6.1.4 求导法则及其应用-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

第六章 导数及其应用 学 学 习 目 标 1. 能利用给出的基本初等函数的导数公 式和导数的四则运算法则， 求简单函数的 导数 . 2. 会运用导数的四则运算法则， 求含有 和、 差、 积、 商综合运算的函数的导数 . 要 点 精 析 要点 1 函数和 （或差） 的求导法则 一般地， 如果 f （ x ）， g （ x ）都可导 ， 则 ［ f （ x ） ±g （ x ）］ ′=f ′ （ x ） ±g′ （ x ）， 即两个函数之和的导数等于这两个函数 的导数的和 . 若 h （ x ） =f （ x ） ±g （ x ）， 则有 Δh Δx = h （ x+Δx ） -h （ x ） Δx = f （ x+Δx ） ±g （ x+Δx ） - ［ f （ x ） ±g （ x ）］ Δx = ［ f （ x+Δx ） -f （ x ）］ ± ［ g （ x+Δx ） -g （ x ）］ Δx = Δf Δx ± Δg Δx . lim Δx→0 Δh Δx =lim Δx→0 Δf Δx ± Δg Δx x # =lim Δx→0 Δf Δx ±lim Δx→0 Δg Δx ， 即 h′ （ x ） =f ′ （ x ） ±g′ （ x ） . 上述法则可以推广到任意有限个函数 ［ f 1 （ x ） ±f 2 （ x ） ±f 3 （ x ） ± … ±f n （ x ）］ ′ =f 1 ′ （ x ） ±f 2 ′ （ x ） ± … ±f n ′ （ x ） . 思考 已知一个函数 h （ x ）的导函数为 h′ （ x ） =3x 2 +2x ， 求函数 h （ x ）的解析式 . 例 1 求函数 f （ x ） =x 3 +3x-8 在 x=2 处的 导数值 . 分析 先求出函数的导数， 再求出切 点处的纵坐标和导数值， 利用点斜式求出 切线方程 . 解： ∵f （ x ） =x 3 +3x-8 ， 则 f ′ （ x ） =3x 2 +3 ， 当 x=2 时， f ′ （ 2 ） =15. 变式训练 1 函数 f （ x ） =x-g （ x ）的图象在 x=2 点处的 切线方程是 y=-x-1 ， 则 g （ 2 ） +g′ （ 2 ） = （ ） A. 7 B. 4 C. 0 D. -4 要点 2 函数乘积的求导法则 一般地， 如果 f （ x ）， g （ x ）都可导 ， 则 ［ f （ x ）· g （ x ）］ ′=f ′ （ x ） g （ x ） +f （ x ） g′ （ x ）， 即两个 函数之积的导数， 等于第一个函数的导数乘 以第二个函数， 加上第一个函数乘以第二个 函数的导数 . 特别地， 当 g （ x ）是常值函数， 即 g （ x ） = C 时， 有［ Cf （ x ）］ ′=Cf ′ （ x ）， 即常数与函数之 积的导数， 等于常数与函数的导数之积 . 思考 证明［ f （ x ）· g （ x ）］ ′=f ′ （ x ）· g （ x ） +f （ x ） g′ （ x ） . 例 2 求函数 f （ x ） =x 3 sinx 的导数 . 解： f （ x ） =x 3 sinx ， 则 f ′ （ x ） = （ x 3 ） ′ · sinx+ x 3 （ sinx ） ′=3x 2 sinx+x 3 cosx. 6.1.4 求导法则及其应用 第 1课时 导数的四则运算法则 49 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 反思感悟 一般地， ［ u （ x ） v （ x ） w （ x ）］ ′=u′ （ x ）· v （ x ） w （ x ） +u （ x ） v′ （ x ） w （ x ） +u （ x ） v （ x ） w′ （ x ） . 变式训练 2 曲线 f （ x ） = （ x+1 ） cosx 在点 （ 0 ， f （ 0 ）） 处的切线方程是 . 要点 3 函数的商的求导法则 一般地， 如果 f （ x ）， g （ x ）都可导 ， 且 g （ x ） ≠0 时， 有 f （ x ） g （ x ） ） # ′ = f′ （ x ） g （ x ） -f （ x ） g′ （ x ） g 2 （ x ） . 思考 证明 h （ x ） = f （ x ） g （ x ） ， 则 h′ （ x ） = f ′ （ x ） g （ x ） -f （ x ） g′ （ x ） g 2 （ x ） . 例 3 求下列函数的导数 . （ 1 ） y= sinx x ； （ 2 ） y= x 2 lnx ； （ 3 ） y= 1 3x-1 . 解： （ 1 ） y′= sinx x x % ′ = （ sinx ） ′x-sinx （ x ） ′ x 2 = cosx · x-sinx · 1 x 2 = xcosx-sinx x 2 . （ 2 ） y′= x 2 lnx x % ′ = （ x 2 ） ′lnx-x 2 （ lnx ） ′ （ lnx ） 2 = 2x · lnx-x 2 · 1 x ln 2 x = x(2lnx-1 ） ln 2 x . （ 3 ） y′= 1 3x-1 x % ′ = 1′ （ 3x-1 ） -1 ·（ 3x-1 ） ′ （ 3x-1 ） 2 = -3 （ 3x-1 ） 2 . 