋b2＝＋(4－a)2＝－8a＋16＝(a－3)2＋4≥4，并且a＝3时等号成立，所以C正确； 对于D，a>0，b>0，a＋b＝4，所以＝1， 则·××＝1， 当且仅当，即a＝b＝2时等号成立，所以D正确. 故选ACD.] 跟进训练 2．(1)BC　(2)2　[(1)由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤， 即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－，∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤， ∴x2＋y2≤2，故C正确，对于D选项，当x＝，y＝－时，满足题设条件，但x2＋y2＝，D错误.故选BC. (2)由≤，得a＋b≤2，则y＝≤2＝2， 当且仅当，即x＝时等号成立. 考点三 典例5　解：(1)由题意可得每个育苗池底面的另一边长为 m， 则S＝(x＋4)－600＝8x＋＋32，10≤x≤20. (2)设总造价为w元，则w＝200×2(6x＋)＋600×3×200＋100S ＝2 400x＋＋360 000＋800x＋＋3 200 ＝3 200x＋＋363 200，10≤x≤20， 其中3 200x＋ ≥2＝96 000， 当且仅当3 200x＝，即x＝15∈时，等号成立，故w＝3 200x＋＋363 200≥459 200， 所以当x＝15 m时，总造价最低，最低总造价为459 200元. 跟进训练 3．(1)B　(2)B　[(1)由题意得， N＝≤≈149，当且仅当0.3v＝，即v＝10时取“＝”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149．故选B. (2)设仓库到车站距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2， 由题意可设y1＝，y2＝k2x， 把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝， 所以y1＝，y2＝x， 费用之和y＝y1＋y2＝x≥2＝8， 当且仅当x，即x＝5时等号成立. 所以当仓库建在离车站5 km处时，两项费用之和最小.故选B.] 学科网（北京）股份有限公司 $$