5.5 数学归纳法-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练习（人教B版）

高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 （ 2 ） ∵0.577×3=1.731<1.737 ， ∴ 该家庭应选择第一种 方案 . 5.5 数学归纳法 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 当 n=k 时， 左边共有 2k+1 个连 续自然数相加， 即 1+2+3+ … + （ 2k+1 ）， ∴ 当 n=k+1 时， 左边共有 2k+3 个连续自然数相加， 即 1+2+3+ … + （ 2k+ 1 ） + （ 2k+2 ） + （ 2k+3 ）， ∴ 左边需增添的代数式是 （ 2k+2 ） + （ 2k+3 ） . 故选 C. 变式训练 2 C 【解析】 当 n=k 时， 不等式左边为 1 k+1 + 1 k+2 + … + 1 2k ； 当 n=k+1 时， 不等式左边为 1 k+2 + 1 k+3 + … + 1 2k + 1 2k+1 + 1 2k+2 . 故选 C. 变式训练 3 D 【解析】 ∵a 1 =1 ， a 2 = 3 2 ， S 3 =1+ 3 2 +a 3 =6-a 3 ， ∴a 3 = 7 4 . 同理可得 a 4 = 15 8 . 观察 1 ， 3 2 ， 7 4 ， １５ 8 ， …， 猜想 a n ＝ ２ n -1 2 n-1 或a n =2- 1 2 n-1 1 " . 故选 D. 变式训练 4 A 【解析】 三棱柱有 0 个对角面， 四棱柱 有 2 个对角面 ［ 0+2=0+ （ 3-1 ）］； 五棱柱有 5 个对角面 ［ 2+3=2+ （ 4-1 ）］； 六棱柱有 9 个对角面 ［ 5+4=5+ （ 5-1 ）］； … . 猜想 ： 若 k 棱柱有 f （ k ）个对角面 ， 则 （ k+1 ） 棱柱有 f （ k ） +k-1 个对角面 . 故选 A. 变式训练 5 B 【解析】 5 k+1 -2 k+1 =5 k · 5-2 k · 2=5 （ 5 k -2 k ） +5× 2 k -2×2 k =5 （ 5 k -2 k ） +3×2 k . 故选 B. 随堂练习 1. D 【解析】 当 n=1 ， n=2 ， n=3 时， 显然不等式不 成立， 当 n=4 时， 64>61 不等式成立， 故用数学归纳法证明 n 3 >3n 2 +3n+1 这一不等式时 ， 应注意 n 必须为 n≥4 ， n∈N * . 故选 D. 2. B 【解析】 由题意得， 当 n=2 时， 不等式为 1+ 1 2 + 1 3 <2. 故选 B. 3. C 【解析】 当 n=k 时， 等式左端 =1+2+ … +k 2 ； 当 n=k+1 时， 等式左端 =1+2+ … +k 2 +k 2 +1+k 2 +2+ … + （ k+1 ） 2 ， 增加了项 （ k 2 +1 ） + （ k 2 +2 ） + （ k 2 +3 ） + … + （ k+1 ） 2 . 故 选 C. 4. S n = 2n n+1 【解析 】 S 1 =1 ， S 2 = 4 3 ， S 3 = 3 2 = 6 4 ， S 4 = 8 5 ， 猜想 S n = 2n n+1 . 5. 解： （ 1 ） ∵ f （ 1 ） =2 ， f （ n 1 +n 2 ） =f （ n 1 ）· f （ n 2 ）， ∴ f （ 2 ） =f （ 1+1 ） =f （ 1 ）· f （ 1 ） =2 2 =4 ， f （ 3 ） =f （ 2+1 ） =f （ 2 ）· f （ 1 ） =2 2 · 2=2 3 =8 ， f （ 4 ） =f （ 3+1 ） =f （ 3 ）· f （ 1 ） =2 3 · 2=2 4 =16. （ 2 ） 猜想： f （ n ） =2 n （ n∈N + ） . 用数学归纳法证明如下： ① 当 n=1 时， f （ 1 ） =2 1 =2 ， ∴ 猜想正确 . ② 假设当 n=k （ k≥1 ， k∈N + ） 时猜想正确， 即 f （ k ） =2 k ， 那么当 n=k+1 时， f （ k+1 ） =f （ k ）· f （ 1 ） =2 k · 2=2 k+1 ， ∴ 当 n=k+1 时， 猜想正确 . 