5.1.1 数列的概念-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 第五章 数 列 1. 已知数列 {a n } 中， a 1 =2 ， a n+1 =a n +n （ n∈N * ）， 则 a 4 的值为 （ ） A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 2. 写出下列数列的一个通项公式 . （ 1 ） 1 ， 4 3 ， 2 ， 16 5 ， …； （ 2 ） - 1 3 ， 1 8 ， - 1 15 ， 1 24 ， …； （ 3 ） 1 2 ， 2 5 ， 3 10 ， 4 17 ， 5 26 ， …； （ 4 ） 9 ， 99 ， 999 ， 9 999 ， …； （ 5 ） -1 ， 1 ， -1 ， 1 ， -1 ， 1 ， … . 5.1 数列基础 5.1.1 数列的概念 1 3. 若数列 {a n } 的通项公式为 a n =n 2 -9n+1 ， 则该数列是 （ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 先递增再递减数列 D. 先递减再递增数列 4. 已知函数 f （ x ） = x+1 3x-16 ， 数列 {a n } 满足 a n =f （ n ） （ n∈N * ）， 则数列 {a n } 的最大项是第 项 . 5. 已知数列 {a n } 满足： ① 递减数列； ②a n >1. 试写出一个这样 的数列的通项公式： . 2 参 考 答 案 5.1 数列基础 5.1.1 数列的概念 学习手册 变式训练 1 ABD 【解析】 根据数列的定义， 数列是按 照一定次序排列的一列数， 故 A 正确； 同一个数在一个 数列中可以重复出现， 即数列的项可以相等， 故 B 正 确； 数列中的项与项的序号是不同的， 数列中的项是数 列中某一确定的数， 而项的序号是指这个数在数列中的 具体位置， 故 C 错误； 数列 5 ， 3 ， 2 ， 7 ， 6 ， 5 的第一 项为首项， 最后一项为末项， 都是 5 ， 故 D 正确 . 故选 ABD. 变式训练 2 解： （1 ） 分成三部分看， 正负号、 分子以 及分母， 并把第一项改写为 2 1 ， 即可得到 a n = （ -1 ） n+1 · 2 n 2n-1 . （ 2 ） 分奇偶项看， 可以发现奇数项都是 -1 ， 偶数项 为从 1 开始的自然数列 . 若考虑分段写， 则 a n = -1 ， n 为奇数， n 2 ， n 为偶数 数 # # # " # # # $ ； 若合为一个 式子， 则 a n = n 4 ［ 1+ （ -1 ） n ］ + 1 2 ［（ -1 ） n -1 ］ . （ 3 ） 观察可以发现， 数列每 4 项出现重复， 因此可 以考虑用三角函数来表示 a n =sin nπ 2 或 a n =cos （ n-1 ） π 2 . （ 4 ） 对于相同数字个数逐个增加的数列， 可以考虑 与数列 {10 n } 有关， 由数字 9 到数字 1 ， 再到数字 2 ， 则 a n = 2 9 （ 10 n -1 ） . （ 5 ） 把数列每一项都减去 1 ， 就会发现一个从 1 开 始的自然数的平方构成的数列， 故得到数列的通项公式 a n =n 2 +1. 变式训练 3 A 【解析】 每一次变化， 灰色的三角形个数 都变为原来的 3 倍， 考虑 a 1 =1 ， ∴a n =3 n-1 . 也可以考虑列 出前 4 项： 1 ， 3 ， 9 ， 27 ， 再结合规律得到 a n =3 n-1 . 故选 A. 变式训练 4 解： （ 1 ） 令 n=6 ， 得 a 6 =6 2 -6-12=18 ， ∴ 该 数列的第 6 项为 18. （ 2 ） 令 n 2 -n-12=30 ， 即 n 2 -n-42=0 ， 解得 n=7 或 n= -6. ∵n∈N + ， ∴n=7 ， ∴30 是该数列的第 7 项 . （ 3 ） 令 0<n 2 -n-12<30 ， 即 n 2 -n-12>0 ， n 2 -n-42<0 0 ， 解得 -6<n<-3 或 4<n<7. ∵n∈N + ， ∴n=5 ， 6 ， ∴ 在 （ 3 ， 30 ） 内存在数列的第 5 项和第 6 项 . 