第2章 第2课时 函数的单调性与最值-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第二章 函数的概念与性质 第2课时　函数的单调性与最值 链接教材　夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义   增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有________________，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有________________，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述     自左向右看图象是上升的        自左向右看图象是下降的 f (x1)<f (x2) f (x1)>f (x2) (2)单调区间的定义 如果函数y＝f (x)在区间I上________或________，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，_____叫做y＝f (x)的单调区间． 提醒：若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有_________； ②∃x0∈D，使得__________ ①∀x∈D，都有_________； ②∃x0∈D，使得__________ 结论 M为最大值 M为最小值 单调递增 单调递减 区间I f (x)≤M f (x0)＝M f (x)≥M f (x0)＝M 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 [常用结论] 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)>0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0)⇔f (x)在D上单调递增； (2)<0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0)⇔f (x)在D上单调递减． 2．若函数f (x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数； (2)若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)单调性相反； (3)函数y＝f (x)(f (x)≠0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝的单调性相反； (4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”． 3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (　　) (2)若函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f (x)的单调递增区间是[1，＋∞)． (　　) (3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定义域上是增函数． (　　) (4)若函数在闭区间上具有单调性，则其最值一定在区间端点取到． (　　) × × × √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P85习题3.2T1改编)如图是函数y＝f (x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增 B．f (x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2 C．f (x)在[－4，1]上有最小值－2，最大值3 D．当直线y＝t与f (x)的图象有三个交点时，－1<t<2 2．(人教A版必修第一册P78例1改编)若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是____________． 　[因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.] √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是____________． (－∞，2]　[由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2．] 4．(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f (x)＝，x∈[2，6]，则f (x)的最大值为________，最小值为________． －　－2　[可判断函数f (x)＝在区间[2，6]上单调递增，所以f (x)max＝f (6)＝－，f (x)min＝f (2)＝－2．] (－∞，2] － －2 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 典例精研　核心考点 第2课时　函数的单调性与最值 考点一　确定函数的单调性(单调区间) 考向1　图象法、性质法确定函数的单调性 [典例1]　(1)函数f (x)＝(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　) A．　　　　 B． C．(－2，3) 　 D． (2)函数f (x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为______________________． √ (－∞，－1]和[0，1] (1)A　(2)(－∞，－1]和[0，1]　[(1)由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数f (x)的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝t，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知，本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间．利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为.故选A. (2)f (x)＝ ＝ 画出函数图象如图所示， 可知函数f (x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1].] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 [拓展变式]　本例(2)的函数换成“y＝|－x2＋2x＋1|”，其单调递增区间是____________________________． [1－，1]，[1＋，＋∞)　[作出函数的图象如图所示， 由图象知，其单调递增区间是[1－，1]，[1＋，＋∞)．] [1－，1]，[1＋，＋∞) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 考向2　定义法、导数法确定函数的单调性 [典例2]　试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． [解]　法一(定义法)：∀x1，x2∈(－1，1)，且x1＜x2，f (x)＝a＝a，f (x1)－f (x2)＝a－a＝，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，函数f (x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)，函数f (x)在(－1，1)上单调递增． 法二(导数法)：f ′(x)＝＝＝－. 当a>0时，f ′(x)<0，函数f (x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f ′(x)>0，函数f (x)在(－1，1)上单调递增． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 名师点评　确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定号、下结论． (2)复合法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数． (3)图象法：如果f (x)是以图象形式给出的，或者f (x)的图象易作出，可由图象直观地判断函数单调性． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性． 提醒：定义域先行，单调区间是定义域的子集． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 [跟进训练] 1．(1)函数f (x)＝的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞) 　 B．(－∞，－1] C．(－∞，0) 　 D．(0，＋∞) (2)(2023·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f (x)＝－ln x 　 B．f (x)＝ C．f (x)＝－ 　 D．f (x)＝3|x-1| √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 (1)B　(2)C　[(1)f (x)＝分解为y＝3u和u＝－x2－2x两个函数，y＝3u在R上单调递增，u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可得函数f (x)＝在(－∞，－1]上单调递增． (2)对于A，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，A选项错误； 对于B，y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，B选项错误； 对于C，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，C选项正确； 对于D，f (x)＝3|x-1|在(0，＋∞)上不单调，D选项错误．