6.1.2 导数及其几何意义-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

参 考 答 案 （ 2 ） 平均变化率为 T （ 10 ） -T （ 0 ） 10-0 =- 16 10 =-1.6. 它表示 从 t=0 到 t=10 ， 蜥蜴的体温平均每分钟下降 1.6 ℃. 提升练习 10. B 【解析】 Δx=0.3 时， ①y=x 在 x=1 附近的平均 变化率 k 1 =1 ； ②y=x 2 在 x=1 附近的平均变化率 k 2 =2+Δx= 2.3 ； ③y=x 3 在 x=1 附近的平均变化率 k 3 =3+3Δx+ （ Δx ） 2 = 3.99 ； ④y= 1 x 在 x=1 附近的平均变化率 k 4 =- 1 1+Δx =- 10 13 . ∴k 3 >k 2 >k 1 >k 4 . 故选 B. 11. ACD 【解析】 在 t 1 时刻， 为两图象的交点， 即 此时甲 、 乙两人血管中的药物浓度相同 ， 故 A 正确 ； 甲、 乙两人在 t 2 时刻的切线的斜率不相等， 即两人的瞬 时变化率不相同， 所以甲、 乙两人血管中药物浓度的瞬 时变化率不相同， 故 B 不正确； 根据平均变化率公式可 知， 甲、 乙两人的平均变化率都是 f （ t 3 ） -f （ t 2 ） t 3 -t 2 ， 故 C 正 确； 在 ［ t 1 ， t 2 ］ 时间段， 甲的平均变化率是 f （ t 2 ） -f （ t 1 ） t 2 -t 1 ， 在 ［ t 2 ， t 3 ］ 时间段， 甲的平均变化率是 f （ t 3 ） -f （ t 2 ） t 3 -t 2 ， 显然不 相等， 故 D 正确 . 故选 ACD. 12. f （ x ） =x 2 【解析】 在 （ 1 ， +∞ ） 上取 （ a ， a+1 ）， Δy 1 Δx = f （ a+1 ） -f （ a ） a+1-a =2a+1 ， Δy 2 Δx = g （ a+1 ） -g （ a ） a+1-a =ln 1+ 1 a a " ， ∵a≥1 ， ∴2a+1≥3 ， ln 1+ 1 a a " ≤ln 1+ 1 1 a " =ln2<1 ， ∴ Δy 1 Δx > Δy 2 Δx ， ∴ 函数 g （ x ） =lnx 在区间 （ 1 ， +∞ ） 上 的增长速度慢于函数 f （ x ） =x 2 的增长速度， 故增长较快 的为 f （ x ） =x 2 . 13. 解 ： （ 1 ） h （ 0 ）表示航天飞机发射前的高度 ， h （ 1 ）表示航天飞机升空后第 1 s 时的高度， h （ 2 ）表示航 天飞机升空后第 2 s 时的高度 . （ 2 ） 航天飞机升空后第 2 s 内的平均速度为 v= h （ 2 ） -h （ 1 ） 2-1 = 5×2 3 +30×2 2 +45×2+4- （ 5×1 3 +30×1 2 +45×1+4 ） 1 =170 （ m/s ） . 6.1.2 导数及其几何意义 学习手册 变式训练 1 （ 1 ） B 【解析 】 ∵Δx= （ x 0 +h ） - （ x 0 -h ） =2h. ∴lim h→0 f （ x 0 +h ） -f （ x 0 -h ） h =2lim h→0 f （ x 0 +h ） -f （ x 0 -h ） 2h =2f ′ （ x 0 ） . 故 选 B. （ 2 ） 解 ： ∵Δy =f （ 1 +Δx ） -f （ 1 ） =3 （ 1 +Δx ） 2 -3 =6Δx + 3 （ Δx ） 2 ， ∴ Δy Δx =6+3Δx ， ∴ f ′ （ 1 ） =lim Δx→0 Δy Δx =lim Δx→0 （ 6+3Δx ） =6. 变式训练 2 解： ∵ Δs Δt = s （ 1+Δt ） -s （ 1 ） Δt = （ 1+Δt ） 2 + （ 1+Δt ） +1- （ 1 2 +1+1 ） Δt =3+Δt ， ∴lim Δt→0 Δs Δt =lim Δt→0 （ 3+Δt ） =3. ∴ 物体在 t=1 处的瞬时变化率为 3. 即物体在 t=1 s 时的瞬时速度为 3 m/s. 