6.1.4 求导法则及其应用-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练习（人教B版）

参 考 答 案 -2 （ x+1 ）， 即 2x+y=0. 14. （ 1 ） 解： f ′ （ x ） =1+2ax+ b x . 由已知条件得 f （ 1 ） =0 ， f′ （ 1 ） =2 2 ， 即 1+a=0 ， 1+2a+b=2 2 ， 解得 a=-1 ， b=3. （ 2 ） 证明： f （ x ）的定义域为 （ 0 ， +∞ ）， 由 （ 1 ） 知 f （ x ） =x-x 2 +3lnx. 设 g （ x ） =f （ x ） - （ 2x-2 ） =2-x-x 2 +3lnx ， 则 g′ （ x ） =-1-2x+ 3 x =- （ x-1 ）（ 2x+3 ） x . 当 0<x<1 时， g′ （ x ） >0 ； 当 x>1 时， g′ （ x ） <0. ∴g （ x ）在 （ 0 ， 1 ） 单调增加， 在 （ 1 ， +∞ ） 单调减少 . 而 g （ 1 ） =0 ， 故当 x>0 时， g （ x ） ≤0 ， 即 f （ x ） ≤2x-2. 15. 解： （ 1 ） 设 P k-1 （ x k-1 ， 0 ）， 由 y′=e x 得， Q k-1 （ x k-1 ， e x k-1 ） 点处切线方程为 y-e x k-1 =e x k-1 （ x-x k-1 ）， 由 y=0 得， x k = x k-1 -1 （ 2≤k≤n ） . （ 2 ） x 1 =0 ， x k -x k-1 =-1 ， 得 x k =- （ k-1 ）， ∴ ｜P k Q k ｜=e x k = e - （ k-1 ） ， 于是 S n =｜P 1 Q 1 ｜+｜P 2 Q 2 ｜+｜P 3 Q 3 ｜+ … +｜P n Q n ｜=1+e -1 +e -2 + … + e - （ n-1 ） = 1-e -n 1-e -1 = e-e 1-n e-1 . 6.1.4 求导法则及其应用 第 1 课时 导数的四则运算法则 学习手册 变式训练 1 A 【解析 】 f （ x ） =x-g （ x ）， 可得 f ′ （ x ） =1- g′ （ x ）， f （ 2 ） =2-g （ 2 ） =-3 ， f ′ （ 2 ） =1-g′ （ 2 ） =-1 ， ∴g （ 2 ） + g′ （ 2 ） =7. 故选 A. 变式训练 2 y=x+1 【解析】 ∵f ′ （ x ） = （ x+1 ） ′cosx+ （ x+1 ）· sinx′=cosx- （ x+1 ） sinx ， ∴ f ′ （ 0 ） =1. 又 f （ 0 ） =1 ， ∴ f （ x ）在 （ 0 ， f （ 0 ）） 的切线方程为 y-1=x ， 即 y=x+1. 变式训练 3 0 【解析 】 ∵f （ x ） = lnx x （ x≠0 ）， ∴ f ′ （ x ） = （ lnx ） ′x-x′lnx x 2 = 1 x ·x-lnx x 2 = 1-lnx x 2 ， ∴ f ′ （ e ） = 1-lne e 2 =0. 随堂练习 1. B 【解析】 ∵f （ x ） =x+ 1 x ， ∴ f ′ （ x ） =1- 1 x 2 ， ∴ f ′ （ 2 ） = 1- 1 2 2 = 3 4 ， ∴ 函数 f （ x ） =x+ 1 x 在 x=2 处的切线斜率为 3 4 . 故选 B. 2. B 【解析】 由题意知， f ′ （ x ） =acosx. ∵f ′ 仔 3 3 % =1 ， ∴acos 仔 3 =1 ， 解得 a=2. 故选 B. 3. C 【解析】 展开函数解析式， 得 f （ x ） =x 3 -3a 2 x+2a 2 ， 求导得 f ′ （ x ） =3x 2 -3a 2 =3 （ x 2 -a 2 ） . 故选 C. 4. A 【解析】 y′=2ax ， 于是切线的斜率 k=2a 2 ， ∵ 切 线与直线 2x-y-1=0 平行 ， ∴2a 2 =2 ， 解得 a=±1. 当 a=1 时， y=x 2 的切点为 （ 1 ， 1 ）， 切线的斜率为 2 ， 即切线方 程为 2x-y-1=0 与直线 2x-y-1=0 重合， 故 a=-1. 故选 A. 5. 18 【解析 】 ∵f ′ （ x ） =4x 3 +2ax-b ， ∴ f ′ （ 0 ） =-13 ， f ′ （ -1 ） =-27 7 ， 即 -b=-13 ， -4-2a-b=-27 7 ， 解得 a=5 ， b=13 7 ， ∴a+b=18. 