第6章 导数及其应用 章末测试卷-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练习（人教B版）

一、 选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 . 1. 若 f （ x ） =- 1 2 x 2 +bln （ x+2 ） 在 （ -1 ， +∞ ） 上是减函数， 则 b 的取值范围是 （ ） A. ［ -1 ， +∞ ） B. （ -1 ， +∞ ） C. （ -∞ ， -1 ］ D. （ -∞ ， -1 ） 2. 曲线 y=3x-x 3 上切点为 P （ 2 ， -2 ） 的 切线方程是 （ ） A. y=-9x+16 B. y=9x-20 C. y=-2 D. y=-9x+16 或 y=-2 3. 已知 a= 4 ln4 ， b= 3 ln3 ， c=e ， 则下列大 小关系正确的是 （ ） A. a<b<c B. a<c<b C. b<a<c D. c<b<a 4. 已知函数 f′ （ x ）， g′ （ x ） 分别是二次函数 f （ x ） 和三次函数 g （ x ） 的导函数 ， 它们在同 一坐标系下的图象如 图所示， 设函数 h （ x ） =f （ x ） -g （ x ）， 则 h （ -1 ）， h （ 0 ）， h （ 1 ） 的大小关系为 （ ） A. h （ 0 ） <h （ 1 ） <h （ -1 ） B. h （ 0 ） <h （ -1 ） <h （ 1 ） C. h （ 1 ） <h （ -1 ） <h （ 0 ） D. h （ 1 ） <h （ 0 ） <h （ -1 ） 5. 设 a∈R ， e 为自然对数的底数， 函数 f （ x ） =e x -asinx 在 （ 0 ， π ） 内有且仅有一个零 点， 则 a 的值为 （ ） A. e π B. -1 C. e π 4 D. 2 姨 e π 4 6. 已知函数 f （ x ） =- 1 3 x 3 -x+6e -x -6e x ， 若 f 1 a+1 1 $ +f 1 1-a 2 2 & ≤0 ， 则 a 的取值范围为 （ ） A. （ -∞ ， -1 ］ ∪ ［ 2 ， +∞ ） B. （ -1 ， 2 ） C. （ -1 ， 0 ） ∪ （ 0 ， 1 ） D. （ -1 ， 1 ） ∪ ［ 2 ， +∞ ） 7. 定义在 R 上的函数 f （ x ）满足 f ′ （ x ） - f （ x ） <2e x （ e 为自然对数的底数）， 其中 f ′ （ x ） 为 f （ x ）的导函数， 若 f （ 2 ） =4e 2 ， 则 f （ x ） 2 >xe x 的解集为 （ ） A. （ -∞ ， 1 ） B. （ 1 ， +∞ ） C. （ -∞ ， 2 ） D. （ 2 ， +∞ ） 8. 已知 a ， b 为正实数， 直线 y=x-a 与 曲线 y=ln （ x+b ） 相切， 则 a 2 2+b 的取值范围是 （ ） A. 0 ， 1 2 2 $ B. （ 0 ， 1 ） C. （ 0 ， +∞ ） D. ［ 1 ， +∞ ） 二、 选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多 项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分， 第六章章末测试卷 （时间： 120 分钟 满分： 150 分） 第 4 题图 第六章章末测试卷 5 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分 . 9. 已知函数 f （ x ） =e x +x ， 对于曲线 y=f （ x ） 上横坐标成等差数列的三个点 A ， B ， C ， 下 列选项正确的是 （ ） A. △ABC 一定是钝角三角形 B. △ABC 可能是直角三角形 C. △ABC 可能是等腰三角形 D. △ABC 不可能是等腰三角形 10. 关于函数 f （ x ） =alnx+ 2 x ， 下列判断 正确的是 （ ） A. 函数 f （ x ）的图象在点 x=1 处的切线 方程为 （ a-2 ） x-y-a+4=0 B. x= 2 a 是函数 f （ x ）的一个极值点 C. 当 a=1 时， f （ x ） ≥ln2+1 D. 当 a=-1 时， 不等式 f （ 2x-1 ） -f （ x ） >0 的解集为 1 2 ， ， $ 1 11. 已知函数 f （ x ） =x 2 -1 ， g （ x ） =lnx ， 下 列说法正确的是 （ ） A. f （ x ）与 g （ x ）的图象在点 （ 1 ， 0 ） 处有 公切线 B. 存在 f （ x ）的图象的某条切线与 g （ x ） 的图象的某条切线互相平行 C. f （ x ）与 g （ x ）的图象有且只有一个交点 D. f （ x ）与 g （ x ）的图象有且只有两个交点 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . 12. 设点 P 为函数 f （ x ） =lnx-x 3 的图象上 任意一点， 点 Q 为直线 2x+y-2=0 上任意一 点， 则 P ， Q 两点间距离的最小值为 . 13. 设函数 f ′ （ x ）是奇函数 f （ x ） （ x∈R ） 的导数， 当 x>0 时， f ′ （ x ） lnx<- 1 x f （ x ）， 则 使得 （ x 2 -1 ） f （ x ） >0 成立的 x 的取值范围是 . 14. 已知直线 l 1 是曲线 y=lnx 在 x=1 处的 切线， 直线 l 2 是曲线 y=e x 的一条切线， 且 l 1 ∥l 2 ， 则直线 l 2 的方程是 . 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答 应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . 15. （ 13 分） 已知函数 f （ x ） =lnx. （ 1 ） 设 g （ x ） =f （ x ） -mx ， 求函数 g （ x ）的 极值； （ 2 ） 若存在 x 0 >1 ， 当 x∈ （ 1 ， x 0 ） 时 ， 恒有 f （ x ） > 1 2 x 2 + （ k-1 ） x-k+ 1 2 成立， 求实数 k 的取值范围 . 6 16. （ 15 分） 已知函数 f （ x ） =e x -2 （ a+1 ） x+ 3 2 ， a∈R. （ 1 ） 讨论函数 f （ x ）的单调区间； （ 2 ） 若 f （ x ） ≥ 1 2 x 2 +2 （ a+1 ） 2 对 x∈ ［ 0 ， +∞ ） 恒成立， 求 a 的取值范围 . 17. （ 15 分 ） 已知函数 f （ x ） =e 2x -ax 2 -1 （ x∈R ） . （ 1 ） 设 g （ x ） =f （ x ） -x · f ′ （ x ）， 当 a=1 时， 求函数 g （ x ）的单调减区间及极大值 . （ 2 ） 设函数 y=f （ x ）有两个极值点 x 1 ， x 2 . ① 求实数 a 的取值范围； ② 求证： ae 2x 1 +ae 2x 2 >2e 2x 1 · e 2x 2 . 第六章章末测试卷 7 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 18. （ 17 分） 设函数 f （ x ） =x 2 -mlnx ， h （ x ） =x 2 -x+a. （ 1 ） 当 a=0 时， f （ x ） ≥h （ x ） 在 （ 1 ， +∞ ） 上恒成立， 求实数 m 的取值范围； （ 2 ） 当 m=2 时， 若函数 g （ x ） =f （ x ） -h （ x ） 在 ［ 1 ， 3 ］ 上恰有两个不同零点， 求实数 a 的取值范围 . 19. （ 17 分） 已知函数 f （ x ） = （ a+1 ） lnx+ x 2 +1. （ 1 ） 讨论函数 f （ x ）的单调性； （ 2 ） 若对任意不相等的 x 1 ， x 2 ∈ （ 0 ， +∞ ）， 恒有 |f （ x 1 ） -f （ x 2 ） |≥4|x 1 -x 2 | 成立， 求非负实数 a 的取值范围 . 8 参 考 答 案 从而 （ n-2 ） a n +a 1 = （ n-1 ） a n-1 ， （ n-1 ） a n+1 +a 1 =na n n ， 两式相减得 （ n-1 ） a n+1 + （ n-1 ） a n-1 = （ 2n-2 ） a n . 又 ∵n-1≠0 ， ∴a n+1 +a n-1 =2a n ， ∴ {a n } 为等差数列 . （ 2 ） 解： ∵ 数列 {a n } 首项为 -1 ， 公差为 2 ， ∴a n =-1+ 2 （ n-1 ） =2n-3 ， ∴ 不等式 a n -2 n-1 （ 2λ-λ 2 ） <0 可化为 2λ-λ 2 > 2n-3 2 n-1 . 