由 ①② 知， 对任意的 n∈N + ， 都有 f （ n ） =2 n . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 边数最少的凸 n 边形为三角形， 故 n 0 = 3. 故选 C. 2. C 【解析】 当 n=1 时， 左边 =1+a+a 1+1 =1+a+a 2 . 故 选 C. 3. B 【解析】 第二步假设当 n=2k-1 （ k∈N * ） 时成 立， 再推出当 n=2 （ k+1 ） -1=2k+1 时成立 . 故选 B. 4. D 【解析】 由所证明的等式可知， 当 n=k+1 时 ， 右边 = 1 （ k+1 ） +1 + … + 1 2 （ k+1 ） -1 + 1 2 （ k+1 ） = 1 k+2 + … + 1 2k+1 + 1 2k+2 . 故选 D. 5. C 【解析】 观察所给式子， 所猜测的分式的分母 为 n+1 ， 而分子 3 ， 5 ， 7 ， …， 恰好是第 （ n+1 ） 个正奇 数， 即 2n+1. 故选 C. 6. D 【解析】 若 f （ 3 ） ≥9 成立， 由题意只可得出当 k≥3 时， 均有 f （ k ） ≥k 2 成立， 故 A 错误； 若 f （ 5 ） ≥25 成立， 则当 k≥5 时均有 f （ k ） ≥k 2 成立， 故 B 错误； C 应改为 “若 f （ 7 ） ≥49 成立， 则当 k≥7 时， 均有 f （ k ） ≥ k 2 成立”， 故 C 错误 . 故选 D. 7. D 【解析】 ∵ f （ n ） =1+ 1 2 + 1 3 + … + 1 3n-1 ， 46 参 考 答 案 ∴ f （ n+1 ） =1+ 1 2 + 1 3 + … + 1 3n-1 + 1 3n + 1 3n+1 + 1 3n+2 ， ∴ f （ n+1 ） -f （ n ） = 1 3n + 1 3n+1 + 1 3n+2 . 故选 D. 8. A 【解析】 令 n=1 ， 2 ， 3 ， 得 1=3 （ a-b ） +c ， 1+2×3=3 2 （ 2a-b ） +c ， 1+2×3+3×3 2 =3 3 （ 3a-b ） +c c # # # # " # # # # $ ， 即 3a-3b+c=1 ， 18a-9b+c=7 ， 81a-27b+c=34 c # # # # " # # # # $ . 解得 a= 1 2 ， b= 1 4 ， c= 1 4 . 故选 A. 9. B 【解析】 假设当 n=k （ k≥2 ， k∈N * ） 时命题成立 . 则当 n=k+1 时， ［ 3 （ k+1 ） +1 ］· 7 k+1 -1- ［（ 3k+1 ）· 7 k -1 ］ = （ 3k+4 ）· 7 k+1 - （ 3k+1 ）· 7 k = ［（ 3k+1 ） +3 ］· 7 k+1 - （ 3k+1 ）· 7 k = （ 3k+ 1 ）· 7 k+1 +3 · 7 k+1 - （ 3k+1 ）· 7 k =6 （ 3k+1 ）· 7 k +3 · 7 k+1 =6 ［（ 3k+1 ）· 7 k -1 ］ +3 · 7 k+1 +6. ∵ （ 3k+1 ）· 7 k -1 能被 9 整除， ∴ 还需证明 3 · 7 k+1 +6 也能被 9 整除 . 故选 B. 提升练习 10. ABD 【解析 】 当 n=1 时 ， 式子 =1+k ， 故 A 错 误； 当 n=1 时， 式子 =1 ， 故 B 错误； 当 n=1 时， 式子 = 1+ 1 2 + 1 ３ ， 故 C 正确； f （ k+1 ） =f （ k ） + 1 ３k+2 + 1 3k+3 + 1 3k+4 - 1 k+1 ， 故 D 错误 . 故选 ABD. 11. n+ （ n+1 ） + （ n+2 ） + … + （ 3n-2 ） = （ 2n-1 ） 2 【解析】 将原等式变形如下： 1=1=1 2 2+3+4=9=3 2 3+4+5+6+7=25=5 2 4+5+6+7+8+9+10=49=7 2 … 由图知， 第 n 个等式的左边有 2n-1 项， 第一个数 是 n ， 是 2n-1 个连续整数的和 ， 则最后一个数为 n+ （ 2n-1 ） -1=3n-2 ， 右边是左边项数 2n-1 的平方 ， 故有 n+ （ n+1 ） + （ n+2 ） + … + （ 3n-2 ） = （ 2n-1 ） 2 . 