6. 解 ： （ 1 ） f ′ （ x ） = （ 1+sinx ） ′ （ 1-4x ） + （ 1+sinx ）（ 1- 4x ） ′=cosx （ 1-4x ） -4 （ 1+sinx ） =cosx-4xcosx-4-4sinx. （ 2 ） f′ （ x ） = x x+1 3 % ′ - （ 2 x ） ′= 1- 1 x+1 3 % ′ -2 x ln2= 1 （x+1 ） 2 -2 x ln2. 练习手册 效果评价 1 . C 【解析 】 由 f （ x ）=1-x+x 2 可得 f ′ （ x ） =2x-1 ， ∴ f ′ （ 3 ） =2×3-1=5 ， 即函数 y=f （ x ）在 x=3 处的瞬时变化率 为 5. 故选 C. 2. A 【解析】 由题可知， 切点为原点 . 又 f （ x ） =ln （ x+ 1 ）的导函数 f ′ （ x ） = 1 x+1 ， 故 f ′ （ 0 ） = 1 0+1 =1. 故 b a =1圯 c 2 -a 2 a 2 =1圯 c 2 a 2 =2圯e= 2 姨 . 故选 A. 3. B 【解析】 由题意得， f ′ （ x ） =2f ′ （ 2 ） +2x ， ∴ f ′ （ 2 ） =2f ′ （ 2 ） +4 ， 解得 f ′ （ 2 ） =-4 ， ∴ f ′ （ x ） =-8+2x ， ∴ f ′ （ 1 ） = -8+2=-6. 故选 B. 4. A 【解析】 ∵f （ x ）=x 3 -3x 2 +ax-1 ， ∴ f ′ （ x ） =3x 2 -6x+a． 由题意得， 3x 2 -6x+a-1=0 有唯一实根， ∴Δ=36-12 （ a-1 ） = 0 ， 解得 a=4 ， ∴ f ′ （ x ） =3x 2 -6x+4 ， ∴ f ′ （ 1 ） =3-6+4=1． 故 选 A． 5. ABD 【解析 】 根据求导法则 ， C 选项 sinx x 2 3 % ′= x 2 cosx-2xsinx （ x 2 ） 2 = xcosx-2sinx x 3 . 故选 ABD. 6. -6 【解析 】 y′=4x 3 +2ax ， ∵ 曲线在点 （ -1 ， a+2 ） 处切线的斜率为 8 ， ∴y′ x=-1 =-4-2a=8 ， 解得 a=-6. 7. - 19 5 【解析 】 ∵f （ x ）=sinx-cosx ， ∴ f ′ （ x ） =cosx+ sinx ， f ′ （ x ） =2f （ x ）， ∴cosx+sinx=2 （ sinx-cosx ）， ∴tanx=3 ， 55 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 ∴ 1+sin 2 x cos 2 x-sin2x = 1+sin 2 x cos 2 x-2sinxcosx = cos 2 x+2sin 2 x cos 2 x-2sinxcosx = 1+2tan 2 x 1-2tanx =- 19 5 . 8. 1 2 ， ! 1 1 【解析】 由 f ′ （ x ） =x- a x ， 得 f ′ （ 1 ） =1-a. ∵f （ 1 ） = 1 2 ， ∴ 函数 f （ x ）的图象在点 （ 1 ， f （ 1 ）） 处的切线 方程为 y- 1 2 = （ 1-a ）（ x-1 ）， 即 y= （ 1-a ） x+a- 1 2 . 由题意 得， 1-a≥0 且 a- 1 2 >0 ， 解得 a 的取值范围为 1 2 ， ! 1 1 . 9. 解： （ 1 ） ∵y = 2x x 2 + 1 ， ∴y ′ = 2 （ x 2 + 1 ） -2x · 2x （ x 2 + 1 ） 2 = 2-2x 2 （x 2 +1 ） 2 ， ∴ f ′ （ 1 ） = 2-2 4 =0 ， 即曲线在 （ 1 ， 1 ） 处的切线 斜率为 0 ， 切线方程为 y=1. （ 2 ） ∵S′= t 2 -2t （ t-1 ） （t 2 ） 2 +4t=- 1 t 2 + 2 t 3 +4t. ∴S′｜ t=3 =- 1 9 + 2 27 +12=11 26 27 . 10. 解： （ 1 ） ∵ 函数 f （ x ） =x 3 -ax 2 +b 的图象过点 （ 1 ， 2 ）， ∴1-a+b=2 ①． 