变式训练 3 A 【解析】 ∵ 函数 y=f （ x ）的图象在点 P 处的 切线方程是 y=- 1 3 x+6 ， ∴ f （ 5 ） = 13 3 ， f ′ （ 5 ） =- 1 3 . ∴ f （ 5 ） + f ′ （ 5 ） =4. 故选 A. 变式训练 4 B 【解析 】 f （ 3 ） -f （ 2 ） = f （ 3 ） -f （ 2 ） 3-2 . 由图可 知， f ′ （ 3 ） < f （ 3 ） -f （ 2 ） 3-2 <f ′ （ 2 ）， 即 f ′ （ 3 ） <f （ 3 ） -f （ 2 ） <f ′ （ 2 ） . 变式训练 5 解： （ 1 ） y′=lim Δx→0 Δy Δx =lim Δx→0 （ x+Δx ） 2 -x 2 Δx =2x. 设所求切线的切点为 A （ x 0 ， y 0 ） . ∵ 点 A 在曲线 y=x 2 上 ， ∴y 0 =x 2 0 . 又 ∵A 是切点， ∴ 过点 A 的切线的斜率 k= 2x 0 . ∵ 所求的切线过点 （ 3 ， 5 ） 和 A （ x 0 ， y 0 ） 两点， ∴ 其 斜率又为 y 0 -５ x 0 -３ = x 2 0 -5 x 0 -3 ， ∴2x 0 = x 2 0 -5 x 0 -3 ， 解得 x 0 =1 或 x 0 =5. 从而切点 A 的坐标为 （ 1 ， 1 ） 或 （ 5 ， 25 ） . 当切点为 （ 1 ， 1 ） 时 ， 切线的斜率 k 1 =2x 0 =2 ； 当切点为 （ 5 ， 25 ） 时， 切线的斜率 k 2 =2x 0 =10. ∴ 所求的切线有两条， 方程 分别为 y-1=2 （ x-1 ）和 y-25=10 （ x-5 ）， 即 2x-y-1=0 和 10x-y-25=0. 变式训练 4 答图 49 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 （ 2 ） 由 y=x 2 +2lnx ， 得 y′=2x+ 2 x ， 由 2x+ 2 x =4 ， 解得 x=1 （ x>0 ）， 则直线 y=4x+m 与曲线 y=x 2 +2lnx 相切于点 （ 1 ， 4+m ）， ∴4+m=1+2ln1=1 ， 得 m=-3 ， ∴ 直线 y=4x-3 是曲线 y=x 3 -nx+13 的切线， 由 y=x 3 -nx+13 ， 得 y′=3x 2 -n ， 设切点为 （ t ， t 3 -nt+13 ）， 则 3t 2 -n=4 ， 且 t 3 -nt+13=4t-3 ， 联立可得 3t 2 -t 2 - 16 t +4=4 ， 解得 t=2 ， ∴n=8． ∴n+m=8+ （ -３ ） ＝ ５． 故答案为 5． 随堂练习 1. A 【解析】 由切线方程可以看出其斜率是 2 ， 又 曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数， 即 k=f ′ （ x 0 ） =2>0 ， 故选 A. 2. A 【解析】 由导数定义得， f ′ （ x 0 ） =lim h→0 f （ x 0 +h ） -f （ x 0 -h ） （ x 0 +h ） - （ x 0 -h ） =lim h→0 f （ x 0 +h ） -f （ x 0 -h ） 2h ， 即lim h→0 f （ x 0 +h ） -f （ x 0 -h ） 2h =f ′ （ x 0 ）， 故选 A. 3. AD 【解析】 曲线的切线和曲线除有一个公共切 点外 ， 还可能有其他公共点 ， 故 A 正确 ， B 不正确 ； f ′ （ x 0 ） 不存在， 曲线 y=f （ x ）在点 （ x 0 ， f （ x 0 ）） 处的切线 斜率不存在， 但切线可能存在， 为 x=x 0 ， 故 C 不正确， D 正确 . 故选 AD. 4. B 【解析】 ∵ ［ 1 ， 2 ］ 函数的增长越来越快， ∴ 函 数在该点的斜率越来越大， 又 f （ 2 ） -f （ 1 ） 2-1 =a ， ∴ f ′ （ 1 ） <a< f ′ （ 2 ） . 故选 B. 5. （ 1 ， 1 ） x-2y+1=0 【解析 】 由 y= x 姨 ， y= 1 x x % % % % $ % % % % & 得 x=1 ， y= = 1 ∴ 两曲线的交点坐标为 （ 1 ， 1 ） . 