特殊地， 当 f （ x ） ≡1 ， g （ x ） ≠0 ， f （ x ） g （ x ） ） ） ′ = 1 g （ x ） x % ′ =- g′ （ x ） g 2 （ x ） . 反思感悟 导数的计算技巧： （ 1 ） 求导之前， 应先利用代数、 三角 恒等式等变形对函数进行化简， 然后再求 导， 这样可以减少运算量， 提高运算速度， 减少差错； （ 2 ） 遇到函数的商的形式时， 如能化 简则化简， 这样可以避免使用商的求导法 则， 减少运算量 . 变式训练 3 函数 f （ x ） = lnx x ， 其导函数为函数 f ′ （ x ）， 则 f ′ （ e ） = . 数 学 文 化 例 设 f ′ （ x ）是函数 f （ x ）的导数， f ″ （ x ） 是函数 f ′ （ x ）的导数， 若方程 f ″ （ x ） =0 有实数 解 x 0 ， 则称点 （ x 0 ， f （ x 0 ）） 为函数 f （ x ）的拐 点 . 某同学经过探究发现 ： 任何一个三次 函数 f （ x ） =ax 3 +bx 2 +cx+d （ a≠0 ） 都有拐点， 任何一个三次函数都有对称中心， 且拐点就 是对称中心， 设函数 g （ x ） =x 3 -3x 2 +4x+2 ， 利 用上述探究结果计算： 50 第六章 导数及其应用 学 g 1 3 ! " +g 2 3 ! " +g （ 1 ） +g 4 3 ! " +g 5 3 ! " = . 分析 本题主要考查给定一个新定义 导数的运算 . 新定义题型的特点是通过给出 一个新概念， 或者约定一种新运算， 或给 出几个新模型来创设全新的问题情境， 要 求学生在阅读理解的基础上， 依据题目提 供的信息， 联系所学的知识与方法， 实现 信息的迁移， 达到灵活解题的目的 . 遇到新 定义问题， 应耐心读题， 分析新定义的特 点， 弄清新定义的性质， 按新定义的要求， “照章办事”， 逐条分析、 验证、 运算， 使 问题得以解决 . 解析： 由 g （ x ） =x 3 -3x 2 +4x+2 ， 得 g′ （ x ） = 3x 2 -6x+4 ， g″ （ x ） =6x-6 ， 令 g″ （ x ） =0 ， 解得 x=1 ， ∴ 函数 g （ x ）的对称中心是 （ 1 ， 4 ）， ∴g （ 2-x ） +g （ x ） =8 ， 故设 g 1 3 ! " +g 2 3 ! " +g （ 1 ） +g 4 3 ! " +g 5 3 ! " =m ， 则 g 5 3 ! " +g 4 3 ! " +g （ 1 ） +g 2 3 ! " +g 1 3 ! " = m ， 两式相加得 8×5=2m ， 解得 m=20. 故答 案为 20. 51 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 能求简单复合函数 ［限于形如 f （ ax+b ）］ 的导数 . 2. 解决与曲线的切线有关的问题 . 要 点 精 析 要点 1 复合函数的求导法则 1. 复合函数的定义： 对于两个函数 y= f （ μ ）， μ=φ （ x ）， 其中 y 为 μ 的函数， μ 为 x 的函数， 如果 φ （ x ）的值域为 f （ μ ）定义域的 子集， 那么通过变量 μ ， y 可以表示成关于 x 的函数， 记作： y=f ［ φ （ x ）］， 称为由函数 y= f （ μ ）和 μ=g （ x ） 两个函数复合而成的复合函 数 . 如函数 y=sin （ 2x-1 ） 就是由函数 y=sinμ ， μ=2x-1 复合而成的 . 注： 复合函数的外层函数以基本初等函 数为主要形式， 而内层函数是关于自变量 x 的基本初等函数或者关于自变量 x 的基本初 等函数经过有限次四则运算而成的函数 . 2. 复合函数的求导法则： 一般地， 设函数 μ=φ （ x ）在点 x 处有导 数 μ′ x =φ′ （ x ）， 函数 y=f （ μ ）在点 x 的对应点 μ 处有导数 y′ μ =f ′ μ ， 则复合函数 y=f ［ φ （ x ）］在 点 x 处也存在导数， 且 y′ x =y′ μ · μ′ x 或者可以 写成 f ′ ［ φ （ x ）］ =f′ （ μ ）· φ′ （ x ）， 即复合函数对 于自变量 x 的导数等于已知函数对于中间变 量 μ 的导数乘以中间变量 μ 对于自变量 x 的 导数 . 3. 复合函数求导步骤： 思考 已知 h （ x ） =sin2x ， f （ u ） =sinu ， g （ x ） =2x ， 则 h′ （ x ）， f ′ （ u ）， g′ （ x ）分别是什 么？ 它们有什么关系呢？ 例 1 指出下列函数是怎样复合而成的 . （ 1 ） y= （ 3+5x ） 2 ； （ 2 ） y=log 3 （ x 2 -2x+5 ）； （ 3 ） y=cos3x. 