故选C.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 考点二　函数单调性的应用 考向1　比较函数值的大小 [典例3]　已知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f (2)，c＝f (e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b 　 B．c>b>a C．a>c>b 　 D．b>a>c √ D　[因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f ＝f .当x2>x1>1时， [f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，可知f (x)在(1，＋∞)上单调递减． 因为1<2<<e，所以f (2)>f >f (e)，所以b>a>c.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 考向2　解抽象不等式 [典例4]　已知函数f (x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x－1)<f的x的取值范围是(　　) A． 　 B． C． 　 D． √ D　[∵函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，∴2x－1≥0且2x－1＜，∴x且x＜，∴≤x＜.故选D.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 考向3　求参数的取值范围 [典例5]　(1)(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] 　 B．(－∞，2] C．[2，＋∞) 　 D．[5，＋∞) (2)(2024·山西朔州模拟)若函数f (x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A． 　 B． C．(1，2) 　 D．(1，2] √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 (1)D　(2)B　[(1)由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f (x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5，故选D. (2)若函数f (x)在R上单调递增，则y＝ax-3单调递增，则a＞1，y＝x＋－3在[4，＋∞)上单调递增， 则≤4，a≤16，又4＋－3≥a4-3，∴a≤， 则实数a的取值范围是，故选B.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 名师点评　函数单调性应用问题的解题策略 (1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，一般转化为不等式组，应注意等价转化和函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围)，根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值，在衔接点处需建立一个不等式． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 [跟进训练] 2．(1)(多选)已知函数f (x)，∀x∈R，都有f (－2－x)＝f (x)成立，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，以下说法正确的是(　　) A．f (0)＞f (－3) B．∀x∈R，f (x)≤f (－1) C．f (a2－a＋1)≥f D．若f (m)＜f (2)，则－4＜m＜2 (2)若函数f (x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为______． √ √ [1，2) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 (1)AB　(2)[1，2)　[(1)由函数f (x)满足f (－2－x)＝f (x)，可知函数f (x)的图象关于直线x＝－1对称，又x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，则函数f (x)在[－1，＋∞)上单调递减．对于选项A，因为|－3－(－1)|＞|0－(－1)|，所以f (0)＞f (－3)，即A正确；对于选项B，由已知可得f (x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，即f (x)max＝f (－1)，即B正确；对于选项C，a2－a＋1＝＋，又f (x)在[－1，＋∞)上单调递减，所以f (a2－a＋1)≤f ，即C错误；对于选项D，若f (m)＜f (2)，则|m－(－1)|＞|2－(－1)|，则m＜－4或m＞2，即D错误．故选AB. (2)f (x)＝＝＝1＋， ∵f (x)在(a，＋∞)上单调递增， ∴⇒1≤a<2．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 考点三　求函数的值域或最值 [典例6]　(1)(2024·山东烟台期末)已知max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，例如max{1，2，3}＝3，若函数f (x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，则f (x)的最小值为(　　) A．2.5　　B．3　　C．4　　D．5 (2)若函数f (x)＝的最小值为f (0)，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，2] 　 B．[－1，0] C．[1，2] 　 D．[0，2] √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 (1)B　(2)D　[(1)在同一平面直角坐标系中作出函数y＝－x2＋4，y＝－x＋2，y＝x＋3的图象， 因为f (x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}， 所以f(x)的图象如图实线所示： 由x＜0，可得A(－1，3)， 由x＞0，可得B， 由图知f (x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝－1时，y＝－(－1)2＋4＝3，当x＝时，y＝＋3＝＞3，所以f (x)的最小值为3.故选B. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 (2)当x＞0时，f (x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，故当x＝1时取得最小值2＋a. ∵f (x)的最小值为f (0)，∴当x≤0时，f (x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0，此时的最小值为f (0)＝a2，故2＋a≥a2，得－1≤a≤2. 又a≥0，得0≤a≤2. 故选D.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 【教师备选资源】 (2024·湖南湘东名校期中)已知函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，用M(x)表示f (x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{ f (x)，g(x)}，若M(x)的最小值为－，则实数a的值为(　　) A．0　 　B．±1　 　C．±　 　D．±2 B　[函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，根据题意作出a＞0时，函数M(x)的图象如图所示： 由图象可知：在点A处取得最小值为－，故2x2－1＝－，解得x＝±， 由图象可知x＝－，将点代入g(x)＝ax得－a＝－，解得a＝1. 同理如果a＜0，则2x2－1＝－，解得x＝±，∴x＝，将点代入g(x)＝ax得a＝－，解得a＝－1．当a＝0时，M(x)的最小值为0，不符合题意．综上所述：a＝±1.故选B.] √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 名师点评　求函数最值的五种常用方法 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 [跟进训练] 3．(1)函数y＝1＋x－的值域为(　　) A． 　 B． C． 　 D． (2)享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[－1.1]＝－2．已知f (x)＝，x∈，则函数f (x)的值域为___________________． √ {4，5，6，7，8} 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 (1)B　(2){4，5，6，7，8}　[(1)法一：设＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2．因为t≥0，所以y≤. 所以函数y＝1＋x－的值域为. 法二：因为y＝1＋x－在定义域上单调递增，所以y＝1＋x－的值域为. (2)易知y＝x＋，x∈在上单调递减，在[2，6)上单调递增． 当x＝2时，y＝x＋＝4；当x＝时，y＝x＋＝＋8；当x＝6时，y＝x＋＝6＋， 所以y＝x＋∈，则函数f(x)的值域为{4，5，6，7，8}．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第2课时　函数的单调性与最值 $$