第1章 第1课时 集合-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习课件（通用版）

第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 第1课时　集合 链接教材　夯基固本 第1课时　集合 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号 和 表示． (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法和图示法． (4)五个特定的数集的表示 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N ____________ ___ ___ ___ N* (或N＋ ) Z Q R ∈ ∉ 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或(B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但____元素x∈B，且____，就称集合A是集合B的真子集，记作A B或(B A)． (3)相等：若A⊆B，且____，则A＝B. 提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集． 任意一个元素 存在 x∉A B⊆A 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 3．集合的基本运算   并集 交集 补集 图形 表示     集合 表示 A∪B＝________________ A∩B＝________________ ∁UA＝_______________ ｛x|x∈A，或x∈B｝ ｛x|x∈A，且x∈B｝ ｛x|x∈U，且x∉A｝ [常用结论] 1．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A． 2．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 3．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}． (　　) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}． (　　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1． (　　) (4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1，4}． (　　) × × × × 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 真题感悟 明确考向 √ 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P8例1改编)集合A＝{2，3，4}的子集有(　　) A．4个　　 B．6个　　 C．8个　　 D．9个 C　[A＝{2，3，4}的子集个数为23＝8，故选C.] √ 2．(多选)(人教A版必修第一册P5习题1.1T1改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论正确的是(　　) A．1∈A 　 B．{－1}⊆A C．∅⊆A 　 D．{－1，1}∉A √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 √ 3．(人教A版必修第一册P35T9改编)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2　　　 　 B．1　　　 C．　　　 　 D．－1 B　[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0，当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B.所以a＝1，故选B.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 4．(人教A版必修第一册P14T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|(x－2)(x－10)＜0}，则∁R(A∪B)＝____________________，(∁RA)∩B＝______________________． {x|x≤2或x≥10}　{x|2＜x＜3或9≤x＜10}　[由题意，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|2＜x＜10}，可得A∪B＝{x|2＜x＜10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，又由∁RA＝{x|x＜3或x≥9}，所以(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或9≤x＜10}．] {x|x≤2或x≥10}　 {x|2＜x＜3或9≤x＜10}　 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 典例精研　核心考点 第1课时　集合 考点一　集合的概念 [典例1]　(1)已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的个数为(　　) A．2　　B．4　　C．6　　D．8 (2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________． (1)C　(2)－　[(1)因为A＝{1，2，3}，所以B＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}，即B中含6个元素．故选C. (2)由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－. 当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.] － √ 【教师备选资源】 非空有限数集S 满足：若a，b∈S，则必有a2，b2，ab∈S，则满足条件且含有两个元素的数集S＝______________________．(写出一个即可) {0，1}(或{－1，1})　[由题意，不妨设S＝{a，b}，根据题意有a2，ab，b2∈S， 所以a2，ab，b2中必有两个是相等的， 若a2＝b2≠ab，则a＝－b，故ab＝－a2，又a2＝a，或a2＝b＝－a， 所以a＝0(舍去)或a＝1或a＝－1，此时S＝{－1，1}； 若a2＝ab≠b2，则a＝0，此时b2＝b，故b＝1或b＝0(舍去)，此时S＝{0，1}， 若b2＝ab≠a2，则b＝0，此时a2＝a，故a＝1或a＝0(舍去)，此时S＝{0，1}， 综上，S＝{0，1}，或S＝{－1，1}．] 名师点评　解决集合含义问题的注意点 一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． {0，1}(或{－1，1}) 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 [跟进训练] 1．(1)(2023·上海高考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x∉Q}，则M＝(　　) A．{1}　　B．{2}　　C．{1，2}　　D．{1，2，3} (2)已知集合A＝，则集合A中的元素个数为(　　) A．3　　B．4　　C．5　　D．6 (1)A　(2)C　[(1)∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P且x∉Q}，∴M＝{1}．故选A. (2)∵∈Z，∴x－2的取值有－4，－2，－1，1，2，4，∴x的值分别为－2，0，1，3，4，6，又x∈N，故x的值为0，1，3，4，6.故集合A中有5个元素．] √ √ 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 考点二　集合间的基本关系 [典例2]　(1)(2023·江苏南京、盐城一模)设M＝，N＝，则(　　) A．