第2章 第1课时 函数的概念及其表示-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第二章 函数的概念与性质 第1课时　函数的概念及其表示 链接教材　夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 1．函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的______，如果对于集合A中的___________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有____确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A 定义域 __的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合____________ 实数集 任意一个数x 唯一 x {f (x)|x∈A} 2．同一个函数 如果两个函数的______相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法：______、______、______． 提醒：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的____． 定义域 对应关系 解析法 图象法 列表法 并集 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 [常用结论] 1．注意以下几个特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合． (3)f (x)的解析式为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合． (4)若f (x)＝x0，则f (x)的定义域为{x|x≠0}． (5)正切函数y＝tan x的定义域为. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为. (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数． (　　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B． (　　) (3)函数y＝f (x)的图象可以是一条封闭曲线． (　　) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数． (　　) × × × × 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P101T7改编)设函数f (x)＝则f (f (－1))＝(　　) A．16　　　B．4　　　C．5　　　D．－4 A　[f (f (－1))＝f (2)＝16.故选A.] 2．(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数f (x)＝|x－1|的图象是(　　) B　[函数f (x)＝|x－1|＝结合选项可知，选项B正确．故选B.] A　　　　B　　 　　C　　　　D √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 √ 3．(多选)(人教A版必修第一册P67练习T3改编)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f (x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f (x)＝与g(x)＝x C．f (x)＝与g(x)＝ D．f (x)＝x与g(x)＝ AC　[f (x)＝与g(x)＝x的值域不同；f (x)＝x与g(x)＝＝|x|的对应关系不同，故BD错误，AC正确．] 4．(人教A版必修第一册P65例2改编)已知函数f (x)＝x＋，则f (x)的定义域为_____________________；若f (a)＝2，则a的值为________． (－∞，0)∪(0，＋∞)　1　[要使函数f(x)有意义，必须使x≠0， 故f (x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 由f (a)＝2得a＋＝2，解得a＝1．] √ (－∞，0)∪(0，＋∞) 1 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 典例精研　核心考点 第1课时　函数的概念及其表示 考点一　求函数的定义域 [典例1]　(1)(2024·河北衡水中学模拟)已知函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　) A．(1，5]　　　　　 B．(1，2)∪(2，5) C．(1，2)∪(2，3] 　 D．(1，3] (2)(2024·河南南阳模拟)函数y＝lg (1＋tan πx)＋的定义域为_______． √ (1)C　(2)　[(1)因为函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，函数y＝＋(x－2)0有意义，所以解得1<x<2或2<x≤3， 所以函数y＝＋(x－2)0的定义域是(1，2)∪(2，3].故选C. (2)由题意得解得－<x<.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 名师点评　求函数的定义域的策略 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求抽象函数的定义域： ①若f (x)的定义域为[m，n]，则在f (g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的取值范围即为f (g(x))的定义域． ②若f (g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的取值范围，即为f (x)的定义域． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 [跟进训练] 1．(1)(2024·重庆模拟)已知函数y＝f (x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f (2x－1)的定义域是(　　) A． 　 B．[－1，4] C．[－5，5] 　 D．[－3，7] (2)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　) A． 　 B． C． 　 D． √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 (1)A　(2)D　[(1)∵函数y＝f (x＋1)的定义域为[－2，3]， ∴x∈[－2，3]，则x＋1∈[－1，4]，即函数f (x)的定义域为[－1，4]， ∴－1≤2x－1≤4，得0≤x≤，∴函数y＝f (2x－1)的定义域为. 故选A. (2)由题意知，ax2－4ax＋2＞0的解集为R. 当a＝0时，2＞0恒成立，满足题意； 当a≠0时，解得0<a<. 综上，实数a的取值范围是.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 考点二　求函数的解析式 [典例2]　求下列函数的解析式： (1)已知f (1－sin x)＝cos2x，求f (x)的解析式； (2)已知f ＝x2＋，求f (x)的解析式； (3)已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，求f (x)的解析式； (4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)的解析式． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 【教师备选资源】 (5)设f (x)＝，又记f1(x)＝f (x)，fk＋1(x)＝f ( fk(x))，k＝1，2，…，则f2024(x)＝(　　) A．　　B．　　C．x 　　D．