5.2.2 等差数列的前n项和-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

第五章 数 列 学 学 习 目 标 1. 熟练掌握等差数列的五个量 a 1 ， d ， n ， a n ， S n 的关系， 能够由其中三个求另外 两个 . 2. 能用 a n 与 S n 的关系求 a n . 3. 理解好等差数列前 n 项和与二次函数 的关系， 会求等差数列前 n 项和的最值 . 4. 理解并能运用等差数列前 n 项和的 性质 . 要 点 精 析 要点 1 等差数列前 n 项和的计算 用等差数列求和公式： ①S n = n （ a 1 +a n ） 2 ， ②S n =na 1 + n （ n-1 ） d 2 解决相关问题 . 例 1 （ 1 ） 已知等差数列 {a n } 中， a n = 2 ， a 1 +a 5 =6 ， 求 S n ； （ 2 ） 已知 a 1 = 3 2 ， d=- 1 2 ， S n =-15 ， 求 n 和 a 12 ； （ 3 ） 已知 a 1 =1 ， a n =-512 ， S n =-1 022 ， 求公差 d. 解： （ 1 ） 设等差数列 {a n } 的公差为 d ， ∵a 2 =2 ， a 1 +a 5 =6 ， ∴ a 1 +d=2 ， 2a 1 +4d=6 6 ， 解得 a 1 =d=1 ， S n =na 1 + n （ n-1 ） 2 d= 1 2 n 2 + 1 2 n. （ 2 ） ∵S n =n · 3 2 + n （ n-1 ） 2 · - 1 2 2 # =-15 ， 整理得 n 2 -7n -60 =0 ， 解得 n =12 或 n =-5 （舍去）， ∴a 12 = 3 2 + （ 12-1 ） × - 1 2 2 2 =-4. （ 3 ） 由 S n = n （ a 1 +a n ） 2 = n （ 1-512 ） 2 =-1 022 ， 解得 n=4. 又由 a n =a 1 + （ n-1 ） d ， 即 -512=1+ （ 4-1 ） d ， 解得 d=-171. 反思感悟 等差数列中计算基本量的两个技巧： （ 1 ） 利用基本量求值 . 等差数列的通项 公式和前 n 项和公式中有五个量 a 1 ， d ， n ， a n 和 S n ， 一般是利用公式列出基本量 a 1 和 d 的方程组， 解出 a 1 和 d ， 便可解决问题 . 解题时注意整体代换的思想 . （ 2 ） 利用等差数列的性质解题 . 等差数 列的常用性质 ： 若 m+n=p+q （ m ， n ， p ， q∈N + ）， 则 a m +a n =a p +a q ， 常与求和公式 S n = n （ a 1 +a n ） 2 结合使用 . 变式训练 1 （ 1 ） 等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 若 a 14 =-8 ， S 9 =-9 ， 则 S 18 = （ ） A. -162 B. -1 C. 3 D. -81 （ 2 ） 已知等差数列 {a n } 满足 a 1 =1 ， a m = 99 ， d=2 ， 则其前 m 项和 S m 等于 . 5.2.2 等差数列的前 n项和 15 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 理解好等差数列的前 n 项和 S n 与通项 a n 之间的关系， 即 a n = S n -S n-1 （ n≥2 ） 例 2 若数列 {a n } 的前 n 项和为 S n = 2 3 n 2 - 1 3 n ， 则数列 {a n } 的通项 a n = . 解析： 由 S n = 2 3 n 2 - 1 3 n 知， 当 n>1 时， S n-1 = 2 3 （ n-1 ） 2 - 1 3 （ n-1 ）， ∴a n =S n -S n-1 = 2 3 n 2 - 1 3 3 # n - 2 3 （ n-1 ） 2 - 1 3 （ n-1 1 % ） = 4 3 n-1. 当 n=1 时， a 1 = 2 3 - 1 3 = 1 3 ， 适合 a n = 4 3 n- 1 ， ∴a n = 4 3 n-1. 反思感悟 知 “和” 求 “项” 方法步骤： （ 1 ） 由 S n 构造 S n-1 ； （ 2 ） 利用 a n =S n -S n-1 ； （ 3 ） 验 证 n=1 ； （ 4 ） 写通项公式 a n . 变式训练 2 （ 1 ） 本例中若 S n =n 2 +2n+1 ， 试求 a n ； （ 2 ） 若将本例中的条件改为 “ a 1 =-1 ， a n+1 = S n S n+1 ”， 试求 a n . 