又 f ′ （ x ） =3x 2 -2ax ， f ′ （ 2 ） =4 ， ∴ f ′ （ 2 ） =3×2 2 -2×2a= 12-4a=4 ② ， 由 ①② 解得， a=2 ， b=3． （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 f （ x ） =x 3 -2x 2 +3 ， 又 ∵f （ 1 ） =2 ， f ′ （ 1 ） = 3-4=-1 ， ∴ 曲线 y=f （ x ）在 （ １ ， f （ 1 ）） 处的切线方程为 y-2=- （ x-1 ）， 即 x+y-3=0． 提升练习 11. C 【解析 】 ∵y=ln （ x+a ）， ∴y′= 1 x+a ， 设切点为 （ x 0 ， y 0 ） ， 则 ln （ x 0 +a ） =ex 0 -b ， 1 x 0 +a =e e & & & % & & & ' ， ∴ea +b =2 ， ∴ 1 ea + 1 b = 1 2 1 ea + 1 b 1 b （ ea+b ） = 1 2 2+ b ea + ea b 1 b . ∵a ， b ， e>0 ， ∴ 原 式 ≥ 1 2 2+2 b ea · ea b 姨 1 b =2 ， 当且仅当 b ea = ea b ， 即 a= 1 e ， b=1 时等号成立， 即 1 ea + 1 b ≥2. 故选 C. 12. A 【解析】 ∵f （ x ） =ax 2 +bx+1 ， ∴ f ′ （ x ） =2ax+b. 则 f ′ （ 0 ） =b. ∵f ′ （ 0 ） >0 ， ∴b>0. 又已知 f （ x ）与 x 轴恰有一个 交点， Δ=b 2 -4a=0 ， a= b 2 4 . ∴ f （ 1 ） =a+b+1= b 2 4 +b+1. ∴ f （ 1 ） f ′ （ 0 ） = b 2 4 +b+1 b = b 4 + 1 b +1≥2 b 4 · 1 b 姨 +1=2 ， 当且仅当 b 4 = 1 b ， 即 b=2 取等号 . ∴ f （ 1 ） f ′ （ 0 ） 的最小值为 2. 故选 A. 13. B 【解析 】 由 f （ x ）在 （ -∞ ， +∞ ） 内可导 ， 对 f （ x+2 ） =f （ x-2 ）两边求导得 f ′ （ x+2 ）（ x+2 ） ′=f ′ （ x-2 ）（ x-2 ） ′ ， 即 f ′ （ x+2 ） =f ′ （ x-2 ）， 由 f （ x ）为偶函数， 得到 f （ -x ） =f （ x ）， 由 f ′ （ -x ）（ -x ） ′=f ′ （ x ）， 即 f ′ （ -x ） =-f ′ （ x ） . 则 f ′ （ x+2+2 ） = f ′ （ x+2-2 ）， 即 f ′ （ x+4 ） =f ′ （ x ）， f ′ （ -5 ） =f ′ （ -1 ） =-f ′ （ 1 ） =2 ， ∴ 切线斜率为 2. 14. y = （ n +1 ） x -n 1 n+1 【 解 析 】 ∵y′ = （ n +1 ） x n ， ∴y′ x=1 =n+1. ∴ 曲线 y=x n+1 （ n∈N * ） 在点 （ 1 ， 1 ） 处的切 线方程为 y-1= （ n+1 ）（ x-1 ）， 即 y= （ n+1 ） x-n. 令 y=0 得 x= n n+1 ， ∴x n = n n+1 ， ∴x 1 · x 2 ·…· x n = 1 2 × 2 3 × 3 4 × … × n n+1 = 1 n+1 . 15. 1 4 【解析】 设切点 P （ x 0 ， y 0 ）， x 0 >- 1 4 1 b · y′=4x+ 4 4x+1 . ∵x 0 >- 1 4 ， ∴4x 0 +1>0 ， 则 tanα=4x 0 + 4 4x 0 +1 =4x 0 +1+ 4 4x 0 +1 -1≥2 （4x 0 +1 ）· 4 4x 0 +1 姨 -1=4-1=3. 当且仅当 4x 0 + 1= 4 4x 0 +1 ， 即 x 0 = 1 4 时， 等号成立 . 即 x 0 = 1 4 时， tanα 最 小， α 取最小值 . 第 2 课时 简单复合函数求导法则及其应用 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 令 u=2x+3 ， 则 y=10 u ， ∴y′ x =y′ u · u′ x = 10 u · ln10 ·（ 2x+3 ） ′=2ln10 · 10 2x+3 . （ 2 ） y=sin 4 x+cos 4 x = （ sin 2 x+cos 2 x ） 2 -2sin 2 x · cos 2 x =1- 1 2 sin 2 2x=1- 1 4 （ 1-cos4x ） = 3 4 + 1 4 cos4x. ∴y′= 3 4 + 1 4 cos4x 1 b ′ =-sin4x. 