第2章 第9课时 函数的图象-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第二章 函数的概念与性质 第9课时　函数的图象 链接教材　夯基固本 第9课时　函数的图象 1．利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加减． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 (2)对称变换 ①y＝f (x)的图象＝______的图象； ②y＝f (x)的图象y＝_______的图象； ③y＝f (x)的图象y＝________的图象； ④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝_______________________的图象． －f (x) f (－x) －f (－x) logax(a＞0且a≠1) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 (3)伸缩变换 ①y＝f (x)的图象 ＝_______的图象； ②y＝f (x)的图象 y＝_______的图象． (4)翻折变换 ①y＝f (x)的图象y＝__________的图象； ②y＝f (x)的图象y＝__________的图象. f (ax) af (x) | f (x)| f (|x|) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 [常用结论] 1．函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f (x)的定义域为R，且有f (a＋x)＝f (b－x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)中心对称⇔f (a＋x)＝2b－f (a－x)⇔f (x)＝2b－f (2a－x)． 2．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f (x)与y＝f (2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f (x)与y＝2b－f (2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f (1－x)的图象，可由y＝f (－x)的图象向左平移1个单位长度得到． (　　) (2)若函数y＝f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，则函数f (x)的图象关于直线x＝1对称． (　　) (3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f (|x|)的图象与y＝| f (x)|的图象相同． (　　) (4)函数y＝f (x)与y＝－f (x)的图象关于原点对称． (　　) × √ × × 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P81例5改编)函数y＝1－的图象是(　　) B　[将函数y＝－的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得到y＝1－的图象，故选B.] A　　　 　　　　 　B　　　　　 　　C　　　 　　　　D √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 √ 2．(人教A版必修第一册P72练习T1改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　) C　[法一：出发时距学校最远，先排除A；中途堵塞停留，距离不变，再排除D；堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B，故选C. 法二：由小明的运动规律知，小明距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加快速度行驶，比前段下降得快，故选C.] A　　　　　　　B C　　　　　　　D 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 3．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)已知图甲为函数y＝f (x)的图象，则图乙中的图象对应的函数可能为(　　) A．y＝| f (x)|　　　 B．y＝f (|x|) C．y＝f (－|x|) 　 D．y＝－f (|x|) B　[比较图甲与图乙中两个函数的图象，x>0时，函数图象与原函数图象相同，只有B符合，观察图乙中函数的图象，图象关于y轴对称，故图乙中的图象对应的函数为偶函数，选项B仍符合．故选B.] 4．(人教A版必修第一册P159T1(1)改编)函数y＝f (x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，把y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝_____． e－x+1　[由题意知f (x)＝e－x，∴g(x)＝e－(x-1)＝e－x+1．] √ e－x+1 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 典例精研　核心考点 第9课时　函数的图象 考点一　作出函数的图象 [典例1]　作出下列函数的图象． (1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1. [解]　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分所示． (2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部 分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②. (3)因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个 单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图③. (4)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图④. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 名师点评　图象变换法作函数的图象 (1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数． (2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序． (3)作图时多注意定点、奇偶性、渐近线、极值、零点等性质． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 [跟进训练] 1．作出下列函数的图象． (1)y＝10|lg x| ；(2)f (x)＝[x]＋2([x]表示不大于x的最大整数)． [解]　(1)y＝10|lg x|＝其图象如图①所示． (2)f (x)＝[x]＋2＝ 函数部分图象如图②所示． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 考点二　函数图象的辨识 [典例2]　(1)(2023·福建省高考适应性练习)函数f (x)＝的图象大致为(　　) A　　　　　　　　B　　　 　 　 　C　　　　　　　D　　 (2)(2023·天津高考)函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能为(　　) A．f (x)＝　　　 B．f (x)＝ C．f (x)＝ 　 D．f (x)＝ √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 (1)C　(2)D　[(1)由题意可知，函数f (x)的定义域为{x|x≠0}． 又f (－x)＝＝＝－f (x)， 所以函数f (x)为奇函数，图象关于原点对称，排除选项AB； 当x＞0时，f (x)＝＝－x＋， 则f ′(x)＝－1＋＝－， 由f ′(1)＝－1＋1－2＝－2<0，排除选项D.故选C. (2)由图象可知，f (x)的图象关于y轴对称，为偶函数，故A，B错误，当x>0时，恒大于0，与图象不符合，故C错误．故选D.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 【教师备选资源】 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线 OP的距离表示成x的函数f (x)，则y＝f (x)在[0，π]的图象大致为(　　) C　[由题图可知：当x＝时，OP⊥OA，此时f (x)＝0，排除A，D； 当x∈时，|OM|＝cos x，设点M到直线OP的距离为d，则＝sin x，即d＝|OM|sin x＝sin x·cos x，∴f (x)＝sin x cos x＝sin 2x≤，排除B.