第1章 第4课时 基本不等式-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 第4课时　基本不等式 链接教材　夯基固本 第4课时　基本不等式 1．基本不等式： (1)基本不等式成立的条件：__________． (2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． (3)其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． a>0，b>0 a＝b 2．利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 (1)x＋y≥2，若xy等于定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值(简记：积定和最小)． (2)xy≤，若x＋y等于定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大)． 提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 [常用结论] 几个重要的不等式 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的． (　　) (2)若a>0，则a3＋的最小值为2． (　　) (3)函数f (x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4． (　　) (4)“x＞0且y＞0”是“2”的充要条件． (　　) × × × × 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 √ 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P45例2改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80　　B．77　　C．81　　D．82 C　[xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.] 2．(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x>2，则x＋的最小值是(　　) A．1　　B．2　　C．2　　D．4 D　[∵x>2，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．故选D.] √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 √ 3．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A．2　　B．ab≤　　C．　　D． BC　[当<0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．] 4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，当这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积最大． 15　　[设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30(0＜x≤18)，所以S＝xy＝＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．] √ 15 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 典例精研　核心考点 第4课时　基本不等式 考点一　利用基本不等式求最值 考向1　配凑法 [典例1]　(1)(2024·河北衡水模拟)若x<，则函数f(x)＝3x＋1＋有(　　) A．最大值0　　　　 B．最小值9 C．最大值－3 　 D．最小值－3 (2)函数y＝(x>1)的最小值为_________． √ 2＋2 (1)C　(2)2＋2　[(1)因为x<，故3x－2<0，f (x)＝3x＋1＋＝3x－2＋＋3＝－＋3≤－2＋3＝－3， 当且仅当－(3x－2)＝，即x＝－时取等号．故选C. (2)因为x>1，所以x－1>0，则y＝＝＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 考向2　常数代换法 [典例2]　已知x，y都是正数，且x＋y＝1，则的最小值为________；的最小值为________． 9　3　[由x＞0，y＞0，x＋y＝1，得＝(x＋y)＝5＋5＋2＝9，当且仅当4x2＝y2，即x＝，y＝时，等号成立，所以的最小值为9．＝＝1＋，又x＞0，y＞0，所以2＝2，所以1＋2＝3，当且仅当x＝y，即x＝，y＝时，等号成立，所以的最小值为3．] 9 3 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 考向3　消元法 [典例3]　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 6　[法一(换元消元法)： 由已知得x＋3y＝9－xy，∵x>0，y>0，∴x＋3y≥2， ∴3xy≤， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， ∴x＋3y＋9， 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 解得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 6 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 法二(代入消元法)： 由x＋3y＋xy＝9，得x＝， ∴x＋3y＝＋3y＝ ＝＝ ＝3(1＋y)＋－6≥2－6 ＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝，即x＝3，y＝1时等号成立， ∴x＋3y的最小值为6．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 【教师备选资源】 若x＞0，y＞0且x＋y＝xy，则的最小值为________． 3＋2　[因为x＞0，y＞0且x＋y＝xy，则xy＝x＋y＞y，即有x＞1，同理y＞1， 由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1， 于是得＝1＋＋2＋＝3＋3＋2 ＝3＋2，当且仅当＝， 即x＝1＋，y＝1＋时取“＝”， 所以的最小值为3＋2.] 3＋2 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 名师点评　1．利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式，常用手段有添加项、拆项、调整参数、分离参数等． 2．常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为·，再用基本不等式求最值． 3．当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值． 4．构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 [跟进训练] 1．(1)(多选)(2024·河北沧州模拟)下列函数中，函数的最小值为4的是(　　) A．y＝x(4－x) 　　 　　　　　 B．y＝ C．y＝(0＜x＜1) 　　　 D．y＝ (2)(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是(　　) A．4　　 B．5　 C．7　　 D．9 (3)若实数x>1，y>且x＋2y＝3，则的最小值为________． √ √ √ 4 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 (1)CD　(2)C　(3)4　[(1)y＝x(4－x)≤＝4，A错误；y＝＝，而＝无解，B错误； ∵x(1－x)≤＝， ∴y＝＝4， 当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号，C正确； y＝＝2＝4，当且仅当＝2时取等号，D正确． 故选CD. 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 (2)因为xy＋x－2y＝4，故(y＋1)x＝4＋2y，即x＝＝2＋， 故2x＋y＝4＋＋y＋1－1≥4＋2－1＝7，当且仅当＝y＋1，即x＝3，y＝1时取等号．