解： （ 1 ） y= （ 3+5x ） 2 是由函数 y=u 2 ， u= 3+5x 复合而成的 . （ 2 ） y=log 3 （ x 2 -2x+5 ） 是由函数 y=log 3 u ， u=x 2 -2x+5 复合而成的 . （ 3 ） y=cos3x 是由函数 y=cosu ， u=3x 复 合而成的 . 例 2 求下列函数的导数 . （ 1 ） y= （ 2x+3 ） 2 ； （ 2 ） y= （ 1-3x ） 3 ； （ 3 ） y=e 2x ； （ 4 ） y=ln 1 x . 解： （ 1 ） ∵y= （ 2x+3 ） 2 =4x 2 +12x+9 ， ∴y′= 8x+12. （ 2 ） y′=3 （ 1-3x ） 2 （ 1-3x ） ′=-9 （ 1-3x ） 2 . （ 3 ） ∵y=e 2x = （ e 2 ） x ， ∴y′= （ e 2 ） x lne 2 =2e 2x . （ 4 ） ∵y=ln 1 x =-lnx ， ∴y′=- 1 x . 第 2课时 简单复合函数求导法则及其应用 分层 选择中间变量， 写出构成它的内、 外函数 分别求导 分别求各层函数对应变量的导数 相乘 把上述求导的结果相乘 变量回代 把中间变量回代 52 第六章 导数及其应用 学 变式训练 1 求下列函数的导数 . （ 1 ） y=10 2x+3 ； （ 2 ） y=sin 4 x+cos 4 x. 要点 2 导数运算法则综合应用 思考 我们知道， 圆的周长 l 是圆半 径 r 的函数， 即 l=2πr ， 那么如何利用所学 过的导数知识， 由圆的周长计算公式得到 圆面积计算公式呢？ 例 3 曲线 y=ln （ 2x-1 ）上的点到直线 2x- y+3=0 的最短距离为 （ ） A. 5 姨 B. 2 5 姨 C. 3 5 姨 D. 0 分析 曲线上的点到直线最短距离应 为在曲线上的某点的切线与已知直线平行， 因此先根据斜率求出切点坐标， 再求出切 点到直线的距离 . 解析： 设曲线 y=ln （ 2x-1 ）在点 （ x 0 ， y 0 ） 处的切线与直线 2x -y +3 =0 平 行 ， ∵y′ = 2 2x-1 ， ∴y′ x=x 0 = 2 2x 0 -1 =2 ， 解得 x 0 =1 ， ∴y 0 = ln1=0 ， ∴ 切点坐标为 （ 1 ， 0 ） . ∴ 切点到 直线的距离为 d= ｜5｜ 5 姨 = 5 姨 ， 即曲线 y= ln （ 2x-1 ）上的点到直线 2x-y+3=0 最短距离 为 5 姨 . 故选 A. 变式训练 2 若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线， 也是曲线 y=ln （ x+2 ）的切线， 则 b 的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. 0 或 -1 数 学 文 化 例 给出定义： 若函数 f （ x ）在 D 上可 导， 即 f ′ （ x ）存在， 且导数 f ′ （ x ）在 D 上也可 导 ， 则称 f （ x ）在 D 上存在二阶导数 ， 记 f″ （ x ） = （ f ′ （ x ）） ′ ， 若 f″ （ x ） <0 在 D 上恒成立， 则称 f （ x ）在 D 上为凸函数， 则以下四个函数 在 0 ， π 2 2 # 上不是凸函数的是 （ ） A. f （ x ） =sinx+cosx B. f （ x ） =lnx-2x C. f （ x ） =-x 3 +2x-1 D. f （ x ） =-xe -x 分析 对于定义型导数问题是理解新 定义， 然后将新定义的语言翻译成数学语 言， 从而运用导数知识进行解决， 对于导 数准备求导即可 . 53 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 解析 ： f ′ （ x ） =cosx-sinx ， f ″ （ x ） =-sinx- cosx ， 则 x∈ 0 ， π 2 " # ， ∴ f″ （ x ） <0 ， ∴ f （ x ） =sinx+ cosx 在 0 ， π 2 " 2 上是凸函数 ， 故 A 不符合 题意； f ′ （ x ） = 1 x -2 ， f ″ （ x ） =- 1 x 2 <0 ， ∴f （ x ） =lnx- 2x 在 0 ， π 2 2 2 上是凸函数， 故 B 不符合题意； f ′ （ x ） =-3x 2 +2 ， f ″ （ x ） =-6x<0 ， ∴ f （ x ） =-x 3 + 2x-1 在 0 ， π 2 " 2 上是凸函数 ， 故 C 不符合 题意； f ′ （ x ） =-e -x +xe -x = （ x-1 ） e -x ， f ″ （ x ） = （ 2-x ） e -x ， 当 x∈ 0 ， π 2 " 2 时， 2-x>0 ， e -x >0 ， ∴f ″ （ x ） >0 恒成立， 与定义不符， 故 D 符合题意 . 故选 D. 54 参 考 答 案 -2 （ x+1 ）， 即 2x+y=0. 14. （ 1 ） 解： f ′ （ x ） =1+2ax+ b x . 