反思感悟 （ 1 ） “和” 变 “项” . 首先根据题目条 件， 得到新式 （与条件相邻）， 然后作差将 “和” 转化为 “项” 之间的关系， 最后求通 项公式 . （ 2 ） “项” 变 “和” . 首先将 a n 转化为 S n -S n-1 ， 得到 S n 与 S n-1 的关系式， 然后求 S n . 要点 3 等差数列前 n 项和的最值 基本方法主要体现在以下几个方面： （ 1 ） 先求出前 n 项和公式， 再利用二次 函数求最值的方法求解； （ 2 ） 利用通项公式， 根据等差数列的单 调性求解 . 例 3 记 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项 和， 已知 a 1 =-17 ， 从以下两个条件中任选其 中一个给出解答 . ①S 3 =-45 ； ②a 2 +a 5 =-24. （ 1 ） 求公差 d ； （ 2 ） 求 S n ， 并求 S n 的最小值 . 分析 （ 1 ） 用基本量法； （ 2 ） 利用 二次函数的最值来求数列的最值， 但要注 意函数和数列的定义域不同 . 解： （ 1 ） 选条件 ① ： S 3 =-45. 设 {a n } 的公差为 d ， 可得 S 3 =3a 1 + 3×2 2 d= -45 ， 解得 a 1 +d=-15. 又由 a 1 =-17 ， 可得 d=2 ， 故数列 {a n } 的 公差 d=2. 选条件 ② ： a 2 +a 5 =-24. 设 {a n } 的公差为 d ， 可得 a 2 +a 5 =a 1 +d+ a 1 +4d=-24 ， 即 2a 1 +5d=-24 ， 又由 a 1 =-17 ， 可得 d=2 ， 故数列 {a n } 的 公差 d=2. 16 第五章 数 列 学 （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， 公差 a 1 =-17 ， 且 d=2 ， 可得 S n =na 1 + n （ n-1 ） 2 d=n 2 -18n= （ n-9 ） 2 -81 ， ∴ 当 n=9 时 ， S n 取得最小值 ， 最小值 为 -81. 反思感悟 求等差数列的前 n 项和 S n 的最值的解 题策略： （ 1 ） 等差数列前 n 项和是常数项为零 的二次函数孤立点， 这类题求最值可借助 二次函数单调性来解决 . （ 2 ） 邻项变号法： 当 a 1 >0 ， d<0 时， 满 足 a n ≥0 ， a n+1 ≤ # 0 的项数 n 使 S n 取最大值； 当 a 1 < 0 ， d>0 时， 满足 a n ≤0 ， a n+1 ≥ # 0 的项数 n 使 S n 取 最小值 . 变式训练 3 已知等差数列 {a n } 中， a 1 =9 ， a 4 +a 7 =0. （ 1 ） 求数列 {a n } 的通项公式 . （ 2 ） 当 n 为何值时， 数列 {a n } 的前 n 项和取得最大值？ 变式训练 4 记数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 对任意 n∈N * ， 有 S n =n （ a n +n-1 ） . （ 1 ） 证明： {a n } 是等差数列； （ 2 ） 若当且仅当 n=7 时， S n 取得最大 值， 求 a 1 的取值范围 . 要点 4 等差数列前 n 项和的性质 1. 等差数列的依次每 k 项之和 S k ， S 2k - S k ， S 3k -S 2k ， …组成公差为 k 2 d 的等差数列 . 2. （ 1 ） 若等差数列的项数为 2n （ n∈ N * ）， 则 S 2n =n （ a n +a n+1 ） （ a n ， a n+1 为中间两项） 且 S 偶 -S 奇 =nd ， S 偶 S 奇 = a n+1 a n ； （ 2 ） 若项数为 2n-1 ， 则 S 2n-1 = （ 2n-1 ） a n （ a n 为中间项） 且 S 奇 -S 偶 =a n ， S 偶 S 奇 = n-1 n . 