第2章 第4课时 函数的对称性-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第二章 函数的概念与性质 第4课时　函数的对称性 链接教材　夯基固本 第4课时　函数的对称性 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于___对称． (2)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线____对称；若函数y＝f (x＋a)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象的对称中心为点________． 原点 y轴 x＝a (a，0) 2．函数的轴对称和中心对称 (1)若函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称，则f (a－x)＝f (a＋x)⇔f (2a－x)＝f (x)． (2)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＝－f (a＋x)，则函数y＝f (x)的图象关于点_______对称． (3)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＋f (b＋x)＝c，则函数f (x)的图象的对称中心为. 3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于___对称； (2)函数y＝f (x)与y＝－f (x)的图象关于___对称； (3)函数y＝f (x)与y＝－f (－x)的图象关于____对称． (4)函数y＝f (a－x)与y＝f (x－b)的图象关于直线x＝对称． (a，0) y轴 x轴 原点 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数y＝f (x－1)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称． (　　) (2)若函数y＝f (x＋1)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称． (　　) (3)若函数f (x)满足f (x－1)＝f (x＋1)，则f (x)的图象关于y轴对称． (　　) (4)若函数f (x)满足f (1＋x)＝－f (1－x)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称． (　　) × √ × × 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P85思考改编)函数f (x)＝x3＋x的图象关于(　　) A．x轴对称　　B．y轴对称　　C．原点对称　　D．直线y＝x对称 C　[因为f (x)＝x3＋x为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．故选C.] 2．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y＝的图象之间的关系是(　　) A．关于x轴对称 　 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 　 D．关于直线y ＝x对称 B　[因为y＝＝3－x，所以函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称．故选B.] √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 √ 3．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中，其图象关于y轴对称的是(　　) A．y＝　　B．y＝x＋　　C．y＝ 　　D．y＝x－ AC　[由y＝知定义域为R，且f (－x)＝＝＝f (x)，所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，所以A正确； 由y＝x＋知定义域为{x|x≠0}，且f (－x)＝(－x)＋＝－＝－f (x)， 所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，所以B错误； 由y＝知定义域为R，且f (－x)＝＝＝f (x)，所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，所以C正确； 由y＝x－知定义域为{x|x≠0}，且f (－x)＝(－x)－＝－＝－f (x)，所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，所以D错误．故选AC.] √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 4．(人教A版必修第一册P87T13(1)改编)函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．已知f (x)＝mx3＋nx＋1. (1)若f (x)在[－6，6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________； (2)若m＝1，n＝－3，则函数f (x)的对称中心为点________． 2 (0，1) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 (1)2　(2)(0，1)　[(1)∵y＝mx3＋nx在R上为奇函数，∴在[－6，6]上，ymax＝－ymin，∴M＋N＝(ymax＋1)＋(ymin＋1)＝2. (2)法一：由(1)知，y＝mx3＋nx为奇函数，所以对称中心为点(0，0)，所以函数f (x)的对称中心为点(0，1)． 法二：∵g(x)＝f (x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)＋1－b＝x3＋3ax2＋(3a2－3)x＋a3－3a＋1－b，在R上为奇函数，所以⇒ 所以函数f (x)的对称中心为点(0，1)．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 典例精研　核心考点 第4课时　函数的对称性 考点一　轴对称问题 [典例1]　(1) 已知定义在R上的函数y＝f (x＋1)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x)＞f (x＋2)的x的取值范围为(　　) A．(2，＋∞)　　　　 B．(－∞，0)∪(2，＋∞) C． 　 D．∪(2，＋∞) (2)(多选)(2024·承德模拟)已知函数f (x)的定义域为R，对任意x都有f (2＋x)＝f (2－x)，且f (－x)＝f (x)，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的图象关于直线x＝2对称　　 B．f (x)的图象关于点(2，0)对称 C．f (x)的周期为4　　　　　　　　 D．y＝f (x＋4)为偶函数 √ √ √ √ (1)B　(2)ACD　[(1)函数y＝f (x＋1)是偶函数， 且在[0，＋∞)上单调递增，即函数y＝f (x＋1)的对称轴为y轴， 又函数y＝f (x＋1)向右平移1个单位长度可得y＝f (x)， ∴函数y＝f (x)的对称轴为直线x＝1，且在[1，＋∞)上单调递增，∴由f (2x)＞f (x＋2)得|2x－1|＞|x＋2－1|， 解得x＜0或x＞2.故选B. (2)∵f (2＋x)＝f (2－x)，∴f (x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误； ∵函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，∴f (－x)＝f (x＋4)，又f (－x)＝f (x)， ∴f (x＋4)＝f (x)，∴函数f (x)的周期为4，故C正确； ∵f (x)的周期为4且为偶函数，∴y＝f (x＋4)为偶函数，故D正确．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 名师点评　轴对称的几种表述形式 (1)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称⇔f (x)＝f (2a－x)⇔f (a－x)＝f (a＋x)； (2)若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (b－x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝成轴对称． