第2章 第7课时 指数与指数函数-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第二章 函数的概念与性质 第7课时　指数与指数函数 链接教材　夯基固本 第7课时　指数与指数函数 1．根式 (1)如果xn＝a，那么__叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. (2)式子叫做______，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝___． 当n为奇数时，＝_； 当n为偶数时，＝|a|＝ x 根式 a a 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝____；(ar)s＝___；(ab)r＝___(a>0，b>0，r，s∈Q)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中_____是自变量，定义域是R，_是底数． (2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k还应满足k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 0 ar＋s ars arbr 指数x a 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 (3)指数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象        定义域 R 值域 ___________ 性质 过定点________，即x＝0时，y＝_ 当x>0时，____； 当x<0时，_______ 当x<0时，____； 当x>0时，_______ 在(－∞，＋∞)上是__函数 在(－∞，＋∞)上是__函数 (0，＋∞) (0，1) 1 y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 增 减 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 [常用结论] 指数函数图象的特点 (1)指数函数y＝ax (a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (2)函数y＝ax与y＝(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称． (3)在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝()n＝a． (　　) (2)函数y＝a－x是R上的增函数． (　　) (3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n． (　　) × × × 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P109习题4.1T1改编)化简的结果为(　　) A．5　　　B．　　　C．－　　　D．－5 B　[原式＝＝.] 2．(人教A版必修第一册P114例1改编)若函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，则f (－1)＝(　　) A．1 　　　B．2 　　C． 　　　D．3 C　[依题意可知a2＝，解得a＝，所以f (x)＝，所以f (－1)＝＝.] √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 √ 3．(多选)(人教A版必修第一册P117例3改编)下列各式比较大小正确的是(　　) A．1.72.5＞1.73 　 B． C．1.70.3＞0.93.1 　 D．＜ BCD　[因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A错误；因为，y＝，故B正确；因为1.70.3＞1，而0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.93.1，故C正确；因为y＝，又y＝在(0，+∞)上单调递增，所以，故D正确.] √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 4．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f (x)＝a+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则f (－2)＝________． 　[因为f (x)的图象过原点，所以f (0)＝a＋b＝0，即a＋b＝0．又因为f (x)的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f (x)＝－＋1，所以f (－2)＝－＋1＝.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 典例精研　核心考点 第7课时　指数与指数函数 考点一　指数幂的运算 [典例1]　(1)(多选)已知a＋a-1＝3，则下列正确的是(　　) A．a2＋a-2＝7　B．a3＋a-3＝18　C．+＝±　D．a+＝2 (2)计算：·＝________(a>0，b>0)． (1)ABD　(2)　[(1)因为a＋a-1＝3，所以a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝9－2＝7，故选项A正确；因为a＋a-1＝3，所以a3＋a-3＝(a＋a-1)(a2－1＋a-2)＝(a＋a-1)·[(a＋a-1)2－3]＝3×6＝18，故选项B正确；因为a＋a-1＝3，所以(+)2＝a＋a-1＋2＝5，且a＞0，所以+＝，故选项C错误；因为a3＋a-3＝18，且a＞0，所以＝a3＋a-3＋2＝20，所以a＝2，故选项D正确． (2)原式＝＝.] √ √ √ 　 名师点评　指数幂运算的一般原则 (1)将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 [跟进训练] 1．(1)已知x<0，y>0，化简得(　　) A．－x2y 　 B．x2y C．－3x2y 　 D．3x2y (2)计算：＋－10(－2)-1＋π0＝________． √ (1)B　(2)－　[(1)由题意得 ＝＝x2|y|＝x2y. (2)原式＝＋－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.] － 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 考点二　指数函数的图象及应用 [典例2]　(1)(多选)已知实数a，b满足等式2 022a＝2 023b，则下列式子可以成立的是(　　) A．a＝b＝0 　　B．a<b<0　　C．0<a<b 　　D．0<b<a (2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________． √ (1)ABD　(2)　[(1)如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0，故选ABD. (2)y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a>1时，如图①，两个图象只有一个交点，不合题意；当0<a<1时，如图②，要使两个图象有两个交点，则0<2a<1，得0<a<.综上可知，a的取值范围为. ] √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 名师点评　(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (2)掌握函数y＝f (|x|)，y＝f (x)，y＝|f (x)|的图象之间的变换与联系． (3)定点与渐近线是作图的关键． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 [跟进训练] 2．(1)(2023·枣庄二模)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示， 则y＝ax2＋x图象顶点的横坐标的取值范围是(　　) A．　　B．　　C．　　D． (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________． √ (1)A　(2) [－1，1]　[(1)由图象知函数为减函数，则0＜a＜1， 二次函数y＝ax2＋x图象的顶点的横坐标为x＝－， ∵0＜a＜1，∴＞， －＜－， 即横坐标的取值范围是.