M N　　B．N M　　C．M＝N　　D．M∩N＝⌀ (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是_____________． [－1，＋∞) √ (1)B　(2)[－1，＋∞)　[(1)因为x＝k＋＝，因为k∈Z，所以2k＋1为奇数，故N M.故选B. (2)①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2； ②当B≠∅时，解得－1≤m≤2. 综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 【教师备选资源】 在本例(2)中，若把B⊆A改为B A，则实数m的取值范围是____________. [－1，＋∞)　[①当B＝∅时，2m－1>m＋1，所以m>2； ②当B≠∅时，或解得－1≤m≤2. 综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．] [－1，＋∞)　 名师点评　已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程，特别注意端点值的取舍，“＝”加不加． 提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 [跟进训练] 2．(1)(2024·广东肇庆期中)设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a取值集合的真子集的个数为(　　) A．2　　B．3　　C．7　　D．8 (2)(2024·福建厦门模拟)设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝}，若A C B，写出一个符合条件的集合C，则C＝_________________________．(写出一个即可) √ {x|1≤x≤4}(答案不唯一) (1)C　(2){x|1≤x≤4}(答案不唯一)　[(1)由x2－8x＋15＝0，得(x－3)(x－5)＝0，解得x＝3或x＝5，所以A＝{3，5}． 当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A.当a≠0时，B＝，因为B⊆A，所以＝3或＝5，得a＝或a＝. 综上，实数a的取值集合为，所以实数a取值集合的真子集的个数为23－1＝7.故选C. (2)A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，若A C B，则可有C＝{x|1≤x≤4}．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 考点三　集合的基本运算 考向1　集合的运算 [典例3]　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A．{－2，－1，0，1}　　B．{0，1，2}　　C．{－2}　　D．{2} (2)全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，则A∪B＝___________________． √ {1，2，3，5，8，9} (1)C　(2){1，2，3，5，8，9}　[(1)∵x2－x－6≥0，∴(x－3)(x＋2)≥0，∴x≥3或x≤－2，N＝{x|x≤－2，或x≥3}，则M∩N＝{－2}．故选C. (2)由已知条件可得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， 画出Venn图如图所示． 由图可得A∪B＝{1，2，3，5，8，9}．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 考向2　利用集合的运算求参数 [典例4]　已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) 　 B．(－∞，－2] C．(－4，＋∞) 　 D．(－∞，－4] √ D　[集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图． 可知－2，即a≤－4．] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 名师点评　解决集合运算问题的注意点 (1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值． (2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以使问题变得简单明了． (3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图． (4)端点值验证． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 [跟进训练] 3．(1)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N)　　B．N∪∁UM　　C．∁U(M∩N)　　D．M∪∁UN (2)(2024年1月九省联考卷)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________． (1)A　(2)5　[(1)由题意，M∪N＝{x|x<2}，又U＝R，所以∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A. (2)由A∩B＝A，则A⊆B，由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3， 故有即即m≥5，即m的最小值为5．] √ 5 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 考点四　Venn图的应用及创新性问题 [典例5]　(1)如图所示，A，B是非空集合，定义集合A⊕B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A⊕B＝__________________． (2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人． [0，1]∪(2，＋∞) 8 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 (1)[0，1]∪(2，＋∞)　(2)8　[(1)由题可知B＝(1，＋∞)，所以A∩B＝(1，2]. 由题意得A⊕B＝∁A(A∩B)∪∁B(A∩B)＝[0，1]∪(2，＋∞)． (2)设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为 A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可 得如图所示的Venn图． 由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋ (13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学 小组的有8人．] 名师点评　Venn图具有形象直观的特征，应用Venn图可以解决两大类问题：一是处理部分有限集合的元素个数的计数问题；二是解决抽象集合的运算问题或判断集合间的关系问题． 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 [跟进训练] 4．(1)已知集合P，Q均为R的子集，且(∁RQ)∪P＝R，则(　　) A．P∩Q＝R　　B．P⊆Q　　C．Q⊆P　　D．P∪Q＝R (2)某中学为了解本校学生阅读《西游记》和《红楼梦》的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为(　　) A．60　　B．70　　C．80　　D．90 √ √ (1)C　(2)B　[(1)如图所示，集合P，Q均为R的子集，且满足 (∁RQ)∪P＝R，所以Q⊆P. (2)根据题意作出Venn图如图，所以阅读过《西游记》的学生 人数为10＋60＝70. 故选B.] 链接教材　夯基固本 典例精研　核心考点 课时分层作业 第1课时　集合 $$