综合测试卷(2)-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练习（人教B版）

一、 选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 . 1. 记 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和， 若 S 4 =S 5 =20 ， 则 a 1 = （ ） A. -10 B. -8 C. 10 D. 8 2. 若曲线 y= （ ax+1 ） e x 在点 （ 0 ， 1 ） 处的 切线方程是 2x-y+1=0 ， 则 a= （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 已知等差数列 {a n } 满足： a 1 =-8 ， a 2 = -6. 若将 a 1 ， a 4 ， a 5 都加上同一个数， 所得的 三个数依次成等比数列， 则所加的这个数为 （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 无法确定 4. 已知函数 f （ x ）， 其导函数 f ′ （ x ） 的图 象如图所示， 则 （ ） A. f （ x ） 有 2 个极值点 B. f （ x ） 在 x=1 处取得 极小值 C. f （ x ） 有极大值， 没 有极小值 D. f （ x ） 在 （ -∞ ， 1 ） 上单调递减 5. 核电站只需消耗很少的核燃料， 就可 以产生大量的电能， 每千瓦时电能的成本比 火电站要低 20% 以上 . 核电无污染， 几乎是 零排放， 对于环境压力较大的中国来说， 符 合能源产业的发展方向 . 2021 年 10 月 26 日， 国务院发布 《 2030 年前碳达峰行动方案》， 提出要积极安全有序发展核电 . 但核电造福 人类时， 核电站的核泄漏核污染也时时威胁 着人类， 如 2011 年， 日本大地震导致福岛 第一核电站发生爆炸， 核泄漏导致事故所在 地被严重污染， 主要的核污染物是锶 90 ， 它 每年的衰减率为 2.47%. 专家估计， 要基本 消除这次核事故对自然环境的影响至少需 要 800 年 ， 到那时 ， 原有的锶 90 大约剩 （ ） （参考数据： lg0.975 3≈-0.010 86 ） A. 1 10 8 % B. 1 10 7 % C. 1 10 8 D. 1 10 7 6. 已知函数 f （ x ） =ax 2 -4ax-lnx ， 则 f （ x ）在 （ 1 ， 3 ） 上不单调的一个充分不必要条件是 （ ） A. a∈ -∞ ， 1 6 6 $ B. a∈ 1 6 ， + + & ∞ C. a∈ - 1 2 ， + + & ∞ D. a∈ - 1 2 ， 1 6 + & 7. 等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1 = 15 ， a 2 +a 3 +a 4 +a 5 =30 ， 则 S n 的最大值为 （ ） A. 60 B. 45 C. 30 D. 15 8. 已知函数 f （ x ） =e x （ x 2 -x+1 ）， 则下列选 综合测试卷 （二） 第 4 题图 （时间： 120 分钟 满分： 150 分） x y O 1 3 综合测试卷 （二） 13 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 项正确的有 （ ） A. 函数 f （ x ）的极小值为 -1 B. 函数 f （ x ）在 （ -1 ， +∞ ） 上单调递增 C. 当 x∈ ［ -2 ， 2 ］ 时， 函数 f （ x ）的最大 值为 3e 2 D. 当 k< 3 e 时， 方程 f （ x ） =k 恰有 3 个不 等实根 二、 选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多 项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分 . 9. 下列函数中， 既是奇函数又是增函数 的是 （ ） A. f （ x ） =2 x +2 -x B. f （ x ） =- 1 x C. f （ x ） =x 3 +x D. f （ x ） =x-sinx 10. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 且 S n = - n+3 2 ， n 为奇数， n 2 ， n 为偶数 数 $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ % ， 则下列判断正确的是 （ ） A. a 10 =-11 B. 当 n 为奇数时， a n =-n+1 C. 当 n 为偶数时， a n =n+1 D. 数列 1 a n a n+1 1 ' 的前 n 项和等于 - n 2 （ n+2 ） 11. 