第1章 第5课时 一元二次方程、不等式-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 第5课时　一元二次方程、不等式 考试 要求 能从实际情景中抽象出一元二次不等式. 了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式. 链接教材　夯基固本 第5课时　一元二次方程、不等式 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象       提醒：解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根． 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ___________________ R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ________________ __ __ {x|x<x1或x>x2} {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 [常用结论] 1．分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)0(≤0)⇔ 2．绝对值不等式：|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数确定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0． (　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2． (　　) (3)0等价于(x－a)(x－b)≥0． (　　) (4)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0． (　　) √ 　 √　 × × 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P53练习T1改编)不等式(x－1)(x－3)>0的解集为(　　) A．{x|x<1}　　B．{x|x>3}　　C．{x|x<1或x>3}　　D．{x|1<x<3} C　[由方程(x－1)(x－3)＝0，可得方程的两根为x1＝1，x2＝3，结合一元二次不等式的解法，可得不等式(x－1)(x－3)>0的解集为{x|x<1或x>3}，故选C.] 2．(人教A版必修第一册P55习题2.3 T3改编)已知集合A＝{x|x2≤25}，B＝，则A∩B＝(　　) A．(－∞，－5]　B．[－5，－1)　C．[－5，－1]∪[5，7)　D．[－5，－1] D　[因为x2≤25，所以集合A＝{x|－5≤x≤5}．因为0，则解得x＞7或x－1，所以集合B＝{x|x＞7或x－1}．所以A∩B＝[－5，－1].故选D.] √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 3．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式ax2＋ax＋a＋3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________． {a|a≥0}　[当a＝0时，不等式为3＞0，满足题意；当a≠0时，需满足解得a＞0，综上可得，a的取值范围为{a|a≥0}．] 4．(人教A版必修第一册P55练习T2改编)如图，在长为12 m，宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求花卉带的宽度相同且草坪面积 不超过总面积的，那么花卉带的宽度的取值范围是______(单位：m)． [1，5)　[设花卉带的宽度为x米，则所以0<x<5，因为草坪面积不超过总面积的，所以(12－2x)(10－2x)×12×10，解得1≤x<5，所以花卉带的宽度的取值范围是[1，5)．] {a|a≥0} [1，5) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 典例精研　核心考点 第5课时　一元二次方程、不等式 考点一　一元二次不等式的解法及“三个二次”之间的关系 [典例1]　(1)(2024·东北师大附中模拟)若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－2，4)，则不等式≤0的解集为_______________________． (2)不等式0<x2－x－2≤4的解集为_______________________ ． (1)(－∞，4)∪[8，＋∞)　(2){x|－2≤x<－1或2<x≤3}　[(1)因为ax2＋bx＋c>0的解集为(－2，4)，则a<0，且对应方程的根为－2和4，所以－＝－2＋4＝2，＝－2×4＝－8，且a<0，不等式≤0可化为≤0，则≤0，即≤0，解得x<4或x≥8. (2)原不等式等价于即 解得 故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}．] (－∞，4)∪[8，＋∞) {x|－2≤x<－1或2<x≤3} 名师点评　解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式的解集为R或∅)． (3)求：求出对应的一元二次方程的根(解集的端点对应方程的根)． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 √ [跟进训练] 1．(多选)(2024·四川南充模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x－2或x≥3}，则下列说法正确的是(　　) A．a<0 B．ax＋c>0的解集为 C．8a＋4b＋3c<0 D．cx2＋bx＋a<0的解集为 √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 ABD　[关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为 或， 故a<0，且 整理得到b＝－a，c＝－6a. 对于A, a<0，正确； 对于B，ax＋c>0，即a(x－6)>0，解得x<6，正确； 对于C，8a＋4b＋3c＝8a－4a－18a＝－14a>0，错误； 对于D，cx2＋bx＋a<0，即－6ax2－ax＋a<0，即6x2＋x－1<0，解得－<x<，正确． 故选ABD.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 考点二　含参数的一元二次不等式的解法 [典例2]　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)． [解]　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0， 因为a>0，所以(x－1)<0. 所以当a>1时，解得<x<1； 当a＝1时，解集为∅； 当0<a<1时，解得1<x<. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 [拓展变式] 在本例中，把“a>0”改成“a∈R”，解不等式． [解]　当a>0时，同典例2解析； 当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，即x>1； 当a<0时，<1，原不等式可化为(x－1)>0，解得x>1或x<. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为， 当a＝1时，不等式的解集为∅， 当a>1时，不等式的解集为， 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}， 当a<0时，不等式的解集为. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 名师点评　解含参数的一元二次不等式的步骤 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 [跟进训练] 2．解关于x的不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)． [解]　Δ＝a2－4. ①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为∅. ②当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，则原不等式的解集为. 综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式的解集为∅； 当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 考点三　一元二次不等式恒成立问题 [典例3]　(1)若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　　　 B．(－∞，－2) C．(－2，2) 　 D．(－2，2] (2)若不等式ax2－x＋a>0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为___________． (3)若∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，则实数x的取值范围为_________________． √ [－1，0] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 (1)D　(2)　(3)[－1，0]　[(1)当a＝2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0可化为－4<0，恒成立；当a≠2时，要使关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，只需 解得－2<a<2.故－2<a≤2.故选D. (2)法一(函数法)：当a＝0时，原不等式可化为x<0，易知不合题意；当a≠0时，令f (x)＝ax2－x＋a，要满足题意，需或解得a，所以实数a的取值范围是. 法二(分离变量法)：ax2－x＋a>0⇔ax2＋a>x⇔a>.因为x∈(1，＋∞)，＝<，所以a≥. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 (3)(变更主元法)把不等式的左端看成关于a的函数，令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则由g(a)≥0对于任意的a∈[－1，3]恒成立，得即解得 所以实数x的取值范围为[－1，0].] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 [拓展变式] 本例(2)变为：若x∈[m，m＋1]时，满足x2＋mx－1<0，求实数m的取值范围． [解]　设f(x)＝x2＋mx－1，则即化简得解得所以－<m<0. 则实数m的取值范围为. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 名师点评 恒成立问题求参数的取值范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． (3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 [跟进训练] 3．(1)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则(　　) A．a≤2　　　　　　 B．a≥2 C．a 　 D．a (2)若不等式sin2x－a sinx＋2≥0对任意的x∈恒成立，则实数a的取值范围是__________． √ (－∞，3] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 (1)C　(2)(－∞，3]　[(1)由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，得a在1≤x≤2上有解，则a，由于＝x＋，而y＝x＋在[1，2]上单调递增，故当x＝2时，x＋取得最大值，故a.故选C. (2)设t＝sin x，∵x∈，∴t∈(0，1]，则不等式sin2x－a sinx＋2≥0对任意的x∈恒成立，即不等式t2－at＋2≥0对任意的t∈(0，1]恒成立，即a＝t＋对任意的t∈(0，1]恒成立．由对勾函数知y＝t＋在t∈(0，1]上单调递减，则ymin＝1＋＝3，∴a≤3．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第5课时　一元二次方程、不等式 $$