阶段性练习卷(3)-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练习（人教B版）

第六章 导数及其应用 练 一、 单项选择题： 本题共 6 小题， 在每小题 给出的四个选项中， 只有一项是符合题 目要求的 . 1. 已知直线 l 经过 （ -1 ， 0 ）， （ 0 ， 1 ） 两点， 且与曲线 y=f （ x ）切于点 A （ 2 ， 3 ）， 则 lim Δx→0 f （ 2+Δx ） -f （ 2 ） Δx 的值为 （ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 2. 已知 f （ x ） =x 2 +3xf ′ （ 1 ） ， 则 f ′ （ 2 ） = （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 已知函数 f （ x ） =x 3 在点 （ 1 ， f （ 1 ）） 处 的切线与直线 ax-y+1=0 垂直， 则 a 的值为 （ ） A. -3 B. - 1 3 C. 3 D. 1 3 4. 点 P 在曲线 y=x 3 -x+ 2 3 上移动， 设点 P 处切线的倾斜角为 α ， 则角 α 的范围是 （ ） A. 0 ， 仔 2 2 # B. 仔 2 ， 3仔 4 4% C. 3仔 4 ， ， 仔 2 D. 0 ， 仔 2 ，2 ∪ 3仔 4 ， ， 仔 2 5. 已知 M 为抛物线 C ： x 2 =4y 上一点， C 在点 M 处的切线 l 1 ： y= 1 2 x+a 交 C 的准线于 点 P ， 过点 P 向 C 再作另一条切线 l 2 ， 则 l 2 的方程为 （ ） A. y=- 1 2 x- 1 4 B. y=- 1 2 x+2 C. y=-2x+4 D. y=-2x-4 6. 直线 l ： y=kx+b 是曲线 f （ x ） =ln （ x+1 ） 和曲线 g （ x ） =ln （ e 2 x ）的公切线， 则 b= （ ） A. 2 B. 1 2 C. ln e 2 D. ln （ 2e ） 二、 多项选择题： 本题共 2 小题， 在每小题给 出的四个选项中， 有多项符合题目要求 . 7. 某池塘中野生水 葫芦的面积与时间的函 数关系的图象如图所示 . 假设其关系为指数函数， 并给出下列说法， 其中 正确的说法有 （ ） A. 野生水葫芦的每月增长率为 1 B. 野生水葫芦从 4 m 2 蔓延到 12 m 2 只 需 1.5 个月 C. 设野生水葫芦蔓延到 10 m 2 、 20 m 2 、 30 m 2 所需的时间分别为 t 1 ， t 2 ， t 3 ， 则有 t 1 + t 3 <2t 2 D. 野生水葫芦在第 1 个月到第 3 个月 之间蔓延的平均速度等于在第 2 个月到第 4 个月之间蔓延的平均速度 阶段性练习卷 （三） 第 7 题图 31 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 练 8. 已知曲线 f （ x ） = 2 3 x 3 -x 2 +ax-1 上存在 两条斜率为 3 的不同切线， 且切点的横坐标 都大于 0 ， 则实数 a 可能的取值为 （ ） A. 19 6 B. 3 C. 10 3 D. 9 2 三、 填空题： 本题共 4 小题 . 9. 若抛物线 y=2x 2 +1 与直线 4x-y+m=0 相切， 则 m= . 10. 曲线 y= x 2x-1 在点 （ 1 ， 1 ） 处的切线 为 l ， 则 l 上的点到圆 x 2 +y 2 +4x+3=0 上的点 的最近距离是 . 