由 f （ x ） = x 姨 ， 得 f ′ （ x ） =lim Δx→0 1+Δx 姨 -1 Δx =lim Δx→0 1 1+Δx 姨 +1 = 1 2 ， ∴y=f （ x ） 在点 （ 1 ， 1 ） 处的切线方程为 y-1= 1 2 （ x-1 ）， 即 x-2y+ 1=0. 练习手册 效果评价 1 . B 【 解 析 】 设 M （ x 0 ， f （ x 0 ） ） ， ∴ f ′ （ x 0 ） = lim Δx→0 f （ x 0 +Δx ） -f （ x 0 ） Δx =2x 0 +2=0 ， ∴x 0 =-1 ， M （ -1 ， -3 ） . 故 选 B. 2. D 【解析】 f ′ （ x 0 ）的几何意义是函数 y=f （ x ）的图象 在点 （ x 0 ， f （ x 0 ）） 处的切线的斜率 . 故选 D. 3. B 【解析】 由题意， 该质点在时间段 ［ 1 ， 2 ］ 内 的平均速度 v 1 = Δs Δt = 1 3 ×2 3 + + ) 1 - 1 3 ×1 3 + + + 1 2-1 = 7 3 （ m/s ）， 即该质点在 t=2 时的瞬时速度为 v 2 =lim Δt→0 s （ 2+Δt ） -s （ 2 ） Δt = 4 （ m/s）， ∴ v 1 v 2 = 7 12 . 故选 B. 4. B 【解析 】 ∵ lim Δx→0 Δy Δx = lim Δx→0 1 3 （ -1+Δx ） 3 -2+ 7 3 Δx =1 ， ∴ 切线的斜率为 1 ， 倾斜角为 45°. 故选 B. 5. D 【解析】 ∵lim Δx→0 f （ x 0 +3Δx ） -f （ x 0 ） Δx =1 ， ∴lim Δx→0 f （ x 0 +3Δx ） -f （ x 0 ） 3Δx = 1 3 ， ∴ lim 3Δx→0 f （ x 0 +3Δx ） -f （ x 0 ） 3Δx = 1 3 ， ∴ f ′ （ x 0 ） = lim 3Δx→0 f （ x 0 +3Δx ） -f （ x 0 ） 3Δx = 1 3 . 故选 D. 6. 3π 4 【解析】 ∵lim Δx→0 f （ 2+Δx ） -f （ 2-Δx ） Δx =2f ′ （ 2 ） =-2 ， ∴ f ′ （ 2 ） =-1 ， 则曲线 y=f （ x ）在点 （ 2 ， f （ 2 ）） 处的切线斜 率为 -1 ， 故所求切线的倾斜角为 3π 4 . 7. 3 【解析】 由导数的几何意义可得， k=f ′ （ 1 ） = 1 2 ， 又 M （ 1 ， f （ 1 ）） 在切线上， ∴ f （ 1 ） = 1 2 ×1+2= 5 2 ， 则 f （ 1 ） +f ′ （ 1 ） =3. 8. 2x-y+4=0 【解析】 f ′ （ 1 ） = lim Δx→0 3 （ 1+Δx ） 2 -4 （ 1+Δx ） +2- （ 3×1 2 -4×1+2 ） Δx =2 ， ∴ 所 求 直 线方程为 y-2=2 （ x+1 ）， 即 2x-y+4=0. 9. 解 ： 设 点 P 的 坐 标 为 （ x 0 ， y 0 ） ， 则 Δy Δx = 4 （ x 0 +Δx ） 2 - 4 x 2 0 Δx = -8x 0 Δx-4 （ Δx ） 2 x 2 0 （ x 0 +Δx ） 2 Δx = -8x 0 -4Δx x 2 0 （ x 0 +Δx ） 2 ， ∴ 当 Δx 趋于 0 时， f ′ （ x 0 ） =- 8x 0 x 4 0 =- 8 x 3 0 . （ 1 ） ∵ 切线与直线 y=x+1 平行， ∴ f ′ （ x 0 ） =1 ， 即 - 8 x 3 0 =1 ， ∴x 0 =-2 ， y 0 =1 ， 即 P （ -2 ， 1 ） . 50 参 考 答 案 （ 2 ） ∵ 切线与直线 2x-16y+1=0 垂直 ， ∴ f ′ （ x 0 ）· - 2 -16 6 " =-1 ， 即 - 8 x 3 0 · 1 8 =-1 ， ∴x 0 =1 ， y 0 =4 ， 即 P （ 1 ， 4 ） . （ 3 ） ∵ 切线的倾斜角为 135° ， ∴ f ′ （ x 0 ） =tan135°=-1 ， 即 - 8 x 3 0 =-1 ， ∴ 即 x 0 =2 ， y 0 =1 ， 即 P （ 2 ， 1 ） . 