由已知条件得 f （ 1 ） =0 ， f′ （ 1 ） =2 2 ， 即 1+a=0 ， 1+2a+b=2 2 ， 解得 a=-1 ， b=3. （ 2 ） 证明： f （ x ）的定义域为 （ 0 ， +∞ ）， 由 （ 1 ） 知 f （ x ） =x-x 2 +3lnx. 设 g （ x ） =f （ x ） - （ 2x-2 ） =2-x-x 2 +3lnx ， 则 g′ （ x ） =-1-2x+ 3 x =- （ x-1 ）（ 2x+3 ） x . 当 0<x<1 时， g′ （ x ） >0 ； 当 x>1 时， g′ （ x ） <0. ∴g （ x ）在 （ 0 ， 1 ） 单调增加， 在 （ 1 ， +∞ ） 单调减少 . 而 g （ 1 ） =0 ， 故当 x>0 时， g （ x ） ≤0 ， 即 f （ x ） ≤2x-2. 15. 解： （ 1 ） 设 P k-1 （ x k-1 ， 0 ）， 由 y′=e x 得， Q k-1 （ x k-1 ， e x k-1 ） 点处切线方程为 y-e x k-1 =e x k-1 （ x-x k-1 ）， 由 y=0 得， x k = x k-1 -1 （ 2≤k≤n ） . （ 2 ） x 1 =0 ， x k -x k-1 =-1 ， 得 x k =- （ k-1 ）， ∴ ｜P k Q k ｜=e x k = e - （ k-1 ） ， 于是 S n =｜P 1 Q 1 ｜+｜P 2 Q 2 ｜+｜P 3 Q 3 ｜+ … +｜P n Q n ｜=1+e -1 +e -2 + … + e - （ n-1 ） = 1-e -n 1-e -1 = e-e 1-n e-1 . 6.1.4 求导法则及其应用 第 1 课时 导数的四则运算法则 学习手册 变式训练 1 A 【解析 】 f （ x ） =x-g （ x ）， 可得 f ′ （ x ） =1- g′ （ x ）， f （ 2 ） =2-g （ 2 ） =-3 ， f ′ （ 2 ） =1-g′ （ 2 ） =-1 ， ∴g （ 2 ） + g′ （ 2 ） =7. 故选 A. 变式训练 2 y=x+1 【解析】 ∵f ′ （ x ） = （ x+1 ） ′cosx+ （ x+1 ）· sinx′=cosx- （ x+1 ） sinx ， ∴ f ′ （ 0 ） =1. 又 f （ 0 ） =1 ， ∴ f （ x ）在 （ 0 ， f （ 0 ）） 的切线方程为 y-1=x ， 即 y=x+1. 变式训练 3 0 【解析 】 ∵f （ x ） = lnx x （ x≠0 ）， ∴ f ′ （ x ） = （ lnx ） ′x-x′lnx x 2 = 1 x ·x-lnx x 2 = 1-lnx x 2 ， ∴ f ′ （ e ） = 1-lne e 2 =0. 随堂练习 1. B 【解析】 ∵f （ x ） =x+ 1 x ， ∴ f ′ （ x ） =1- 1 x 2 ， ∴ f ′ （ 2 ） = 1- 1 2 2 = 3 4 ， ∴ 函数 f （ x ） =x+ 1 x 在 x=2 处的切线斜率为 3 4 . 故选 B. 2. B 【解析】 由题意知， f ′ （ x ） =acosx. ∵f ′ 仔 3 3 % =1 ， ∴acos 仔 3 =1 ， 解得 a=2. 故选 B. 3. C 【解析】 展开函数解析式， 得 f （ x ） =x 3 -3a 2 x+2a 2 ， 求导得 f ′ （ x ） =3x 2 -3a 2 =3 （ x 2 -a 2 ） . 故选 C. 4. A 【解析】 y′=2ax ， 于是切线的斜率 k=2a 2 ， ∵ 切 线与直线 2x-y-1=0 平行 ， ∴2a 2 =2 ， 解得 a=±1. 当 a=1 时， y=x 2 的切点为 （ 1 ， 1 ）， 切线的斜率为 2 ， 即切线方 程为 2x-y-1=0 与直线 2x-y-1=0 重合， 故 a=-1. 故选 A. 5. 18 【解析 】 ∵f ′ （ x ） =4x 3 +2ax-b ， ∴ f ′ （ 0 ） =-13 ， f ′ （ -1 ） =-27 7 ， 即 -b=-13 ， -4-2a-b=-27 7 ， 解得 a=5 ， b=13 7 ， ∴a+b=18. 6. 解 ： （ 1 ） f ′ （ x ） = （ 1+sinx ） ′ （ 1-4x ） + （ 1+sinx ）（ 1- 4x ） ′=cosx （ 1-4x ） -4 （ 1+sinx ） =cosx-4xcosx-4-4sinx. （ 2 ） f′ （ x ） = x x+1 3 % ′ - （ 2 x ） ′= 1- 1 x+1 3 % ′ -2 x ln2= 1 （x+1 ） 2 -2 x ln2. 练习手册 效果评价 1 . C 【解析 】 由 f （ x ）=1-x+x 2 可得 f ′ （ x ） =2x-1 ， ∴ f ′ （ 3 ） =2×3-1=5 ， 即函数 y=f （ x ）在 x=3 处的瞬时变化率 为 5. 故选 C. 2. A 【解析】 由题可知， 切点为原点 . 又 f （ x ） =ln （ x+ 1 ）的导函数 f ′ （ x ） = 1 x+1 ， 故 f ′ （ 0 ） = 1 0+1 =1. 故 b a =1圯 c 2 -a 2 a 2 =1圯 c 2 a 2 =2圯e= 2 姨 . 