11. 生活经验告诉我们， 当水注进容器 （设单位时间内进水量相同） 时， 水的高度 随着时间的变化而变化， 在下图中请选择与 容器相匹配的图象 . A 对应 ； B 对应 ； C 对应 ； D 对应 . 12. 已知曲线 C 1 ： f （ x ） =-e x -2x ， 曲线 C 2 ： g （ x ） =ax+cosx. （ 1 ） 若曲线 C 1 在 x=0 处的切线与 C 2 在 x= π 2 处的切线平行， 则实数 a= ； （ 2 ） 若曲线 C 1 上任意一点处的切线为 l 1 ， 总存在 C 2 上一点处的切线 l 2 ， 使得 l 1 ⊥ l 2 ， 则实数 a 的取值范围为 . 四、 解答题： 本题共 2 小题， 解答应写出文 字说明、 证明过程或演算步骤 . 13. 已知函数 f （ x ） =x+alnx （ a∈R ） . （ 1 ） 当 a=1 时， 求曲线 y=f （ x ）在 x=1 处 的切线方程； （ 2 ） 若曲线 y=f （ x ）在 x=2 处的切线方程 为 y=2x+b ， 求 a ， b 的值 . 14. 已知 a ， b ， c∈R ， 函数 f （ x ） = （ x-a ）· （ x-b ）（ x-c ）的导函数为 f ′ （ x ） . （ 1 ） 若 b=c ， 求曲线 y=f （ x ）在点 （ b ， f （ b ）） 处的切线方程； （ 2 ） 求 1 f ′ （ a ） + 1 f ′ （ b ） + 1 f ′ （ c ） 的值 . A B C D ① ② ③ ④ 第 11 题图 32 参 考 答 案 （ 2 ） ∵ 切线与直线 2x-16y+1=0 垂直 ， ∴ f ′ （ x 0 ）· - 2 -16 6 " =-1 ， 即 - 8 x 3 0 · 1 8 =-1 ， ∴x 0 =1 ， y 0 =4 ， 即 P （ 1 ， 4 ） . （ 3 ） ∵ 切线的倾斜角为 135° ， ∴ f ′ （ x 0 ） =tan135°=-1 ， 即 - 8 x 3 0 =-1 ， ∴ 即 x 0 =2 ， y 0 =1 ， 即 P （ 2 ， 1 ） . 10. 解 ： （ 1 ） 由 导 数 定 义 得 lim Δx→0 f （ 2+Δx ） -f （ 2 ） Δx = lim Δx→0 （ Δx ） 3 +4 （ Δx ） 2 +5Δx Δx =5 ， f （ 2 ） =2 ， 可得切线方程为 y- 2=5 （ x-2 ）， 整理得 5x-y-8=0. （ 2 ） 令切点为 （ x 0 ， y 0 ） ， ∵ 切点在函数图象上 ， ∴y 0 =x 3 0 -2x 2 0 +x 0 ， 与 （ 1 ） 同理得 f ′ （ x 0 ） =lim Δx→0 f （ x 0 +Δx ） -f （ x 0 ） Δx =3x 2 0 -4x 0 +1 ， ∴ 在该点的切线为 y- （ x 3 0 -2x 2 0 +x 0 ） = （ 3x 2 0 -4x 0 + 1 ）（ x-x 0 ） . ∵ 切线过原点， ∴0- （ x 3 0 -2x 2 0 +x 0 ） = （ 3x 2 0 -4x 0 +1 ）（ 0-x 0 ）， 解得 x 0 =0 或 x 0 =1 ， 可得切点为 （ 0 ， 0 ）， （ 1 ， 0 ）， f ′ （ 0 ） =1 ， f ′ （ 1 ） =0 ， ∴ 切线方程为 y=x 或 y=0. 提升练习 11. C 【解析】 抛物线过点 （ 1 ， 2 ）， ∴b+c=1. 