第2章 第5课时 函数性质的综合应用-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第二章 函数的概念与性质 第5课时　函数性质的综合应用 典例精研　核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 考点一　函数的奇偶性与单调性 [典例1]　(1)(2024·浙江金华期中)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f (x1)－f (x2)＜x1－x2，则关于x的不等式f (x2－1)＋f (－2x－2)＜x2－2x－3的解集为(　　) A．(－3，1) 　　　　　　　　　　 B．(－1，3) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)　　　　 D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) (2)(多选)(2023·四省联考)已知f (x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f (x)，g(x)在(－∞，0]上均单调递减，则(　　) A．f (f (1))＜f (f (2))　 B．f (g(1))＜f (g(2)) C．g(f (1))＜g(f (2)) 　 D．g(g(1))＜g(g(2)) √ √ √ (1)B　(2)BD　[(1)因为对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f (x1)－f (x2)＜x1－x2，即f (x1)－x1＜f (x2)－x2，令g(x)＝f (x)－x，则g(x)在R上单调递增，因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (－2x－2)＝－f (2x＋2)，由f (x2－1)＋f (－2x－2)＜x2－2x－3得f (x2－1)－(x2－1)＜－f (－2x－2)－(2x＋2)＝f (2x＋2)－(2x＋2)，即g(x2－1)＜g(2x＋2)，所以由g(x)的单调性得x2－1＜2x＋2，即x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0，所以－1＜x＜3，即f (x2－1)＋f (－2x－2)＜x2－2x－3的解集为(－1，3)．故选B. (2)因为f (x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f (x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以f (1)＜f (2)，g(0)＝0＞g(1)＞g(2)，所以f (g(1))＜f (g(2))，g(f (1))＞g(f (2))，g(g(1))＜g(g(2))，所以BD正确，C错误； 若|f (1)|＞|f (2)|，则f (f (1))＞f (f (2))，A错误．故选BD.] 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　函数性质的综合应用 名师点评　1．比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小． 2．对于抽象函数不等式的求解，先将不等式变形为f (x1)>f (x2)的形式，再结合单调性，脱去“f ”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　函数性质的综合应用 [跟进训练] 1．(1)(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1，1]∪[3，＋∞) 　 B．[－3，－1]∪[0，1] C．[－1，0]∪[1，＋∞) 　 D．[－1，0]∪[1，3] (2)(多选)定义在R上的奇函数f (x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是(　　) A．f (b)－f (－a)<g(a)－g(－b) B．f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b) C．f (a)＋f (－b)<g(b)－g(－a) D．f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a) √ √ √ 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　函数性质的综合应用 (1)D　(2)AC　[(1)因为函数f (x)为定义在R上的奇函数，则f (0)＝0. 又f (x)在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，画出函数f (x)的大致图象如图①所示，则函数f (x－1)的大致图象如图②所示． 当x≤0时，要满足xf (x－1)≥0，则f (x－1)≤0，得－1≤x≤0. 当x＞0时，要满足xf (x－1)≥0，则f (x－1)≥0，得1≤x≤3. 故满足xf (x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D. (2)函数f (x)为R上的奇函数，且为单调递减函数，偶函数g(x) 在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，由a>b>0，得 f (a)<f (b)<0，f (a)＝g(a)，f (b)＝g(b)． 对于A，f (b)－f (－a)<g(a)－g(－b)⇔f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)<0(因为f (a)＝g(a)在a>0上成立)，所以A正确； 对于B，f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b)⇔f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)>0，这与f (b)<0矛盾，所以B错误； 对于C，f (a)＋f (－b)<g(b)－g(－a)⇔f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]<0，这与f (a)<f (b)符合，所以C正确； 对于D，f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a)⇔f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]>0，这与f (a)<f (b)矛盾，所以D错误．] 