变式训练 2 B 【解析】 设 y=kx+b 是 y=lnx+2 在点 （ a ， lna+2 ） 的切线， 则 k= 1 a ， lna+2=ka+b e & & & % & & & ' ， 同理， 设 y=kx+b 是 y= 56 参 考 答 案 ln （ x+2 ）在点 （ c ， ln （ c+2 ）） 的切线， 则 k= 1 c+2 ， ln （ c+2 ） =kc+b ! # # # " # # # $ ， 由方程组得 c+2=a ， 代入解得 k=1 ， b=1 ， a=1 ， c=-1 ! # # # # # # " # # # # # # $ . 故选 B. 随堂练习 1. A 【解析】 根据题意， f （ x ） =sin2x+e 2x ， 根据复合 函数求导法则得到 y′=2cos2x+2e 2x . 故选 A. 2. A 【解析 】 f ′ （ x ） = 2 2x+1 -a ， ∴ f ′ （ 2 ） =-1= 2 5 -a ， 解得 a= 7 5 . 故选 A. 3. 3 2 【解析】 ∵f ′ （ x ） = 3 3x-1 ， ∴ f ′ （ 1 ） = 3 2 . 4. -2e 【解析】 由 y=e -2x+1 求导得 y′=-2e -2x+1 ， 代入 x=0 ， 得 y′=-2e 1 =-2e. 5. 解： y=xln2x ， 则 y′=ln2x+1 ， 则 k=y′ x= e ２ =ln 2× e ２ ２ & +1=2 ， 则曲线 y=xln2x 在点 e ２ ， e ２ ２ & 处的切线方程为 y- e ２ =2 x- e ２ ２ & ， 即 y=2x- e ２ . 6. 证明： y′=2cos 2x+ 仔 ２ ２ & ， 切线斜率 k=2cos 2× 仔 4 + 仔 ２ ２ & =2cos仔=-2 ， 切线方程 y-0=-2 x- 仔 4 ２ & ， 即 4x+2y-仔=0. 练习手册 效果评价 1. A 2. B 【解析】 f ′ （ x ） = （ e 2x ） ′x-e 2x ·（ x ） ′ x 2 = 2e 2x · x-e 2x x 2 = e 2x （ 2x-1 ） x 2 . 故选 B. 3. B 【解析】 y′= （ x ） ′ln （ 2x+5 ） +x ·［ ln （ 2x+5 ）］ ′=ln （ 2x+ 5 ） + 2x 2x+5 . 故选 B. 4. C 【解析 】 如函数为 f （ x ） = 1 2 x 2 - 1 x ， x<0 ， 1 2 x 2 -lnx ， x>0 ! # # # # " # # # # $ ， 则 f ′ （ x ） = x+ 1 x 2 ， x<0 ， x- 1 x ， x>0 ! # # # # " # # # # $ ， 符合题意， 但 f （ x ）不是偶函数， 故 A 错误； 由 f ′ （ x ） 的图象， 得 f （ x ）在 （ -∞ ， -1 ） 上递减， 在 （ -1 ， 0 ） 上递增； 在 （ 0 ， 1 ） 上递减， 在 （ 1 ， +∞ ） 上递增， 故 B 错误； 由 f ′ （ -1 ） =f ′ （ 1 ） =0 ， ∴ f （ x ）存在极 小值 f （ -1 ）和 f （ 1 ）， 无论 f （ 0 ）是否存在， 均可得出 f （ x ） 一定有最小值， 故 C 正确； 最小值不一定为负数， 故 D 错误 . 故选 C. 5. D 【解析】 ∵f ′ （ x ） =-棕sin 棕x+ 仔 6 ２ & 的最大值为 2 ， ∴棕=2. ∴ f （ x ） =cos 2x+ 仔 6 ２ & -2 ， x∈ - 仔 6 ， 仔 2 2 ) ， ∴2x+ 仔 6 ∈ - 仔 6 ， 7仔 6 2 6 ， ∴cos 2x+ 仔 6 ２ & ∈ ［ -1 ， 1 ］ ， 即 f （ x ） ∈ ［ -3 ， -1 ］， f （ x ）的最小值为 -3. 故选 D. 6. 2 【解析】 令 y=f （ x ）， 则曲线 y=e ax 在点 （ 0 ， 1 ） 处的切线的斜率为 f ′ （ 0 ）， 又切线与直线 x+2y+1=0 垂 直， ∴ f ′ （ 0 ） =2. ∵f ′ （ x ） =ae ax ， ∴ f ′ （ 0 ） =a=2. 