已知函数 f （ x ） =e sinx -e cosx ， 其中 e 是自 然对数的底数， 下列说法中正确的是 （ ） A. f （ x ）的一个周期为 2π B. f （ x ）在区间 0 ， π 2 2 ) 上单调递增 C. f x+ π 4 2 * 是偶函数 D. f （ x ）在区间 π 2 ， ， * π 上有且仅有一个 极值点 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . 12. 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 若 a 8 >0 ， a 6 +a 11 <0 ， 则 S n 取得最大值时 n 的值为 . 13. 已知质点运动的位移 s （单位： m ） 与时间 t （单位： s ） 的关系为 s= 1 2 t 2 -t ， 则 质点在 t=2 时刻的瞬时速度为 m/s. 14. 已知 f （ x ） =x 3 +x+2 x -2 -x ， 则关于 x 的 不等式 f （ e x -x ） ≤ 7 2 的解为 . 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答 应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . 15. （ 13 分） 在等差数列 {a n } 中， a 1 =2 ， 且 a 2 ， a 3 +2 ， a 6 成等比数列， 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n . （ 1 ） 求数列 {a n } 的通项公式； （ 2 ） 若 b n =2 n-1 a n ， 求数列 {b n } 的前 n 项 和 T n . 14 16. （ 15 分） 已知函数 f （ x ） =x 3 +x-16. （ 1 ） 求曲线 y=f （ x ）在点 （ 2 ， -6 ） 处的 切线方程； （ 2 ） 直线 l 为曲线 y=f （ x ）的切线， 且经 过原点， 求直线 l 的方程及切点坐标 . 17. （ 15 分） 已知数列 {a n } 满足 a 1 =1 ， a n+1 = a n +1 ， n 为奇数， 2a n ， n 为偶数 数 ， ， n∈N 鄢 . 从 ①b n =a 2n-1 +2 ， ②b n =a 2n+1 -a 2n-1 这两个条件中任 选一个填在横线上， 并完成下面问题 . （注： 如果两个条件分别作答， 按第一个解答计分） （ 1 ） 写出 b 1 ， b 2 ； （ 2 ） 证明 {b n } 为等比数列， 并求数列 {b n } 的通项公式； （ 3 ） 求数列 {a n } 的前 2n 项和 S 2n . 综合测试卷 （二） 15 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 18. （ 17 分） 已知函数 f （ x ） =e 2x -2x. （ 1 ） 求曲线 y=f （ x ）在点 （ 0 ， f （ 0 ）） 处的 切线方程； （ 2 ） 求 f （ x ）的极值； （ 3 ） 若对于任意 x∈R ， 不等式 f （ x ） > 2 （ e-1 ） x+m 恒成立， 求实数 m 的取值范围 . 19. （ 17 分） 已知函数 f （ x ） =ln （ x+1 ）， g （ x ） =kx. （ 1 ） 当 k=1 时， 求函数 h （ x ） =f （ x ） -g （ x ） 的最大值； （ 2 ） 若关于 x 的不等式 f （ x ） ≤g （ x ）恒成 立， 求实数 k 的值 . 16 参 考 答 案 17. 解 ： （ 1 ） 设等比数列 { a n } 的公比为 q ， 由 S 1 ， 2S 2 ， 3S 3 成等差数列， 则 4S 2 =S 1 +3S 3 ， 得 3a 3 =a 2 ， ∴ 数列 {a n } 的公比 q= 1 3 ， 由 a 1 =27 ， 数列 {a n } 的通项公式 a n =a 1 · q n-1 =3 4-n . （ 2 ） 令 b n =log 3 a n ， 则 b n =log 3 3 4-n =4-n ， ∴ 当 n≤4 时， b n ≥0 ， ∴ 当 n=3 或 n=4 时， T n 取得最大值： T 3 =T 4 =3+2+1=6. 18. （ 1 ） 解： 由题可得 f ′ （ x ） =e x -2x ， ∵ 曲线 y=f （ x ）在 （ 0 ， f （ 0 ）） 处的切线方程为 y=bx ， ∴ f （ 0 ） =1+a=0 ， f ′ （ 0 ） =1=b b ， 即 a=-1 ， b=1 b ， ∴ f （ x ） =e x -x 2 -1. （ 2 ） 证明： 令 φ （ x ） =f （ x ） +x 2 -x=e x -x-1 ， 则 φ′ （ x ） =e x -1 ， 令 φ′ （ x ） =0 ， 解得 x=0 ， 当 x∈ （ -∞ ， 0 ） 时， φ′ （ x ） <0 ， φ （ x ）单调递减； 当 x∈ （ 0 ， +∞ ） 时， φ′ （ x ） >0 ， φ （ x ）单调递增， ∴φ （ x ） min =φ （ 0 ） =0 ， ∴φ （ x ） ≥0 ， ∴ f （ x ） ≥-x 2 +x. （ 3 ） 解： ∵ f （ x ） ≥kx 对任意的 x∈ （ 0 ， +∞ ） 恒成立， ∴ f （ x ） x ≥k 对任意的 x∈ （ 0 ， +∞ ） 恒成立， 令 g （ x ） = f （ x ） x = e x -x 2 -1 x ， x>0 ， 则 g′ （ x ） = （ x-1 ）（ e x -x-1 ） x 2 ， 由 （ 2 ） 可知当 x∈ （ 0 ， +∞ ） 时， e x -x-1>0恒成立， 令 g′ （ x ） >0 ， 可得 x>1 ； 令 g′ （ x ） <0 ， 可得 0<x<1 ， ∴g （ x ）在 （ 0 ， 1 ） 上单调递减， 在 （ 1 ， +∞ ） 上单调 递增， ∴g （ x ） min =g （ 1 ） =e-2 ， ∴k≤g （ x ） min =e-2 ， ∴ 实数 k 的取值范围为 （ -∞ ， e-2 ］ . 19. 解： （ 1 ） 由 f （ x ） <-1 得， lnx+ m x <0 ， 即 m<-xlnx 在 （ 0 ， +∞ ） 有解， 令 φ （ x ） =-xlnx ， 只需 m<φ （ x ） max ， φ′ （ x ） =-1-lnx ， 当 0<x< 1 e 时， φ′ （ x ） >0 ， φ （ x ）递增， 当 x> 1 e 时， φ′ （ x ） <0 ， φ （ x ）递减， ∴φ （ x ） ≤φ 1 e e & = 1 e . ∴m< 1 e . （ 2 ） ∵ f （ x ）有两个不同零点 x 1 ， x 2 ， ∴m=x （ 1-lnx ） 有 两个不同实根 x 1 ， x 2 ， 令 g （ x ） =x （ 1-lnx ）， 则 g （ x 1 ） =g （ x 2 ） =m ， 又 g′ （ x ） =-lnx ， 当 x∈ （ 0 ， 1 ） 时， g′ （ x ） >0 ， g （ x ）递增， 当 x∈ （ 1 ， +∞ ） 时， g′ （ x ） <0 ， g （ x ）递减 . 又 g （ 1 ） =1>0 ， g （ e ） =0 ， ∴0<m<1 ， 不妨设 0<x 1 <1<x 2 <e ， 令 h （ x ） =g （ x ） -g （ 2-x ）（ 0<x<1 ）， ∴h′ （ x ） =g′ （ x ） +g′ （ 2-x ） =-ln ［ - （ x-1 ） 2 +1 ］ >0 ， ∴h （ x ）在 （ 0 ， 1 ） 递增， ∴h （ x ） <h （ 1 ） =0 ， ∴g （ x ） <g （ 2- x ）， 即 g （ x 1 ） <g （ 2-x 1 ） . 又 g （ x 1 ） =g （ x 2 ）， ∴g （ x 2 ） <g （ 2-x 1 ） . ∵x 2 >1 ， 2-x 1 >1 ， ∴x 2 >2-x 1 ， ∴x 1 +x 2 >2. 下证 x 1 +x 2 <e ， 设 A （ 1 ， 1 ）， B （ e ， 0 ）， 直线 OA 的方程为 y=x ， g （ x ） 在 B 处的切线为 y=-x+e ， 设 p （ x ） =g （ x ） -x （ 0<x<1 ）， 则 p （ x ） =-xlnx>0 ， ∴g （ x ） > x ， ∴g （ x 1 ） >x 1 ， 即 x 1 <m ， 设 q （ x ） =g （ x ） - （ -x+e ） （ 1<x<e ）， 则 q （ x ） =x （ 2-lnx ） -e ， ∵q′ （ x ） =1-lnx>0. ∴q （ x ）在 （ 1 ， e ） 递增， ∴q （ x ） <q （ e ） =0 ， ∴g （ x 2 ） <-x 2 +e ， ∴-x 2 +e>m ， ∴x 2 <-m+e ， ∴x 1 +x 2 <e. 综上， 2<x 1 +x 2 <e. 综合测试卷（二） 1. D 【解析】 由 S 4 =S 5 =20 ， 可知 S 5 -S 4 =a 5 =0 ， ∵5a 3 =S 5 =20 ， ∴a 3 =4 ， 2a 3 =a 1 +a 5 =a 1 =8. 故选 D. 2. C 【解析 】 由题意 ， 在 y= （ ax+1 ） e x 中 ， y′=ae x + （ ax+1 ） e x = （ ax+a+1 ） e x ， 在点 （ 0 ， 1 ） 处， y′=a+1 ， ∵ 在点 （ 0 ， 1 ） 处的切线方程是 2x-y+1=0 ， ∴ 在点 （ 0 ， 1 ） 处 的斜率为 2 ， ∴a+1=2 ， 解得 a=1. 故选 C. 3. A 【解析 】 ∵a 1 =-8 ， a 2 =-6 ， ∴d=a 2 -a 1 =2 ， 则 a n = 2n-10 ， ∴a 4 =-2 ， a 5 =0 ， 设 a 1 ， a 4 ， a 5 都加上同一个数 x ， 得到的三个新数依次为 x-8 ， x-2 ， x ， 则 （ x-8 ） x= （ x-2 ） 2 ， 解得 x=-1. 故选 A. 4. C 【解析】 由题意得， f （ x ）在 （ -∞ ， 3 ） 上单调递 增， 在 （ 3 ， +∞ ） 上单调递减， ∴ f （ x ）有一个极大值， 没 有极小值， ∴A ， B ， D 错误， C 正确 . 