故选C.] A　　　　　　　　B C　　　　　　　D √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 名师点评　辨析函数图象的入手点 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (3)从函数的特殊点，排除不合要求的图象． (4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (5)从函数的周期性，判断图象的循环往复． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 [跟进训练] 2．(1)已知函数f (x)＝g(x)＝f (－x)，则函数g(x)的图象大致是(　　) (2)(2023·山东滨州二模)函数f (x)＝的图象如图所示， 则(　　) A．a＞0，b＝0，c＜0 　 B．a＜0，b＝0，c＜0 C．a＜0，b＜0，c＝0 　 D．a＞0，b＝0，c＞0 √ A　　 　　B C　　　　　D √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 (1)B　(2)A　[(1)因为g(x)＝f (－x)，所以 g(x)的图象与f (x)的图象关于y轴对称，由f (x)的解析式，作出f (x)的图象如图，从而可得g(x)的图象为B选项．故选B. (2)由图象观察可得函数图象关于y轴对称，即函数为偶函数， 所以f (－x)＝＝f (x)，得b＝0，故C错误； 由图象可知f (0)＝＜0⇒c＜0，故D错误； 因为定义域不连续，所以ax2－bx＋c＝0有两个根，可得Δ＝b2－4ac＞0，即a，c异号，a＞0，即B错误，A正确．故选A.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 考点三　函数图象的应用 考向1　研究函数的性质 [典例3]　 (多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f (x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{ f (x)，g(x)}的说法正确的是(　　) A．函数F(x)是偶函数 B．方程F(x)＝0有3个解 C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增 D．函数F(x)有4个单调区间 ABD　[根据函数f (x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f (x)，g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数F(x)＝min{f (x)，g(x)}的图象关于y轴对称，所以A正确；函数F(x)的图象与x轴有3个交点，所以方程F(x)＝0有3个解，所以B正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C错误，D正确．] √ √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 考向2　解不等式 [典例4]　已知函数f (x)＝2x－x－1，则不等式f (x)＞0的解集是(　　) A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) D　[f (x)＞0⇔2x＞x＋1，在同一平面直角坐标系中画 出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象，如图所示，两图象交 点为A(0，1)和B(1，2)，观察图象可知不等式f (x)＞0 的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选D.] √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 考向3　求参数的取值范围 [典例5]　(1)已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________． (2)已知函数f (x)＝，b，c，d是互不相同的正数，且f (a)＝f (b) ＝f (c)＝f (d)，则abcd的取值范围是__________． (1)　(2)(24，25)　[(1)先作出函数f (x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时，斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时，斜率为，故f (x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为. (24，25) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 (2)作出函数f (x)的大致图象如图所示． 因为a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d，且f (a)＝f (b)＝f (c)＝f (d)， 则有－log4a＝log4b，即log4a＋log4b＝0，可得ab＝1，则abcd＝cd. 由c＋d＝10，且c＜d，可得cd＜＝25，且cd＝c(10－c)＝－(c－5)2＋25， 当c＝4时，d＝6，此时cd＝24，但c取不到4， 故abcd的取值范围是(24，25)．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 【教师备选资源】 (2024·四川绵阳南山中学模拟)函数f (x)的定义域为R，满足f (x)＝2f (x－1)，且当x∈(0，1]时，f (x)＝x(1－x)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f (x)≤，则m的最大值是(　　) A．　　B．　　C．　　D． √ A　[因为f (x)＝2f (x－1)，又当x∈(0，1]时，f (x)＝－＋∈， 当x∈(k，k＋1]，k∈N*时，x－k∈(0，1]，则f (x)＝2f (x－1)＝22f (x－2)＝ …＝2kf (x－k)，f (x)＝2k(x－k)(1－x＋k)＝－2k＋∈[0，2k-2]，当x∈(－k，－k＋1]，k∈N*时，x＋k∈(0，1]，则f (x)＝2-1f (x＋1)＝2-2f (x＋2)＝…＝2－kf (x＋k)，f (x)＝2－k(x＋k)(1－x－k)＝－2－k＋∈[0，2－k-2]，作出函数f (x)的大致图象，对任意x∈(－∞，m]，都有f (x)≤，设m的最大值为t，则f (t)＝，且2<m<，所以－22＋1＝，解得t＝，所以m的最大值为.故选A.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 名师点评　(1)注意性质与图象特征的对应关系． (2)某些方程和不等式的求解问题，可转化为图象的交点问题，体现了数形结合思想． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 [跟进训练] 3．(1)已知函数f (x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B．f (x)是偶函数，在区间(－∞，1)上单调递减 C．f (x)是奇函数，在区间(－1，1)上单调递减 D．f (x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递增 (2)如图，函数f (x)的图象为折线ACB，则不等式f (x)≥log2(x＋1)的解集是(　　) A．{x|－1＜x≤0}　　B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1}　　D．{x|－1＜x≤2} (3)已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________． √ √ (0，1] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 (1)C　(2)C　(3)(0，1]　[(1) f (x)＝画出函 数f (x)的图象，如图． 观察图象可知，函数f (x)的图象关于原点对称，故函数f (x)为 奇函数，且在(－1，1)上单调递减． (2)令y＝g(x)＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象，如图所示． 由得 所以结合图象知不等式f (x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}． (3)作出函数y＝f (x)与y＝k的图象，如图所示， 由图可知k∈(0，1].] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第9课时　函数的图象 $$