第2章 第8课时 对数与对数函数-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第二章 函数的概念与性质 第8课时　对数与对数函数 链接教材　夯基固本 第8课时　对数与对数函数 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中__叫做对数的底数，__叫做真数． 以__为底的对数叫做常用对数，log10N记为____． 以_为底的对数叫做自然对数，logeN记为____． x＝logaN a N 10 lg N e ln N 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝_，logaa＝_(a＞0，且a≠1)． (2)对数的运算性质： 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝____________； ②loga＝____________； ③logaMn＝_______(n∈R)． (3)对数恒等式：alogaN＝__(a>0，且a≠1，N>0)． (4)换底公式：logab＝. 0 1 logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM N 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 3．对数函数 (1)一般地，函数________(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是___________． (2)对数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象         定义域 ___________ 值域 R 性质 过定点________，即x＝1时，y＝0 当x>1时，____； 当0<x<1时，____ 当x>1时，____； 当0<x<1时，____ 在(0，＋∞)上是__函数 在(0，＋∞)上是__函数 4．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线____对称． y＝logax (0，＋∞) (0，＋∞) (1，0) y>0 y<0 y<0 y>0 增 减 y＝x 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 [常用结论] 1．换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad． (a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1；c＞0，且c≠1；d＞0) 2．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐 标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到 规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log2x2＝2log2x． (　　) (2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数． (　　) (3)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln(1－x)的定义域相同． (　　) (4)函数y＝log2x与y＝的图象重合． (　　) × × √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P140习题4.4T1改编)函数y＝的定义域是________． 　[由(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1，所以＜x≤1. 所以函数y＝的定义域是.] 2．(人教A版必修第一册P135练习T2改编)比较下列两个值的大小： (1)log0.56________log0.54； (2)log2________3. 　 < ＝ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 3．(人教A版必修第一册P126练习T3(2)改编)(log43＋log83)·log32＝______． 　[(log43＋log83)×log32＝＝.] 4．(人教A版必修第一册P141习题4.4T12改编)若loga＜1，则实数a的取值范围是__________________． ∪(1，＋∞)　[当a>1时，满足条件； 当0<a<1时，由得0<a<. 综上，a∈∪(1，＋∞)．] 　 ∪(1，＋∞) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 典例精研　核心考点 第8课时　对数与对数函数 考点一　对数的运算 [典例1]　(1)(2023·山东济宁嘉祥一中三模)若2m＝3n＝k且＝2，则k＝(　　) A．　　B．　　C．5　　D．6 (2)化简：(log62)2＋log62×log63＋2log63－6log62＝________． (1)B　(2)－log62　[(1)因为2m＝3n＝k且＝2，所以m≠0且n≠0，所以k＞0且k≠1， 且有m＝log2k，n＝log3k，所以＝logk2，＝logk3，所以＝logk2＋logk3＝logk6＝2，则k2＝6.又因为k＞0且k≠1，解得k＝.故选B. (2)(log62)2＋log62×log63＋2log63－6log62＝log62×(log62＋log63)＋2log63－2 ＝log62＋2log63－2＝2(log62＋log63)－log62－2 ＝2－log62－2＝－log62．] √ －log62 名师点评　解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 [跟进训练] 1．(1)(2023·山东威海二模)已知2a＝9，log83＝b，则＝(　　) A．　　B．2　　C．6　　D．9 (2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2×lg 500＋(lg 2)2＝________． √ (1)C　(2)4　[(1)因为2a＝9，所以a＝log29＝log232＝2log23，又b＝log83＝＝log23，所以＝＝6.故选C. (2)原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2×lg(5×102)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2×(lg 5＋2)＋(lg 2)2＝3lg 5＋1＋lg 2×lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2 ＝3(lg 5＋lg 2)＋1＝4．] 4 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 考点二　对数函数的图象及应用 [典例2]　(1)已知函数f (x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a-1<b<1 B．0<b<a-1<1 C．0<b-1<a<1 D．0<a-1<b-1<1 (2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A． 　 B． C．(1，) 　 D．(，2) √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 (1)A　(2)B　[(1)由函数图象可知，f (x)为增函数，故a>1. 函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)， 由函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1. 综上，0<a-1<b<1. (2)构造函数f (x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时，不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数大致的图象，如图所示，由题意可知f ＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 [拓展变式]　将本例(2)中“4x＜logax”变为“关于x的方程4x＝logax有解”，则a的取值范围是__________． 　[若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x的图象和函数y＝logax的图象在上有交点． 由图象可知解得0＜a≤.] 　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 名师点评　对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 [跟进训练] 2．(1)(多选)若函数f (x)＝ax-2，g(x)＝loga|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数f (x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D (2)已知函数f (x)＝|ln x|，若0<a<b，且f (a)＝f (b)，则a＋2b的取值范围是__________． √ √ (3，＋∞) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 (1)AD　(2)(3，＋∞)　[(1)易知g(x)＝loga|x|为偶函数．当0＜a＜1时，f (x)＝ax-2单调递减，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意．当a＞1时，f (x)＝ax-2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意．