故选 C. 5. B 【解析】 由题意， 设一开始锶 90 质量为 1 ， 则 每年的剩余量构成以 1-2.47%=97.53% 为公比的等比数 列， 则经过 800 年锶 90 剩余质量为 a=1× （ 97.53% ） 800 = 87 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 （ 97.53% ） 800 ， 两边取常用对数可得， lga=lg （ 97.53% ） 800 =800lg0.975 3 =800× （ -0.010 86 ） =-8.688 ， ∴a=10 -8.688 = 1 10 8.688 = 1 10 6.688 %≈ 1 10 7 %. 故选 B. 6. B 【解析】 f ′ （ x ） = 2ax 2 -4ax-1 x （x>0 ）， 令 g （ x）=2ax 2 -4ax-1 ， ∵ f （ x ）在 （ 1 ， 3 ） 上不单调， f ′ （ x ）在 （ 1 ， 3 ） 上有变号零点， 即 g （ x）在 （1 ， 3 ） 上有变号零点， 当 a=0 时， g （ x）=-1 ， 不成立； 当 a≠0 时， 只需 g（1 ）·g（3 ） <0 ， 即 （ -2a-1 ）（ 6a-1 ） <0 ， 解得 a<- 1 2 或 a> 1 6 ， ∴ f （ x ）在 （ 1 ， 3 ） 上不单调的充要条件是 a<- 1 2 或 a> 1 6 ， ∴ f （ x ）在 （ 1 ， 3 ） 上不单调的一个充分不必要条件 是 a> 1 6 . 故选 B. 7. B 【解析】 ∵a 1 =15 ， a 2 +a 3 +a 4 +a 5 =30 ， 则 a 2 +a 3 +a 4 +a 5 =a 1 +d+a 1 +2d+a 1 +3d+a 1 +4d=4a 1 +10d=60+ 10d=30 ， 则 d=-3 ， 则 a n =a 1 + （ n-1 ） d=15-3 （ n-1 ） =-3n+18 ， 令 a n =0 ， 解得 n=6 ， ∵ {a n } 是等差数列， ∴ 当 n<6 ， n∈N 鄢 时， a n >0 ， a 6 = 0 ， 当 n>6 ， n∈N 鄢 时， a n <0 ， ∴S n 的最大值为 S 5 =S 6 = 6 （ a 1 +a 6 ） 2 =45. 故选 B. 8. C 【解析】 f ′ （ x ） =e x （ x 2 +x ） =e x · x （ x+1 ）， 令 f ′ （ x ） >0 ， 解得 x<-1 或 x>0 ， 令 f ′ （ x ） <0 ， 解得 -1<x<0 ， ∴ f （ x ）在 （ -∞ ， -1 ）， （ 0 ， +∞ ） 上单调递增， （ -1 ， 0 ） 上单调 递减， 故 B 错误； f （ x ）在 x=0 处取得极小值， 极小值为 1 ， 故 A 错误； f （ -2 ） = 7 e 2 ， f （ -1 ） = 3 e ， f （ 2 ） =3e 2 ， ∴ f （ x ）在 ［ -2 ， 2 ］ 上的最大值为 3e 2 ， 故 C 正确； f （ x ）的大致图象如图所示： 方程 f （ x ） =k 的根的个数可以转化为函数 f （ x ）的图象 与 y=k 的图象的交点个数， 由图可知， 当 1<k< 3 e 时， 图象有 3 个交点， 即方 程 f （ x ） =k 有 3 个不等实根， 故 D 错误 . 故选 C. 9. CD 【解析】 f （ x ） =2 x +2 -x ， x∈R ， 又 f （ -x ） =2 -x +2 x = f （ x ）， ∴ f （ x ）是偶函数， 故 A 错误； f （ x ） =- 1 x ， 由 f （ -1 ） =1>f （ 1 ） =-1 ， ∴ 在 （ -∞ ， 0 ） 和 （ 0 ， +∞ ） 上分别单调递增， 但在定义域上并不单调递 增， 故 B 错误； f （ x ） =x 3 +x ， x∈R ， f （ -x ） =-x 3 -x=-f （ x ）， ∴ f （ x ）是奇 函数 ， 又 f ′ （ x ） =3x 2 +1>0 ， ∴ f （ x ）是 R 的增函数 ， 故 C 正确； f （ x ） =x-sinx ， x∈R ， f （ -x ） =-x-sin （ -x ） =- （ x-sinx ） = -f （ x ）， ∴ f （ x ）是奇函数 . 又 f ′ （ x ） =1-cosx≥0 ， ∴ f （ x ）是 R 的增函数， 故 D 正确 . 