令 f （ n ） = 2n-3 2 n-1 （ n∈N 鄢 ）， 则 f （ n+1 ） -f （ n ） = 2n-1 2 n - 2n-3 2 n-1 = 5-2n 2 n ， 当 n=1 或 n=2 时， 有 f （ n+1 ） -f （ n ） >0 ， 即 f （ n+1 ） >f （ n ）， ∴ f （ 3 ） >f （ 2 ） >f （ 1 ） . 当 n≥3 时， 有 f （ n+1 ） -f （ n ） <0 ， 即 f （ n+1 ） <f （ n ）， 则 f （ 4 ） >f （ 5 ） >f （ 6 ） > … >f （ n ） > … . 又 ∵ f （ 3 ） = 3 4 ， f （ 4 ） = 5 8 ， ∴ f （ n ） max = 3 4 . ∵ 不等式 2λ-λ 2 > 2n-3 2 n-1 对任意的正整数 n 恒成立， ∴2λ-λ 2 > 3 4 ， 解得 1 2 <λ< 3 2 ， ∴ 实数 λ 的取值范围为 1 2 ， 3 2 2 ' . 19. 解： （ 1 ） 由题意， 得 a 1 =120× （ 1+25% ） -s=150-s ， a n+1 =a n （ 1+25% ） -s= 5 4 a n -s. ① （ 2 ） 将 a n+1 -k=r （ a n -k ） 化成 a n+1 =ra n +k-rk ， ② 比较 ①② 的系数， 得 r= 5 4 ， k-rk=-s s * * * ) * * * + ， 解得 r= 5 4 ， k=4s s * * * ) * * * + . ∴ 递推公式为 a n+1 -4s= 5 4 （ a n -4s ） . （ 3 ） a 1 -4s=150-5s ， 且 s∈ （ 10 ， 30 ）， ∴a 1 -4s≠0 ， ∴ 由 （ 2 ） 可知 a n+1 -4s a n -4s = 5 4 ， 即数列 {a n -4s} 是以 150-5s 为首项、 5 4 为公比的等 比数列， 其通项公式为 a n -4s= （ 150-5s ）· 5 4 4 ' n-1 ， ∴a n =4s+ （ 150-5s ）· 5 4 4 ' n-1 . 2030 年底的森林蓄积量为数列 {a n } 的第 10 项， a 10 =4s+ （ 150-5s ）· 5 4 4 ' 9 . 由题意， 森林蓄积量到 2030 年底要达到翻两番的目 标， ∴a 10 ≥4×120 ， 即 4s+ （ 150-5s ）· 5 4 4 ' 9 ≥480 ， 即 4s+ （ 150-5s ） ×7.45=4s+1 117.5-37.25s≥480 ， 解得 s≤19.17. ∴ 每年的砍伐量最大为 19 万立方米 . 第六章章末测试卷 1. C 【解析】 函数的导数 f ′ （ x ） =-x+ b x+2 ， 要使函数 在 （ -1 ， +∞ ） 上是减函数， 则 f ′ （ x ） =-x+ b x+2 ≤0 ， 在 （ -1 ， +∞ ） 恒成立， 即 b x+2 ≤x ， ∵x>-1 ， ∴x+2>1>0 ， 即 b≤x （ x+2 ） 成立 . 设 y=x （ x+2 ）， 则 y=x 2 +2x= （ x+1 ） 2 -1 ， ∵ x>-1 ， ∴y>-1 ， ∴ 要使 b≤x （ x+2 ） 成立， 则有 b≤-1. 故 选 C. 2. A 【解析】 导数 y′=3-3x 2 ， 则切线斜率 k=3-3×2 2 = -9 ， ∴ 切线方程为 y- （ -2 ） =-9 （ x-2 ）， 即切线为 y=-9x+16. 故选 A. 3. D 【解析】 令 f （ x ） = x lnx （ x≥e ）， 则 f ′ （ x ） = lnx-1 ln 2 x ， ∵x>e ， ∴ f ′ （ x ） >0 ， ∴ f （ x ） = x lnx 为 ［ e ， +∞ ） 上的单调增 函数 . 又 a=f （ 4 ）， b=f （ 3 ）， c=f （ e ）， ∵e<3<4 ， 故 a>b>c. 故选 D. 4. A 【解析】 二次函数 f （ x ）的导函数为一次函数， 三次函数的导函数 g （ x ）为二次函数 . ∵ 一次函数过点 （ 0 ， 0 ）， （ 1 ， 1 ）， ∴ f ′ （ x ） =x ， ∴ f （ x ） = 1 2 x 2 +C. ∵ 二次函 数过点 （ 0 ， 0 ）， （ 1 ， 1 ）， （ -1 ， -1 ）， ∴g′ （ x ） =x 2 ， ∴g （ x ） = 1 3 x 3 +C 1 . ∴h （ x ） =f （ x ） -g （ x ） = 1 2 x 2 +C- 1 3 x 3 -C 1 ， 记 m=C- C 1 为常数， 则 h （ -1 ） = 5 6 +m ， h （ 0 ） =m ， h （ 1 ） = 1 6 +m ， ∴h （ 0 ） < h （ 1 ） <h （ -1 ） . 