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 [跟进训练] 1．(1)已知函数f (x)＝3|x－a|＋2，且满足f (5＋x)＝f (3－x)，则f (6)＝(　　) A．29　　B．11　　C．3　　D．5 (2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，则该函数图象的对称轴为直线x＝____． (1)B　(2)1　[(1)因为f (5＋x)＝f (3－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝4对称，而f (x)＝3|x－a|＋2的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，f (6)＝3|6-4|＋2＝11.故选B. (2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，∵g(1＋x)－g(1－x) ＝(1＋x)2－2(1＋x)＋a(e1+x-1＋e-1-x+1)－(1－x)2＋2(1－x)－a(e1-x-1＋e-1+x+1) ＝x2－1＋a(ex＋e－x)－x2＋1－a(e－x＋ex)＝0， ∴y＝g(x＋1)是一个偶函数． ∴g(x)的图象关于直线x＝1轴对称. ] √ 1 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 考点二　中心对称问题 [典例2]　(1)(多选)(2024·湖北武汉模拟)已知函数f (x)定义域为R，f (x＋2)为偶函数，f (－3x＋1)为奇函数，则下列式子一定成立的是(　　) A．f (2)＝0 　 B．f (1)＝0 C．f (0)＝0 　 D．f (－1)＝0 (2)已知函数f (x)满足：对任意的x∈R，f (x)＋f (5－x)＝－1．若函数y＝f (x)与y＝图象的交点为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，则　　　　的值为(　　) A．0　　 B．n C．2n　　 D．3n √ √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 (1)BD　(2)C　[(1)因为f (x＋2)为偶函数，所以f (x＋2)＝f (－x＋2)，函数f (x)关于直线x＝2对称，因为f (－3x＋1)为奇函数，所以f (－3x＋1)＝－f (3x＋1)，函数f (x)关于点(1，0)对称，因为函数f (x)定义域为R，所以f (1)＝0，B正确； 又因为函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，所以f (3)＝0，由f (－3x＋1)＝－f (3x＋1)，令x＝，可得f (－1)＝－f (3)＝0，D正确； 可构造函数f (x)＝cos 满足题意，此时f (2)＝cos 0＝1，f (0)＝cos (－π)＝－1，AC错误．故选BD. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 (2)由对任意的x∈R，f (x)＋f (5－x)＝－1， 可知函数的图象关于点对称， 又y＝＝＝－， 所以函数y＝图象的中心对称点为， 所以两个函数图象的交点成对出现，且每对交点都关于点对称， 则x1＋xn＝x2＋xn－1＝…＝×2＝5，y1＋yn＝y2＋yn－1＝…＝－×2＝－1， 所以＝5×＋(－1)×＝2n.故选C.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 名师点评　中心对称的几种表述形式 (1)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称⇔f (a＋x)＋f (a－x)＝2b⇔2b－f (x)＝f (2a－x)；若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝f (x)的图象关于点成中心对称． (2)双曲线型函数f (x)＝的图象的对称中心为. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 [跟进训练] 2．(1)若函数f (x)满足f (2－x)＋f (x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f (x－1)－1 　 B．f (x－1)＋1 C．f (x＋1)－1 　 D．f (x＋1)＋1 (2)(多选)以下函数的图象是中心对称图形的是(　　) A．f (x)＝2x2＋1 　 B．f (x)＝x3 C．f (x)＝ 　 D．f (x)＝ √ √ √ √ (1)D　(2)BCD　[(1)因为f (2－x)＋f (x)＝－2，所以f (x)关于点(1，－1)对称，所以将f (x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f (x＋1)＋1，该函数的对称中心为点(0，0)，故y＝f (x＋1)＋1为奇函数． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 (2)对于A，由二次函数的性质可知，函数f (x)＝2x2＋1无对称中心，故A错误； 对于B，函数f (x)＝x3是奇函数，故其图象关于原点对称，故B正确； 对于C，f (x)＝＝＝2＋，所以f (x)＝的图象可以由反比例函数y＝的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，且反比例函数y＝的图象关于原点对称，所以函数f (x)＝的图象关于点(1，2)对称，故C正确； 对于D，函数的定义域为R，且f (0)＝0， 当x＞0时，－x＜0，f (－x)＝－x(1＋x)＝－f (x)， 当x＜0时，－x＞0，f (－x)＝－x(1－x)＝－f (x)， 所以函数f (x)为奇函数，图象关于原点对称，故D正确． 故选BCD.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 考点三　两函数图象间的对称问题 [典例3]　(1)已知函数y＝f (x)是定义域为R的函数，则函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称　 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 　 D．关于点(3，0)对称 (2)(多选)函数f (x)＝sin x的图象与g(x)＝cos x的图象关于某条直线对称，这条直线的方程可以是(　　) A．x＝ 　 B．x＝ C．x＝－ 　 D．x＝－ √ √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 (1)A　(2)AD　[(1)设P(x0，y0)为y＝f (x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f (x0＋2)＝f (4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f (4－x)的图象上， 而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象关于直线x＝1对称． (2)设这条直线的方程是x＝a，∵函数f (x)＝sin x的图象与g(x)＝cos x的图象关于直线x＝a对称，∴sin (2a－x)＝cos x，即cos ＝cos x， ∴－(2a－x)＝x＋2kπ，k∈Z，解得a＝－kπ，k∈Z，当k＝0时，a＝； 当k＝2时，a＝－. 故选AD.] 名师点评　函数y＝f (a＋x)的图象与函数y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 [跟进训练] 3．设函数y＝f (x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f (3)＋f (9)＝1，实数m的值为________． 1　[∵函数y＝f (x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，∴x＝log3y－m， ∴f (x)＝log3x－m， ∴f (3)＋f (9)＝1－m＋2－m＝1，∴m＝1．] 1 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第4课时　函数的对称性 $$