故选 CD. 10. CD 【解析 】 由 S n = - n+3 2 ， n 为奇数， n 2 ， n 为偶数 数 ( ( ( ( ' ( ( ( ( ( ) ， 可得 a 1 = S 1 =-2 ， a 2 =3 ， 当 n 为奇数且 n≥3 时， a n =S n -S n-1 =- n+3 2 - n-1 2 =-n- 1 ， 其中 a 1 符合， ∴ 当 n 为奇数时， a n =-n-1 ， 故 B 错误； 当 n 为偶数时， a n =S n -S n-1 = n 2 - - n-1+3 2 2 + =n+1 ， 故 A 错误， C 正确； 又由 a n a n+1 =- （ n+1 ）（ n+2 ）， 1 a n a n+1 =- 1 （ n+1 ）（ n+2 ） = - 1 n+1 - 1 n+2 2 + ， ∴ 数 列 1 a n a n+1 1 - 的 前 n 项 和 为 T n = 第 8 题答图 -1 1 O x y y=k 3 e 88 参 考 答 案 - 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 + … + 1 n+1 - 1 n+2 2 " =- 1 2 + 1 n+2 = - n 2 （ n+2 ） ， 故 D 正确 . 故选 CD. 11. ABD 【解析】 f （ x+2π ） =e sin （ x+2π ） -e cos （ x+2π ） =e sinx -e cosx = f （ x ）， 故 A 正确； 由 f （ x ） =e sinx -e cosx ， 得 f ′ （ x ） =cosxe sinx +sinxe cosx ， 当 x∈ 0 ， π 2 2 " 时， f ′ （ x ） =cosxe sinx +sinxe cosx >0 ， ∴ f （ x ）在区间 0 ， π 2 2 " 上单调递增， 故 B 正确； f x+ π 4 2 " =e sin x+ π 4 2 " -e cos x+ π 4 2 " ， 设 g （ t ） =e sin t+ π 4 2 " -e cos t+ π 4 2 " ， 则 g （ -t ） =e sin -t+ π 4 2 " -e cos -t+ π 4 2 " =e - 2 姨 2 sint+ 2 姨 2 cost -e 2 姨 2 cost+ 2 姨 2 sint =e cos t+ π 4 2 " -e sin t+ π 4 2 " =-g （ t ）， ∴ 函数 g （ t ）即 f x+ π 4 2 " 是奇函数， 故 C 不正确； 由 f （ x ） =e sinx -e cosx ， 得 f ′ （ x ） =cosxe sinx +sinxe cosx ， 令 t （ x ） =cosxe sinx +sinxe cosx ， 则 t′ （ x ） =e sinx （ cos 2 x-sinx ） +e cosx （ cosx-sin 2 x ） . 当 x∈ π 2 ， 3π 4 2 " 时， cos 2 x-sinx<0 ， cosx-sin 2 x<0 ， ∴t′ （ x ） <0 ， 即 f ′ （ x ）在区间 π 2 ， 3π 4 2 " 上单调递减 . 又 f ′ π 2 2 " =cos π 2 e sin π 2 +sin π 2 e cos π 2 =1>0 ， f ′ 3π 4 2 " =cos 3π 4 e sin 3π 4 +sin 3π 4 e cos 3π 4 = 2 姨 2 e - 2 姨 2 -e 2 姨 2 2 " <0 ， ∴ f ′ （ x ）在区间 π 2 ， 3π 4 2 " 上存在唯一零点； 当 x∈ 3π 4 ， 2 " π 时， f ′ （ x ） =cosxe sinx +sinxe cosx ， 又 sinx+cosx= 2 姨 sin x+ π 4 2 " <0 ， e sinx >e cosx ， ∴ f ′ （ x ） =cosxe sinx +sinxe cosx < （ cosx+sinx ） e sinx <0 ， 则 f ′ （ x ）在区间 3π 4 ， 2 " π 上无零点 . 综上， f （ x ）在区间 π 2 ， 2 " π 上有且仅有一个极值点， 故 D 正确 . 故选 ABD. 12. 8 【解析】 由已知数列 {a n } 为等差数列， 则 a 6 + a 11 =a 8 +a 9 <0 ， 又 a 8 >0 ， ∴a 9 <0 ， 则 d=a 9 -a 8 <0 ， ∴ 数列 {a n } 为递减数列， 则当 n≤8 时， a n >0 ， 当 n≥9 时， a n <0 ， ∴ 当 n=8 时， S n 取得最大值 . 13. 1 【解析】 由题意得 s′=t-1 ， ∴s′| t=2 =2-1=1 ， 即质 点在 t=2 时刻的瞬时速度为 1 m/s. 14. {0} 【解析】 f （ x ） =x 3 +x+2 x -2 -x ， 则 f ′ （ x ） =3x 2 +1+ 2 x ln2+2 -x ln2>0 在 R 上恒成立， 故 f （ x ）在 R 上单调递增， 且 f （ 1 ） = 7 2 ， f （ e x -x ） ≤ 7 2 ， 故 f （ e x -x ） ≤f （ 1 ）， 则 e x -x≤1 ， 设 g （ x ） =e x -x-1 ， 则 g′ （ x ） =e x -1 ， 当 x≥0 时， g′ （ x ） =e x -1≥0 ， 函数在 （ 0 ， +∞ ） 上单 调递增； 当 x<0 时， g′ （ x ） =e x -1<0 ， 函数在 （ -∞ ， 0 ） 上单调 递减； g （ x ） ≥g （ 0 ） =0 ， 故 g （ x ） =e x -x-1≥0 恒成立， g （ x ） =0 ， 即 x∈{0}. 