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　函数性质的综合应用 考点二　函数的奇偶性与周期性 [典例2]　(1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，且f (x＋2)是偶函数，f (2x＋1)是奇函数，则(　　) A．f ＝0　　　 B．f (－1)＝0 C．f (2)＝0 　 D．f (4)＝0 (2)若定义在R上的偶函数f (x)满足f (2－x)＝－f (x)，且当1≤x≤2时，f (x)＝x－1，则f 等于(　　) A．　　 B． C．　　 D．－ √ √ 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　函数性质的综合应用 (1)B　(2)D　[(1)∵f (x＋2)是偶函数，则f (－x＋2)＝f (x＋2)，∵f (2x＋1)是奇函数，则f (－2x＋1)＝－f (2x＋1)，且由F(x)＝f (2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f (1)＝0，∴f (－1)＝－f (3)＝－f (1)＝0，且易知函数f (x)的周期为4，其他几个不一定为0，故选B. (2)∵函数f (x)是偶函数，∴f (－x)＝f (x)，又∵f (2－x)＝－f (x)，∴f (2－x)＝－f (－x)，∴f (x＋2)＝－f (x)，∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝－[－f (x)]＝f (x)，∴函数f (x)的周期为4，∴f ＝f ＝f ＝f ＝－f ＝－f ＝－.] 名师点评　周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常先利用奇偶性推导出周期性，然后将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　函数性质的综合应用 [跟进训练] 2．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x＋1)＝f (－x＋1)，当0<x≤1时，f (x)＝x2－2x＋3，则f 等于(　　) A．－　　 B．　 C．－　　 D． √ C　[由题意，函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x＋1)＝f (－x＋1)， 可得f (x＋1)＝－f (x－1)，所以f (x)＝f (x＋4)， 所以函数f (x)是周期为4的周期函数． 又由当0<x≤1时，f (x)＝x2－2x＋3， 则f ＝f ＝－f ＝－f ＝－＝－.] 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　函数性质的综合应用 考点三　函数的奇偶性与对称性 [典例3]　(1)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝ f (x)的图象关于直线x＝2对称，若f (－1)＝－1，则g(3)＝(　　) A．5　　 B．1　 C．－1　　 D．－5 (2)定义在R上的奇函数f (x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f (x)在[0，2)上单调递增，则(　　) A．f (11)<f (12)<f (21) B．f (21)<f (12)<f (11) C．f (11)<f (21)<f (12) D．f (21)<f (11)<f (12) √ √ 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　函数性质的综合应用 (1)B　(2)A　[(1)因为g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(x＋2)＝g(2－x)，又g(2－x)＝ f (2－x)＝ f (2－x)，且g(x＋2)＝ f (x＋2)，所以 f (2－x)＝ f (2＋x)对任意的x∈R恒成立，所以f (2－x)＝f (2＋x)，因为f (－1)＝－1且f (x)为奇函数，所以f (3)＝f (2＋1)＝f (2－1)＝f (1)＝－f (－1)＝1，因此，g(3)＝ f (3)＝f (1)＝1.故选B. (2)∵函数f (x)的图象关于点(－2，0)对称，∴f (x－4)＝－f (－x)，又f (x)为定义在R上的奇函数，所以－f (－x)＝f (x)，所以f (x－4)＝f (x)，即函数f (x)是周期函数且周期是4，则f (11)＝f (－1)，f (12)＝f (0)，f (21)＝f (1)，∵f (x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，则f (x)在(－2，2)上单调递增，∴f (－1)<f (0)<f (1)，即f (11)<f (12)<f (21)．故选A.] 名师点评　由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等． 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　函数性质的综合应用 [跟进训练] 3．已知函数f (x)是R上的偶函数，且f (x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[0，1]时，f (x)＝2－2x，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 024)的值为(　　) A．－2　　B．－1　　C．0　　D．1 D　[∵f (x)的图象关于点(1，0)对称，∴f (－x)＝－f (2＋x)，又f (x)为R上的偶函数，∴f (x)＝f (－x)，∴f (x＋2)＝－f (－x)＝－f (x)，∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝－[－f (x)]＝f (x)，∴f (x)是周期为4的周期函数，∴f (3)＝f (－1)＝f (1)＝2－2＝0，又f (0)＝1，f (2)＝－f (0)＝－1，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 024)＝506×[ f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (2 024)＝506×(1＋0－1＋0)＋f (0)＝1．] √ 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　函数性质的综合应用 考点四　函数的对称性与周期性 [典例4]　(1)(2024·山东济南期末)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋2)为奇函数，f (2x＋1)为偶函数，则函数f (x)的周期是(　　) A．