又 ∵ f ′ （ 1 ） =lim Δx→0 f （ 1+Δx ） -f （ 1 ） Δx =2+b ， 由题意得 2+b=-b ， ∴b= -1 ， c=2. ∴ 所求的切线方程为 y-2=x-1 ， 即 x-y+1=0 ， ∴ 两平行直线 x-y+1=0 和 x-y-2=0 间的距离 d= ｜1+2｜ 2 姨 = 3 2 姨 2 . 12. A 【解析 】 根据题意 ， 点 A （ x 1 ， f （ x 1 ））， B （ x 2 ， f （ x 2 ））， f ′ （ x ）为 f （ x ）的导函数， 则 f ′ （ x 1 ）为点 A 处切线 的斜率， 设其斜率为 k 1 ， f ′ （ x 2 ） 为点 B 处切线的斜率， 设其斜率为 k 2 ， 由函数的图象可得 k 1 >k 2 ， 即有 f ′ （ x 1 ） > f ′ （ x 2 ） . 13. BD 【解析】 若 f ′ （ x 0 ） =0 ， 则函数 f （ x ）在 x 0 处的 切线斜率为 0 ， 故 A 错误； 函数 y=f （ x ）的切线与函数的 图象可以有两个公共点， 例如函数 f （ x ） =x 3 -3x ， 在 x=1 处 的切线为 y=-2 ， 与函数的图象还有一个公共点 （ -2 ， -2 ）， 故 B 正确； ∵ 曲线 y=f （ x ）在 x=1 处的切线方程为 2x-y=0 ， ∴ f ′ （ 1 ） =2. 又lim Δx→0 f （ 1 ） -f （ 1+Δx ） 2Δx =- 1 2 lim Δx→0 f （ 1+Δx ） -f （ 1 ） Δx = - 1 2 f ′ （ 1 ） =-1≠1 ， 故 C 错误； ∵ 函数 f （ x ）的导数 f ′ （ x ） = x 2 - 2 ， ∴ f ′ （ 1 ） =1 2 -2=-1. 又 f （ 1 ） =2 ， ∴ 切点坐标为 （ 1 ， 2 ）， 斜率为 -1 ， ∴ 切线方程为 y-2=- （ x-1 ）， 化简得 x+y-3=0 ， 故 D 正确 . 14. 解 ： 用曲线 f （ t ）分别在 t 0 ， t 1 ， t 2 附近的切线 ， 刻画曲线 f （ t ）在上述三个时刻附近的变化情况 . ① 当 t=t 0 时， 曲线 f （ t ）在 t 0 处的切线 l 0 平行于 t 轴， ∴ 在 t=t 0 附近 曲线比较平坦， 几乎没有升降； ② 当 t=t 1 时， 曲线 f （ t ） 在 t 1 处的切线 l 1 的斜率 f ′ （ t 1 ） <0 ， ∴ 在 t=t 1 附近曲线下 降， 即函数 f （ t ）在 t=t 1 附近单调递减； ③ 当 t=t 2 时， 曲 线 f （ t ）在 t 2 处的切线 l 2 的斜率 f ′ （ t 2 ） <0 ， ∴ 在 t=t 2 附近曲 线下降， 即函数 f （ t ）在 t=t 2 附近单调递减 . 由图象可以看 出， 直线 l 1 的倾斜程度小于直线 l 2 的倾斜程度， 说明曲 线 f （ t ）在 t 1 附近比在 t 2 附近下降得缓慢 . 当 t=2 时， f （ 2 ） =0. 当 t=2 时， 切线的斜率 k=f ′ （ 2 ） =lim Δx→0 f （ 2+Δt ） -f （ 2 ） Δt = lim Δx→0 4 （ 2+Δt ） -2 （ 2+Δt ） 2 -8+8 Δt =lim Δx→0 4Δt-2 （ Δt ） 2 -8Δt Δt =lim Δx→0 （ -2Δt- 4 ） =-4. ∴ 切线方程为 y=-4 （ t-2 ）， 即 4t+y-8=0. 阶段性练习卷 （三） 1. C 【解析 】 ∵ 直线 l 经过 （ -1 ， 0 ）， （ 0 ， 1 ） 两 点 ， ∴l ： y =x +1. 