10. 解 ： （ 1 ） 由 导 数 定 义 得 lim Δx→0 f （ 2+Δx ） -f （ 2 ） Δx = lim Δx→0 （ Δx ） 3 +4 （ Δx ） 2 +5Δx Δx =5 ， f （ 2 ） =2 ， 可得切线方程为 y- 2=5 （ x-2 ）， 整理得 5x-y-8=0. （ 2 ） 令切点为 （ x 0 ， y 0 ） ， ∵ 切点在函数图象上 ， ∴y 0 =x 3 0 -2x 2 0 +x 0 ， 与 （ 1 ） 同理得 f ′ （ x 0 ） =lim Δx→0 f （ x 0 +Δx ） -f （ x 0 ） Δx =3x 2 0 -4x 0 +1 ， ∴ 在该点的切线为 y- （ x 3 0 -2x 2 0 +x 0 ） = （ 3x 2 0 -4x 0 + 1 ）（ x-x 0 ） . ∵ 切线过原点， ∴0- （ x 3 0 -2x 2 0 +x 0 ） = （ 3x 2 0 -4x 0 +1 ）（ 0-x 0 ）， 解得 x 0 =0 或 x 0 =1 ， 可得切点为 （ 0 ， 0 ）， （ 1 ， 0 ）， f ′ （ 0 ） =1 ， f ′ （ 1 ） =0 ， ∴ 切线方程为 y=x 或 y=0. 提升练习 11. C 【解析】 抛物线过点 （ 1 ， 2 ）， ∴b+c=1. 又 ∵ f ′ （ 1 ） =lim Δx→0 f （ 1+Δx ） -f （ 1 ） Δx =2+b ， 由题意得 2+b=-b ， ∴b= -1 ， c=2. ∴ 所求的切线方程为 y-2=x-1 ， 即 x-y+1=0 ， ∴ 两平行直线 x-y+1=0 和 x-y-2=0 间的距离 d= ｜1+2｜ 2 姨 = 3 2 姨 2 . 12. A 【解析 】 根据题意 ， 点 A （ x 1 ， f （ x 1 ））， B （ x 2 ， f （ x 2 ））， f ′ （ x ）为 f （ x ）的导函数， 则 f ′ （ x 1 ）为点 A 处切线 的斜率， 设其斜率为 k 1 ， f ′ （ x 2 ） 为点 B 处切线的斜率， 设其斜率为 k 2 ， 由函数的图象可得 k 1 >k 2 ， 即有 f ′ （ x 1 ） > f ′ （ x 2 ） . 13. BD 【解析】 若 f ′ （ x 0 ） =0 ， 则函数 f （ x ）在 x 0 处的 切线斜率为 0 ， 故 A 错误； 函数 y=f （ x ）的切线与函数的 图象可以有两个公共点， 例如函数 f （ x ） =x 3 -3x ， 在 x=1 处 的切线为 y=-2 ， 与函数的图象还有一个公共点 （ -2 ， -2 ）， 故 B 正确； ∵ 曲线 y=f （ x ）在 x=1 处的切线方程为 2x-y=0 ， ∴ f ′ （ 1 ） =2. 又lim Δx→0 f （ 1 ） -f （ 1+Δx ） 2Δx =- 1 2 lim Δx→0 f （ 1+Δx ） -f （ 1 ） Δx = - 1 2 f ′ （ 1 ） =-1≠1 ， 故 C 错误； ∵ 函数 f （ x ）的导数 f ′ （ x ） = x 2 - 2 ， ∴ f ′ （ 1 ） =1 2 -2=-1. 又 f （ 1 ） =2 ， ∴ 切点坐标为 （ 1 ， 2 ）， 斜率为 -1 ， ∴ 切线方程为 y-2=- （ x-1 ）， 化简得 x+y-3=0 ， 故 D 正确 . 14. 解 ： 用曲线 f （ t ）分别在 t 0 ， t 1 ， t 2 附近的切线 ， 刻画曲线 f （ t ）在上述三个时刻附近的变化情况 . ① 当 t=t 0 时， 曲线 f （ t ）在 t 0 处的切线 l 0 平行于 t 轴， ∴ 在 t=t 0 附近 曲线比较平坦， 几乎没有升降； ② 当 t=t 1 时， 曲线 f （ t ） 在 t 1 处的切线 l 1 的斜率 f ′ （ t 1 ） <0 ， ∴ 在 t=t 1 附近曲线下 降， 即函数 f （ t ）在 t=t 1 附近单调递减； ③ 当 t=t 2 时， 曲 线 f （ t ）在 t 2 处的切线 l 2 的斜率 f ′ （ t 2 ） <0 ， ∴ 在 t=t 2 附近曲 线下降， 即函数 f （ t ）在 t=t 2 附近单调递减 . 