第1章 第3课时 不等式的性质-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 第3课时　不等式的性质 链接教材　夯基固本 第3课时　不等式的性质 1．比较实数a，b大小的基本事实 作差法(a，b∈R) > ＝ < 2．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔____； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒____； 性质3　可加性：a>b⇔__________； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒______；a>b，c<0⇒______； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒__________； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒______； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． b<a a>c a＋c>b＋c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　不等式的性质 [常用结论] 若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<<(b－m>0)， 即真分数越加越大，越减越小； (2)假分数性质：<<(b－m>0)， 即假分数越加越小，越减越大． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　不等式的性质 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞b，则ac2＞bc2． (　　) (2)若>1，则b>a． (　　) (3)若>，则b<a． (　　) (4)若a<b<0，则<(n∈N*)． (　　) ×　 × × √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　不等式的性质 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则(　　) A．M＞N　　B．M≥N　　C．M＜N　　D．M≤N A　[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故选A.] 2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，再添加m克水(m>0)，糖水变淡了．下面式子可以说明这一事实的是(　　) A．＜　　B．＞　　C．＜　　D．＜ A　[向糖水溶液中加入m克水，糖水的浓度变为，此时浓度变小，糖水变淡，即＜，故选A.] √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　不等式的性质 3．(人教A版必修第一册P42练习T2改编)用不等号“＞”或“＜”填空． (1)如果a＜b，c＞d，那么a－c________b－d； (2)如果a＜b＜0，那么________； (3)如果c＞a＞b＞0，那么________. 4．(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知－1<a<2，－3<b<5，则a－b的取值范围是__________． (－6，5)　[∵－3<b<5，∴－5<－b<3， 又－1<a<2，∴－6<a－b<5．] ＜ ＜ ＞ (－6，5) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　不等式的性质 典例精研　核心考点 第3课时　不等式的性质 考点一　数(式)的大小比较 [典例1]　(1)若a<0，b<0，则p＝与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．p<q　　　　　　　 B．p≤q C．p>q 　 D．p≥q (2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是(　　) A．P>Q 　 B．P＝Q C．P<Q 　 D．不能确定 √ √ (1)B　(2)C　[(1)p－q＝－a－b＝＝(b2－a2)· ＝，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0. 又(b－a)2≥0，所以p－q≤0. 综上，p≤q.故选B. (2)P，Q作商可得，令f (x)＝，则f ′(x)＝ ，当x>1时，f ′(x)>0 ，所以f (x)＝在(1，＋∞)上单调递增，因为a>b>1，所以<，又>0，>0，所以<1，所以P<Q.故选C.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　不等式的性质 【教师备选资源】 若a＝，则(　　) A．a<b<c　　B．c<b<a　　C．c<a<b　　D．b<a<c B　[法一(作差法)： a－b＝＝＞0， b－c＝＝＞0， 所以a＞b＞c. √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　不等式的性质 法二(作商法)： 易知a，b，c都是正数，＝log8164＜1，所以a＞b；＝log6251 024＞1，所以b＞c.即c＜b＜a. 法三(单调性法)： 对于函数y＝f (x)＝，y′＝. 易知当x＞e时，函数f (x)单调递减． 因为e＜3＜4＜5， 所以f (3)＞f (4)＞f (5)，即c＜b＜a.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　不等式的性质 名师点评　比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　不等式的性质 [跟进训练] 1．(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为(　　) A．M>N　　B．M＝N　　C．M<N　　D．不确定 (2)已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为___________． (1)A　(2)aabb>abba　[(1)因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2， 又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.故选A. (2)因为，又a>b>0，故>1，a－b>0， 所以>1，即>1，又abba>0，所以aabb>abba.] √ aabb>abba 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　不等式的性质 考点二　不等式的性质 [典例2]　(1)(2023·北京朝阳区一模)若a>0>b，则(　　) A．a3>b3 　 B．|a|>|b| C．< 　 D．ln (a－b)>0 (2)(2024·湖北武汉模拟)下列说法正确的是(　　) A．若ac2≥bc2，则a≥b B．若>，则a<b C．若a＋b>0，c－b>0，则a>c D．若a>0，b>0，m>0，且a<b，则> √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　不等式的性质 (1)A　(2)D　[(1)∵a>0>b，∴a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正确； 取a＝1，b＝－2，则|a|>|b|不成立，故B错误； 取a＝1，b＝－2，则<不成立，故C错误； 取a＝，则ln (a－b)＝ln 1＝0，故D错误．故选A. (2)对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误； 对于B，取a＝1，c＝1，b＝－1，则满足>，但不满足a<b，故B错误； 对于C，取a＝－1，b＝2，c＝3，则满足a＋b>0，c－b>0，但不满足a>c，故C错误； 对于D，若a>0，b>0，m>0，且a<b，则b－a>0， 所以>0，即>，故D正确．故选D.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　不等式的性质 名师点评　判断不等式正误的常用方法 (1)利用不等式的性质进行验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质条件． (2)利用特殊值法排除错误不等式． (3)利用函数的单调性，当利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　不等式的性质 [跟进训练] 2．(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　) A．<　　B．|a|＋b>0　　C．a－>b－　　D．ln a2>ln b2 √ AC　[由<<0，可知b<a<0.A中，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0.故有<，即A正确；B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>故B错误；C中，因为<<0，则－>－>0，所以a－>b－，故C正确；D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误．故选AC.] √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　不等式的性质 考点三　不等式性质的应用 [典例3]　(多选)(2024·重庆模拟)已知－2<a＋b<4，2<2a－b<8，则下列不等式不正确的是(　　) A．0<a<4 　　B．0<b<2　　C．－6<a＋2b<6 　　D．0<a＋2b<8 BD　[对于A，∵－2<a＋b<4，2<2a－b<8，∴－2＋2<a＋b＋2a－b<4＋8，∴0<3a<12，∴0<a<4，故A正确；对于B，∵2<2a－b<8，∴－8<b－2a<－2，∵－2<a＋b<4，∴－4<2a＋2b<8， ∵∴－12<3b<6，∴－4<b<2，故B错误； 对于CD，设a＋2b＝m(a＋b)＋n(2a－b)，则a＋2b＝(m＋2n)a＋(m－n)b，∴∴ ∴a＋2b＝(a＋b)－(2a－b)，∵－2<a＋b<4，∴－<(a＋b)<，∵2<2a－b<8，∴－<－(2a－b)<－，∴－6<a＋2b＝(a＋b)－(2a－b)<6，故C正确、D错误．故选BD.] √ √ 名师点评　求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得代数式的取值范围． 提醒：在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　不等式的性质 [跟进训练] 3．(多选)已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列结论正确的是(　　) A．∈ 　 B．a＋b∈(21，78) C．a－b∈(－9，42) 　 D．∈ √ AB　[因为6＜a＜60，15＜b＜18，所以＜＜，－18＜－b＜－15，所以＜＜，6＋15＜a＋b＜60＋18，6－18＜a－b＜60－15，即＜＜4，21＜a＋b＜78，－12＜a－b＜45．于是＋1∈.故A，B正确，C，D错误．] √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第3课时　不等式的性质 $$