直 线 与 曲 线 y =f （ x ） 切 于 点 A （ 2 ， 3 ） ， 可 得曲 线在 x=2 处的 导数 为 f ′ （ 2 ） =1. ∴ f ′ （ 2 ） = lim Δx→0 f （ 2+Δx ） -f （ 2 ） Δx =1. 故选 C. 2. A 【解析 】 函数 f （ x ） =x 2 +3xf ′ （ 1 ）， 则 f ′ （ x ） =2x+ 3f ′ （ 1 ）， 令 x=1 代入上式可得 f ′ （ 1 ） =2+3f ′ （ 1 ）， 则 f ′ （ 1 ） =-1. ∴ f ′ （ x ） =2x+3 ·（ -1 ） =2x-3 ， 则 f ′ （ 2 ） =2×2-3=1. 故 选 A. 3. B 【解析】 函数 f （ x ） =x 3 的导数为 f ′ （ x ） =3x 2 ， 可得 在点 （ 1 ， f （ 1 ）） 处的切线斜率为 3 ， 由切线与直线 ax- y+1=0 垂直， 可得 a=- 1 3 . 故选 B. 4. D 【解析 】 由 y=f （ x ） =x 3 -x+ 2 3 ， 则 f ′ （ x ） =3x 2 - 1≥-1 ， 则 tanα≥-1 ， 又 α∈ ［ 0 ， π ）， ∴α∈ 0 ， π 2 "2 ∪ 3π 4 ， " π 2 . 故选 D. 5. D 【解析】 设 M （ x 0 ， y 0 ）， 由题意知， y= 1 4 x 2 ， 则 51 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 y′= 1 2 x ， C 在点 M 处的切线 l 1 ： y= 1 2 x+a ， ∴y′ x=x 0 = 1 2 x 0 = 1 2 . ∴x 0 =1 ， 则 M 1 ， 1 4 ! " ， 将 M 1 ， 1 4 ! " 代入 l 1 ： y= 1 2 x+a 的方程可得 a=- 1 4 ， 即 l 1 ： y= 1 2 x- 1 4 . 抛物线 C ： x 2 =4y 的准线方程为 y=-1 ， 则 P - 3 2 ， - ! " 1 . 设 l 2 与曲线 C 的切点为 N （ x 0 ， y 0 ）， 则 x 0 2 = y 0 - （ -1 ） x 0 - - 3 2 ! " = 1 4 x 2 0 +1 x 0 + 3 2 ， 解得 x 0 =-4 或 x 0 =1 （舍去 ）， 则 N （ -4 ， 4 ）， ∴l 2 的方程为 y=-2x-4. 故选 D. 6. C 【解析】 设直线 l 与曲线 f （ x ） =ln （ x+1 ）相切于点 A （ x 1 ， y 1 ）， 直线 l 与曲线 g （ x ） =ln （ e 2 x ）相切于点 B （ x 2 ， y 2 ）， ∵f （ x ） =ln （ x+1 ）， 则 f ′ （ x ） = 1 x+1 ， 由 f ′ （ x 1 ） = 1 x 1 +1 = k ， 可 得 x 1 = 1-k k ， 则 y 1 =f （ x 1 ） =ln （ x 1 +1 ） =-lnk ， 即 点 A 1-k k ， -lnk ! " ， 将点 A 的坐标代入直线 l 的方程可得 -lnk=k · 1-k k +b ， 可得 b=k-lnk-1. ① ∵g （ x ） =ln （ e 2 x ） =2+lnx ， 则 g′ （ x ） = 1 x ， 由 g′ （ x 2 ） = 1 x 2 = k ， 可得 x 2 = 1 k ， y 2 =g （ x 2 ） =2-lnk ， 即点 B 1 k ， 2-lnk ! " ， 将点 B 的坐标代入直线 l 的方程可得 2-lnk=k · 1 k +b=b+ 1 ， ∴b=1-lnk ， ② 联立 ①② 可得 k=2 ， b=1-ln2=ln e 2 . 