5.5 数学归纳法-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 了解数学归纳法的原理及适用范围 . 2. 掌握数学归纳法证明的两个步骤和一 个结论 . 3. 能用数学归纳法证明一些简单的数学 命题 . 要 点 精 析 利用数学归纳法解决有关的问题主要涉 及以下几个方面： （ 1 ） 证明恒等式问题； （ 2 ） 证明不等式问题； （ 3 ） 证明数列中与猜想归纳有关的问题； （ 4 ） 解决有关几何问题； （ 5 ） 解决有关整除性问题 . 要点 1 证明恒等式问题 例 1 用数学归纳法证明 ： 1+3+ … + （ 2n-1 ） =n 2 （ n∈N + ） . 证明： ① 当 n=1 时， 左边 =1 ， 右边 =1 ， 等式成立 . ② 假设当 n=k （ k≥1 ） 时， 等式成立， 即 1+3+ … + （ 2k-1 ） =k 2 . 那么， 当 n=k+1 时， 1+3+ … + （ 2k-1 ） + ［ 2 （ k+1 ） -1 ］ =k 2 + ［ 2 （ k+1 ） -1 ］ =k 2 +2k+1= （ k+1 ） 2 . 这就是说， 当 n=k+1 时等式成立 . 根据 ① 和 ② 可知， 等式对任意正整数 n 都成立 . 反思感悟 用数学归纳法证明恒等式时， 应关注 以下三点： （ 1 ） 弄清 n 取第一个值 n 0 时等式两端 项的情况； （ 2 ） 弄清从 n=k 到 n=k+1 等式两端增 加了哪些项， 减少了哪些项； （ 3 ） 证明 n=k+1 时结论也成立， 要设 法将待证式与归纳假设建立联系， 并朝 n= k+1 证明目标的表达式变形 . 变式训练 1 用数学归纳法证明 1+2+3+ … + （ 2n+1 ） = （ n+1 ）（ 2n+1 ）时， 从 “ n=k ” 到 “ n=k+1 ”， 左 边需增添的代数式是 （ ） A. （ 2k+1 ） + （ 2k+2 ） B. （ 2k-1 ） + （ 2k+1 ） C. （ 2k+2 ） + （ 2k+3 ） D. （ 2k+2 ） + （ 2k+4 ） 要点 2 证明不等式问题 例 2 试用数学归纳法证明： 1+ 1 2 2 + 1 3 2 + … + 1 n 2 <2- 1 n （ n≥2 ， n∈N * ） . 证明： ① 当 n=2 时， 1+ 1 2 2 = 5 4 <2- 1 2 = 3 2 ， 不等式成立 . ② 假设 n=k （ k≥2 ， k∈N * ） 时不等式 成立， 5.5 数学归纳法 36 第五章 数 列 学 即 1+ 1 2 2 + 1 3 2 + … + 1 k 2 <2- 1 k ， 则当 n=k+1 时， 1+ 1 2 2 + 1 3 2 + … + 1 k 2 + 1 （ k+1 ） 2 <2- 1 k + 1 （ k+1 ） 2 <2- 1 k + 1 k （ k+1 ） =2- 1 k + 1 k - 1 k+1 =2- 1 k+1 ， 不等式成立 . 由 ①② 知原不等式在 n∈N * ， n≥2 时均 成立 . 反思感悟 用数学归纳法证明不等式往往比证明 恒等式难度更大一些， 方法更灵活些 . 用数 学归纳法证明不等式的第二步时应注意灵 活运用证明不等式的一般方法， 如比较法、 分析法、 综合法， 在具体的证明过程中要 注意当 n=k+1 时的递推目标， 有目的地放 缩、 分析直到凑出结论 . 变式训练 2 用数学归纳法证明不等式 1 n+1 + 1 n+2 + … + 1 2n > 11 24 （ n∈N * ） 的过程中， 由 n=k 递推到 n=k+1 时， 下列说法正确的是 （ ） A. 增加了一项 1 2 （ k+1 ） B. 增加了两项 1 2k+1 和 1 2 （ k+1 ） C. 增加了 B 中的两项， 但又减少了一 项 1 k+1 D. 