例 4 （ 1 ） 在等差数列 {a n } 中， 前 n 项和为 S n ， S 2 S 4 = 1 3 ， 则 S 4 S 8 = （ ） A. 3 10 B. 1 8 C. 1 9 D. 1 3 （ 2 ） 已知等差数列 {a n } ， {b n } 的前 n 项 和分别为 S n ， T n ， 若对于任意的自然数 n ， 都有 S n T n = 2n-3 4n-3 ， 则 a 3 +a 15 2 （ b 3 +b 9 ） + a 3 b 2 +b 10 = （ ） 17 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 A. 19 41 B. 17 37 C. 7 15 D. 20 41 解析： （ 1 ） ∵ S 2 S 4 = 1 3 ， 故 S 4 -S 2 =2S 2 . ∵S 2 ， S 4 -S 2 ， S 6 -S 4 ， S 8 -S 6 为等差数列 ， 故四项可分别写成 S 2 ， 2S 2 ， 3S 2 ， 4S 2 ， 故 S 8 = 10S 2 ， S 4 =3S 2 ， 故 S 4 S 8 = 3 10 . （ 2 ） ∵ 等差数列中 ， 若 m+n=p+q ， 则 a m +a n =a p +a q ， 又 ∵ 等差数列的前 n 项和为 S n = n （ a 1 +a n ） 2 . ∴ a 3 +a 15 2 （ b 3 +b 9 ） = 2a 9 2 （ b 3 +b 9 ） = a 9 b 3 +b 9 ， ∴ a 3 +a 15 2 （ b 3 +b 9 ） + a 3 b 2 +b 10 = a 9 b 3 +b 9 + a 3 b 2 +b 10 = a 9 b 1 +b 11 + a 3 b 1 +b 11 = a 3 +a 9 b 1 +b 11 = a 1 +a 11 b 1 +b 11 = S 11 T 11 = 2×11-3 4×11-3 = 19 41 . 故选 A. 变式训练 5 （ 1 ） 等差数列 {a n } 的前 m 项和为 30 ， 前 2m 项和为 100 ， 求数列 {a n } 的前 3m 项 的和 S 3m ； （ 2 ） 设 {a n } 为等差数列， S n 为数列 {a n } 的前 n 项和， 已知 S 7 =7 ， S 15 =75 ， T n 为数列 S n n n " 的前 n 项和， 求 T n . 数 学 文 化 例 朱世杰是历史上最伟大的数学家之 一， 他所著的 《四元玉鉴》 卷中 “如像招数 五问” 中有如下问题： “今有官司差夫一千 八百六十四人筑堤， 只云初日差六十四人， 次日转多七人， 每人日支米三升 . ” 其大意 为 “官府陆续派遣 1 864 人前往修筑堤坝， 第一天派出 64 人， 从第二天开始每天派出 的人数比前一天多 7 人， 修筑堤坝的每人每 天分发大米 3 升 . ” 在该问题中前 7 天共分发 多少升大米？ （ ） A. 1 170 B. 1 440 C. 1 785 D. 1 772 解析： 由题意得， 每天分发的大米升数 构成等差数列 {a n } ， 设公差为 d ， 则 d=7×3= 21 ， 记第一天共分发大米为 a 1 =64×3=192 （升）， 则前 7 天共分发大米 7a 1 + 7× （ 7-1 ） 2 × d=7a 1 +21d=7×192+21×21=1 785 （升 ） . 故 选 C. 18 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 6. BC 【解析】 由 3a n+1 =3a n +1 ， 得 3a n+1 -3a n =1 ， 即 a n+1 - a n = 1 3 ， ∴ 数列 {a n } 是公差为 1 3 的等差数列 . 又 ∵a 1 =1 ， 得到 a n =1+ （ n-1 ） × 1 3 = n 3 + 2 3 . 故选 BC. 7. -n+2 （答案不唯一） 【解析】 由题意， 只要满足 首项是 1 、 公差小于 0 即可 ， 可取公差为 -1 ， 则可得 a n =1+ （ n-1 ） × （ -1 ） =-n+2. 8. 9 【解析】 依题意， 等差数列 {a n } 各项都为正数， ∴a 3 >0 ， a 7 >0 ， ∴a 3 a 7 ≤ a 3 +a 7 2 2 # 2 = （ a 5 ） 2 =9 ， 当且仅当 a 3 =a 7 =3 时等号成立 . 9. 90 【解析】 ∵ 数列 {a n } 为等差数列， a 2 +a 8 =a 4 +a 6 = 2a 5 =10 ， ∴ （ a 4 +a 6 ） 2 -2a 5 =10 2 -10=90. 10. 解： 由题意知 a 1 +a 2 =a 3 ， a 1 a 2 =a 4 4 ， ∴ 2a 1 +d=a 1 +2d ， a 1 （ a 1 +d ） =a 1 +3d 4 ， 解得 a 1 =2 ， d=2 4 ， ∴a n =2+ （ n-1 ） ×2=2n. 故数列 {a n } 的通项公式为 a n =2n. 提升练习 11. C 【解析 】 根据等差数列的定义可知 ， 数列 6 ， 4 ， 2 ， 0 的公差为 -2 ， ∴① 错误； 由等差数列的定义 可知， 数列 a ， a-1 ， a-2 ， a-3 是公差为 -1 的等差数列， ∴② 正确； 由等差数列的通项公式 a n =a 1 + （ n-1 ） d ， 得 a n = dn+ （ a 1 -d ）， 令 k=d ， b=a 1 -d ， 则 a n =kn+b ， ∴③ 正确； ∵a n+1 - a n =2 （ n+1 ） +1- （ 2n+1 ） =2 ， ∴ 数列 {2n+1} （ n∈N * ） 是等差 数列， ∴④ 正确 . 