故选C. (3)令x－1＝m，2y－1＝n， 则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1， ∴＝＝(m＋n)＝2＋2＋2＝4， 当且仅当＝，即m＝n＝，x＝，y＝时取“＝”． ∴的最小值为4．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 考点二　基本不等式的常见变形应用 [典例4]　(多选)(2023·广东汕头三模)若a＞0，b＞0，a＋b＝4，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是(　　) A．≤2　　B．≤2　　C．＋b2≥4　　D．1 √ ACD　[对于A，a＞0，b＞0，a＋b≥2，即＝2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以A正确； 对于B，a＞0，b＞0，()2＝a＋b＋2＝4＋2≤4＋2×2＝8，又＞0，则≤2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以B错误； 对于C，a＋b＝4，b＝4－a＞0，所以0＜a＜4，则＋b2＝＋(4－a)2＝－8a＋16＝(a－3)2＋4≥4，并且a＝3时等号成立，所以C正确； 对于D，a＞0，b＞0，a＋b＝4，所以＝1，则＝·＝＝1，当且仅当＝，即a＝b＝2时等号成立，所以D正确．故选ACD.] √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 名师点评　基本不等式的常见变形 (1)ab(a∈R，b∈R)． (2)(a>0，b>0)． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 [跟进训练] 2．(1)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 　B．x＋y≥－2 　C．x2＋y2≤2 　D．x2＋y2≥1 (2)当＜x＜时，函数y＝的最大值为________． (1)BC　(2)2　[(1)由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤，即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－＝，∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，∴x2＋y2≤2，故C正确，对于D选项，当x＝，y＝－时，满足题设条件，但x2＋y2＝，D错误．故选BC. (2)由，得a＋b≤2，则y＝≤2＝2，当且仅当＝，即x＝时等号成立． √ √ 2 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 【教师备选资源】 (2024·佛山模拟)若m>n>1，a＝，b＝(ln m＋ln n)，c＝ln ，则(　　) A．a<b<c　　　　 B．c<a<b C．b<a<c 　 D．a<c<b √ A　[∵m>n>1，∴ln m>ln n>0， ∴(ln m＋ln n)>，∴b>a， ∵>， ∴ln >ln ＝ln (mn)＝(ln m＋ln n)，∴c>b，∴c>b>a.故选A.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 考点三　基本不等式的实际应用 [典例5]　(2024·山东威海期末)某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200 m2，深度为2米，育苗池的四周均设计为2米宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20)，甬路的面积为S m2. (1)求S与x之间的函数关系式； (2)已知育苗池四壁的造价为200元/平方米，池底的造价为600元/平方米，甬路的造价为100元/平方米，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低造价． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 [解]　(1)由题意可得每个育苗池底面的另一边长为 m， 则S＝(x＋4)－600＝8x＋＋32，10≤x≤20. (2)设总造价为w元，则w＝200×2＋600×3×200＋100S ＝2 400x＋＋360 000＋800x＋＋3 200 ＝3 200x＋＋363 200，10≤x≤20，其中3 200x＋2＝96 000，当且仅当3 200x＝，即x＝15∈[10，20]时，等号成立，故w＝3 200x＋＋363 200≥459 200， 所以当x＝15 m时，总造价最低，最低总造价为459 200元． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 名师点评　利用基本不等式解决实际问题的注意点 (1)设变量时，一般把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响． (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)＝x＋(a＞0)的单调性． (4)在实际问题中利用基本不等式求最值，必须指明等号成立的条件． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 [跟进训练] 3．(1)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，“道路容量”与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路1 h通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0(单位：m)为安全距离，v为车速(m/s)．当安全距离d0取30 m时，该道路1 h“道路容量”的最大值约为(　　) A．135　　 B．149　　 C．165　　 D．195 (2)(2023·浙江温州三模)某公司计划租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．经测算，若在距离车站10 km处建仓库，则每月的土地费用与运输费用分别为2万元和8万元．要使每月的两项费用之和最小，仓库和车站的距离应为(　　) A．4 km 　　　B．5 km 　　C．6 km 　　　D．7 km √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 (1)B　(2)B　[(1)由题意得，N＝＝≈149，当且仅当0.3v＝，即v＝10时取“＝”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B. (2)设仓库到车站距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2， 由题意可设y1＝，y2＝k2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝，所以y1＝，y2＝x，费用之和y＝y1＋y2＝x≥2＝8， 当且仅当＝x，即x＝5时等号成立． 所以当仓库建在离车站5 km处时，两项费用之和最小．故选B.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 【教师备选资源】 1．如果一个直角三角形的斜边长等于2，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为(　　) A．　　B．1　　C．2　　D．6 √ C　[设该直角三角形的斜边为c＝2，直角边为a，b，则a2＋b2＝c2＝8， 因为2ab≤a2＋b2，所以a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，即(a＋b)2≤16，当且仅当a＝b，且a2＋b2＝8，即a＝b＝2时，等号成立． 因为a>0，b>0，所以a＋b≤4，所以a＋b的最大值为4，这个直角三角形周长取最大值4＋2时，a＝b＝2，此时三角形的面积为×2×2＝2.故选C.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 2．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________． 30　[由题意得，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为6·＋4x＝48＝240(万元)，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x的值是30．] 30 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 $$