增加了 A 中的一项， 但又减少了一 项 1 k+1 要点 3 证明数列中与猜想归纳有关的 问题 例 3 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 且满足 a 1 =3 ， S n =a n-1 +n 2 +1 （ n≥2 ） . 求 a 2 ， a 3 ， a 4 的值， 猜想数列 {a n } 的通项公式并用 数学归纳法证明 . 解： 当 n=2 时， S 2 =a 1 +2 2 +1 ， 即 3+a 2 =8 ， 解得 a 2 =5 ； 当 n=3 时， S 3 =a 2 +3 2 +1 ， 即 3+5+a 3 =15 ， 解得 a 3 =7 ； 当 n=4 时， S 4 =a 3 +4 2 +1 ， 即 3+5+7+a 4 =24 ， 解得 a 4 =9. 猜想 a n =2n+1 ， 下面用数学归纳法证明： 当 n=1 时， a 1 =2×1+1=3 ， 猜想成立； 假设当 n=k （ k∈N * ） 时， 猜想成立， 即 a k =2k+1 ， 则 S k =k 2 +2k. 当 n=k+1 时， S k+1 =a k + （ k+1 ） 2 +1 ， ∴S k +a k+1 =a k + （ k+1 ） 2 +1 ， ∴a k+1 =a k + （ k+1 ） 2 +1-S k ， a k+1 =2k+1+ （ k+1 ） 2 +1- （ k 2 +2k ） =2 （ k+1 ） +1 ， ∴ 猜想成立 . 综上所述， 对于任意 n∈N * ， a n =2n+1 均 成立 . 变式训练 3 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 且 S n = 2n-a n （ n∈N + ）， 若已经算出 a 1 =1 ， a 2 = 3 2 ， 则猜想 a n = （ ） 37 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 A. 2n-1 n B. n+1 n C. 2n-1 2 n-1 D. 2 n -1 2 n-1 反思感悟 （ 1 ） “归纳—猜想—证明” 解决的主 要问题： ① 已知数列的递推公式， 求通项公式 或前 n 项和； ② 由一些恒等式、 不等式改编的一些 探究性问题， 求使命题成立的参数值是否 存在； ③ 给出一些简单命题 （ n=1 ， 2 ， 3 ， …）， 猜想并证明对任意正整数 n 都成立的一般 性命题 . （ 2 ） “归纳—猜想—证明” 的解题步 骤： 一是计算， 即根据条件， 准确计算出 前若干项， 这是归纳、 猜想的基础； 二是 归纳与猜想， 即通过观察、 分析、 比较、 综合、 联想， 猜想出一般的结论； 三是证 明， 对一般结论用数学归纳法进行证明 . 要点 4 解决有关几何问题 例 4 平面内有 n （ n≥2 ， n∈N * ） 条直 线， 其中任意两条不平行， 任意三条不过同 一点， 那么这 n 条直线的交点个数 f （ n ）是多 少？ 并证明你的结论 . 解： 当 n=2 时 ， f （ 2 ） =1 ； 当 n=3 时 ， f （ 3 ） =3 ； 当 n=4 时， f （ 4 ） =6. 因此猜想 f （ n ） = n （ n-1 ） 2 （ n≥2 ， n∈N * ） . 下面利用数学归纳法证明： ① 当 n=2 时 ， 两条相交直线有一个 交点， 又 f （ 2 ） = 1 2 ×2× （ 2-1 ） =1. ∴n=2 时， 命题成立 . ② 假设当 n=k （ k≥2 且 k∈N * ） 时命题 成立， 就是该平面内满足题设的任何 k 条直 线的交点个数为 f （ k ） = 1 2 k （ k-1 ） . 当 n=k+1 时， 其中一条直线记为 l ， 剩 下的 k 条直线记为 l 1 ， l 2 ， …， l k . 由归纳假设知， 剩下的 k 条直线之间的 交点个数为 f （ k ） = k （ k-1 ） 2 . 