故选 A. 5. D 【解析 】 由 e x -asinx=0 ， 得 asinx=e x . ∵0∈ （ 0 ， π ）， ∴sinx>0. 因此 a= e x sinx . 令 g （ x ） = e x sinx ， 0<x<π ， 则 g′ （ x ） = e x （ sinx-cosx ） sin 2 x . 由 g′ （ x ） =0 得 x= π 4 . 当 0<x< π 4 时， g′ （ x ） <0 ； 当 π 4 <x<π 时 ， g′ （ x ） >0. ∴g （ x ） min =g π 4 4 ' = 2 姨 e π 4 ， 因此 a= 2 姨 e π 4 . 故选 D. 81 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 6. D 【解析】 ∵ f （ x ） =- 1 3 x 3 -x+6e -x -6e x ， 定义域为 R ， ∴ f （ -x ） = 1 3 x 3 +x+6e x -6e -x =-f （ x ）， ∴ 函数 f （ x ）为奇函数 . ∵ f ′ （ x ） =-x 2 -1-6e -x -6e x <0 ， ∴ 函数 f （ x ）在 R 上单调 递减 . ∵ f 1 a+1 1 " +f 1 1-a 2 1 " ≤0 ， ∴ f 1 a+1 1 " ≤-f 1 1-a 2 1 " ， 则 f 1 a+1 1 " ≤f 1 a 2 -1 1 " ， ∴ 1 a+1 ≥ 1 a 2 -1 ， ∴ a-2 （ a+1 ）（ a-1 ） ≥0 ， ∴ a-2≤0 ， （ a+1 ）（ a-1 ） < < 0 或 a-2≥0 ， （ a+1 ）（ a-1 ） >0 < ， 解得 -1<a<1 或 a≥2. 故选 D. 7. C 【解析】 设 g （ x）= f （ x ） e x -2x ， f （ x ） 2 >xe x 等价为 g （ x ） >g （ 2 ）， g′ （ x ） = f ′ （ x ） -f （ x ） e x -2<0 ， 故 g （ x ）在 R 上单调 递减， ∴g （ x ） >g （ 2 ）， 解得 x<2. 故选 C. 8. A 【解析】 函数 y=f （ x ）的导数为 y′= 1 x+b =1 ， ∴x= 1-b ， ∴ 切点为 （ 1-b ， 0 ） 代入一次函数得 y=x-a ， ∴a+ b=1 ； ∵a ， b∈R + ， ∴a∈ （ 0 ， 1 ）， 则 a 2 2+b = a 2 3-a . 令 g （ a ） = a 2 3-a ， 则 g′ （ a ） = a （ 6-a ） （ 3-a ） 2 >0 ， 则函数 g （ a ）为增函数 ， ∴ a 2 2+b ∈ 0 ， 1 2 1 " . 故选 A. 9. AD 【解析】 由于函数 f （ x ） =e x +x ， 对于函数上横 坐标成等差数列的三个点 A ， B ， C ， 不妨设三个点横坐 标分别为 m-d ， m ， m+d （ d>0 ）， 则 k AB = e m -e m-d +d d =1+ e m d （ 1-e -d ） >1 ， 且 k BC =1+ e m d （ e d -1 ） >1 ， tan∠ABC= k AB -k BC 1+k AB k BC ， 其中 k AB -k BC = e m d （ 2-e d -e -d ）， 又 ∵d>0 ， 则 e d +e -d >2 ， ∴k AB - k BC <0 ， ∴tan∠ABC<0 ， 即 ∠ABC 为钝角， ∴△ABC 为钝 角三角形， 故 A 正确； 如果 △ABC 为等腰三角形， 则 |AB| =|BC| ， 由距离公式可得 （ e m -e m-d +d ） 2 +d 2 姨 = （ e m+d -e m +d ） 2 +d 2 姨 ， 化简 e m -e m-d =e m+d -e m ， 解得 e -d +e d =2 与 e d +e -d >2 相矛盾 ， 故 △ABC 不是等腰三角形， 故 D 正确 . 