15. 解： （ 1 ） 设等差数列 {a n } 的公差为 d. ∵a 2 ， a 3 +2 ， a 6 成等比数列 ， 得 （ a 3 +2 ） 2 =a 2 a 6 ， 又 ∵a 1 =2 ， 则 （ 4+2d ） 2 = （ 2+d ）（ 2+5d ）， 解得 d=-2 或 d=6 ， 当 d=6 时 ， a 2 =8 ， a 3 +2=16 ， a 6 =32 构成等比数列 ， 符合条件； 当 d=-2 时， a 1 =2 ， 则 a 2 =0 ， 不能构成等比数列， 不 符合条件 . ∴d=6 ， 则数列 {a n } 的通项公式为 a n =2+6 （ n-1 ） =6n-4. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 b n =2 n-1 a n =2 n-1 （ 6n-4 ） = （ 3n-2 ）· 2 n ， ∴T n =1×2 1 +4×2 2 +7×2 3 + … + （ 3n-2 ）· 2 n ， ① 则 2T n =1×2 2 +4×2 3 +7×2 4 + … + （ 3n-5 ）· 2 n + （ 3n-2 ）· 2 n+1 ， ② ①-② 得 -T n =2+3 （ 2 2 +2 3 + … +2 n ） - （ 3n-2 ）· 2 n+1 =2+3× 4 （ １-２ n-１ ） 1-2 - （ 3n-2 ）· 2 n+1 = （ 5-3n ） 2 n+1 -10= （ 10-6n ） 2 n -10 ， ∴T n = （ 6n-10 ） 2 n +10. 16. 解： （ 1 ） 由 f （ x ） =x 3 +x-16 ， 得 f ′ （ x ） =3x 2 +1 ， ∴ f ′ （ 2 ） =3×2 2 +1=13 ， ∴ 曲线 y=f （ x ）在点 （ 2 ， -6 ） 处的切线方程为 y+6= 13 （ x-2 ）， 即 13x-y-32=0. （ 2 ） 设切点为 （ x 0 ， x 3 0 +x 0 -16 ）， 由 （ 1 ） 得 f′ （ x 0 ） =3x 2 0 89 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 +1 ， ∴ 切线方程为 y- （ x 3 0 +x 0 -16 ） = （ 3x 2 0 +1 ）（ x-x 0 ） . ∵ 切线经过原点， ∴- （ x 3 0 +x 0 -16 ） =-x 0 （ 3x 2 0 +1 ）， ∴2x 3 0 =-16 ， x 0 =-2. 则 f′ （ -2 ） =3× （ -2 ） 2 +1=13 ， ∴ 所求的切线方程为 y=13x ， 切点为 （ -2 ， -26 ） . 17. （ 1 ） 解： 数列 {a n } 满足 a 1 =1 ， a n+1 = a n +1 ， n 为奇数， 2a n ， n 为偶数 数 ， a 2 =2 ， a 3 =4 ， a 4 =5 ， a 5 =10 ， 选择 ①b n =a 2n-1 +2 ， b 1 =a 1 +2=3 ， b 2 =a 3 +2=6 ； 选择 ②b n =a 2n+1 -a 2n-1 ， b 1 =a 3 -a 1 =3 ， b 2 =a 5 -a 3 =6. （ 2 ） 选择 ①b n =a 2n-1 +2. 证明： ∵a 1 =1 ， a n+1 = a n +1 ， n 为奇数， 2a n ， n 为偶数 数 ， ∴a n >0 ， ∴a 2n-1 +2>0 ， ∵ b n+1 b n = a 2n+1 +2 a 2n-1 +2 = 2a 2n +2 a 2n-1 +2 = 2 （ a 2n-1 +1 ） +2 a 2n-1 +2 = 2 （ a 2n-1 +2 ） a 2n-1 +2 =2 ， ∴ {b n } 是等比数列， 首项 b 1 =a 1 +2=3 ， 公比 q=2 ， ∴b n =3 · 2 n-1 . 选择 ②b n =a 2n+1 -a 2n-1 . 证明： ∵a 1 =1 ， a n+1 = a n +1 ， n 为奇数， 2a n ， n 为偶数 数 ， ∴a n+1 >a n ， ∴a 2n+1 -a 2n-1 >0 ， ∵ b n+1 b n = a 2n+3 -a 2n+1 a 2n+1 -a 2n-1 = 2a 2n+2 -2a 2n a 2n+1 -a 2n-1 = 2 （ a 2n+1 +1 ） -2 （ a 2n-1 +1 ） a 2n+1 -a 2n-1 = 2 （ a 2n+1 -a 2n-1 ） a 2n+1 -a 2n-1 =2 ， ∴ {b n } 是等比数列， 首项 b 1 =3 ， 公比 q=2 ， ∴b n =3 · 2 n-1 . （ 3 ） 解： 选择 ①b n =a 2n-1 +2. 由 （ 2 ） 可得 b n =a 2n-1 +2=3 · 2 n-1 ， ∴a 2n-1 =3 · 2 n-1 -2 ， ∴a 2n+1 =2a 2n =3 · 2 n -2 ， ∴a 2n =3 · 2 n-1 -1. 