由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三条 不过同一点， ∴ 直线 l 与 l 1 ， l 2 ， l 3 ， …， l k 的交点共有 k 个， ∴ f （ k+1 ） =f （ k ） +k= k （ k-1 ） 2 +k= k 2 +k 2 = k （ k+1 ） 2 = （ k+1 ）［（ k+1 ） -1 ］ 2 ， ∴ 当 n=k+1 时， 命题成立 . 由 ①② 可知， 命题对一切 n∈N * 且 n≥2 时成立 . 变式训练 4 k （ k≥3 ， k∈N * ） 棱柱有 f （ k ）个对角面， 则 （ k+1 ） 棱柱的对角面个数 f （ k+1 ） 为 （ ） A. f （ k ） +k-1 B. f （ k ） +k+1 C. f （ k ） +k D. f （ k ） +k-2 反思感悟 用数学归纳法解决几何问题的方法： （ 1 ） 从特殊入手， 寻找一般性结论， 并 38 第五章 数 列 学 探索 n 变化时交点个数间的关系； （ 2 ） 利用数学归纳法证明几何问题时， 关键是正确分析由 n=k 到 n=k+1 时几何图 形的变化规律， 并结合图形直观分析， 要 弄清原因 . 要点 5 整除性问题 利用数学归纳法证明整除性问题时， 关 键是整理出除数因式与商数因式积的形式 . 这就往往要涉及 “添项”、 “减项” 与 “因 式分解” 等变形技巧， 凑出 n=k 时的情形， 从而利用归纳假设使问题得证 . 例 5 用数学归纳法证明 “ n 3 +5n （ n∈ N + ） 能被 6 整除” 的过程中， 当 n=k+1 时， 式子 （ k+1 ） 3 +5 （ k+1 ）应变形为 . 解析： （ k+1 ） 3 +5 （ k+1 ） =k 3 +1+3k 2 +3k+5k+5 = （ k 3 +5k ） +3k 2 +3k+6 = （ k 3 +5k ） +3k （ k+1 ） +6. 由于假设 k 3 +5k 能被 6 整除， 而 k （ k+1 ） 为偶数， 能被 2 整除， ∴3k （ k+1 ）能被 6 整除， 故（ k+1 ） 3 +5 （ k+1 ）应变形为 （ k 3 +5k ） +3k （ k+1 ） +6. 变式训练 5 用数学归纳法证明 “ 5 n -2 n 能被 3 整除” 的第二步中， 当 n=k+1 时， 为了使用假设， 应将 5 k+1 -2 k+1 变形为 （ ） A. （ 5 k -2 k ） +4×5 k -2 k B. 5 （ 5 k -2 k ） +3×2 k C. （ 5-2 ）（ 5 k -2 k ） D. 2 （ 5 k -2 k ） -3×5 k 数 学 文 化 例 相传在古印度圣庙上， 有一种被称 为汉诺塔的游戏 . 该游戏是一块铜板装置上， 有三根杆 （编号 A ， B ， C ）， 在 A 杆自下而 上、 由大到小按顺序放置 64 个金盘， 如图 所示 . 游戏的目标： 把 A 杆上的金盘全部移 到 C 杆上， 并仍保持原有顺序叠好 . 操作规 则： 每次只能移动一个盘子， 并且在移动过 程中三根杆上都始终保 持大盘在下， 小盘在上 . 记将 n 个直径不同的盘 子从 A 杆移动到 C 杆所 需要的最少次数为 a n . （ 1 ） 试写出 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 的值； （ 2 ） 由 （ 1 ） 猜想数列 {a n } 的通项公 式， 并加以证明 . 解： （ 1 ） 由题意， 得 a 1 =1 ， a 2 =3 ， a 3 = 7 ， a 4 =15. （ 2 ） 猜想： a n =2 n -1 ， n∈N * . 证明如下： ① 当 n=1 时， a 1 =1 成立 . ② 假设当 n=k （ k≥1 ， k∈N * ） 时猜想成 立， 即 a k =2 k -1 ， 即将 k 个直径不同的盘子从 A 杆移动到 C 杆最少需要 2 k -1 次 . 