7. AC 【解析】 设指数函数的解析式为 f （ t ） =a t （ a>0 ， a≠1 ）， 由函数的图象可知图象过点 （ 4 ， 16 ）， 代入可 得 16=a 4 ， 解得 a=2 ， 即 f （ t ） =2 t ， 则 f （ n ） -f （ n-1 ） f （ n-1 ） = 2 n -2 n-1 2 n-1 =1 ， ∴ 野生水葫芦的每月增长率为 1 ， 故 A 正确； 由当 t =2 时 ， y =4 ， 又 由 y =12 时 ， 可 得 2 t =12 ， 解 得 t = log 2 12≠3.5 ， 故 B 不正确； 令 y=10 ， 可得 2 t 1 =10 ， 解得 t 1 =log 2 10 ， 同理可得 t 2 =log 2 20 ， t 3 =log 2 30 ， 则 t 1 +t 3 =log 2 10+ log 2 30=log 2 300 ， 2t 2 =2log 2 20=log 2 400 ， ∴t 1 +t 3 <2t 2 ， 故 C 正 确； 由平均变化率的定义， 可得 1 月到 3 月的平均变化 率为 8-2 3-1 =3 ， 2 月到 4 月的平均变化率为 16-4 4-2 =6 ， 故 D 不正确 . 故选 AC. 8. AC 【解析】 ∵f （ x ） = 2 3 x 3 -x 2 +ax-1 ， ∴ f ′ （ x ） =2x 2 - 2x+a ， 可令切点的横坐标为 m ， 且 m>0 ， 可得切线斜率 k=2m 2 -2m+a=3 ， 即 2m 2 -2m+a-3=0 ， 由题意， 可得关于 m 的方程 2m 2 -2m+a-3=0 有两个不等的正根 ， 且可知 m 1 +m 2 =1>0 ， 则 Δ>0 ， m 1 · m 2 >0 0 ， 即 2 2 -4×2× （ a-3 ） >0 ， a-3 2 >0 0 ' ' ' & ' ' ' ( ， 解得 3< a< 7 2 . ∴a 的取值可能为 19 6 ， 10 3 . 故选取 AC. 9. -1 【解析】 设切点为 P （ x 0 ， y 0 ）， 则 Δy=2 （ x 0 +Δx ） 2 + 1-2x 2 0 -1=4x 0 · Δx+2 （ Δx ） 2 ， ∴ Δy Δx =4x 0 +2Δx. 当 Δx→0 时 ， Δy Δx →4x 0 ， 即 f ′ （ x 0 ） =4x 0 ， ∴4x 0 =4 ， ∴x 0 =1 ， y 0 =3 ， 将 （ 1 ， 3 ） 代入直线 4x-y+m=0 ， 得 m=-1. 10. 2 2 姨 -1 【解析】 y′=- 1 （ 2x-1 ） 2 ， 则 y′ x=1 =-1 ， ∴ 切线方程为 y-1=- （ x-1 ）， 即 x+y-2=0 ， 圆心 （ -2 ， 0 ） 到直线的距离 d=2 2 姨 ， 圆的半径 r=1 ， ∴ 所求最近距 离为 2 2 姨 -1. 11. ④ ① ③ ② 【解析】 A 容器下粗上细， 水 高度的变化先慢后快， 根据导数的几何意义可知， 函数 图象切线斜率变化先慢后快， 故 A 与 ④ 对应； B 容器为 球形， 水高度变化为快—慢—快， 根据导数的几何意义 可知， B 应与 ① 对应； C ， D 容器都是柱形的， 水高度 的变化速度都应是直线形， 但 C 容器细， D 容器粗， 故 水高度的变化为 C 容器快， C 与 ③ 对应， D 容器慢， D 与 ② 对应 . 