变式训练 5 解： 令 a n a n-1 ≥1 （ n≥2 ）， 即 （ n+1 ） 10 11 1 ) n n 10 11 1 1 n-1 ≥ 1 ， 整理得 n+1 n ≥ 11 10 ， 解得 n≤10. 令 a n a n+1 ≥1 ， 即 （ n+1 ） 10 11 1 1 n （ n+2 ） 10 11 1 1 n+1 ≥1 ， 整理得 n+1 n+2 ≥ 10 11 ， 解得 n≥9. ∴ 数列 {a n } 从第 1 项到第 9 项递增， 从第 10 项起 递减 . 变式训练 6 （ 1 ） D （ 2 ） C 【解析】 （ 1 ） 方法一： 由 {a n } 是递增数列且 a n =n 2 +λn ， 得 a n+1 -a n = （ n+1 ） 2 +λ （ n+1 ） - （ n 2 +λn ） =2n+1+λ>0 对 n∈N * 恒 成 立 ， ∴λ > ［ - （ 2n +1 ）］ max ， 即 λ>-3. 方法二 ： 数列 {a n } 对应 的函数为 f （ x ） =x 2 +λx ， 其图象如图所示， 由 {a n } 是递增 第五章 数 列 参 考 答 案 变式训练 6 答图 21 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 数列得 - λ 2 < 3 2 ， 解得 λ>-3. 故选 D. （ 2 ） 由题意可知， 数列 {a n } 为递减数列， ∴ 0<a<1 ， 1 3 -a<0 ， a> 1 3 - - " a · 9+2 2 % % % % % % % $ % % % % % % % & ， 解得 1 2 <a<1. 故选 C. 变式训练 7 A 【解析】 ∵n∈N * ， ∴ 当 1≤n≤3 时， a n = 1 2 n -15 <0 ， 且单调递减； 当 n≥4 时， a n = 1 2 n -15 >0 ， 且单调递减， 且 a 1 = 1 2-15 =- 1 13 ， ∴ 最小项为 a 3 = 1 8-15 =- 1 7 ， 最大项为 a 4 = 1 16-15 = 1. 故选 A. 变式训练 8 解： 方法一： a n+1 -a n = （ n+3 ）· 7 8 - " n+1 - （ n+2 ）· 7 8 - " n = 7 8 - " n · 5-n 8 . 当 0<n<5 时， a n+1 -a n >0 ， 即 a n+1 >a n ； 当 n=5 时， a n+1 -a n =0 ， 即 a n+1 =a n ； 当 n>5 时， a n+1 -a n <0 ， 即 a n+1 <a n . 故有 a 1 <a 2 <a 3 <a 4 <a 5 =a 6 >a 7 >a 8 > …， ∴ 当 n=5 或 n=6 时， 数列 {a n } 有最大项， 即数列 {a n } 第 5 项和第 6 项最大 . 方法二： a n+1 a n = （ n+3 ）· 7 8 - " n+1 （ n+2 ）· 7 8 - " n = 7 （ n+3 ） 8 （ n+2 ） . 令 a n+1 a n >1 ， 则 7 （ n+3 ） 8 （ n+2 ） >1 ， 解得 0<n<5 ； 令 a n+1 a n =1 ， 则 7 （ n+3 ） 8 （ n+2 ） =1 ， 解得 n=5 ； 令 a n+1 a n <1 ， 则 7 （ n+3 ） 8 （ n+2 ） <1 ， 解得 n>5. 又 ∵a n >0 ， 故有 a 1 <a 2 <a 3 <a 4 <a 5 =a 6 >a 7 >a 8 > …， ∴ 当 n=5 或 n=6 时， 数列 {a n } 有最大项， 即数列 {a n } 第 5 项和第 6 项最大 . 