故选 A. 3. B 【解析】 由题意得， f ′ （ x ） =2f ′ （ 2 ） +2x ， ∴ f ′ （ 2 ） =2f ′ （ 2 ） +4 ， 解得 f ′ （ 2 ） =-4 ， ∴ f ′ （ x ） =-8+2x ， ∴ f ′ （ 1 ） = -8+2=-6. 故选 B. 4. A 【解析】 ∵f （ x ）=x 3 -3x 2 +ax-1 ， ∴ f ′ （ x ） =3x 2 -6x+a． 由题意得， 3x 2 -6x+a-1=0 有唯一实根， ∴Δ=36-12 （ a-1 ） = 0 ， 解得 a=4 ， ∴ f ′ （ x ） =3x 2 -6x+4 ， ∴ f ′ （ 1 ） =3-6+4=1． 故 选 A． 5. ABD 【解析 】 根据求导法则 ， C 选项 sinx x 2 3 % ′= x 2 cosx-2xsinx （ x 2 ） 2 = xcosx-2sinx x 3 . 故选 ABD. 6. -6 【解析 】 y′=4x 3 +2ax ， ∵ 曲线在点 （ -1 ， a+2 ） 处切线的斜率为 8 ， ∴y′ x=-1 =-4-2a=8 ， 解得 a=-6. 7. - 19 5 【解析 】 ∵f （ x ）=sinx-cosx ， ∴ f ′ （ x ） =cosx+ sinx ， f ′ （ x ） =2f （ x ）， ∴cosx+sinx=2 （ sinx-cosx ）， ∴tanx=3 ， 55 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 ∴ 1+sin 2 x cos 2 x-sin2x = 1+sin 2 x cos 2 x-2sinxcosx = cos 2 x+2sin 2 x cos 2 x-2sinxcosx = 1+2tan 2 x 1-2tanx =- 19 5 . 8. 1 2 ， ! 1 1 【解析】 由 f ′ （ x ） =x- a x ， 得 f ′ （ 1 ） =1-a. ∵f （ 1 ） = 1 2 ， ∴ 函数 f （ x ）的图象在点 （ 1 ， f （ 1 ）） 处的切线 方程为 y- 1 2 = （ 1-a ）（ x-1 ）， 即 y= （ 1-a ） x+a- 1 2 . 由题意 得， 1-a≥0 且 a- 1 2 >0 ， 解得 a 的取值范围为 1 2 ， ! 1 1 . 9. 解： （ 1 ） ∵y = 2x x 2 + 1 ， ∴y ′ = 2 （ x 2 + 1 ） -2x · 2x （ x 2 + 1 ） 2 = 2-2x 2 （x 2 +1 ） 2 ， ∴ f ′ （ 1 ） = 2-2 4 =0 ， 即曲线在 （ 1 ， 1 ） 处的切线 斜率为 0 ， 切线方程为 y=1. （ 2 ） ∵S′= t 2 -2t （ t-1 ） （t 2 ） 2 +4t=- 1 t 2 + 2 t 3 +4t. ∴S′｜ t=3 =- 1 9 + 2 27 +12=11 26 27 . 10. 解： （ 1 ） ∵ 函数 f （ x ） =x 3 -ax 2 +b 的图象过点 （ 1 ， 2 ）， ∴1-a+b=2 ①． 又 f ′ （ x ） =3x 2 -2ax ， f ′ （ 2 ） =4 ， ∴ f ′ （ 2 ） =3×2 2 -2×2a= 12-4a=4 ② ， 由 ①② 解得， a=2 ， b=3． （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 f （ x ） =x 3 -2x 2 +3 ， 又 ∵f （ 1 ） =2 ， f ′ （ 1 ） = 3-4=-1 ， ∴ 曲线 y=f （ x ）在 （ １ ， f （ 1 ）） 处的切线方程为 y-2=- （ x-1 ）， 即 x+y-3=0． 提升练习 11. C 【解析 】 ∵y=ln （ x+a ）， ∴y′= 1 x+a ， 设切点为 （ x 0 ， y 0 ） ， 则 ln （ x 0 +a ） =ex 0 -b ， 1 x 0 +a =e e & & & % & & & ' ， ∴ea +b =2 ， ∴ 1 ea + 1 b = 1 2 1 ea + 1 b 1 b （ ea+b ） = 1 2 2+ b ea + ea b 1 b . ∵a ， b ， e>0 ， ∴ 原 式 ≥ 1 2 2+2 b ea · ea b 姨 1 b =2 ， 当且仅当 b ea = ea b ， 即 a= 1 e ， b=1 时等号成立， 即 1 ea + 1 b ≥2. 故选 C. 12. A 【解析】 ∵f （ x ） =ax 2 +bx+1 ， ∴ f ′ （ x ） =2ax+b. 则 f ′ （ 0 ） =b. ∵f ′ （ 0 ） >0 ， ∴b>0. 又已知 f （ x ）与 x 轴恰有一个 交点， Δ=b 2 -4a=0 ， a= b 2 4 . ∴ f （ 1 ） =a+b+1= b 2 4 +b+1. ∴ f （ 1 ） f ′ （ 0 ） = b 2 4 +b+1 b = b 4 + 1 b +1≥2 b 4 · 1 b 姨 +1=2 ， 当且仅当 b 4 = 1 b ， 即 b=2 取等号 . ∴ f （ 1 ） f ′ （ 0 ） 的最小值为 2. 