12. （ 1 ） -2 （ 2 ） - 1 2 ， ， , １ 【解析】 （ 1 ） f ′ （ x ） = -e x -2 ， 则曲线 C 1 在 x=0 处的切线的斜率 k 1 =f ′ （ 0 ） =-3 ， g′ （ x ） =a-sinx ， C 2 在 x= 仔 ２ 处的切线的斜率 k 2 =g′ 仔 ２ ! " =a- 1. 依题意有 a-1=-3 ， 即 a=-2. （ 2 ） 曲线 C 1 上任意一点处的切线的斜率 k 1 =f ′ （ x ） = -e x -2 ， 则与 l 1 垂直的直线的斜率为 1 e x +2 ∈ 0 ， 1 2 ! " ， 而 过 C 2 上一点处的切线的斜率 k 2 =g′ （ x ） =a-sinx∈ ［ a-1 ， a+ 52 参 考 答 案 1 ］， 依题意必有 a-1≤0 ， a+1≥ 1 2 ， ， 解得 - 1 2 ≤a≤1. 13. 解： （ 1 ） 当 a=1 时， f ′ （ x ） =1+ 1 x （ x>0 ）， ∴ f （ 1 ） =1 ， f ′ （ 1 ） =2 ， ∴ 曲线 y=f （ x ）在 x=1 处的切线方程为 y- 1=2 （ x-1 ）， 即 2x-y-1=0. （ 2 ） f ′ （ x ） =1+ a x （ x>0 ）， 若曲线 y=f （ x ）在 x=2 处的 切线方程为 y=2x+b ， ∴ 1+ a 2 =2 ， 2×2+b=2+aln2 ， ， & & & % & & & ' ∴ a=2 ， b=2ln2-2. ， 14. 解： （ 1 ） 若 b=c ， 则 f （ x ） = （ x-a ）（ x-b ） 2 ， ∴ f ′ （ x ） = （ x-b ） 2 + （ x-a ）· 2 （ x-b ）， 则 f ′ （ b ） = （ b-b ） 2 + （ x-a ）· 2 （ b-b ） =0 ， 即曲线 y=f （ x ）在点 （ b ， f （ b ）） 处的切线斜率为 0 ， 又 f （ b ） = （ b-a ）（ b-b ） 2 =0 ， ∴ 所求切线方程为 y=0. （ 2 ） 由 f （ x ） = （ x-a ）（ x-b ）（ x-c ）得 f ′ （ x ） = （ x-b ）（ x-c ） + （ x-a ）［（ x-b ）（ x-c ）］ ′= （ x-b ）（ x-c ） + （ x-a ）（ x-c ） + （ x-a ）（ x- b ）， ∴ f ′ （ a ） = （ a-b ）（ a-c ）， f ′ （ b ） = （ b-a ）（ b-c ）， f ′ （ c ） = （ c- a ）（ c-b ） . 因此 1 f′ （ a ） + 1 f′ （ b ） + 1 f′ （ c ） = 1 （ a-b ）（ a-c ） + 1 （ b-a ）（ b-c ） + 1 （ c-a ）（ c-b ） = 1 a-b · 1 a-c - 1 b-c c ) + 1 （ c-a ）（ c-b ） = 1 a-b · b-a （ a-c ）（ b-c ） + 1 （ a-c ）（ b-c ） =- 1 （ a-c ）（ b-c ） + 1 （ a-c ）（ b-c ） =0. 6.1.3 基本初等函数的导数 学习手册 变式训练 1 解： f ′ （ x ） =lim Δx→0 f （ x+Δx ） -f （ x ） Δx =lim Δx→0 3x 2 Δx+3xΔx 2 +Δx 3 Δx =lim Δx→0 3x 2 +3xΔx+Δx 2 =3x 2 . 