方法三： 假设 {a n } 有最大项， 且最大项为第 k 项， 则 a k ≥a k-1 ， a k ≥a k+1 1 ， 即 （ k+2 ）· 7 8 - " k ≥ （ k+1 ）· 7 8 - " k-1 ， （ k+2 ）· 7 8 - " k ≥ （ k+3 ）· 7 8 - " k+1 2 % % % % $ % % % % & ， 解得 5≤k≤6 ， ∴ {a n } 的最大项为第 5 项和第 6 项 . 随堂练习 1. D 【解析 】 ∵a 1 =2 ， a n+1 =a n +n ， ∴a 2 =a 1 +1=2+1=3 ， a 3 =a 2 +2=2+3=5 ， a 4 =a 3 +3=5+3=8. 故选 D. 2. 解： （ 1 ） 将原数列各项统一为分数： 2 2 ， 4 3 ， 8 4 ， 16 5 ， …， 故通项公式为 a n = 2 n n+1 . （ 2 ） 原数列各项先负后正， 符号为 （ -1 ） n ， 各项分 母依次为 4-1 ， 9-1 ， 16-1 ， 25-1 ， …， 故通项公式为 a n = （ -1 ） n · 1 （ n+1 ） 2 -1 . （ 3 ） 原数列各项分母依次为 1 2 +1 ， 2 2 +1 ， 3 2 +1 ， 4 2 + 1 ， 5 2 +1 ， …， 故通项公式为 a n = n n 2 +1 . （ 4 ） 原数列各项依次为 10-1 ， 10 2 -1 ， 10 3 -1 ， 10 4 - 1 ， …， 故通项公式为 a n =10 n -1. （ 5 ） 原数列奇数项为 -1 ， 偶数项为 1 ， 故通项公式 为 a n = （ -1 ） n . 3. D 【解析】 方法一： a n+1 -a n = ［（ n+1 ） 2 -9 （ n+1 ） +1 ］ - （ n 2 -9n+1 ） =2 （ n-4 ） . 当 1≤n<4 时， a n+1 <a n ； 当 n=4 时， a 5 = a 4 ； 当 n>4 时， a n+1 >a n . ∴a 1 >a 2 >a 3 >a 4 =a 5 <a 6 <a 7 < …， ∴ 该数 列先递减， 再递增 . 故选 D. 方法二： 考虑函数 f （ x ） =x 2 -9x+1 ， x∈ ［ 1 ， +∞ ）， 函 数图象的对称轴为 x= 9 2 ， ∴f （ x ）在 1 ， 9 2 2 , 上单调递减， 在 9 2 ， + " ∞ 2 上单调递增 . 又 ∵f （ 4 ） =f （ 5 ）， ∴a 1 >a 2 >a 3 >a 4 = a 5 <a 6 <a 7 < …， ∴ 该数列先递减， 再递增 . 故选 D. 4. 6 【解析】 方法一： a n = n+1 3n-16 = 1 3 + 19 3 （ 3n-16 ） ， a n+1 - a n = 1 3 + 19 3 （ 3n-13 ） 2 , - 1 3 + 19 3 （ 3n-16 ） 2 , = 19 （ 3n-13 ）（ 3n-16 ） ， ∴ 当 1≤n≤4 或 n≥6 时 ， a n+1 <a n ， 当 n=5 时 ， a n+1 >a n ， ∴a 1 >a 2 >a 3 >a 4 >a 5 ， a 6 >a 7 >a 8 > … . 又 ∵a 1 =- 2 13 ， a 6 = 7 2 ， a 6 >a 1 ， ∴ 数列 {a n } 的第 6 项最大 . 方法二： f （ x ） = x+1 3x-16 = 1 3 + 19 9 x- 16 3 ， 函数 f （ x ）在 0 ， 16 3 - " 和 16 3 ， + - " ∞ 上都是单调递减函数 . ∴ 当 1≤n≤5 时， 数列 {a n } 单调递减； 当 n≥6 时， 22 参 考 答 案 数列 {a n } 单调递减 . 又 ∵a 1 =- 2 13 ， a 6 = 7 2 ， a 6 >a 1 ， ∴ 数列 {a n } 的第 6 项最大 . 