令 c n =a 2n-1 +a 2n =3 · 2 n -3 ， ∴S 2n =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 + … +a 2n-1 +a 2n =c 1 +c 2 + … +c n =3 （ 2 1 +2 2 + … +2 n ） -3n=3 · 2 （ 1-2 n ） 1-2 -3n=3 · 2 n+1 -3n-6. 选择 ②b n =a 2n+1 -a 2n-1 . 由 （ 2 ） 可得 a 2n+1 -a 2n-1 =3 · 2 n-1 ， 由累加法可得， a 2n-1 -a 1 =a 2n-1 -a 2n-3 +a 2n-3 -a 2n-5 + … +a 3 -a 1 =3 · 2 0 （ 1-2 n-1 ） 1-2 =3 · 2 n-1 -3 ， ∴a 2n-1 =3 · 2 n-1 -2 ， ∴a 2n+1 =2a 2n =3 · 2 n -2 ， ∴a 2n =3 · 2 n-1 -1. 令 c n =a 2n-1 +a 2n =3 · 2 n -3 ， ∴S 2n =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 + … +a 2n-1 +a 2n = c 1 +c 2 + … +c n =3 （ 2 1 +2 2 + … +2 n ） -3n=3 · 2 （ 1-2 n ） 1-2 -3n=3 · 2 n+1 - 3n-6. 18. 解： （ 1 ） 由 f （ x ） =e 2x -2x 得， f ′ （ x ） =2e 2x -2 ， 又 f ′ （ 0 ） =0 ， f （ 0 ） =1 ， ∴y=f （ x ）在 （ 0 ， 1 ） 处切线为 y=1. （ 2 ） 令 f ′ （ x ） =2e 2x -2>0 ， 则 x>0 ， 故 f （ x ）在 （ 0 ， +∞ ） 单调递增， 当 x<0 时， f ′ （ x ） <0 ， f （ x ）单调递减， ∴ 当 x=0 时， f （ x ）取极小值 f （ 0 ） =1 ， 无极大值 . （ 3 ） 由 f （ x ） >2 （ e-1 ） x+m 得 e 2x -2x>2 （ e-1 ） x+m ， 故 e 2x -2ex>m ， 构造函数 g （ x ） =e 2x -2ex ， 则 g′ （ x ） =2e 2x -2e ， 令 g′ （ x ） = 2e 2x -2e>0 ， 则 x> 1 2 ， 故当 x> 1 2 时， g′ （ x ） >0 ， g （ x ）单调递增 ; 当 x< 1 2 时， g′ （ x ） <0 ， g （ x ）单调递减， 故当 x= 1 2 ， g （ x ）取极小值也是最小值， g 1 2 2 # =e- e=0 ， ∴m<g （ x ） min ， 即 m<0. 19. 解： （ 1 ） 当 k=1 时， 函数 h （ x ） =f （ x ） -g （ x ） =ln （ x+ 1 ） -x ， 易知， x>-1 ， h′ （ x ） = 1 x+1 -1= -x x+1 ， 当 x∈ （ -1 ， 0 ）， h′ （ x ） >0 ， 当 x∈ （ 0 ， +∞ ）， h′ （ x ） <0 ， 即 h （ x ） =ln （ x+1 ） -x ， 在区间 （ -1 ， 0 ） 上单调递增， 在区间 （ 0 ， +∞ ） 上单调递减， 故 h （ x ）最大值为 h （ 0 ） =ln1-0=0. （ 2 ） 令 h （ x ） =f （ x ） -g （ x ） =ln （ x+1 ） -kx （ x>-1 ） . 则 h′ （ x ） = 1 x+1 -k= 1-kx-k x+1 = -kx+1-k x+1 . 当 k=0 时， 由 f （ x ） ≤g （ x ）， 即 ln （ x+1 ） ≤0 ， 得到 -1< x<0 ， 显然不合题意， 故 k≠0 ， 由 h′ （ x ） =0 ， 得到 x= 1 k -1 ， 故 h′ （ x ） = -k x+1- 1 k 2 k x+1 . 当 k>1 时， x∈ -1 ， 1 k - 2 k 1 时， h′ （ x ） >0 ， x∈ 1 k -1 ， + 2 k ∞ 时， h′ （ x ） <0 ， 90 参 考 答 案 即 k>1 时， 函数 h （ x ） =ln （ x+1 ） -kx 在区间 -1 ， 1 k - " 1 上单调递增， 在区间 1 k -1 ， + - " ∞ 上单调递减， 又 h （ 0 ） =ln （ 0+1 ） -k×0=0 ， 1 k -1<0 ， ∴ 当 x∈ 1 k -1 ， - " 0 时， h （ x ） >0 ， 即 f （ x ） >g （ x ）， 故 k>1 时， 不满足 f （ x ） ≤g （ x ） 恒成立 . 