故选 A. 13. B 【解析 】 由 f （ x ）在 （ -∞ ， +∞ ） 内可导 ， 对 f （ x+2 ） =f （ x-2 ）两边求导得 f ′ （ x+2 ）（ x+2 ） ′=f ′ （ x-2 ）（ x-2 ） ′ ， 即 f ′ （ x+2 ） =f ′ （ x-2 ）， 由 f （ x ）为偶函数， 得到 f （ -x ） =f （ x ）， 由 f ′ （ -x ）（ -x ） ′=f ′ （ x ）， 即 f ′ （ -x ） =-f ′ （ x ） . 则 f ′ （ x+2+2 ） = f ′ （ x+2-2 ）， 即 f ′ （ x+4 ） =f ′ （ x ）， f ′ （ -5 ） =f ′ （ -1 ） =-f ′ （ 1 ） =2 ， ∴ 切线斜率为 2. 14. y = （ n +1 ） x -n 1 n+1 【 解 析 】 ∵y′ = （ n +1 ） x n ， ∴y′ x=1 =n+1. ∴ 曲线 y=x n+1 （ n∈N * ） 在点 （ 1 ， 1 ） 处的切 线方程为 y-1= （ n+1 ）（ x-1 ）， 即 y= （ n+1 ） x-n. 令 y=0 得 x= n n+1 ， ∴x n = n n+1 ， ∴x 1 · x 2 ·…· x n = 1 2 × 2 3 × 3 4 × … × n n+1 = 1 n+1 . 15. 1 4 【解析】 设切点 P （ x 0 ， y 0 ）， x 0 >- 1 4 1 b · y′=4x+ 4 4x+1 . ∵x 0 >- 1 4 ， ∴4x 0 +1>0 ， 则 tanα=4x 0 + 4 4x 0 +1 =4x 0 +1+ 4 4x 0 +1 -1≥2 （4x 0 +1 ）· 4 4x 0 +1 姨 -1=4-1=3. 当且仅当 4x 0 + 1= 4 4x 0 +1 ， 即 x 0 = 1 4 时， 等号成立 . 即 x 0 = 1 4 时， tanα 最 小， α 取最小值 . 第 2 课时 简单复合函数求导法则及其应用 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 令 u=2x+3 ， 则 y=10 u ， ∴y′ x =y′ u · u′ x = 10 u · ln10 ·（ 2x+3 ） ′=2ln10 · 10 2x+3 . （ 2 ） y=sin 4 x+cos 4 x = （ sin 2 x+cos 2 x ） 2 -2sin 2 x · cos 2 x =1- 1 2 sin 2 2x=1- 1 4 （ 1-cos4x ） = 3 4 + 1 4 cos4x. ∴y′= 3 4 + 1 4 cos4x 1 b ′ =-sin4x. 变式训练 2 B 【解析】 设 y=kx+b 是 y=lnx+2 在点 （ a ， lna+2 ） 的切线， 则 k= 1 a ， lna+2=ka+b e & & & % & & & ' ， 同理， 设 y=kx+b 是 y= 56 参 考 答 案 ln （ x+2 ）在点 （ c ， ln （ c+2 ）） 的切线， 则 k= 1 c+2 ， ln （ c+2 ） =kc+b ! # # # " # # # $ ， 由方程组得 c+2=a ， 代入解得 k=1 ， b=1 ， a=1 ， c=-1 ! # # # # # # " # # # # # # $ . 故选 B. 随堂练习 1. A 【解析】 根据题意， f （ x ） =sin2x+e 2x ， 根据复合 函数求导法则得到 y′=2cos2x+2e 2x . 故选 A. 2. A 【解析 】 f ′ （ x ） = 2 2x+1 -a ， ∴ f ′ （ 2 ） =-1= 2 5 -a ， 解得 a= 7 5 . 故选 A. 3. 3 2 【解析】 ∵f ′ （ x ） = 3 3x-1 ， ∴ f ′ （ 1 ） = 3 2 . 4. -2e 【解析】 由 y=e -2x+1 求导得 y′=-2e -2x+1 ， 代入 x=0 ， 得 y′=-2e 1 =-2e. 5. 解： y=xln2x ， 则 y′=ln2x+1 ， 则 k=y′ x= e ２ =ln 2× e ２ ２ & +1=2 ， 则曲线 y=xln2x 在点 e ２ ， e ２ ２ & 处的切线方程为 y- e ２ =2 x- e ２ ２ & ， 即 y=2x- e ２ . 6. 证明： y′=2cos 2x+ 仔 ２ ２ & ， 切线斜率 k=2cos 2× 仔 4 + 仔 ２ ２ & =2cos仔=-2 ， 切线方程 y-0=-2 x- 仔 4 ２ & ， 即 4x+2y-仔=0. 练习手册 效果评价 1. A 2. B 【解析】 f ′ （ x ） = （ e 2x ） ′x-e 2x ·（ x ） ′ x 2 = 2e 2x · x-e 2x x 2 = e 2x （ 2x-1 ） x 2 . 故选 B. 3. B 【解析】 y′= （ x ） ′ln （ 2x+5 ） +x ·［ ln （ 2x+5 ）］ ′=ln （ 2x+ 5 ） + 2x 2x+5 . 