7. y′=cos2x 【解析 】 方法一 ： y=sinxcosx= 1 2 sin2x ， ∴y′=cos2x. 方法二： y=sinxcosx ， 则 y′=cos 2 x-sin 2 x=cos2x. 8. 1 3 【解析】 依题意得 y′=-2e -2x ， 则 y′ x=0 =-2 ， 故 曲线 y=e -2x +1 在点 （ 0 ， 2 ） 处的切线方程是 y-2=-2x ， 即 y=-2x+2. 在平面直角坐标系中画出直线 y=-2x+2 与直 线 y=0 和 y=x ， 注意到直线 y=-2x+2 与 y=x 的交点坐标 是 2 3 ， 2 3 ２ & ， 直 线 y =-2x +2 与 x 轴 的 交 点 坐 标 是 （ 1 ， 0 ）， 则这三条直线所围成的三角形的面积为 1 2 ×1× 2 3 = 1 3 . 9. 解： （ 1 ） y′=-3sin3xsin2x+2cos2xcos3x. （ 2 ） y′=-sinx · sinx+ （ 1+cosx ） cosx=cosx+cos2x. （ 3 ） y′=3x 2 +12x+11. （ 4 ） y′= 25 5x+7 . （ 5 ） y′= 1 2x-3 姨 +3 1-x ln3. （ 6 ） y′=3cos3x- 1 2 sin x 2 - 仔 6 ２ & . 57 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 10. 解 ： ∵y′ = （e 2x ） ′ ·cos3x +e 2x （cos3x ） ′ =2e 2x ·cos3x - 3e 2x ·sin3x ， ∴y′ x=0 =2 ， ∴ 经过点 （ 0 ， 1 ） 的切线方程为 y-1=2 （ x-0 ）， 即 y=2x+1. 设符合题意的直线方程为 y= 2x+b ， 根据题意， 得 5 姨 = ｜b-1｜ 5 姨 ， 解得 b=6 或 b=-4. ∴ 符合题意的直线方程为 y=2x+6 或 y=2x-4. 提升练习 11. B 【解析】 ∵y=e -2x+1 cos （ -x 2 +x ）， ∴y′= （ e -2x+1 ） ′cos （ -x 2 +x ） +e -2x+1 ［ cos （ -x 2 +x ）］ ′ =-2e -2x+1 cos （ -x 2 +x ） -e -2x+1 sin （ -x 2 +x ）·（ -2x+1 ） =-e -2x+1 ［ 2cos （ -x 2 +x ） + （ -2x+1 ） sin （ -x 2 +x ）］ =-e -2x+1 ［ 2cos （ x 2 -x ） + （ 2x-1 ） sin （ x 2 -x ）］ . 故选 B. 12. （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） 【 解 析 】 f （ 1 ） =0 ， 由 xf ′ （ x ） -f （ x ） x 2 >0 ， 得函数 g （ x ） = f （ x ） x 在 （ 0 ， +∞ ） 上为增 函数； g （ -x ） = f （ -x ） -x = f （ x ） x =g （ x ）， ∴ 函数在 R 上为偶函 数； g （ x ） = f （ x ） x 在 （ -∞ ， 0 ） 上为减函数 ， 且 g （ 1 ） =0 ， g （ -1 ） =0 ， ∴g （ x ） = f （ x ） x >0 的解集为 （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） . 13. 40 14. ③④ 15. 解： （ 1 ） f ′ （ x ） =ln 2 （ x+1 ） +2ln （ x+1 ） -2x ， 设 h （ x ） =ln 2 （ x+1 ） +2ln （ x+1 ） -2x ， 则 h′ （ x ） = 2ln （ x+1 ） -2x x+1 ， ∵0< x≤1 ， 设 k （ x ） =ln （ x+1 ） -x ， 则 k′ （ x ） = 1 x+1 -1<0. ∴k （ x ） =ln （ x+1 ） -x ， 在 （ 0 ， 1 ］ 上单调递减， 则 k （ x ） <k （ 0 ） =0 ， 即 k （ x ） =ln （ x+1 ） -x<0 ， ∴ln （ x+1 ） <x ， 从而 h′ （ x ） = 2ln （ x+1 ） -2x x+1 <0 ， ∴h （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上单调递减， ∴ f ′ （ x ） 在 （ 0 ， 1 ］ 上单调递减， ∴ f ′ （ x ） <f ′ （ 0 ） =0 ， ∴ f （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上单调递减 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 f （ 1 ） ≤f （ x ） <f （ 0 ） =0 ， 即 f （ x ） = （ 1+ x ） ln 2 （ x+1 ） -x 2 <0 ， ∴g′ （ x ） = 1 ln （ x+1 ） - 1 x x % ′ = （ x+1 ） ln 2 （ x+1 ） -x 2 x 2 （ x+1 ） ln 2 （ x+1 ） <0. ∴g （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上单调递减， 则有 g （ 1 ） ≤g （ x ） <g （ 0 ）， ∴g （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上的最小值为 g （ 1 ） = 1 ln2 -1. （ 3 ） ∵坌n∈N * ， （ n+a ） ln 1+ 1 n n ) ≤1 ， ∴a≤ 1 ln 1+ 1 n n ) -n. 对 坌n∈N * 恒成立， 只需求右边 φ （ n ） = 1 ln 1+ 1 n n ) -n 的最小值 . ∵ 对 g （ x ） = 1 ln （x+1 ） - 1 x ， 取 x= 1 n ∈ （ 0 ， 1 ］ ， 得 φ （ n ） = 1 ln 1+ 1 n n ) -n ， 又由 （ 2 ） 可知， g （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上 的最小值为 1 ln2 -1 ， 故 φ （ n ） = 1 ln 1+ 1 n n ) -n 的最小值为 1 ln2 -1 ， ∴a 的取 值范围是 -∞ ， 1 ln2 - % 1 n . 阶段性练习卷 （四） 1. C 【解析】 方法一： f ′ （ x ）= （ 1- x 姨 ） ′ 1+ 1 x 姨 n ) + （ 1- x 姨 ） 1+ 1 x 姨 n ) ′ =- 1 2 x - 1 2 1+ 1 x 姨 n ) + （ 1- x 姨 ）· - 1 2 x - 3 2 n ) =- 1 2 x - 1 2 - 1 2 x -1 - 1 2 x - 3 2 + 1 2 x -1 =- 1 2 x - 1 2 - 1 2 x - 3 2 = - x+1 2x x 姨 . 方法二： f （ x ） = （ 1- x 姨 ） 1+ 1 x 姨 n ) =1- x 姨 + 1 x 姨 -1=- x 姨 + 1 x 姨 ， ∴ f ′ （ x ） = - x 姨 + 1 x 姨 n ) ′ =- 1 2 x - 1 2 - 1 2 x - 3 2 =- x+1 2x x 姨 . 故选 C. 2. B 【解析】 ∵f′ （ x ） =2x-2- 4 x = 2x 2 -2x-4 x = 2 （ x-2 ）（ x+1 ） x ， 令 f ′ （ x ） <0 ， 利用数轴标根法可得 （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 0 ， 2 ）， 又 ∵ 定义域为 （ 0 ， +∞ ）， ∴x∈ （ 0 ， 2 ） . 故选 B. 3. B 【解析】 f ′ （ x ） =4x 3 -6x 2 ， 则 f ′ （ 1 ） =-2 ， 且 f （ 1 ） = -1 ， 由点斜式可得函数 f （ x ） =x 4 -2x 3 在点 （ 1 ， f （ 1 ）） 的 切线方程为 y- （ -1 ） = （ -2 ）（ x-1 ）， 整理得 y=-2x+1. 故 选 B. 4. D 【解析】 切线的斜率 k=tan 3 4 π=-1 ， 设切点坐 58 第六章 导数及其应用 练 效 果 评 价 1. 函数 f （ x ） =1-x+x 2 ， 则函数 y=f （ x ）在 x=3 处的瞬时变化率为 （ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 8 2. 若双曲线 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ） 的一 条渐近线与函数 f （ x ） =ln （ x+1 ）的图象相切， 则该双曲线的离心率为 （ ） A. 2 姨 B. 3 姨 C. 2 D. 5 姨 3. 