由图象可以看 出， 直线 l 1 的倾斜程度小于直线 l 2 的倾斜程度， 说明曲 线 f （ t ）在 t 1 附近比在 t 2 附近下降得缓慢 . 当 t=2 时， f （ 2 ） =0. 当 t=2 时， 切线的斜率 k=f ′ （ 2 ） =lim Δx→0 f （ 2+Δt ） -f （ 2 ） Δt = lim Δx→0 4 （ 2+Δt ） -2 （ 2+Δt ） 2 -8+8 Δt =lim Δx→0 4Δt-2 （ Δt ） 2 -8Δt Δt =lim Δx→0 （ -2Δt- 4 ） =-4. ∴ 切线方程为 y=-4 （ t-2 ）， 即 4t+y-8=0. 阶段性练习卷 （三） 1. C 【解析 】 ∵ 直线 l 经过 （ -1 ， 0 ）， （ 0 ， 1 ） 两 点 ， ∴l ： y =x +1. 直 线 与 曲 线 y =f （ x ） 切 于 点 A （ 2 ， 3 ） ， 可 得曲 线在 x=2 处的 导数 为 f ′ （ 2 ） =1. ∴ f ′ （ 2 ） = lim Δx→0 f （ 2+Δx ） -f （ 2 ） Δx =1. 故选 C. 2. A 【解析 】 函数 f （ x ） =x 2 +3xf ′ （ 1 ）， 则 f ′ （ x ） =2x+ 3f ′ （ 1 ）， 令 x=1 代入上式可得 f ′ （ 1 ） =2+3f ′ （ 1 ）， 则 f ′ （ 1 ） =-1. ∴ f ′ （ x ） =2x+3 ·（ -1 ） =2x-3 ， 则 f ′ （ 2 ） =2×2-3=1. 故 选 A. 3. B 【解析】 函数 f （ x ） =x 3 的导数为 f ′ （ x ） =3x 2 ， 可得 在点 （ 1 ， f （ 1 ）） 处的切线斜率为 3 ， 由切线与直线 ax- y+1=0 垂直， 可得 a=- 1 3 . 故选 B. 4. D 【解析 】 由 y=f （ x ） =x 3 -x+ 2 3 ， 则 f ′ （ x ） =3x 2 - 1≥-1 ， 则 tanα≥-1 ， 又 α∈ ［ 0 ， π ）， ∴α∈ 0 ， π 2 "2 ∪ 3π 4 ， " π 2 . 故选 D. 5. D 【解析】 设 M （ x 0 ， y 0 ）， 由题意知， y= 1 4 x 2 ， 则 51 日期： 班级： 姓名： 1. 若曲线 y=f （ x ）在点 （ x 0 ， f （ x 0 ）） 处的切线方程为 2x-y+1=0 ， 则 （ ） A． f ′ （ x 0 ） >0 B． f ′ （ x 0 ） <0 C． f ′ （ x 0 ） =0 D． f ′ （ x 0 ）不存在 2. 若函数 y=f （ x ）在 x=x 0 处可导， 则 lim h→0 f （ x 0 +h ） -f （ x 0 -h ） 2h = （ ） A. f ′ （ x 0 ） B. 2f ′ （ x 0 ） C. -2f ′ （ x 0 ） D. 0 3. （多选题） 下列说法正确的是 （ ） A. 曲线的切线和曲线可能有两个交点 B. 过曲线上的一点作曲线的切线， 这点一定是切点 C. 若 f ′ （ x 0 ）不存在， 则曲线 y=f （ x ）在点 （ x 0 ， f （ x 0 ）） 处无 切线 D. y=f （ x ）在点 （ x 0 ， f （ x 0 ）） 处有切线， 但 f ′ （ x 0 ）不一定存在 4. 已知函数 f （ x ）在 R 上可导， 其部分 图象如图所示， 设 f （ 2 ） -f （ 1 ） 2-1 =a ， 则 下列不等式正确的是 （ ） A. f ′ （ 1 ） <f ′ （ 2 ） <a 6.1.2 导数及其几何意义 第 4 题图 23 B. f ′ （ 1 ） <a<f ′ （ 2 ） C. f ′ （ 2 ） <f ′ （ 1 ） <a D. a<f ′ （ 1 ） <f ′ （ 2 ） 5. 已知曲线 y=f （ x ） = x 姨 ， y=g （ x ） = 1 x ， 它们的交点坐标为 ， 过两曲线的交点作两条曲线的切线， 则曲线 f （ x ）在交点处的切线方程为 . 24