－ [解]　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t. ∵f (1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，∴f (t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f (x)＝2x－x2，x∈[0，2]. (2)(配凑法)∵f ＝x2＋＝－2，令t＝x＋，当x＞0时，t≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，当x＜0时，t＝－≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴f (t)＝t2－2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴f (x)＝x2－2，x∈(－∞，－2] ∪[2，＋∞)． √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 (3)(待定系数法)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f (0)＝2，得c＝2， f (x＋1)－f (x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1， 所以即 所以f (x)＝x2－x＋2. (4)(解方程组法)∵2f (x)＋f (－x)＝3x，① ∴将x用－x替换， 得2f (－x)＋f (x)＝－3x，② 由①②解得f (x)＝3x. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 【教师备选资源】 (5)C　[(归纳法)由已知条件得到f2(x)＝f ( f1(x))＝＝＝－， f3(x)＝f ( f2(x))＝＝＝， f4(x)＝f ( f3(x))＝＝＝x， f5(x)＝f ( f4(x))＝， 可见fn(x)是以4为周期的函数，而2 024＝506×4，所以f2 024(x)＝f4(x)＝x.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 名师点评　求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f (g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f (x)的解析式，注意g(x)的取值范围． (4)解方程组法：已知关于f (x)与f 或f (－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x)． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 [跟进训练] 2．(1)(易错题)已知f (＋1)＝x－2，则f (x)＝________________． (2)已知f (x)满足f (x)－2f ＝2x，则f (x)＝________． (3)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f ( f (x))＝16x＋5，则f (x)＝______． (1)x2－4x＋3(x≥1)　(2)－x－　(3) 4x＋1　[(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f (t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)． 法二(配凑法)：f (＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3， 因为＋1≥1，所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)． x2－4x＋3(x≥1) －x－ 4x＋1 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 (2)因为f (x)－2f ＝2x，① 以代替①中的x，得f －2f (x)＝，② ①＋②×2得－3f (x)＝2x＋， 所以f (x)＝－x－. (3)∵f (x)为单调递增的一次函数，∴设f (x)＝ax＋b，a>0，故f ( f (x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，∴a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－(不合题意，舍去)．因此f (x)＝4x＋1．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 考点三　分段函数 考向1　求值问题 [典例3]　(1)(2024·四川成都七中模拟)已知函数f (x)＝则f ( f (－4))＝(　　) A．－6　　B．0　　C．4　　D．6 (2)(2021·浙江高考)已知a∈R，函数f (x)＝若f ( f ())＝3，则a＝____． (1)A　(2)2　[(1)由分段函数可知，当x≤0时，周期T＝1，所以f (－4)＝f (－4＋5)＝f (1)＝1－3－4＝－6， 所以f ( f (－4))＝f (－6)＝f (－6＋7)＝f (1)＝－6.故选A. (2)因为>2，所以f ()＝6－4＝2， 所以f ( f ())＝f (2)＝1＋a＝3，解得a＝2．] √ 2 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 考向2　解方程或不等式 [典例4]　(1)函数f (x)＝若实数a满足f (a)＝f (a－1)，则f ＝(　　) A．2　　 B．4 C．6　　 D．8 (2)已知函数f (x)＝则f (x)＜f (x＋1)的解集为____________． √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 (1)D　(2)　[(1)由分段函数的定义知，f (x)的定义域是(－1，＋∞)，所以a>0. ①当0<a<1时，－1<a－1<0，则f (a)＝f (a－1)可化为2a＝，解得a＝，∴f ＝f (4)＝8. ②当a≥1时，a－1≥0，则f (a)＝f (a－1)可化为2a＝2(a－1)，方程无解．故选D. (2)由题意知，当x≤0时，x＋1≤1，f (x)＜f (x＋1)⇔x2－1＜(x＋1)2－1，解得－＜x≤0. 当0＜x≤1时，x＋1＞1，此时f (x)＝x2－1≤0，f (x＋1)＝log2(x＋1)＞0. 所以当0＜x≤1时，恒有f (x)＜f (x＋1)， 当x＞1时，f (x)＜f (x＋1)⇔log2x＜log2(x＋1)恒成立． 综上可知，f (x)＜f (x＋1)的解集为.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 名师点评　分段函数的几类题型及解决方法 (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参． (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． (3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 [跟进训练] 3．(1)已知函数f (x)＝若f ( f (a))＝2，则a等于(　　) A．0或1 　 B．－1或1 C．0或－2 　 D．－2或－1 (2)已知函数f (x)＝若f (a)＝4，则实数a的值是________；若f (a)≥2，则实数a的取值范围是_____________________． √ －2或5 [－3，－1)∪[4，＋∞) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 (1)D　(2)－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞) [(1)令f (a)＝t，则f (t)＝2，可得t＝0或t＝1，当t＝0时，即f (a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0⇒a＝－2，当t＝1时，即f (a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1⇒a＝－1，综上所述，a＝－2或－1. (2)若f (a)＝4，则或 解得a＝－2或a＝5. 若f (a)≥2，则或 解得－3≤a<－1或a≥4， ∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　函数的概念及其表示 $$