第2章 第10课时 函数的零点与方程的解-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第10课时　函数的零点与方程的解 第二章 函数的概念与性质 链接教材　夯基固本 第10课时　函数的零点与方程的解 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f (x)，我们把使_________的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有____⇔函数y＝f (x)的图象与___有公共点． f (x)＝0 零点 x轴 (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有_________，那么，函数y＝f (x)在区间________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 提醒：函数f (x)的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的实根． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象________且__________的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点． 连续不断 f (a) f (b)<0 (a，b) f (c)＝0 连续不断 f (a) f (b)<0 零点 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 [常用结论] 1．若连续不断的函数f (x)在(a，b)上是单调函数，而且f (a) f (b)<0，则f (x)在(a，b)上有且仅有一个零点． 2．由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a) ·f (b)<0，如图所示，所以f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． (　　) (2)若函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)·f (b)＜0． (　　) (3)函数y＝f (x)为R上的单调函数，则f (x)有且仅有一个零点． (　　) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值． (　　) × × × × 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 √ 2 4 3 题号 1 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) A　　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　D A　[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 √ 2．(多选) (人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数f (x)必有零点的区间为(　　) A．(1，2)　　　　 B．(2，3) C．(5，6) 　 D．(5，7) BCD　[由所给的函数值表知， f (1) f (2)>0，f (2) f (3)<0，f (5) f (6)<0，f (5) f (7)<0，∴函数f (x)必有零点的区间为(2，3)，(5，6)，(5，7)．故选BCD.] 2 4 3 题号 1 x 1 2 3 4 5 6 7 f (x) －4 －2 1 4 2 －1 －3 √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 √ 3．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T5(3)改编)已知函数f (x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b>c>a 　 B．a>b>c C．c>b>a 　 D．c>a>b 2 4 3 题号 1 C　[函数f (x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为a，b，c，即函数y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－－1与函数y＝－x的交点的横坐标分别为a，b，c，作出图象，结合图象可得c>b>a.故选C. ] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 4．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T4改编)已知函数f (x)＝则f (x)的零点为________． 2 4 3 题号 1 －2，e　[由题意得， 或 解得x＝－2或x＝e.] －2，e 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 典例精研　核心考点 第10课时　函数的零点与方程的解 考点一　判定函数零点所在的区间 [典例1]　(2024·广东东莞期中)函数f (x)＝2x＋log2x的零点所在区间是(　　) A．　B．C．(1，2) 　D．(2，3) [四字解题] 读 想 算 思 函数零点所在区间的判断问题 定理法 f ，f 的正负 等价转化、数形结合 图象法 画y＝2x和y＝－log2x的图象 √ A　[法一(定理法)：因为y＝2x，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)至多有一个零点， 因为f ＝－2<0，f ＝－1>0， 由零点存在定理知，f (x)在上存在零点， 结合选项，因为⊆， 所以f (x)的零点所在区间是，故选A. 法二(图象法)：令f (x)＝0，得2x＝－log2x，作出函数y＝2x和y＝－log2x的图象，如图，显然y＝f (x)在区间内有零点．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 名师点评　确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f (a)·f (b)<0．若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 [跟进训练] 1．(1)若a<b<c，则函数f (x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内　 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 　 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 (2)已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________． √ 2 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 (1)A　(2)2　[(1)函数y＝f (x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f (a)＝(a－b)(a－c)>0，f (b)＝(b－c)(b－a)<0，f (c)＝(c－a)(c－b)>0．