第2章 第6课时 幂函数与二次函数-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第二章 函数的概念与性质 第6课时　幂函数与二次函数 链接教材　夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数_____叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点________和________，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点________，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为______；当α为偶数时，y＝xα为______． y＝xα (1，1) (0，0) (1，1) 奇函数 偶函数 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x)＝__________________． 顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________． 零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f (x)的____． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线)     定义域 R ax2＋bx＋c(a≠0) (m，n) 零点 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 值域 对称轴 方程 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当____时是偶函数，当____时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递__； 在上单调递__ 在上单调递__； 在上单调递__ b＝0 b≠0 减 增 增 减 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 [常用结论] 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，x∈[m，n]. (1)当－≤m时，最小值为f (m)，最大值为f (n)； (2)当m＜－时，最小值为f ，最大值为f (n)； (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f (m)； (4)当－＞n时，最小值为f (n)，最大值为f (m)． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝是幂函数． (　　) (2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上单调递增． (　　) (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是． (　　) × √ √ × 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 √ 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P86T7改编)函数f (x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2]　　B．[－6，1]　　C．[0，2]　　D．[0，1] A　[函数f (x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为x＝1，则f (x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f (x)max＝f (1)＝2，f (x)min＝f (－1)＝－2－4＝－6，即f (x)的值域为[－6，2].] 2．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f (x)＝3x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为__________________________． (－∞，30]∪[120，＋∞)　[依题意知，20或≤5，解得k≥120或k≤30．] (－∞，30]∪[120，＋∞) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T5改编)已知幂函数y＝f (x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间__________上单调递减． y＝　(0，＋∞)　[设y＝f (x)＝xα，因为图象过点，代入解析式得α＝－，则y＝，由性质可知函数y＝在(0，＋∞)上单调递减．] 4．(人教A版必修第一册P91练习T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接) c<b<a　[由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a.] y＝ (0，＋∞) c<b<a 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 典例精研　核心考点 第6课时　幂函数与二次函数 考点一　幂函数的图象及性质 [典例1]　(1)若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的 图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1　　　 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n 　 D．－1<n<0<m<1 (2)(2024·成都石室中学模拟)幂函数f (x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　) A．m＝4 　 B．f (x)是减函数 C．f (x)是奇函数 　 D．f (x)是偶函数 (3)若<，则实数a的取值范围是_________． √ √ (1)D　(2)C　(3)　[(1)幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，不妨令x＝2，根据图象可得2-1<2n，所以－1<n<0．综上所述，故选D. (2)函数f (x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1. 当m＝4时，f (x)＝x4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件，A错误； 当m＝－1时，f (x)＝x-1在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意． 函数f (x)＝x-1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，B错误； 因为函数定义域关于原点对称，且f (－x)＝＝－f (x)，所以函数f (x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．故选C. (3)易知函数y＝的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以 解得－1≤a<.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 名师点评　与幂函数有关问题的解题思路 (1)关于幂函数y＝xα，若α∈Z且函数是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将xα先化为根式，再分析函数的性质． (2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0. (3)在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 [跟进训练] 1．已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．b<a<c 　 B．a<b<c C．b<c<a 　 D．c<a<b A　[a＝＝，b＝＝，c＝，幂函数y＝在R上单调递增，a<c，指数函数y＝16x在R上单调递增，b<a，∴b<a<c.故选A.] √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 考点二　二次函数的图象与解析式 [典例2]　(1)(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象 如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则(　　) A．b2＞4ac 　 B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 　 D．5a＜b (2)已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝____________． (1)AD　(2)－4x2＋4x＋7　[(1)在题图中，二次函数与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合题图，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确． √ √ －4x2＋4x＋7 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 (2)法一(利用“一般式”) 设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用“顶点式”) 设f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f (x)＝a＋8.因为f (2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f (x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 法三(利用“零点式”) 由已知f (x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f (x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f (x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍)． 故所求函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7．] 名师点评　研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 [跟进训练] 2．(1)若abc＞0，则二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) A　　　　　　　B　　　　　 　　C　　　　　　　D (2)函数f (x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于直线x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0．请写出函数f (x)的一个解析式：___________________________．(写出一个即可) √ f (x)＝x2－4x＋5(答案不唯一) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 (1)D　(2)f (x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)　[(1)在A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意；D中，a＞0，b＜0，c＜0，符合题意．故选D. (2)由二次函数的对称性、值域及单调性可知解析式取f (x)＝(x－2)2＋1， 此时f (x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足②， ∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0， 等价于f (x)在(－∞，0)上单调递减，∴f (x)＝(x－2)2＋1满足③， 又f (x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①， 故f (x)的解析式可以为f (x)＝x2－4x＋5．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 考点三　二次函数的单调性与最值 [典例3]　已知函数f (x)＝x2－tx－1. (1)若f (x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； (2)若x∈[－1，2]，求f (x)的最小值g(t)． [解]　f (x)＝x2－tx－1＝－1－. (1)依题意，－1<<2，解得－2<t<4，∴实数t的取值范围是(－2，4)． (2)①当2，即t≥4时，f (x)在[－1，2]上单调递减，∴f (x)min＝f (2)＝3－2t. ②当－1<<2，即－2<t<4时，f (x)min＝f ＝－1－. ③当≤－1，即t≤－2时，f (x)在[－1，2]上单调递增，∴f (x)min＝f (－1)＝t. 综上有g(t)＝ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 [拓展变式]　本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f (x)的最大值G(t)． [解]　∵f (－1)＝t，f (2)＝3－2t，∴f (x)max＝max{f (－1)，f (2)}． 又f (2)－f (－1)＝3－3t，当t≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)，∴f (x)max＝f (－1)＝t； 当t<1时，f (2)－f (－1)>0，∴f (2)>f (－1)，∴f (x)max＝f (2)＝3－2t， 综上有G(t)＝ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 【教师备选资源】 已知函数f (x)＝x2＋(2a－1)x－3，若函数f (x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值． [解]　函数图象的对称轴为直线x＝－. ①当－≤1，即a≥－时，f (x)max＝f (3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意． ②当－＞1，即a＜－时，f (x)max＝f (－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．综上可知，a＝－或－1. 名师点评　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 [跟进训练] 3．(1)已知函数f (x)＝x2＋2x＋1，若f (x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则实数k的取值范围为____________． (2)设函数f (x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f (x)的最小值． (1)(－∞，1)　[由题意得x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]. ∵g(x)在[－3，－1]上单调递减，∴g(x)min＝g(－1)＝1．∴k<1.故k的取值范围为(－∞，1)．] (－∞，1) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 (2)[解]　f (x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1. 当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图①所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f (t＋1)＝t2＋1. 当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图②所示，在对称轴x＝1处f (x)取得最小值，最小值为f (1)＝1. 当t≥1时，函数图象如图③所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f (t)＝t2－2t＋2. 综上可知，f (x)min＝ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第6课时　幂函数与二次函数 $$