若 f （ x ） =2xf ′ （ 2 ） +x 2 ， 则 f ′ （ 1 ） = （ ） A. -4 B. -6 C. 2 D. 4 4. 函数 f （ x ） =x 3 -3x 2 +ax-1 的图象上仅存 在唯一一点 A ， 使得 f （ x ）的图象在点 A 处的 切线斜率为 1 ， 则 f ′ （ 1 ） = （ ） A. 1 B. -1 C. -7 D. -5 5. （多选题 ） 下列运算中正确的是 （ ） A. （ ax 2 +bx+c ） ′=2ax+b B. （ sinx-2x 2 ） ′=cosx-4x C. sinx x 2 2 # ′ = x 2 cosx+2xsinx （ x 2 ） 2 = xcosx+2sinx x 3 D. （ cosx · sinx ） ′=-sin 2 x+cos 2 x 6. 已知曲线 y=x 4 +ax 2 +1 在点 （ -1 ， a+2 ） 处切线的斜率为 8 ， 则 a= . 7. 已知函数 f （ x ） =sinx-cosx 且 f ′ （ x ） = 2f （ x ）， f ′ （ x ）是 f （ x ）的导函数， 则 1+sin 2 x cos 2 x-sin2x = . 8. 已知函数 f （ x ） = 1 2 x 2 -alnx. 若函数 f （ x ） 的图象在点 （ 1 ， f （ 1 ）） 处的切线不过第四 象限且不过原点， 则实数 a 的取值范围为 . 9. （ 1 ） 求曲线 y= 2x x 2 +1 在点 （ 1 ， 1 ） 处 的切线方程； （ 2 ） 运动曲线方程为 S= t-1 t 2 +2t 2 ， 求 t=3 时的速度 . 6.1.4 求导法则及其应用 第 1课时 导数的四则运算法则 35 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 练 10. 已知函数 f （ x ） =x 3 -ax 2 +b （ a ， b∈R ） 的图象过点 （ 1 ， 2 ）， 且 f ′ （ 2 ） =4． （ 1 ） 求 a ， b 的值； （ 2 ） 求曲线 y=f （ x ）在点 （ 1 ， f （ 1 ）） 处的 切线方程 ． 提 升 练 习 11. 若曲线 y=ln （ x+a ）的一条切线为 y= ex-b （ e 为自然对数的底数）， 其中 a ， b 为 正实数， 则 1 ea + 1 b 的取值范围是 （ ） A. ［ 2 ， e ） B. （ e ， 4 ］ C. ［ 2 ， +∞ ） D. ［ e ， +∞ ） 12. 已知二次函数 f （ x ） =ax 2 +bx+1 的导函 数为 f ′ （ x ）， f ′ （ 0 ） >0 ， f （ x ）与 x 轴恰有一个交 点， 则 f （ 1 ） f ′ （ 0 ） 的最小值为 （ ） A. 2 B. 3 2 C. 3 D. 5 2 13. 偶函数 f （ x ）在 （ -∞ ， +∞ ） 内可导， 且 lim x→0 f （ 1 ） -f （ 1-x ） 2x =-1 ， f （ x+2 ） =f （ x-2 ）， 则 y=f （ x ）在点 （ -5 ， f （ -5 ）） 处切线的斜率为 （ ） A. -2 B. 2 C. 1 D. -1 14. 曲线 y=x n+1 （ n∈N * ） 在点 （ 1 ， 1 ） 处 的切线方程为 ， 其与 x 轴的交点的 横坐标为 x n ， 则 x 1 · x 2 · x 3 ·…· x n = . 15. 点 P 为曲线 y=2x 2 +ln （ 4x+1 ） x>- 1 4 4 $ 图象上的一个动点， α 为曲线在点 P 处的切 线的倾斜角， 则当 α 取最小值时 x 的值为 . 36 第六章 导数及其应用 练 效 果 评 价 1. 函数 y= （ x 2 -1 ） n 的复合过程正确的是 （ ） A. y=μ n ， μ=x 2 -1 B. y= （ μ-1 ） n ， μ=x 2 C. y=μ n ， μ= （ x 2 -1 ） n D. y= （ μ-1 ） n ， μ=x 2 -1 2. 函数 f （ x ） = e 2x x 的导函数为 （ ） A. f ′ （ x ） =2e 2x B. f ′ （ x ） = （ 2x-1 ） e 2x x 2 C. f ′ （ x ） = 2e 2x x D. f ′ （ x ） = （ x-1 ） e 2x x 2 3. 