故选 AD. 10. ACD 【解析】 ∵ f （ x ） =alnx+ 2 x ， ∴ f （ 1 ） =2 ， f ′ （ x ） = a x - 2 x 2 ， ∴ f ′ （ 1 ） =a-2 ， 因此函数 f （ x ）的图象在点 x=1 处 的切线方程为 y-2= （ a-2 ）（ x-1 ）， 即 （ a-2 ） x-y-a+4=0 ， 故 A 正确； 当 a<0 时， f ′ （ x ） = a x - 2 x 2 <0 在 x∈ （ 0 ， +∞ ） 上恒成立， 即函数在定义域内单调递减， 无极值点， 故 B 错误； 当 a=1 时， f ′ （ x ） = 1 x - 2 x 2 = x-2 x 2 ， 由 f ′ （ x ） >0 ， 得 x>2 ， 由 f ′ （ x ） <0 ， 得 0<x<2 ， ∴ 函数 f （ x ） =lnx+ 2 x 在 （ 0 ， 2 ） 上单调递减， 在 （ 2 ， +∞ ） 上单调递增， 因此 f （ x ） min =ln2+ 2 2 =ln2+1 ， 即 f （ x ） ≥ln2+1 ， 故 C 正确； 当 a= -1 时， f ′ （ x ） =- 1 x - 2 x 2 <0 在 x∈ （ 0 ， +∞ ） 上恒成立 ， ∴ 函数 f （ x ）在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递减， 由 f （ 2x-1 ） -f （ x ） >0 ， 可得 2x-1>0 ， x>0 ， 2x-1<x x , , , , + , , , , - ， 解得 1 2 <x<1 ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 11. BD 【解析】 f ′ （ x ） =2x ， g′ （ x ） = 1 x ， 则 f ′ （ 1 ） =2 ， g′ （ 1 ） =1 ， 二者不相等， 即在点 （ 1 ， 0 ） 处 f （ x ）与 g （ x ）的 图象的切线斜率不相等， 故在点 （ 1 ， 0 ） 处没有公切 线， 故 A 错误； 两切线平行即两切线斜率相等， 令 2x= 1 x ， 解得 x 1 = 2 姨 2 ， x 2 = - 2 姨 2 （舍 ）， 因此 f （ x ） 与 g （ x）的图象有互相平行 的切线， 故 B 正确； 在同 一直角坐标系中作出 f （ x ）， g （ x）的图象， 观察图象可 知 C 错误， D 正确 . 故选 BD. 12. 5 姨 5 【解析】 由函数 f （ x ） =lnx-x 3 ， 得 f ′ （ x ） = 1 x -3x 2 ， 设与直线 2x+y-2=0 平行的切线切曲线 f （ x ） =lnx-x 3 于点 P （ x 0 ， lnx 0 -x 3 0 ）， 则有 f ′ （ x 0 ） = 1 x 0 -3x 2 0 =-2 ， 整理得 （ x 0 -1 ）（ 3x 2 0 +3x 0 +1 ） =0 ， 解得 x 0 =1 ， 则切点为 P （ 1 ， -1 ） . ∴ 点 P 到直线 2x+y-2=0 的距离为 d= |2-1-2| 5 姨 = 5 姨 5 ， 即 P ， Q 两点距离的最小值为 5 姨 5 . 13. （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 0 ， 1 ） 【解析】 令 g （ x ） =lnx · f （ x ） （ x>0 ）， 则 g′ （ x ） = 1 x · f （ x ） +lnx ·f ′ （ x ）（ x>0 ）， 当 x>0 时， 第 11 题答图 82 参 考 答 案 - 1 x · f （ x ） >lnx · f ′ （ x ）（ x>0 ）， 则有 g′ （ x ） = 1 x · f （ x ） +lnx · f ′ （ x ） <0 ， 即函数 y=g （ x ）在 （ 0 ， +∞ ） 上为减函数 . 又由 g （ 1 ） = 0 ， 则在 （ 0 ， 1 ） 上 g （ x ） =lnx · f （ x ） >0 ， 又 ∵lnx<0 ， 则 f （ x ） < 0 ， 而在 （ 1 ， +∞ ） 上 g （ x ） =lnx · f （ x ） <0 ， 由 lnx>0 ， 则 f （ x ） <0 ， 则在 （ 0 ， 1 ）， （ 1 ， +∞ ） 均有 f （ x ） <0 ； 又由 y=f （ x ） 为奇函数， 则在 （ -∞ ， -1 ）， （ -1 ， 0 ） 均有 f （ x ） >0 ， 故 （ x 2 -1 ） f （ x ） >0 ， 解得 x<-1 或 0<x<1. 