则当 n=k+1 时， 分三步进行： 第一步， 将上面 k 个盘子从 A 杆移动到 B 杆； 第二步， 将第 （ k+1 ） 个盘子从 A 杆移 动到 C 杆； 第三步， 将上面 k 个盘子从 B 杆移动到 C 杆 . 则最少需要 （ 2a k +1 ） 次， 即 a k+1 =2a k +1= 2 （ 2 k -1 ） +1=2 k+1 -1 ， 即 n=k+1 时， 猜想也成立 . 综上， a n =2 n -1. A B C 图 5-5 39 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 （ 2 ） ∵0.577×3=1.731<1.737 ， ∴ 该家庭应选择第一种 方案 . 5.5 数学归纳法 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 当 n=k 时， 左边共有 2k+1 个连 续自然数相加， 即 1+2+3+ … + （ 2k+1 ）， ∴ 当 n=k+1 时， 左边共有 2k+3 个连续自然数相加， 即 1+2+3+ … + （ 2k+ 1 ） + （ 2k+2 ） + （ 2k+3 ）， ∴ 左边需增添的代数式是 （ 2k+2 ） + （ 2k+3 ） . 故选 C. 变式训练 2 C 【解析】 当 n=k 时， 不等式左边为 1 k+1 + 1 k+2 + … + 1 2k ； 当 n=k+1 时， 不等式左边为 1 k+2 + 1 k+3 + … + 1 2k + 1 2k+1 + 1 2k+2 . 故选 C. 变式训练 3 D 【解析】 ∵a 1 =1 ， a 2 = 3 2 ， S 3 =1+ 3 2 +a 3 =6-a 3 ， ∴a 3 = 7 4 . 同理可得 a 4 = 15 8 . 观察 1 ， 3 2 ， 7 4 ， １５ 8 ， …， 猜想 a n ＝ ２ n -1 2 n-1 或a n =2- 1 2 n-1 1 " . 故选 D. 变式训练 4 A 【解析】 三棱柱有 0 个对角面， 四棱柱 有 2 个对角面 ［ 0+2=0+ （ 3-1 ）］； 五棱柱有 5 个对角面 ［ 2+3=2+ （ 4-1 ）］； 六棱柱有 9 个对角面 ［ 5+4=5+ （ 5-1 ）］； … . 猜想 ： 若 k 棱柱有 f （ k ）个对角面 ， 则 （ k+1 ） 棱柱有 f （ k ） +k-1 个对角面 . 故选 A. 变式训练 5 B 【解析】 5 k+1 -2 k+1 =5 k · 5-2 k · 2=5 （ 5 k -2 k ） +5× 2 k -2×2 k =5 （ 5 k -2 k ） +3×2 k . 故选 B. 随堂练习 1. D 【解析】 当 n=1 ， n=2 ， n=3 时， 显然不等式不 成立， 当 n=4 时， 64>61 不等式成立， 故用数学归纳法证明 n 3 >3n 2 +3n+1 这一不等式时 ， 应注意 n 必须为 n≥4 ， n∈N * . 故选 D. 2. B 【解析】 由题意得， 当 n=2 时， 不等式为 1+ 1 2 + 1 3 <2. 故选 B. 3. C 【解析】 当 n=k 时， 等式左端 =1+2+ … +k 2 ； 当 n=k+1 时， 等式左端 =1+2+ … +k 2 +k 2 +1+k 2 +2+ … + （ k+1 ） 2 ， 增加了项 （ k 2 +1 ） + （ k 2 +2 ） + （ k 2 +3 ） + … + （ k+1 ） 2 . 故 选 C. 4. S n = 2n n+1 【解析 】 S 1 =1 ， S 2 = 4 3 ， S 3 = 3 2 = 6 4 ， S 4 = 8 5 ， 猜想 S n = 2n n+1 . 5. 