5. a n = 1 n +1 （答案不唯一） 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 构成数列的数是有顺序的， 而集合中 的元素是无序的， 故 A 说法错误； 两数列的数排列顺序 不相同， 不是相同的数列， 故 B 说法错误； 数列 1 ， 3 ， 5 ， 7 是有穷数列， 而数列 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， …是无穷数列， 故 C 说法错误； 由常数列的定义， 可知 0 ， 1 ， 0 ， 1 ， … 不是常数列， D 说法正确 ． 故选 D. 2. B 【解析】 数列 3 姨 ， 3 ， 15 姨 ， 21 姨 ， …， 可 化为数列 3 姨 ， 9 姨 ， 15 姨 ， 21 姨 ， …， 则数列的通 项公式为 a n = 6n-3 姨 . 当 a n = 6n-3 姨 = 39 姨 时， 则 6n- 3=39 ， 解得 n=7 ， 故 39 姨 是这个数列的第 7 项 . 故选 B. 3. B 【解析】 数列 0 ， 3 2 ， 4 ， 15 2 ， …， 即数列 0 2 ， 3 2 ， 8 2 ， 15 2 ， 即数列 1 2 -1 2 ， 2 2 -1 2 ， 3 2 -1 2 ， 4 2 -1 2 ， …， ∴ 该数列的一个通项公式为 n 2 -1 2 . 故选 B. 4. C 【解析】 设第 n 个图形中长度为 1 的线段条数 形成数列 {a n } ， 通过观察图形可得， 第 n 个图形的宽度 为 n ， 横向有 （ n+1 ） 条 ， 则横向长度为 1 的线段有 n （ n+1 ） 条， 纵向和横向相同， ∴ 可得 a n =2n （ n+1 ）， 则第 10 个图形中长度为 1 的线段条数为 a 10 =2×10× （ 10+1 ） = 220. 故选 C. 5. B 【解析 】 方法一 ： ∵ 数 列 {a n } 为递增数列， ∴a n+1 >a n 对一 切 n∈N + 恒成立， ∴3 （ n+1 ） 2 +2λ （ n+ 1 ） -1>3n 2 +2λn-1 对一切 n∈N + 恒 成立， 即 λ>-3n- 3 2 对一切 n∈N + 恒成立 . ∵-3n- 3 2 最大值为 - 9 2 ， ∴λ>- 9 2 . 故选 B. 方法二： 考虑函数 f （ x ） =3x 2 +2λx-1 ， ∵ 数列 {a n } 为 递增数列， ∴a n <a n+1 ， ∴ f （ n ） <f （ n+1 ）， 如图所示， - λ 3 < 3 2 ， 解得 λ>- 9 2 . 故选 B. 6. C 【解析】 ∵OA 1 =1 ， OA 2 = 2 姨 ， OA 3 = 3 姨 ， …， OA n = n 姨 ， …， ∴a 1 =1 ， a 2 = 2 姨 ， a 3 = 3 姨 ， …， a n = n 姨 ， … . 故选 C. 7. AB 【解析】 逐个检验即可， A ， B 满足题意； 当 n=3 时， a 3 =3≠2 ， ∴C 不符合题意； 当 n=2 时， a 2 =3≠2 ， ∴D 不符合题意 . 故选 AB. 8. （ 2 ， 3 ） 【解析】 ∵ 数列 {a n } 是递增数列 ， 又 ∵f （ x ） = （ 3-a ） x-3 ， x≤7 ， a x-6 ， x>7 7 ， a n =f （ n ） （ n∈N * ） ， ∴1<a<3 且 f （ 7 ） <f （ 8 ）， ∴7 （ 3-a ） -3<a 2 ， 解得 a<-9 或 a>2 ， 故实 数 a 的取值范围是 （ 2 ， 3 ） . 9. （ 1 ） 解： 当 n=7 时， a 7 = 7 2 7 2 +1 = 49 50 . （ 2 ） 证明： a n = n 2 n 2 +1 =1- 1 n 2 +1 ， ∵0< 1 n 2 +1 ≤ 1 2 ， ∴0< a n <1 ， 故数列的各项都在区间 （ 0 ， 1 ） 内 . （ 3 ） 解： 令 1 3 < n 2 n 2 +1 < 2 3 ， 则 1 2 <n 2 <2. ∵n∈N * ， 故 n=1 ， 即在区间 1 3 ， 2 3 3 ' 内有且只有数列中的 1 项， 为 a 1 . 10. 