所以f (a) f (b)<0，f (b) f (c)<0，即f (x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点． (2)对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时， 可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝loga x，y＝－x＋b 的图象，判断出两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内， 所以函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 考点二　确定函数零点的个数 [典例2]　(1)已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (x)－的零点个数为(　　) A．1　　B．2　　C．3　　D．4 (2)已知函数f (x)＝则关于x的函数y＝4f 2(x)－13f (x)＋9的零点的个数为(　　) A．8　　B．7　　C．5　　D．2 √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 (1)C　(2)B　[(1)令g(x)＝0得f (x)＝，在同一直角坐标系中作出f (x)及y＝的大致图象如图所示． 由图象可知，函数y＝f (x)与y＝的图象有3个交点， 即函数g(x)有3个零点．故选C. (2)根据题意，令4f 2(x)－13f (x)＋9＝0， 得f (x)＝1或f (x)＝.作出f (x)的简图． 由图象可得当f (x)＝1或f (x)＝时，分别有4个 和3个交点，故关于x的函数y＝4f 2(x)－13f (x)＋9 的零点的个数为7.故选B.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 名师点评　求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f (x)＝0，方程有多少个解，则f (x)有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 [跟进训练] 2．(1)(2023·甘肃武威三模)已知函数y＝f (x)满足：当－2≤x≤2时，f (x)＝－x2＋1，且f (x)＝f (x＋4)对任意x∈R都成立，则方程4f (x)＝|x|的实根个数是________． (2)(2021·北京高考)已知f (x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： ①若k＝0，则f (x)有两个零点； ②∃k＜0，使得f (x)有一个零点； ③∃k＜0，使得f (x)有三个零点； ④∃k＞0，使得f (x)有三个零点． 以上正确结论的序号是____________． 6 ①②④ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 (1)6　(2)①②④　[(1)∵f (x)＝f (x＋4)，∴y＝f (x)的周期T＝4，如图所示即为函数y＝f (x)的图象，4f (x)＝|x|⇒f (x)＝，做出的图象，观察f (x)与图象有6个交点，则方程4f (x)＝|x|的实根个数是6. (2)将f (x)＝|lg x|－kx－2转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2图象的交点问题． 对于①，当k＝0时，|lg x|＝2，两函数图象有两个交点，①正确； 对于②，存在k＜0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，②正确； 对于③，若k＜0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2最多有2个交点，③错误； 对于④，当k＞0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x＞1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 考点三　函数零点的应用 考向1　根据函数零点个数求参数 [典例3]　(2023·通州区一模)设函数f (x)＝若函数f (x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是_________________________；若函数f (x)存在三个零点，则实数a的取值范围是 ______________． (－∞，－)∪ 　[，＋∞)　[y＝ ⇒当x≤a时，y′＝3－3x2≥0⇒x∈[－1，1]，可得y＝3x－x3在[－1，1]上单调递增，在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，解方程3x－x3＝0可得，其根依次记为x1＝－，x3＝0，x4＝，而2x＋1＝0的根记为x2＝－，可得其草图如图所示． (－∞，－)∪ [，＋∞) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 若函数f (x)有且只有一个零点，由函数解析式可知该零点 只能为x1＝－，或x2＝－. (i)若零点为x2＝－，只需a<－，即函数左半段无零点， 零点在右半段，即直线段部分上，如图所示； (ii)若函数零点为x1＝－，由函数解析式及图象可知，只需a∈，如图所示． 若函数f (x)存在三个零点，则零点为 x1＝－，x3＝0，x4＝，只需a≥， 如图所示．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 【教师备选资源】 (2024·江苏无锡辅仁高中模拟)设[x]表示不超过x的最大整数，如[π]＝3，[－]＝－2．已知函数f (x)＝ 有且只有4个零点，则实数a的 取值范围是___________________． 　[设g(x)＝则g(x)＝a有且只有4个根．当x≤1时，g′(x)＝(x＋1)·ex，当x<－1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减， 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 当－1<x≤1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增， 所以当x≤1时，g(x)min＝g(－1)＝－＝－. 当x∈(1，2)时，[x]＝1，g(x)＝－， 当x∈[n，n＋1)(n≥2，n∈N*)时，[x]＝n，g(x)＝－， 故函数g(x)的图象如图所示： 因为－<－<－<－，由图可知a∈.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 考向2　根据函数零点范围求参数 [典例4]　 (1)(2023·山西阳泉三模)函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－5) 　 B．(－5，－1) C．(1，5) 　 D．(5，＋∞) (2)(2024·云南红河模拟)已知关于x的方程2x2－mx＋1＝0在上存在两个不同的实数根，则实数m的取值范围为(　　) A．(2，3] 　 B． C． 　 D．(2，3] √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 (1)B　(2)D　[(1)由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，因为函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点，所以即解得－5<m<－1，所以实数m的取值范围是(－5，－1)．故选B. (2)由题意可得，2x2－mx＋1＝0即m＝2x＋在x∈时有2个不同的解，设f (x)＝2x＋，根据双勾函数的性质可知，f (x)在上单调递减，在上单调递增，且f ＝3，f ＝2，f (4)＝，要使m＝2x＋在x∈时有2个不同的解，则2<m≤3.故选D.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 【教师备选资源】 (1)函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞)　　B．[2，＋∞) 　　C． 　　