解： （ 1 ） ∵ f （ 1 ） =2 ， f （ n 1 +n 2 ） =f （ n 1 ）· f （ n 2 ）， ∴ f （ 2 ） =f （ 1+1 ） =f （ 1 ）· f （ 1 ） =2 2 =4 ， f （ 3 ） =f （ 2+1 ） =f （ 2 ）· f （ 1 ） =2 2 · 2=2 3 =8 ， f （ 4 ） =f （ 3+1 ） =f （ 3 ）· f （ 1 ） =2 3 · 2=2 4 =16. （ 2 ） 猜想： f （ n ） =2 n （ n∈N + ） . 用数学归纳法证明如下： ① 当 n=1 时， f （ 1 ） =2 1 =2 ， ∴ 猜想正确 . ② 假设当 n=k （ k≥1 ， k∈N + ） 时猜想正确， 即 f （ k ） =2 k ， 那么当 n=k+1 时， f （ k+1 ） =f （ k ）· f （ 1 ） =2 k · 2=2 k+1 ， ∴ 当 n=k+1 时， 猜想正确 . 由 ①② 知， 对任意的 n∈N + ， 都有 f （ n ） =2 n . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 边数最少的凸 n 边形为三角形， 故 n 0 = 3. 故选 C. 2. C 【解析】 当 n=1 时， 左边 =1+a+a 1+1 =1+a+a 2 . 故 选 C. 3. B 【解析】 第二步假设当 n=2k-1 （ k∈N * ） 时成 立， 再推出当 n=2 （ k+1 ） -1=2k+1 时成立 . 故选 B. 4. D 【解析】 由所证明的等式可知， 当 n=k+1 时 ， 右边 = 1 （ k+1 ） +1 + … + 1 2 （ k+1 ） -1 + 1 2 （ k+1 ） = 1 k+2 + … + 1 2k+1 + 1 2k+2 . 故选 D. 5. C 【解析】 观察所给式子， 所猜测的分式的分母 为 n+1 ， 而分子 3 ， 5 ， 7 ， …， 恰好是第 （ n+1 ） 个正奇 数， 即 2n+1. 故选 C. 6. D 【解析】 若 f （ 3 ） ≥9 成立， 由题意只可得出当 k≥3 时， 均有 f （ k ） ≥k 2 成立， 故 A 错误； 若 f （ 5 ） ≥25 成立， 则当 k≥5 时均有 f （ k ） ≥k 2 成立， 故 B 错误； C 应改为 “若 f （ 7 ） ≥49 成立， 则当 k≥7 时， 均有 f （ k ） ≥ k 2 成立”， 故 C 错误 . 故选 D. 7. D 【解析】 ∵ f （ n ） =1+ 1 2 + 1 3 + … + 1 3n-1 ， 46 参 考 答 案 ∴ f （ n+1 ） =1+ 1 2 + 1 3 + … + 1 3n-1 + 1 3n + 1 3n+1 + 1 3n+2 ， ∴ f （ n+1 ） -f （ n ） = 1 3n + 1 3n+1 + 1 3n+2 . 故选 D. 8. A 【解析】 令 n=1 ， 2 ， 3 ， 得 1=3 （ a-b ） +c ， 1+2×3=3 2 （ 2a-b ） +c ， 1+2×3+3×3 2 =3 3 （ 3a-b ） +c c # # # # " # # # # $ ， 即 3a-3b+c=1 ， 18a-9b+c=7 ， 81a-27b+c=34 c # # # # " # # # # $ . 解得 a= 1 2 ， b= 1 4 ， c= 1 4 . 故选 A. 9. B 【解析】 假设当 n=k （ k≥2 ， k∈N * ） 时命题成立 . 则当 n=k+1 时， ［ 3 （ k+1 ） +1 ］· 7 k+1 -1- ［（ 3k+1 ）· 7 k -1 ］ = （ 3k+4 ）· 7 k+1 - （ 3k+1 ）· 7 k = ［（ 3k+1 ） +3 ］· 7 k+1 - （ 3k+1 ）· 7 k = （ 3k+ 1 ）· 7 k+1 +3 · 7 k+1 - （ 3k+1 ）· 7 k =6 （ 3k+1 ）· 7 k +3 · 7 k+1 =6 ［（ 3k+1 ）· 7 k -1 ］ +3 · 7 k+1 +6. ∵ （ 3k+1 ）· 7 k -1 能被 9 整除， ∴ 还需证明 3 · 7 k+1 +6 也能被 9 整除 . 