解： （ 1 ） 令 n 2 -7n-8<0 ， 解得 -1<n<8 ， ∴ 正整 数 n 可取 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 故数列从第 1 项至第 7 项均为负数， 共 7 项 . （ 2 ） 方法一： ∵y=x 2 -7x-8 是关于 x 的二次函数， 其 对称轴方程为 x= 7 2 =3.5 ， ∴ 当 1≤n≤3 时， {a n } 单调递 减； 当 n≥4 时， {a n } 单调递增 . ∴ 当 n=3 或 n=4 时， 数 列 {a n } 有最小项， 且最小项为 a 3 =a 4 =-20. 方法二 ： 不妨设 a n 为数列 { a n } 的最小值 ， 则 a n ≤a n-1 ， a n ≤a n+1 7 ， 即 n 2 -7n-8≤ （ n-1 ） 2 -7 （ n-1 ） -8 ， n 2 -7n-8≤ （ n+1 ） 2 -7 （ n+1 ） -8 7 ， 解得 3≤n≤ 4 ， 故当 n=3 或 n=4 时， 数列 {a n } 有最小项， 且最小项 为 a 3 =a 4 =-20. 提升练习 11. D 【解析】 ∵p>0 ， n∈N * ， 则 log 3 p n =nlog 3 p. 当 0<p<1 时， log 3 p<0 ， 则 nlog 3 p 是递减的， 即数列 {log 3 p n } 是递减数列； 第 5 题答图 23 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 当 p=1 时， log 3 p=0 ， nlog 3 p=0 ， 即数列 {log 3 p n } 是 常数数列； 当 p>1 时 ， log 3 p>0 ， 则 nlog 3 p 是递增的 ， 即数列 {log 3 p n } 是递增数列 . 故选 D. 12. D 【解 析 】 由 题 意 ， 数 列 { a n } 的 通 项 a n = 2 020-2 n 2 021-2 n =1- 1 2 021-2 n ， 又由 2 10 <2 021<2 11 ， 当 n≤10 时， 数列递减， 且 a n <1 ， 最小值为第 10 项； 当 n>10 时， 数列递减， 且 a n >1 ， 最大值为第 11 项， 故整个数列的最大项为第 11 项， 最小项为第 10 项， 使得 a T ≤a n ≤a S 对任意的 n∈N * 恒成立， ∴T+S=10+ 11=21. 故选 D. 13. B 【解析】 ∵a n b n = a n -b n 且 a n =n+a-1 （ a n ≠-1 ）， ∴b n = a n a n +1 =1+ -1 n+a . ∵ 对任意的 n∈N * ， 都有 b n ≤b 6 成立， ∴ 数列 {b n } 的第 6 项最大 . 考虑 函数 f （ x ） =1+ -1 x+a ， 如 图所示， 结合图象可得 6<-a<7 ， ∴-7<a<-6. 故选 B. 14. BCD 【解析】 a n+k -a n =-3 n+k +3 n =-3 n （ 3 k -1 ）， ∵k∈ N + ， ∴3 k -1>0 ， ∴a n+k -a n <0 ， 即 a n+k <a k ， ∴ {a n } 不是间隔递 增数列， 故 A 错误 . a n+k -a n = n+k+ 4 n+k k % - n+ 4 n k % =k · n 2 +kn-4 （ n+k ） n ， 易得 t （ n ） =n 2 +kn-4 是递增数列， 则 t （ 1 ） =k-3 ， ∴k>3 时， {a n } 一定 是间隔递增数列， 故 B 正确 . a n+k -a n =2 （ n+k ） + （ -1 ） n+k - ［ 2n+ （ -1 ） n ］ =2k+ （ -1 ） n ·［（ -1 ） k -1 ］， n 为奇数时， a n+k -a n =2k- ［（ -1 ） k -1 ］， 显然 k=1 时， a n+k - a n >0 ； n 为偶数时， a n+k -a n =2k+ ［（ -1 ） k -1 ］， 显然 k=2 时， a n+k -a n >0. 