14. y=x+1 【解析】 y=lnx 的导数为 y′= 1 x ， x=1 时， y′=1 ， 即 k=1 ， y=e x 的导数为 y′=e x ， 设切点为 （ x 1 ， y 1 ）， 则 e x 1 =1 ， x 1 =0 ， y 1 =e 0 =1 ， ∴ 直线 l 2 的方程为 y=x+1. 15. 解： （ 1 ） 由已知 g （ x ） =f （ x ） -mx 的定义域为 （ 0 ， +∞ ） . ∴g′ （ x ） = 1 x -m ， 当 m≤0 时 ， g′ （ x ） = 1 x -m>0 恒成 立， ∴g （ x ）在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递增， 无极值 . 若 m>0 ， 则当 x∈ 0 ， 1 m m $ 时， g′ （ x ） >0 ， ∴g （ x ）在 0 ， 1 m m & 上单调 递增， 当 x∈ 1 m ， + m & ∞ 时， g′ （ x ） <0 ， ∴g （ x ）在 1 m ， + m & ∞ 上单调递减 ， ∴ 当 m>0 时 ， g （ x ） 极 大 值 =g 1 m m & =-lnm-1 ， 无极小值 . （ 2 ） 由已知， 令 F （ x ） =lnx- 1 2 x 2 - （ k-1 ） x+k- 1 2 ， 当 x∈ （ 1 ， x 0 ） 时 F （ x ） >0 恒 成 立 ， F ′ （ x ） = 1 x -x +1 -k = -x 2 + （ 1-k ） x+1 x ， ∵x>1 ， ∴ 当 k≥1 时， F ′ （ x ） <0 恒成立， ∴F （ x ）在定义域 （ 0 ， +∞ ） 上单调递减， 当 x∈ （ 1 ， x 0 ）， F （ x ） <F （ 1 ） =0 ， 即 f （ x ） < 1 2 x 2 + （ k-1 ） x-k+ 1 2 ， 当 k<1 时， 令 F′ （ x ） =0 ， 即 -x 2 + （ 1-k ） x+1=0 ， 解得 x 1 = 1-k- （ 1-k ） 2 +4 姨 2 <0 ， x 2 = 1-k+ （ 1-k ） 2 +4 姨 2 >1. 当 x∈ （ 1 ， x 2 ） 时， F′ （ x ） >0 ， 故 F （ x ）在 ［ 1 ， x 2 ） 内 单调递增 . 从而当 x∈ （ 1 ， x 2 ） 时， F （ x ） >F （ 1 ） =0 ， 即 f （ x ） > 1 2 x 2 + （ k-1 ） x-k+ 1 2 . 综上所述， k 的取值范围是 （ -∞ ， 1 ） . 16. 解： （ 1 ） f ′ （ x ） =e x -2 （ a+1 ）， 当 a≤-1 时， f ′ （ x ） ≥0 ， f （ x ）在 R 上单调递增， 当 a>-1 时， 令 f ′ （ x ） =0 ， 得 x=ln2 （ a+1 ）， 当 x<ln2 （ a+ 1 ） 时， f （ x ） <0 ， f （ x ）在 （ -∞ ， ln2 （ a+1 ）） 上单调递减， 当 x>ln2 （ a+1 ） 时， f ′ （ x ） >0 ， f （ x ）在（ ln2 （ a+1 ）， +∞ ） 上单调递增 . （ 2 ） 设 g （ x ） =f （ x ） - 1 2 x 2 -2 （ a+1 ） 2 =e x - 1 2 x 2 -2 （ a+1 ） x- 2 （ a+1 ） 2 + 3 2 =e x - 1 2 ［ x+2 （ a+1 ）］ 2 + 3 2 ， 即 g （ x ） ≥0 对 x∈ ［ 0 ， +∞ ） 恒成立 ， g′ （ x ） =e x - （ x+ 2a+2 ）， 令 h （ x ） =g′ （ x ）， h′ （ x ） =e x -1≥0 对 x∈ ［ 0 ， +∞ ） 恒成 立， ∴h （ x ） ≥h （ 0 ） =-2a-1. ① 当 -2a-1≥0 ， 即 a≤- 1 2 时， h （ x ） =g′ （ x ） ≥0 ， g （ x ） 在 ［ 0 ， +∞ ） 上单调递增， ∴g （ x ） min =g （ 0 ） = 5 2 -2 （ a+1 ） 2 ≥0 ， ∴-1- 5 姨 2 ≤a≤ -1+ 5 姨 2 . 