故选AD. (2)f (x)＝|ln x|的图象如图，因为f (a)＝f (b)，所以|ln a|＝|ln b|， 因为0<a<b，所以ln a<0，ln b>0，所以0<a<1，b>1， 所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln (ab)＝0，所以ab＝1， 则b＝，所以a＋2b＝a＋，令g(x)＝x＋(0<x<1)，则g(x)在(0，1)上单调递减， 所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 考点三　对数函数的性质及应用 考向1　比较大小 [典例3]　(1) 已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c 　 B．b＞a＞c C．c＞b＞a 　 D．c＞a＞b (2)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2<0，则下列关系中正确的是(　　) A．a<b<c 　 B．b<a<c C．c<b<a 　 D．a<c<b √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 (1)D　(2)C　[(1)法一(中间量法)：因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b. 法二(图象法)：＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图，由图可知c＞a＞b. (2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得 <<<0，即log2c<log2b<log2a<0，可得c<b<a<1.故选C.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 考向2　解与对数有关的不等式 [典例4]　(1)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若正实数a满足f (log2a)＋f (a)≤2f (1)，则a的取值范围是(　　) A．[1，2] 　 B． C． 　 D．(0，2] (2)设函数f (x)＝若f (a)>f (－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，0)∪(0，1) 　 B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞) 　 D．(－∞，－1)∪(0，1) √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 (1)C　(2)C　[(1)因为a＝－log2a，所以f (log2a)＋f (a)＝f (log2a)＋f (－log2a)＝2f (log2a)，原不等式变为2f (log2a)≤2f (1)，即f (log2a)≤f (1)．又因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2，故选C. (2)由题意可得或 解得a>1或－1<a<0.故选C.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 考向3　对数函数性质的综合应用 [典例5]　(1)若f (x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　) A．[1，2) 　 B．[1，2] C．[1，＋∞) 　 D．[2，＋∞) (2)(多选)已知函数f (x)＝ln ，下列说法正确的是(　　) A．f (x)为奇函数 B．f (x)为偶函数 C．f (x)在上单调递减 D．f (x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) (3)已知函数f (x)＝ln －x是偶函数，则实数a的值为________． √ √ √ √ 2 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 (1)A　(2)ACD　(3)2　[(1)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，则图象的对称轴为x＝a，要使函数f (x)在(－∞，1]上单调递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1，2)． (2)令>0，解得x>或x<－，∴f (x)的定义域为，又f (－x)＝ln ＝ln ＝ln ＝－ln ＝－f (x)，∴f (x)为奇函数，故A正确，B错误．又f (x)＝ln ＝ln ，令t＝1＋，t>0且t≠1，则y＝ln t，又t＝1＋在上单调递减，且y＝ln t为增函数，∴f (x)在上单调递减，故C正确；由C分析可得f (x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确． (3)由题意知f (x)的定义域为R，函数f (x)＝ln －x是偶函数，则f (－x)＝ln ＋x＝f (x)＝ln －x，即ln ＝2x，化简得ln eax＝2x，解得a＝2．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 【教师备选资源】 (2020·全国Ⅱ卷)设函数f (x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，则f (x)(　　) A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 D　[由得函数f (x)的定义域为，其关于原点对称，因为f (－x)＝ln |2(－x)＋1|－ln |2(－x)－1|＝ln |2x－1|－ln |2x＋1|＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，排除A，C.当x∈时，f (x)＝ln (2x＋1)－ln (1－2x)，易知函数f (x)单调递增，排除B.当x∈时，f (x)＝ln (－2x－1)－ln (1－2x)＝ln ＝ln ，易知函数f (x)单调递减，故选D.] 名师点评　求与对数函数有关的复合函数的单调性、值域问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 [跟进训练] 3．(1)(多选)(2024·忻州模拟)已知x＞0，y＞0，且x－y＞ln ，则(　　) A．x＞y 　　B．x＋＞y＋　　C．ln (x－y)＜0 　　D．＜2－y (2)(多选)(2024·浙江杭州模拟)已知函数f (x)＝ln (x2＋x＋m)(m∈R)，则(　　) A．当m>时，f (x)的定义域为R B．f (x)一定存在最小值 C．f (x)的图象关于直线x＝－对称 D．当m≥1时，f (x)的值域为R (3)已知函数f (x)＝ln (－x)＋2，则f (lg 3)＋f ＝_____． (4)已知f (x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝[f (x)]2＋f (x2)，则g(x)max－g(x)min＝________． √ √ √ √ √ 4 5 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 (1)ABD　(2)AC　(3)4　(4)5　[(1)因为x－y＞ln ，所以x－y＞ln y－ln x， 所以ln x＋x＞ln y＋y. 对于A，设f (x)＝ln x＋x，则f (x)在(0，＋∞)上单调递增，因为ln x＋x＞ln y＋y，所以f (x)＞f (y)， 所以x＞y，故A正确； 对于B，因为x＞0，y＞0，且x＞y， 所以＜，所以x＋＞y＋，故B正确； 对于C，当x－y＝e时，ln (x－y)＝1，故C错误； 对于D，因为x＞y，所以－x＜－y， 所以2－x＜2－y，即＜2－y，故D正确．故选ABD. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 (2)对于A，若m>，则Δ＝1－4m<0，则x2＋x＋m>0恒成立，所以f (x)的定义域为R，故A正确； 对于B，若m＝0，则f (x)＝ln (x2＋x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，值域为R，没有最小值，故B错误； 对于C，由于函数y＝ln 为偶函数，其图象关于y轴对称， 将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数f (x)＝ln ＝ln (x2＋x＋m)的图象，此时f (x)的图象对称轴为直线x＝－，故C正确； 对于D，若m≥1，则y＝x2＋x＋m＝＋m－，故f (x)的值域不是R，故D错误．故选AC. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 (3)设g(x)＝ln (－x)，则f (x)＝g(x)＋2，显然有g(－x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0，所以f (lg 3)＋f ＝f (lg 3)＋f (－lg 3)＝g(lg 3)＋2＋g(－lg 3)＋2＝4. (4)由题意得 ∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1，3]，g(x)＝[f (x)]2＋f (x2) ＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2＝(log3x)2＋4log3x＋2， 设t＝log3x，则0≤t≤1，则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上单调递增， ∴当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝g(1)＝2，当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝g(3)＝7， ∴g(x)max－g(x)min＝5．] 点拨：易忽视g(x)的定义域． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第8课时　对数与对数函数 $$