12. 解： （ 1 ） ∵a 1 = 1 6 ， 前 n 项和 S n = n （ n+1 ） 2 a n ， ∴ 令 n=2 ， 得 a 1 +a 2 =3a 2 ， ∴a 2 = 1 2 a 1 = 1 12 . 令 n=3 ， 得 a 1 +a 2 +a 3 =6a 3 ， ∴a 3 = 1 20 . 令 n=4 ， 得 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =10a 4 ， ∴a 4 = 1 30 . （ 2 ） 猜想 a n = 1 （ n+1 ）（ n+2 ） ， 下面用数学归纳法给出证明 . ① 当 n=1 时， 结论成立； ② 假设当 n=k （ k∈N * ， k≥1 ） 时 ， 结论成立， 即 a k = 1 （ k+1 ）（ k+2 ） ， 则当 n=k+1 时， S k = k （ k+1 ） 2 · a k = k 2 （ k+2 ） ， S k+1 = （ k+1 ）（ k+2 ） 2 · a k+1 ， 即 S k +a k+1 = （ k+1 ）（ k+2 ） 2 · a k+1 ， ∴ k 2 （ k+2 ） +a k+1 = （ k+1 ）（ k+2 ） 2 · a k+1 ， ∴ k （ k+3 ） 2 · a k+1 = k 2 （ k+2 ） ， ∴a k+1 = 1 （ k+2 ）（ k+3 ） ， ∴ 当 n=k+1 时结论成立 . 由 ①② 可知， 对一切 n∈N * 都有 a n = 1 （ n+1 ）（ n+2 ） 成立 . 6.1 导数 6.1.1 函数的平均变化率 学习手册 变式训练 1 （ 1 ） C （ ２ ） A 【解析】 （ 1 ） ∵y=2x 2 ， ∴Δy=2× （ 2+Δx ） 2 -2×2 2 =2 （ Δx ） 2 + 8Δx. 故选 C. （ 2 ） 函数 f （ x ） =x 在 ［ 0 ， 1 ］ 的平均变化率为 m 1 = 1-0 1-0 =1 ； 函数 g （ x ） =x 2 在 ［ 0 ， 1 ］ 的平均变化率为 m 2 = 1 2 -0 2 1-0 =1 ； 函数 h （ x ） =x 3 在 ［ 0 ， 1 ］ 的平均变化率为 m 3 = 1 3 -0 3 1-0 =1 ； ∴m 1 =m 2 =m 3 . 故选 A. 变式训练 2 B 【解析】 在 t 0 处， 虽然有 W 甲 （ t 0 ） =W 乙 （ t 0 ）， 但 W 甲 （ t 0 -Δt ） <W 乙 （ t 0 -Δt ）， ∴ 在相同时间 Δt 内， 甲厂比 乙厂的平均治污率小， ∴ 乙厂治污效果较好 . 故选 B. 变式训练 3 解： （ 1 ） 当 x 从 200 变到 220 时， 总成本 第六章 导数及其应用 47 第五章 数 列 练 效 果 评 价 1. 用数学归纳法证明 “凸 n 边形的内角 和等于 （ n-2 ） π ” 时， 证明第一步中 n 0 的取 值应为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 用数学归纳法证明 1+a+a 2 + … +a n+1 = 1-a n+2 1-a （ a≠1 ， n∈N 鄢 ）， 在验证 n=1 成立 时， 左边计算所得的项是 （ ） A. 1 B. 1+a C. 1+a+a 2 D. 1+a+a 2 +a 3 3. 用数学归纳法证明 “当 n 为正奇数 时， x n +y n 能被 x+y 整除” 时， 第二步归纳假 设应写成 （ ） A. 假设当 n=2k+1 （ k∈N 鄢 ） 时成立 ， 再推出当 n=2k+3 时成立 B. 假设当 n=2k-1 （ k∈N 鄢 ） 时成立， 再 推出当 n=2k+1 时成立 C. 假设当 n=k （ k∈N 鄢 ） 时成立， 再推 出当 n=k+1 时成立 D. 假设当 n=k （ k≥1 ） 时成立， 再推出 当 n=k+2 时成立 4. 