故选 B. 提升练习 10. ABD 【解析 】 当 n=1 时 ， 式子 =1+k ， 故 A 错 误； 当 n=1 时， 式子 =1 ， 故 B 错误； 当 n=1 时， 式子 = 1+ 1 2 + 1 ３ ， 故 C 正确； f （ k+1 ） =f （ k ） + 1 ３k+2 + 1 3k+3 + 1 3k+4 - 1 k+1 ， 故 D 错误 . 故选 ABD. 11. n+ （ n+1 ） + （ n+2 ） + … + （ 3n-2 ） = （ 2n-1 ） 2 【解析】 将原等式变形如下： 1=1=1 2 2+3+4=9=3 2 3+4+5+6+7=25=5 2 4+5+6+7+8+9+10=49=7 2 … 由图知， 第 n 个等式的左边有 2n-1 项， 第一个数 是 n ， 是 2n-1 个连续整数的和 ， 则最后一个数为 n+ （ 2n-1 ） -1=3n-2 ， 右边是左边项数 2n-1 的平方 ， 故有 n+ （ n+1 ） + （ n+2 ） + … + （ 3n-2 ） = （ 2n-1 ） 2 . 12. 解： （ 1 ） ∵a 1 = 1 6 ， 前 n 项和 S n = n （ n+1 ） 2 a n ， ∴ 令 n=2 ， 得 a 1 +a 2 =3a 2 ， ∴a 2 = 1 2 a 1 = 1 12 . 令 n=3 ， 得 a 1 +a 2 +a 3 =6a 3 ， ∴a 3 = 1 20 . 令 n=4 ， 得 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =10a 4 ， ∴a 4 = 1 30 . （ 2 ） 猜想 a n = 1 （ n+1 ）（ n+2 ） ， 下面用数学归纳法给出证明 . ① 当 n=1 时， 结论成立； ② 假设当 n=k （ k∈N * ， k≥1 ） 时 ， 结论成立， 即 a k = 1 （ k+1 ）（ k+2 ） ， 则当 n=k+1 时， S k = k （ k+1 ） 2 · a k = k 2 （ k+2 ） ， S k+1 = （ k+1 ）（ k+2 ） 2 · a k+1 ， 即 S k +a k+1 = （ k+1 ）（ k+2 ） 2 · a k+1 ， ∴ k 2 （ k+2 ） +a k+1 = （ k+1 ）（ k+2 ） 2 · a k+1 ， ∴ k （ k+3 ） 2 · a k+1 = k 2 （ k+2 ） ， ∴a k+1 = 1 （ k+2 ）（ k+3 ） ， ∴ 当 n=k+1 时结论成立 . 由 ①② 可知， 对一切 n∈N * 都有 a n = 1 （ n+1 ）（ n+2 ） 成立 . 6.1 导数 6.1.1 函数的平均变化率 学习手册 变式训练 1 （ 1 ） C （ ２ ） A 【解析】 （ 1 ） ∵y=2x 2 ， ∴Δy=2× （ 2+Δx ） 2 -2×2 2 =2 （ Δx ） 2 + 8Δx. 故选 C. （ 2 ） 函数 f （ x ） =x 在 ［ 0 ， 1 ］ 的平均变化率为 m 1 = 1-0 1-0 =1 ； 函数 g （ x ） =x 2 在 ［ 0 ， 1 ］ 的平均变化率为 m 2 = 1 2 -0 2 1-0 =1 ； 函数 h （ x ） =x 3 在 ［ 0 ， 1 ］ 的平均变化率为 m 3 = 1 3 -0 3 1-0 =1 ； ∴m 1 =m 2 =m 3 . 故选 A. 变式训练 2 B 【解析】 在 t 0 处， 虽然有 W 甲 （ t 0 ） =W 乙 （ t 0 ）， 但 W 甲 （ t 0 -Δt ） <W 乙 （ t 0 -Δt ）， ∴ 在相同时间 Δt 内， 甲厂比 乙厂的平均治污率小， ∴ 乙厂治污效果较好 . 故选 B. 变式训练 3 解： （ 1 ） 当 x 从 200 变到 220 时， 总成本 第六章 导数及其应用 47