故选A. (2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得： 如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]. ] [－1，1] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 【教师备选资源】 在同一平面直角坐标系中，指数函数y＝，二次函数y＝ax2－bx的图象可能是(　　) √ B　[指数函数y＝图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数y＝ax2－bx＝(ax－b)x有零点，0.A，B选项中，指数函数y＝在R上单调递增，故>1，故A错误，B正确．C，D选项中，指数函数y＝在R上单调递减，故0<<1，故C，D错误．故选B.] A　　　　　　　B C　　　　　　　D 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 考点三　指数函数的性质及应用 考向1　比较指数式的大小 [典例3]　(1)(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b 　B．c＞b＞a C．a＞b＞c 　D．b＞a＞c (2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　) A．x＋y≥0 　B．x＋y≤0 C．x－y≤0 　D．x－y≥0 (1)D　(2)B　[(1)由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6， 由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5．所以b＞a＞c.故选D. (2)设函数f (x)＝2x－5－x，易知f (x)为增函数． 又f (－y)＝2－y－5y，由已知得f (x)≤f (－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.故选B.] √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 【教师备选资源】 已知函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (1＋x)＝f (1－x)，且f (0)＝3，则f (bx)与f (cx)的大小关系为(　　) A．f (cx)≥f (bx)　B．f (cx)≤f (bx) 　C．f (cx)>f (bx) 　D．f (cx)＝f (bx) A　[根据题意，函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (x＋1)＝f (1－x)，则有＝1，即b＝2. 又由f (0)＝3，得c＝3，所以bx＝2x，cx＝3x. 若x<0，则cx<bx<1，而f (x)在(－∞，1)上单调递减，此时有f (bx)<f (cx)； 若x＝0，则cx＝bx＝1，此时有f (bx)＝f (cx)； 若x>0，则有1<bx<cx，而f (x)在(1，＋∞)上单调递增，此时有f (bx)<f (cx)． 综上可得f (bx)≤f (cx)．] √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 考向2　解简单的指数方程或不等式 [典例4]　(1)已知实数a≠1，函数f (x)＝若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为_____． (2)设函数f (x)＝若f (a)<1，则实数a的取值范围是____________． (1)　(2)(－3，1)　[(1)当a<1时，41-a＝21，解得a＝； 当a>1时，2a－(1-a)＝4a-1无解，故a的值为. (2)当a<0时，原不等式化为－7<1， 则2－a<8，解得a>－3，所以－3<a<0. 当a≥0时，则<1，0≤a<1. 综上，实数a的取值范围是(－3，1)．] (－3，1) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 考向3　指数函数性质的综合应用 [典例5]　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] 　 B．[－2，0) C．(0，2] 　 D．[2，＋∞) (2)(2023·全国乙卷)已知f (x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2　　 B．－1 C．1　　 D．2 (3)不等式4x－2x+1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是_________． √ √ (1，＋∞) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 (1)D　(2)D　(3)(1，＋∞)　[(1)法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝1，解得a≥2.故选D. 法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝－在(0，1)单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C.故选D. (2)法一：f (x)的定义域为{x|x≠0}，因为f (x)是偶函数，所以f (x)＝f (－x)，即＝，即e(1-a)x－ex＝－e(a-1)x＋e－x，即e(1-a)x＋e(a-1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2.故选D. 法二：f (x)＝＝，f (x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a-1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2.故选D. (3)原不等式可化为a>－4x＋2x+1对x∈R恒成立， 令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x+1＝－t2＋2t＝＋1≤1，当t＝1，即x＝0时，ymax＝1，∴a>1．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 【教师备选资源】 在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域D内单调递增且有界的函数f (x)，即∃M＞0，∀x∈D，|f (x)|≤M.则下列函数中，所有符合上述条件的序号是________． ①f (x)＝；②f (x)＝；③f (x)＝；④f (x)＝. ③④　[对于①，f (x)＝无界，不符合题意； 对于②，f (x)＝＝不单调，不符合题意； 对于③，f (x)＝＝＝＝1－单调递增，且f (x)∈(－1，1)，则|f (x)|＜1，符合题意； 对于④，f (x)＝单调递增，且f (x)∈(0，1)，则|f (x)|＜1，符合题意．] ③④ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 名师点评　(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 [跟进训练] 3．(1)(2024·江苏沭阳模拟)设＜＜＜1，那么(　　) A．aa＜ab＜ba 　B．aa＜ba＜ab　C．ab＜aa＜ba 　D．ab＜ba＜aa (2)若函数f (x)＝的值域是，则f (x)的单调递增区间是___________． √ (1)C　(2)(－∞，－1]　[(1)∵＜＜＜1且y＝在R上是减函数， ∴0＜a＜b＜1.当0＜a＜1时，指数函数y＝ax在R上是减函数，∴ab＜aa. 当0＜a＜1时，幂函数y＝xa在[0，＋∞)上单调递增，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba.故选C. (2)∵y＝是减函数，且f (x)的值域是，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2， 则a>0且＝2，解得a＝1，因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]， 故f (x)的单调递增区间是(－∞，－1].] (－∞，－1] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第7课时　指数与指数函数 $$