又 a≤- 1 2 ， ∴-1- 5 姨 2 ≤a≤- 1 2 ； ② 当 -2a-1<0 ， 即 a>- 1 2 时， 则存在唯一的 x 0 ∈ ［ 0 ， +∞ ） 使 h （ x 0 ） =0 ， e x 0 -x 0 -2 （ a+1 ） =0 ， 当 x∈ （ 0 ， x 0 ） 时， h （ x ） =g′ （ x ） <0 ， 当 x∈ （ x 0 ， +∞ ） 时， h （ x ） =g′ （ x ） >0 ， 即 x∈ （ 0 ， x 0 ） 时， g （ x ）单调递减， x∈ （ x 0 ， +∞ ） 时， g （ x ）单调递增， 故 g （ x ） min =g （ x 0 ） =e x 0 - 1 2 e 2x 0 + 3 2 ≥0 ， 解得 0<e x 0 ≤3 ， 0<x 0 ≤ln3 ， 又 2 （ a+1 ） =e x 0 -x 0 ， 而 e x -x 在 ［ 0 ， +∞ ） 上单调递增， ∴1<2 （ a+1 ） ≤3-ln3 ， 解得 - 1 2 <a≤ 1-ln3 2 . 综上， 实数 a 的取值范围为 -1- 5 姨 2 ， 1-ln3 2 2 * . 17. 解： （ 1 ） f ′ （ x ） =2e 2x -2ax ， g （ x ） =e 2x -ax 2 -1-2xe 2x + 2ax 2 = （ 1-2x ） e 2x +ax 2 -1. ∴ 当 a=1 时， g （ x ） = （ 1-2x ） e 2x +x 2 -1. ∴g′ （ x ） =2x （ 1-2e 2x ） . 令 g′ （ x ） =0 ， 解得 x 1 =0 ， x 2 = 1 2 ln 1 2 <0. 当 x∈ -∞ ， 1 2 ln 1 2 m & 时， g′ （ x ） <0 ， g （ x ）为单调减函数； 当 x∈ 1 2 ln 1 2 ， m & 0 时， g′ （ x ） >0 ， g （ x ）为单调增函数； 83 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 当 x∈ （ 0 ， +∞ ） 时， g′ （ x ） <0 ， g （ x ）为单调减函数 . ∴ 函数 g （ x ）的单调减区间为 -∞ ， 1 2 ln 1 2 2 # ， （ 0 ， +∞ ）， g （ x ） 极大值 =g （ 0 ） =0. （ 2 ） ①∵ 函数 y=f （ x ）有两个极值点 x 1 ， x 2 ， ∴ 方程 f ′ （ x ） =2e 2x -2ax=0 有两个不等实根 . 由 2e 2x -2ax=0 ， 显然 a=0 时方程无根， ∴ 1 a = x e 2x . 设 h （ x ） = x e 2x （ x∈R ）， 则 h′ （ x ） = （ 1-2x ） e 2x （ e 2x ） 2 = 1-2x e 2x . 令 h′ （ x ） =0 ， 得 x= 1 2 . 当 x∈ -∞ ， 1 2 2 2 时， h′ （ x ） >0 ， h （ x ）为单调递增函数； 当 x∈ 1 2 ， + + 2 ∞ 时， h′ （ x ） <0 ， h （ x ）为单调递减函数； 且当 x→-∞ 时， h （ x ） →-∞ ； 当 x→+∞ 时， h （ x ） →0 ， ∴0< 1 a <h 1 2 + 2 = 1 2e . ∴a>2e. ∴ 实数 a 的取值范围是 （ 2e ， +∞ ） . ② 证明 ： 不妨设 x 1 <x 2 ， 由 ① 知 0<x 1 < 1 2 <x 2 ， 且有 e 2x 1 =ax 1 ， e 2x 2 =ax 2 2 ， ∴ae 2x 1 +ae 2x 2 >2e 2x 1 · e 2x 2 可化为 x 1 +x 2 >2x 1 x 2 . 又 ∵ 2x 1 =lna+lnx 1 ， 2x 2 =lna+lnx 2 2 ， ∴lnx 2 -lnx 1 =2 （ x 2 -x 1 ） >0. ∴ 即证 2 （ x 2 -x 1 ）（ x 2 +x 1 ） >2x 1 x 2 （ lnx 2 -lnx 1 ）， 即证 x 2 x 1 - x 1 x 2 >ln x 2 x 1 ， 即 x 2 x 1 - x 1 x 2 -ln x 2 x 1 >0. 设 t= x 2 x 1 （ t> 1 ）， 即证 t- 1 t -lnt>0 当 t>1 时成立 . 设 φ （ t ） =t- 1 t -lnt （ t>1 ）， ∵φ′ （ t ） =1+ 1 t 2 - 1 t = t 2 -t+1 t 2 >0 ， ∴φ （ t ）在 （ 1 ， +∞ ） 上为增函数， ∴φ （ t ） >φ （ 1 ） =0 ， 即 t- 1 t -lnt>0 成立 . ∴ae 2x 1 +ae 2x 2 >2e 2x 1 · e 2x 2 成立 . 