D． (2)已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)＝2a(a∈R)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为(　　) A． 　　B．　　C．∪(1，＋∞)　　D．(1，＋∞) (3)已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是____________． √ √ [－1，＋∞) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 (1)D　(2)C　(3)[－1，＋∞) 　[(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是. (2)作出函数f (x)的图象，如图．因为关于x的方程f (x)＝2a恰有两个 不同的实根，所以y＝2a与函数y＝f (x)的图象恰有两个交点，结合 图象，得2a>2或<2a≤1．解得a>1或<a≤. (3)函数g(x)＝f (x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f (x)＝－x－a 有2个不同的实根，即函数f (x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点， 作出直线y＝－x－a与函数f (x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1， 解得a≥－1．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 名师点评　已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 [跟进训练] 3．(1)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f (x＋4)＝f (x)，且当x∈[0，2]时，f (x)＝x2－3，若方程f (x)＝logax(a＞0，且a≠1)在区间(0，10)上有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　　) A．∪[8，10)　　 B．∪[6，10) C．∪(6，10] 　 D．∪(6，10] (2)若函数f (x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________． √ 　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 (1)D　(2)　[(1)由题知函数的周期为4．画出f (x)在区间(0，10)上的图象，如图①所示： 因为f (x)＝logax(a＞0，且a≠1)在区间(0，10)上有5个不同的实数根，所以函数f (x)与y＝logax的图象在(0，10)上有5个交点． 当a＞1时，如图②所示： 由图象知解得6＜a≤10； 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 当0＜a＜1时，如图③所示： 由图象知loga8＞－3，解得0＜a＜， 综上，实数a的取值范围为∪(6，10]. (2)依题意，结合函数f (x)的图象分析可知，m需满足 即 解得<m<.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 微点突破1　嵌套函数的零点问题 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解． [典例]　函数f (x)＝若函数g(x)＝f ( f (x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______________． [赏析]　第一步：换元解套 设t＝f (x)，令f ( f (x))－a＝0，则a＝f (t)． 第二步：辅助图形 在同一坐标系内作y＝a，y＝f (t)的图象(如图)． [－1，＋∞) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 第三步：数形结合 当a≥－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有两个交点． 设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1. 当t1＜－1时，t1＝f (x)有一解； 当t2≥－1时，t2＝f (x)有两解． 第四步：归纳总结 综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f ( f (x))－a有三个不同的零点． [答案]　[－1，＋∞) 名师点评　该类问题考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合思想是解决本类问题的关键．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y＝a与y＝f (t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由y＝f (x)与y＝t的图象确定零点的个数． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 [跟进训练] 1．(2024·湖南长沙模拟)已知函数f (x)＝则函数F(x)＝f [ f (x)]－ f (x)－1(e为自然对数的底数)的零点个数为(　　) A．3　　B．5　　C．7　　D．9 √ C　[设f (x)＝t，令F(x)＝0可得f (t)＝t＋1，对于y＝，y′＝，故y＝在x＝0处切线的斜率值为k1＝1. 设y＝k2x＋1与y＝ln x相切于点(x2，ln x2)，∵(ln x)′＝，∴切线斜率k2＝，则切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1，∴解得 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 由于<<1，故作出f (x)与y＝x＋1的图象如图所示， ∴y＝x＋1与f (x)有四个不同交点， 即y＝t＋1与f (t)有四个不同交点． 设四个交点为t1，t2，t3，t4(t1<t2<t3<t4)，由图象可知t1<0<t2<1<t3<t4， 作出函数y＝t，y＝f (x)的图象如图， 由此可知f (x)与y＝t1无交点，与y＝t2有三个不同交点，与y＝t3，y＝t4各有两个不同交点，∴F(x)＝f [ f (x)]－ f (x)－1的零点个数为7. 故选C.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 2．已知函数f (x)＝则函数y＝f (f (x)＋1)的零点个数是(　　) A．2　　B．3　　C．4　　D．5 √ D　[令t＝f (x)＋1＝ ①当t>0时，f (t)＝ln t－，则函数f (t)在(0，＋∞)上单调递增，由于f (1)＝－1<0，f (2)＝ln 2－>0，由零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f (t1)＝0； ②当t≤0时，f (t)＝t2＋2t，由f (t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0．作出 函数t＝f (x)＋1，直线t＝t1，t＝－2，t＝0的图象如图所示： 由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f (x)＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f (x)＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f (x)＋1的图象有且只有一个交点．综上所述，函数y＝f 的零点个数为5.故选D.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 $$