函数 y=xln （ 2x+5 ）的导数为 （ ） A. ln （ 2x+5 ） - 2x 2x+5 B. ln （ 2x+5 ） + 2x 2x+5 C. 2xln （ 2x+5 ） D. x 2x+5 4. 函数 y=cos2x 在点 仔 4 ， ， " 0 处的切线 方程是 （ ） A. 4x+2y+仔=0 B. 4x-2y+仔=0 C. 4x-2y-仔=0 D. 4x+2y-仔=0 5. 设函数 f （ x ） =cos 棕x+ 仔 6 ， " -2 （ 棕>0 ） 的 导函数 f′ （ x ）的最大值为 2 ， 则 f （ x ）在 - 仔 ６ ， 仔 2 2 $ 上的最小值为 （ ） A． 3 姨 2 -2 B． - 5 2 C． - 3 姨 2 -2 D． -3 6. 设曲线 y=e ax 在点 （ 0 ， 1 ） 处的切线 与直线 x+2y+1=0 垂直， 则 a= . 7. 函数 y=sinxcosx 的导数为 . 8. 曲线 y=e -2x +1 在点 （ 0 ， 2 ） 处的切线 与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 . 9. 求下列函数的导数： （ 1 ） y=cos3x · sin2x ； （ 2 ） y= （ 1+cosx ）· sinx ； （ 3 ） y= （ x+1 ）（ x+2 ）（ x+3 ）； （ 4 ） y=ln （ 5x+7 ） 5 ； （ 5 ） f （ x ） = 2x-3 姨 -3 1-x ； （ 6 ） f （ x ） =sin3x+cos x 2 - 仔 6 ， " . 10. 已知曲线 y=e 2x · cos3x 在点 （ 0 ， 1 ） 处的切线与直线 l 的距离为 5 姨 ， 求直线 l 的方程 . 第 2课时 简单复合函数求导法则及其应用 37 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 练 提 升 练 习 11. 函数 y =e -2x +1 cos （ -x 2 +x ）的导数为 （ ） A. y′=e -2x+1 ［ 2sin （ x 2 -x ） + （ 2x-1 ） cos （ x 2 -x ）］ B. y′=-e -2x+1 ［ 2cos （ x 2 -x ） + （ 2x-1 ） sin （ x 2 -x ）］ C. y′=-e -2x+1 ［ 2sin （ x 2 -x ） + （ 2x-1 ） cos （ x 2 -x ）］ D. y′=e -2x+1 ［ 2cos （ x 2 -x ） + （ 2x-1 ） sin （ x 2 -x ）］ 12. 已知函数 f （ x ）是定义在 R 上的奇函 数， f （ 1 ） =0 ， xf ′ （ x ） -f （ x ） x 2 >0 （ x>0 ）， 则不等 式 f （ x ） >0 的解集是 . 13. 设 f （ x ） = （ 1+x ） 6 （ 1-x ） 5 ， 则函数 f ′ （ x ） 中 x 3 的系数是 . 14. 已知下列四个命题： ① 若函数 y=f （ x ）在 x 0 处的导数 f ′ （ x 0 ） =0 ， 则它在 x=x 0 处有极值； ② 若 f （ n ） = 1 n + 1 n+1 + 1 n+2 + … + 1 n 2 ， 则 f （ n+1 ）中共有 n 2 +2n 项； ③ 若 x ， y ， z∈R + ， a=x+ 1 y ， b=y+ 1 z ， c=z+ 1 x ， 则 a ， b ， c 中至少有一个不小于 2 ； ④ 若命题 “存在 x∈R ， 使得 ｜x-a ｜+｜x+ 1｜≤2 ” 是假命题， 则 ｜a+1｜>2. 以上四个命题正确的是 （填入 相应序号） . 15. 已知函数 f （ x ） = （ 1+x ） ln 2 （ x+1 ） -x 2 ， g （ x ） = 1 ln （ x+1 ） - 1 x . （ 1 ） 判定 f （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上的单调性； （ 2 ） 求 g （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上的最小值； （ 3 ） 若 坌n∈N * ， （ n+a ） ln 1+ 1 n n % ≤1 ， 求 实数 a 的取值范围 . 38