故选 B. 4. C 【解析 】 如函数为 f （ x ） = 1 2 x 2 - 1 x ， x<0 ， 1 2 x 2 -lnx ， x>0 ! # # # # " # # # # $ ， 则 f ′ （ x ） = x+ 1 x 2 ， x<0 ， x- 1 x ， x>0 ! # # # # " # # # # $ ， 符合题意， 但 f （ x ）不是偶函数， 故 A 错误； 由 f ′ （ x ） 的图象， 得 f （ x ）在 （ -∞ ， -1 ） 上递减， 在 （ -1 ， 0 ） 上递增； 在 （ 0 ， 1 ） 上递减， 在 （ 1 ， +∞ ） 上递增， 故 B 错误； 由 f ′ （ -1 ） =f ′ （ 1 ） =0 ， ∴ f （ x ）存在极 小值 f （ -1 ）和 f （ 1 ）， 无论 f （ 0 ）是否存在， 均可得出 f （ x ） 一定有最小值， 故 C 正确； 最小值不一定为负数， 故 D 错误 . 故选 C. 5. D 【解析】 ∵f ′ （ x ） =-棕sin 棕x+ 仔 6 ２ & 的最大值为 2 ， ∴棕=2. ∴ f （ x ） =cos 2x+ 仔 6 ２ & -2 ， x∈ - 仔 6 ， 仔 2 2 ) ， ∴2x+ 仔 6 ∈ - 仔 6 ， 7仔 6 2 6 ， ∴cos 2x+ 仔 6 ２ & ∈ ［ -1 ， 1 ］ ， 即 f （ x ） ∈ ［ -3 ， -1 ］， f （ x ）的最小值为 -3. 故选 D. 6. 2 【解析】 令 y=f （ x ）， 则曲线 y=e ax 在点 （ 0 ， 1 ） 处的切线的斜率为 f ′ （ 0 ）， 又切线与直线 x+2y+1=0 垂 直， ∴ f ′ （ 0 ） =2. ∵f ′ （ x ） =ae ax ， ∴ f ′ （ 0 ） =a=2. 7. y′=cos2x 【解析 】 方法一 ： y=sinxcosx= 1 2 sin2x ， ∴y′=cos2x. 方法二： y=sinxcosx ， 则 y′=cos 2 x-sin 2 x=cos2x. 8. 1 3 【解析】 依题意得 y′=-2e -2x ， 则 y′ x=0 =-2 ， 故 曲线 y=e -2x +1 在点 （ 0 ， 2 ） 处的切线方程是 y-2=-2x ， 即 y=-2x+2. 在平面直角坐标系中画出直线 y=-2x+2 与直 线 y=0 和 y=x ， 注意到直线 y=-2x+2 与 y=x 的交点坐标 是 2 3 ， 2 3 ２ & ， 直 线 y =-2x +2 与 x 轴 的 交 点 坐 标 是 （ 1 ， 0 ）， 则这三条直线所围成的三角形的面积为 1 2 ×1× 2 3 = 1 3 . 9. 解： （ 1 ） y′=-3sin3xsin2x+2cos2xcos3x. （ 2 ） y′=-sinx · sinx+ （ 1+cosx ） cosx=cosx+cos2x. （ 3 ） y′=3x 2 +12x+11. （ 4 ） y′= 25 5x+7 . （ 5 ） y′= 1 2x-3 姨 +3 1-x ln3. （ 6 ） y′=3cos3x- 1 2 sin x 2 - 仔 6 ２ & . 57 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 10. 解 ： ∵y′ = （e 2x ） ′ ·cos3x +e 2x （cos3x ） ′ =2e 2x ·cos3x - 3e 2x ·sin3x ， ∴y′ x=0 =2 ， ∴ 经过点 （ 0 ， 1 ） 的切线方程为 y-1=2 （ x-0 ）， 即 y=2x+1. 设符合题意的直线方程为 y= 2x+b ， 根据题意， 得 5 姨 = ｜b-1｜ 5 姨 ， 解得 b=6 或 b=-4. ∴ 符合题意的直线方程为 y=2x+6 或 y=2x-4. 提升练习 11. B 【解析】 ∵y=e -2x+1 cos （ -x 2 +x ）， ∴y′= （ e -2x+1 ） ′cos （ -x 2 +x ） +e -2x+1 ［ cos （ -x 2 +x ）］ ′ =-2e -2x+1 cos （ -x 2 +x ） -e -2x+1 sin （ -x 2 +x ）·（ -2x+1 ） =-e -2x+1 ［ 2cos （ -x 2 +x ） + （ -2x+1 ） sin （ -x 2 +x ）］ =-e -2x+1 ［ 2cos （ x 2 -x ） + （ 2x-1 ） sin （ x 2 -x ）］ . 故选 B. 12. （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） 【 解 析 】 f （ 1 ） =0 ， 由 xf ′ （ x ） -f （ x ） x 2 >0 ， 得函数 g （ x ） = f （ x ） x 在 （ 0 ， +∞ ） 上为增 函数； g （ -x ） = f （ -x ） -x = f （ x ） x =g （ x ）， ∴ 函数在 R 上为偶函 数； g （ x ） = f （ x ） x 在 （ -∞ ， 0 ） 上为减函数 ， 且 g （ 1 ） =0 ， g （ -1 ） =0 ， ∴g （ x ） = f （ x ） x >0 的解集为 （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） . 