18. 解： （ 1 ） 由 f （ x ） ≥h （ x ）， 得 m≤ x lnx 在 （ 1 ， +∞ ） 上恒成立 . 令 g （ x ） = x lnx ， 则有 g′ （ x ） = lnx-1 （ lnx ） 2 ， 当 x∈ （ 1 ， e ） 时， g′ （ x ） <0 ； 当 x∈ （ e ， +∞ ） 时， g′ （ x ） >0 ； ∴y=g （ x ） 在 （ 1 ， e ） 上单调递减， 在 （ e ， +∞ ） 上单调递增； 故 当 x=e 时， g （ x ）的最小值为 g （ e ） =e. ∴m≤e. （ 2 ） 由已知可得 g （ x ） =x-2lnx-a ， 函数 y=g （ x ）在 （ 1 ， 3 ） 上恰有两个不同的零点， 相当于函数 φ （ x ） =x-2lnx 与 y=a 函数图象有两个不同的交点 . φ′ （ x ） =1- 2 x = x-2 x ， 当 x∈ （ 1 ， 2 ） 时 ， φ′ （ x ） <0 ； 当 x∈ （ 2 ， 3 ） 时 ， φ′ （ x ） >0. ∴y=φ （ x ）在 （ 1 ， 2 ） 上单调递减， 在 （ 2 ， 3 ） 上单调递 增 . 又 φ （ 1 ） =1 ， φ （ 2 ） =2-2ln2 ， φ （ 3 ） =3-2ln3 ， 要使 y=a 与函数 φ （ x ） =x-2lnx 有两个交点， 2-2ln2<a<3-2ln3 ， 即 实数 a 的取值范围为 （ 2-2ln2 ， 3-2ln3 ） . 19. 解： （ 1 ） ∵ f （ x ）的定义域为 （ 0 ， +∞ ）， ∴ f ′ （ x ） = a+1 x +2x= 2x 2 +1+a x . 当 a+1≥0 时， f ′ （ x ） >0 恒成立 ， ∴ a≥-1 时， y=f （ x ）在区间 （ 0 ， +∞ ） 上单调递增 . 当 a+1< 0 时， 若 x> - a+1 2 姨 ， f ′ （ x ） >0 ； 若 0<x< - a+1 2 姨 ， f ′ （ x ） <0. ∴ 当 a<-1 时， y=f （ x ）在区间 0 ， - a+1 2 姨 2 2 上单调递 减； 在区间 - a+1 2 姨 ， + 2 2 ∞ 上单调递增 . 综上所述， 当 a≥-1 时， y=f （ x ）在区间 （ 0 ， +∞ ） 上单调递增； 当 a< -1 时， y=f （ x ）在区间 0 ， - a+1 2 姨 2 2 上单调递减， 在区间 - a+1 2 姨 ， + 2 2 ∞ 上单调递增 . （ 2 ） 不妨设 x 1 >x 2 ， 又 a≥0 ， ∴y=f （ x ）在区间 （ 0 ， +∞ ） 上单调递增， |f （ x 1 ） -f （ x 2 ） |≥4|x 1 -x 2 | 恒成立， 等价于 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） ≥4x 1 -4x 2 ， 也就是说， f （ x 1 ） -4x 1 ≥f （ x 2 ） -4x 2 恒成立 . 令 g （ x ） =f （ x ） -4x （ x>0 ）， 且 y=g （ x ）为单调递增函数， 即 g′ （ x ） ≥0 在 （ 0 ， +∞ ） 上恒成立 . ∵g′ （ x ） = 2x 2 -4x+a+1 x ≥ 0 ， 令 h （ x ） =2x 2 +a-4x+1 ， x∈ （ 0 ， +∞ ） . ∵h （ x ） min =h （ 1 ） = a-1 ， ∴a≥1. 综上所述， 非负实数 a 的取值范围为 a≥1. 综合测试卷（一） 1. C 【解析 】 设等差 数列 { a n } 的 公差为 d ， 则 a 2 =a 1 +d=6 ， a 6 =a 1 +5d=2 2 ， 解得 a 1 =7 ， d=-1 2 ， S 8 =8a 1 + 8×7 2 × （ -1 ） =28. 故选 C. 2. C 【解析】 由正弦函数 y=sinx 可知， 2x+ π 6 = π 2 + 2kπ ， 即极大值点为 x=kπ+ π 6 ， 其中 k∈Z ， 又 x∈ （ 0 ， 5 ）， 则 x= π 6 ， 7π 6 满足； 由 2x+ π 6 = 3π 2 +2kπ ， 可得极小值点为 x=kπ+ 2π 3 ， 84