用数学归纳法证明 “ 1- 1 2 + 1 3 - 1 4 + … + 1 2n-1 - 1 2n = 1 n+1 + 1 n+2 + … + 1 2n （ n∈N 鄢 ）”， 由 n=k （ k∈N 鄢 ） 的假设证明 n=k+1 时， 如 果从等式左边证明右边， 则必须证得右边为 （ ） A. 1 k+1 + … + 1 2k + 1 2k+1 B. 1 k+1 + … + 1 2k + 1 2k+1 + 1 2k+2 C. 1 k+2 + … + 1 2k + 1 2k+1 D. 1 k+2 + … + 1 2k+1 + 1 2k+2 5. 观察下列式子： 1+ 1 2 2 < 3 2 ， 1+ 1 2 2 + 1 3 2 < 5 3 ， 1+ 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 < 7 4 ， …， 则可归纳出 1+ 1 2 2 + 1 3 2 + … + 1 （ n+1 ） 2 小于 （ ） A. n n+1 B. 2n-1 n+1 C. 2n+1 n+1 D. 2n n+1 6. 设 f （ x ）是定义在正整数集上的函数， 且 f （ x ）满足： “当 f （ k ） ≥k 2 成立时， 总可推 出 f （ k+1 ） ≥ （ k+1 ） 2 成立”， 那么下列命题总 成立的是 （ ） A. 若 f （ 3 ） ≥9 成立， 则当 k≥1 时， 均 有 f （ k ） ≥k 2 成立 B. 若 f （ 5 ） ≥25 成立， 则当 k≥4 时， 均 有 f （ k ） ≥k 2 成立 C. 若 f （ 7 ） <49 成立， 则当 k≥8 时， 均 有 f （ k ） <k 2 成立 D. 若 f （ 4 ） =25 成立， 则当 k≥4 时， 均 有 f （ k ） ≥k 2 成立 7. 设 f （ n ） =1+ 1 2 + 1 3 + … + 1 3n-1 （ n∈N 鄢 ）， 则 f （ n+1 ） -f （ n ） = （ ） 5.5 数学归纳法 25 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 练 A. 1 3n+2 B. 1 3n + 1 3n+1 C. 1 3n+1 + 1 3n+2 D. 1 3n + 1 3n+1 + 1 3n+2 8. 已知 1+2×3+3×3 2 +4×3 3 + … +n×3 n-1 = 3 n （ na-b ） +c 对一切 n∈N 鄢 都成立， 那么 a ， b ， c 的值为 （ ） A. a= 1 2 ， b=c= 1 4 B. a=b=c= 1 4 C. a=0 ， b=c= 1 4 D. 不存在这样的 a ， b ， c 9. 用数学归纳法证明 “ （ 3n+1 ）· 7 n -1 （ n∈N 鄢 ） 能被 9 整除”， 在假设 n=k 时命题 成立之后， 需证明 n=k+1 时命题也成立， 这 时除了用归纳假设外， 还需证明的是余项 （ ） 能被 9 整除 A. 3×7 k +6 B. 3×7 k+1 +6 C. 3×7 k -3 D. 3×7 k+1 -3 提 升 练 习 10. （多选题） 下面四个判断中， 不正确 的有 （ ） A. 式子 1+k+k 2 + … +k n （ n∈N 鄢 ） 中， 当 n=1 时， 式子的值为 1 B. 式子 1+k+k 2 + … +k n-1 （ n∈N 鄢 ） 中 ， 当 n=1 时， 式子的值为 1+k C. 式子 1+ 1 2 + 1 3 + … + 1 2n+1 （ n∈N 鄢 ） 中， 当 n=1 时， 式子的值为 1+ 1 2 + 1 3 D. 设 f （ n ） = 1 n+1 + 1 n+2 + … + 1 3n+1 （ n∈ N 鄢 ）， 则 f （ k+1 ） =f （ k ） + 1 3k+2 + 1 3k+3 + 1 3k+4 11. 观察下列等式， 按此规律， 第 n 个 等式为 . 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 12. 已知数列 {a n } 满足 a 1 = 1 6 ， 前 n 项 和 S n = n （ n+1 ） 2 a n . （ 1 ） 求 a 2 ， a 3 ， a 4 的值； （ 2 ） 猜想 a n 的表达式， 并用数学归纳法 证明 . 26