13. 40 14. ③④ 15. 解： （ 1 ） f ′ （ x ） =ln 2 （ x+1 ） +2ln （ x+1 ） -2x ， 设 h （ x ） =ln 2 （ x+1 ） +2ln （ x+1 ） -2x ， 则 h′ （ x ） = 2ln （ x+1 ） -2x x+1 ， ∵0< x≤1 ， 设 k （ x ） =ln （ x+1 ） -x ， 则 k′ （ x ） = 1 x+1 -1<0. ∴k （ x ） =ln （ x+1 ） -x ， 在 （ 0 ， 1 ］ 上单调递减， 则 k （ x ） <k （ 0 ） =0 ， 即 k （ x ） =ln （ x+1 ） -x<0 ， ∴ln （ x+1 ） <x ， 从而 h′ （ x ） = 2ln （ x+1 ） -2x x+1 <0 ， ∴h （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上单调递减， ∴ f ′ （ x ） 在 （ 0 ， 1 ］ 上单调递减， ∴ f ′ （ x ） <f ′ （ 0 ） =0 ， ∴ f （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上单调递减 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 f （ 1 ） ≤f （ x ） <f （ 0 ） =0 ， 即 f （ x ） = （ 1+ x ） ln 2 （ x+1 ） -x 2 <0 ， ∴g′ （ x ） = 1 ln （ x+1 ） - 1 x x % ′ = （ x+1 ） ln 2 （ x+1 ） -x 2 x 2 （ x+1 ） ln 2 （ x+1 ） <0. ∴g （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上单调递减， 则有 g （ 1 ） ≤g （ x ） <g （ 0 ）， ∴g （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上的最小值为 g （ 1 ） = 1 ln2 -1. （ 3 ） ∵坌n∈N * ， （ n+a ） ln 1+ 1 n n ) ≤1 ， ∴a≤ 1 ln 1+ 1 n n ) -n. 对 坌n∈N * 恒成立， 只需求右边 φ （ n ） = 1 ln 1+ 1 n n ) -n 的最小值 . ∵ 对 g （ x ） = 1 ln （x+1 ） - 1 x ， 取 x= 1 n ∈ （ 0 ， 1 ］ ， 得 φ （ n ） = 1 ln 1+ 1 n n ) -n ， 又由 （ 2 ） 可知， g （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上 的最小值为 1 ln2 -1 ， 故 φ （ n ） = 1 ln 1+ 1 n n ) -n 的最小值为 1 ln2 -1 ， ∴a 的取 值范围是 -∞ ， 1 ln2 - % 1 n . 阶段性练习卷 （四） 1. C 【解析】 方法一： f ′ （ x ）= （ 1- x 姨 ） ′ 1+ 1 x 姨 n ) + （ 1- x 姨 ） 1+ 1 x 姨 n ) ′ =- 1 2 x - 1 2 1+ 1 x 姨 n ) + （ 1- x 姨 ）· - 1 2 x - 3 2 n ) =- 1 2 x - 1 2 - 1 2 x -1 - 1 2 x - 3 2 + 1 2 x -1 =- 1 2 x - 1 2 - 1 2 x - 3 2 = - x+1 2x x 姨 . 方法二： f （ x ） = （ 1- x 姨 ） 1+ 1 x 姨 n ) =1- x 姨 + 1 x 姨 -1=- x 姨 + 1 x 姨 ， ∴ f ′ （ x ） = - x 姨 + 1 x 姨 n ) ′ =- 1 2 x - 1 2 - 1 2 x - 3 2 =- x+1 2x x 姨 . 故选 C. 2. B 【解析】 ∵f′ （ x ） =2x-2- 4 x = 2x 2 -2x-4 x = 2 （ x-2 ）（ x+1 ） x ， 令 f ′ （ x ） <0 ， 利用数轴标根法可得 （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 0 ， 2 ）， 又 ∵ 定义域为 （ 0 ， +∞ ）， ∴x∈ （ 0 ， 2 ） . 故选 B. 3. B 【解析】 f ′ （ x ） =4x 3 -6x 2 ， 则 f ′ （ 1 ） =-2 ， 且 f （ 1 ） = -1 ， 由点斜式可得函数 f （ x ） =x 4 -2x 3 在点 （ 1 ， f （ 1 ）） 的 切线方程为 y- （ -1 ） = （ -2 ）（ x-1 ）， 整理得 y=-2x+1. 故 选 B. 4. D 【解析】 切线的斜率 k=tan 3 4 π=-1 ， 设切点坐 58