变式训练 2 （ 1 ） √ （ 2 ） × （ 3 ） × （ 4 ） × 变式训练 3 解 ： ∵y=e x ， ∴y′ x=2 =e 2 ， ∴ 曲线 y=e x 在点 （ 2 ， e 2 ） 处的切线方程为 y-e 2 =e 2 （ x-2 ） . 即 y=e 2 （ x-1 ） . 随堂练习 1. BC 【解析 】 1 x x - ′ =- 1 x 2 ， ∴A 不正确； ∵ （ cosx ） ′ =-sinx ， ∴B 正确 ； ∵ （ 2 x ） ′=2 x ln2 ， ∴C 正确 ； ∵ （ lgx ） ′= 1 xln10 ， ∴D 不正确 . 故选 BC. 2. A 【解析】 ∵f （ x ） =sinx ， ∴ f ′ （ x ） =cosx. 又 ∵f ′ （ α ） = cosα= 1 2 ， ∴α=2kπ± π 3 （ k∈Z ） . 当 k=0 时 ， α=± π 3 ， ∴ 可取 α= π 3 . 故选 A. 3. A 【解析 】 f （ x ） =cosx ， f ′ （ x ） =-sinx ， ∴ f ′ π 4 x - + f π 4 x - =-sin π 4 +cos π 4 =0. 故选 A. 4. 1 e x-ey=0 【解析】 ∵y′= 1 x ， ∴ 曲线 y=lnx 在点 M （ e ， 1 ） 处的切线斜率为 1 e . ∴ 切线方程为 y-1= 1 e （ x- e ）， 即 x-ey=0. 5. 2x-y-1=0 【解析】 f ′ （ x ） =2x ， 令切点为 （ m ， m 2 ）， 故 f ′ （ m ） =2m ， 令 2m=2 ， 解得 m=1 ， 故切点为 （ 1 ， 1 ）， ∴ 切线方程为 y-1=2 （ x-1 ）， 整理得 2x-y-1=0. 故切线方 程为 2x-y-1=0. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 ∵ 函数 f （ x ） =e x 的图象与 y 轴相交于点 Q ， 且 f （ 0 ） =1 ， 得 Q （ 0 ， 1 ） . ∵f ′ （ x ） =e x ， ∴ f ′ （ 0 ） =e 0 =1. 则曲线 y=f （ x ）在点 Q 处的切线方程为 y-1=x ， 即 y=x+1. 故选 C. 2. B 【解析】 y=f （ x ） =x 3 ， f ′ （ x ） =3x 2 ， ∵ 直线 x+3y+1= 0 ， k=- 1 3 ， ∴y=x 3 在 （ a ， b ） 处的切线斜率 kf ′ （ a ） =-1 ， 故 f ′ （ a ） =3a 2 =3 ， 解得 a=±1. 故选 B. 3. A 【解析】 设函数 f （ x ） =sinx 和直线 y=x+a 的切点 坐标为 （ x 0 ， y 0 ）， 则 f ′ （ x 0 ） =cosx 0 =1 ， sinx 0 =x 0 +a ， ， 可得 a=-2kπ ， k∈ Z ， ∴a=0 时， 直线 l 与曲线 y=f （ x ）相切； 直线 l 与曲线 y=f （ x ）相切不能推出 a=0. 因此 “ a=0 ” 是 “直线 l 与曲线 y=f （ x ）相切” 的充分 不必要条件， 故选 A. 4. A 【解析】 由题意知， 直线 y=x+a 与曲线 y=lnx 相 交， 设曲线 y=lnx 的斜率为 1 的切线的切点为 P （ x 0 ， y 0 ）， 由 y′= 1 x 得， 1 x 0 =1 ， x 0 =1 ， y 0 =0 ， ∴ 切线方程为 y=x-1 ， 由 ｜a+1｜ 2 √ = 2 √ 得， a=-3 或 a=1 ， y=x+1 在切线 y=x-1 的 左侧， 与曲线 y=lnx 无公共点， 舍去， ∴a=-3. 故选 A. 53