综上， {a n } 是间隔递增数列且最小间隔是 2 ， 故 C 正确 . a n+k -a n = （ n+k ） 2 -t （ n+k ） +2 021- （ n 2 -tn+2 021 ） =2kn+k 2 - tk>0 对 n∈N * 恒成立， 则 2k+k 2 -tk>0 恒成立 . ∵ 最小间 隔是 3 ， ∴2k+k 2 -tk>0 ， 即 k>t-2 对于 k≥3 恒成立， 且 k≤2 时， 2k+k 2 -tk≤0 ， 即 k≤t-2 ， 于是 4≤t<5 ， 故 D 正确 . 故选 BCD. 15. 解： 存在， 如 a n =5- 1 n . ∵n>0 ， ∴5- 1 n <5. 又 ∵ 函数 y=5- 1 n 在 （ 0 ， +∞ ） 上 递增， ∴ 数列 a n =5- 1 n 是无穷递增数列， ∴ 存在各项都 小于 5 的无穷递增数列 . 5.1.2 数列中的递推 学习手册 变式训练 1 12 48 a n+1 =4a n （ n∈N + ） 【解析】 由图可 知， a 1 =12 ， a 2 =48 ， 由 “雪花曲线” 的作法可知， a 2 =4a 1 ， a 3 =4a 2 ， …， ∴ 由第 n 条 “雪花曲线” 的每条边都可得到 第 （ n+1 ） 条 “雪花曲线” 的 4 条边， ∴a n+1 =4a n ， ∴ 数列 {a n } 的递推公式为 a n+1 =4a n （ n∈N + ） . 变式训练 2 1 6 【解析】 ∵a 1 =1 ， ∴ 1 a 2 =1+1+ 1 a 1 =3 ， 故 1 a 3 =2+1+ 1 a 2 =3+3=6 ， ∴a 3 = 1 6 . 变式训练 3 a n = n 姨 +1 【解析】 由 a n+1 =a n + 1 n+1 姨 + n 姨 ， 得 a n+1 -a n = n+1 姨 - n 姨 . ∵a 1 =2 ， a 2 -a 1 = 2 姨 -1 ， a 3 -a 2 = 3 姨 - 2 姨 ， a 4 -a 3 = 4 姨 - 3 姨 ， … ， a n -a n -1 = n 姨 - n-1 姨 . 将以上各式等号两边分别相加， 得 a n =2+ 2 姨 - 1+ 3 姨 - 2 姨 + … + n 姨 - n-1 姨 = n 姨 +1 （ n≥2 ） . ∵a 1 = 2 也适合上式， ∴a n = n 姨 +1. 变式训练 4 a n =n 【解析】 方法一： 由 a n =n （ a n+1 -a n ）， 得 a n+1 a n = n+1 n ， ∴a 1 =1 ， a 2 a 1 =2 ， a 3 a 2 = 3 2 ， a 4 a 3 = 4 3 ， …， a n a n-1 = n n-1 （ n≥2 ） . 将以上各式等号两边分别相乘 ， 得 a n =n. 又 ∵a 1 =1 也适合上式， ∴a n =n. 方法二： 由 a n =n （ a n+1 -a n ）， 得 a n+1 n+1 = a n n ， ∴ 数列 a n n n * 为常数列， ∴ a n n = a 1 1 =1 ， ∴a n =n. 变式训练 5 C 【解析】 ∵ 1 a n = 1 n 2 +n = 1 n （ n+1 ） = 1 n - 1 n+1 ， ∴S n = 1- 1 2 k % + 1 2 - 1 3 k % + 1 3 - 1 4 k % + … + 1 n - 1 n+1 k % = 1- 1 n+1 = n n+1 . 故选 C. 变式训练 6 B 【解析】 ∵a 1 =-1 ， a 2 =-3 ， a n a n+2 =-3 ， ∴a 3 = 3 ， a 4 =1 ， a 5 =-1 ， a 6 =-3 ， a 7 =3 ， a 8 =1 ， …， ∴ {a n } 是以 4 为周期的周期数列， 且 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =0 ， a 2 021 =a 1 =-1 ， a 2 022 = 第 13 题答图 24