由 （ 1 ） 知当 k=1 时， h （ x ） =f （ x ） -g （ x ） ≤0 恒成立 ， 即 f （ x ） ≤g （ x ）恒成立， 当 0<k<1 时， x∈ -1 ， 1 k - " 1 时， h′ （ x ） >0 ， x∈ 1 k -1 ， + - " ∞ 时， h′ （ x ） <0 ， 即 0 <k <1 时 ， 函 数 h （ x ） =ln （ x +1 ） -kx 在 区 间 -1 ， 1 k - " 1 上单调递增， 在区间 1 k -1 ， + - " ∞ 上单调递减， 又 h （ 0 ） =ln （ 0+1 ） -k×0=0 ， 1 k -1>0 ， ∴ 当 x∈ 0 ， 1 k - - " 1 时， h （ x ） >0 ， 即 f （ x ） >g （ x ）， 故 0<k<1 时， 不满足 f （ x ） ≤ g （ x ）恒成立， 当 k<0 ， h′ （ x ） = 1 x+1 -k>0 恒成立 ， 即 h （ x ）在区间 （ 0 ， +∞ ） 上单调递增， 又 h （ 0 ） =ln （ 0+1 ） -k×0=0 ， ∴ 当 x∈ （ 0 ， +∞ ） 时， h （ x ） >0 ， 即 f （ x ） >g （ x ）， 故 k<0 时， 不满足 f （ x ） ≤g （ x ）恒成立 . 综上所述， 实数 k 的值为 1. 综合测试卷（三） 1. B 【解析】 由题意知， a n+1 -a n =2 n ， 则有 a 2 -a 1 =2 1 ， a 3 -a 2 =2 2 ， a 4 -a 3 =2 3 ， …， a 10 -a 9 =2 9 ， 由累加可得 a 10 -a 1 =2 1 +2 2 +2 3 + … +2 9 ， 即 a 10 =1+2 1 +2 2 +2 3 + … +2 9 = 1× （ 1-2 10 ） 1-2 =2 10 -1=1 023. 故 选 B. 2. C 【解析】 由已知可得， f ′ （ x ） =-sinx+2f ′ π 2 - " ， ∴ f ′ π 2 - " =-sin π 2 +2f ′ π 2 - " =-1+2f ′ π 2 - " ， ∴ f ′ π 2 - " = 1. 故选 C. 3. B 【解析】 若 a 1 >0 ， q=- 1 2 ， 则 S n = a 1 1- - 1 2 " n n & 1- - 1 2 " = 2 3 a 1 1- - 1 2 " n n & >0 ， ∴ 由对任意 n∈N 鄢 ， S n >0 ， 推不出 q>0 ， 故充分性不成立； 若 a 1 >0 ， q>0 ， 则 a n =a 1 · q n-1 >0 ， ∴ 对任意 n∈N 鄢 ， S n >0 成立， 故必要性成立， ∴ 对任意 n∈N 鄢 ， S n >0 是 q> 0 的必要不充分条件 . 故选 B. 4. C 【解析 】 由 S 20 -S 15 =a 16 + … +a 20 ， 由题设易知 ， S 20 -S 15 ， S 15 -S 10 ， S 10 -S 5 ， S 5 成等比数列， ∴ （ S 10 -S 5 ） 2 =S 5 （ S 15 -S 10 ）， 即 1 600=10 （ S 15 -S 10 ） 圯S 15 - S 10 =160 ， 同理 （ S 15 -S 10 ） 2 = （ S 10 -S 5 ）（ S 20 -S 15 ）， 即 160 2 =40 （ S 20 -S 15 ） 圯S 20 -S 15 =640. 故选 C. 5. B 【解析】 依题意， 2a 2 +4ab=12 ， b= 6-a 2 2a ， 由 b= 6-a 2 2a >0 ， 解得 0<a< 6 姨 ， ∴ 长方体的体积 V （ a ） =a 2 b=a 2 6-a 2 2a - " =- 1 2 a 3 +3a （ 0< a< 6 姨 ）， V′ （ a ） =- 3 2 a 2 +3=- 3 2 （ a+ 2 姨 ）（ a- 2 姨 ）， ∴V （ a ）在区间 （ 0 ， 2 姨 ） 上 V′ （ a ） >0 ， V （ a ）单调递 增； 在区间 （ 2 姨 ， 6 姨 ） 上 V′ （ a ） <0 ， V （ a ）单调递减 . ∴ 当 a= 2 姨 时， 长方体的体积 V （ a ）取得最大值 . 故选 B. 6. B 【解析】 设等差数列 {a n } 的公差为 d ， 由 S 4 =4a 2 -4 ， S 5 =65 ， 得 4a 1 + 4×3 2 d=4 （ a 1 +d ） -4 ， 5a 1 + 5×4 2 d=65 5 , , , , + , , , , , - ， 解得 a 1 =17 ， d=-2 2 ， ∴a n =17-2 （n-1 ） =19-2n ， 则 S n = （ 17+19-2n ） n 2 =-n 2 +18n. 令 S n =-n 2 +18n>0 ， 解得 0<n<18 ， n∈N 鄢 ， ∴ 使 S n >0 成立的 n 的最大值为 17. 故选 B. 7. D 【解析】 由题可得函数 f （ x ）的单调增区间为 （ -∞ ， - 3 姨 ）， （ 3 姨 ， +∞ ）， f ′ （ x ） >0 ， 单调减区间为 （ - 3 姨 ， 3 姨 ）， f ′ （ x ） <0 ， 由 x ·f ′ （ x ） <0 ， 可得 x<0 ， f ′ （ x ） > 2 0 或 x>0 ， f ′ （ x ） <0 2 ， ∴x∈ （ -∞ ， - 3 姨 ） ∪ （ 0 ， 3 姨 ） . 故选 D. 91