2 　 B．3 C．4 　 D．5 (2)(2023·广东广州一模)已知函数f (x)的定义域为R，且f (x＋1)＋f (x－1)＝2，f (x＋2)为偶函数，若f (0)＝2，则＝(　　) A．116 　 B．115 C．114 　 D．113 √ √ 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　函数性质的综合应用 (1)C　(2)C　[(1)因为f (x＋2)为奇函数，所以f (－x＋2)＝－f (x＋2), 因为f (2x＋1)为偶函数，所以f (－2x＋1)＝f (2x＋1)，则f (－x＋1)＝f (x＋1)，则f [－(x＋1)＋1]＝f (x＋2)，即f (－x)＝f (x＋2)，所以f (－x＋2)＝－f (－x)，即f (x＋2)＝－f (x)，则f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以f (x)的周期是4.故选C. (2)由f (x＋1)＋f (x－1)＝2，得f (x＋2)＋f (x)＝2，即f (x＋2)＝2－f (x)，所以f (x＋4)＝2－f (x＋2)＝2－[2－f (x)]＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4，又f (x＋2)为偶函数，则f (－x＋2)＝f (x＋2)，所以f (x)＝f (4－x)＝f (－x)，所以函数f (x)也为偶函数，又f (x＋1)＋f (x－1)＝2，所以f (1)＋f (3)＝2，f (2)＋f (4)＝2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4，又f (1)＋f (－1)＝2，即2f (1)＝2，所以f (1)＝1，又f (0)＋f (2)＝2，f (0)＝2，∴f (2)＝0，所以 ＝[ f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]×28＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝4×28＋2＋0＝114.故选C.] 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　函数性质的综合应用 名师点评　函数的周期性与对称性的关系 (1)如果f (x)的图象关于点(a，0)对称，且关于直线x＝b(a≠b)对称，则函数f (x)的周期T＝4|a－b|.(类比y＝sin x的图象) (2)如果f (x)的图象关于点(a，0)对称，且关于点(b，0)(a≠b)对称，则函数f (x)的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sin x的图象) (3)若函数f (x)的图象关于直线x＝a与直线x＝b(a≠b)对称，那么函数的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sin x的图象) 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　函数性质的综合应用 [跟进训练] 4．(1)(2023·天津和平区一模)已知f (x)是定义在R上的函数，且对任意x∈R都有f (x＋2)＝f (2－x)＋4f (2)，若函数y＝f (x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，则f (2 024)＝(　　) A．6 　 B．3 C．0 　 D．－3 (2)(2021·全国甲卷)设函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为奇函数，f (x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f (x)＝ax2＋b.若f (0)＋f (3)＝6，则f ＝(　　) A．－ 　 B．－ C． 　 D． √ √ 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　函数性质的综合应用 (1)C　(2)D　[(1)令x＝0，得f (2)＝f (2)＋4f (2)，即f (2)＝0，f (x＋2)＝f (2－x)， 因为函数y＝f (x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，所以函数y＝f (x)的图象关于点(0，0)对称，即f (－x)＝－f (x)，所以f (x＋2)＝f (2－x)＝－f (x－2)，即f (x＋4)＝－f (x)，f (x＋8)＝f (x)，故f (x)是周期为8的周期函数，所以f (2 024)＝f (253×8＋0)＝f (0)＝0.故选C. (2)由于f (x＋1)为奇函数，所以函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，即有f (x)＋f (2－x)＝0，所以f (1)＋f (2－1)＝0，得f (1)＝0，即a＋b＝0　①.由于f (x＋2)为偶函数，所以函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，即有f (x)－f (4－x)＝0，所以f (0)＋f (3)＝－f (2)＋f (1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6　②. 根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f (x)＝－2x2＋2. 根据函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f (x)的周期为4，所以f ＝f ＝－f ＝2×－2＝.] 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　函数性质的综合应用 $$