故选 C. 12. AC 【解析】 由 a 2n +a 2n+2 =4n （ n∈N * ）， a 2 =2 ， 得 a 4 =4-a 2 =2 ， a 6 =8-a 4 =6 ， 故 A 正确； 又 a 2n +a 2n+2 =4n ， a 2n+2 + a 2n+4 =4 （ n+1 ）， 两式相减得 a 2n+4 -a 2n =4 ， 令 n=2n 1 -1 ， n 1 ∈ N * ， 可得 a 4n 1 +2 -a 4n 1 -2 =4 ， ∴ {a 4n-2 } 是等差数列， 故 C 正 确； 通过 a 2 =2 ， a 2n +a 2n+2 =4n （ n∈N * ） 只能得到偶数项的 值， 对于奇数项， 无法确定， ∴ 无法确定 {a n } 是不是等 差数列， 故 B 错误； 同理， 令 n=2n 1 ， n 1 ∈N * ， 则 a 4n 1 +4 -a 4n 1 =4 ， ∴ {a 4n } 是以 a 4 =2 为首项、 公差为 4 的等差数列 ， ∴a 4n =2+ （ n-1 ） ×4=4n-2 ， 故 D 错误 . 故选 AC. 13. 320 【解析】 log 2 a n+1 =1+log 2 a n ， ∴log 2 a n+1 -log 2 a n =1 ， ∴ { log 2 a n } 为等差数列 ， 公差为 1 ， 第三项为 log 2 10 ， ∴log 2 a 8 =log 2 10+5 ， ∴a 8 =320. 14. 20 【解析】 在等差数列 {a n } 中， a 5 +a 6 =4 ， ∴a 1 + a 10 =a 2 +a 9 =a 3 +a 8 =a 4 +a 7 =a 5 +a 6 =4 ， ∴a 1 +a 2 + … +a 10 = （ a 1 +a 10 ） + （ a 2 + a 9 ） + （ a 3 +a 8 ） + （ a 4 +a 7 ） + （ a 5 +a 6 ） =5 （ a 5 +a 6 ） =20 ， 则 log 2 （ 2 a 1 · 2 a 2 ·… · 2 a 10 ） =log 2 2 a 1 +a 2 + … +a 10 =a 1 +a 2 + … +a 10 =20. 15. 解： 数列 {b n } 是数列 {a n } 的一个子数列， 其序 号构成以 3 为首项， 4 为公差的等差数列， 由于 {a n } 是 等差数列， 则 {b n } 也是等差数列 . （ 1 ） ∵a 1 =3 ， d=-5 ， ∴a n =3+ （ n-1 ） × （ -5 ） =8-5n. 数列 {a n } 中序号被 4 除余 3 的项是 {a n } 中的第 3 项， 第 7 项， 第 11 项， …， ∴b 1 =a 3 =-7 ， b 2 =a 7 =-27. （ 2 ） 设 {a n } 中的第 m 项是 {b n } 中的第 n 项， 即 b n = a m ， 则 m=3+4 （ n-1 ） =4n-1 ， ∴b n =a m =a 4n-1 =8-5× （ 4n-1 ） =13- 20n ， 即 {b n } 的通项公式为 b n =13-20n （ n∈N * ） . （ 3 ） b 503 =13-20×503=-10 047 ， 设它是 {a n } 中的第 m 项， 则 -10 047=8-5m ， 解得 m=2 011 ， 即 {b n } 中的第 503 项是 {a n } 中的第 2 011 项 . 5.2.2 等差数列的前 n 项和 学习手册 变式训练 1 （ 1 ） D （ 2 ） 2 500 【解析】 （ 1 ） 设等差 数列 {a n } 的公差为 d ， ∵a 14 =-8 ， S 9 =-9 ， ∴ a 1 +13d=-8 ， 9a 1 +36d=-9 4 ， 化简得 a 1 +13d=-8 ， a 1 +4d=-1 4 ， ∴ a 1 = 19 9 ， d=- 7 9 9 ( ( ( ( ( ' ( ( ( ( ( ) ， ∴S 18 =18a 1 +153d=-81. 故 选 D. （ 2 ） 由 a m =a 1 + （ m-1 ） d ， 得 99=1+ （ m-1 ） ×2 ， 解得 m= 50 ， ∴S 50 =50×1+ 50×49 2 ×2=2 500. 变式训练 2 解： （ 1 ） 由 S n =n 2 +2n+1= （ n+1 ） 2 得， 当 n>1 时， S n-1 =n 2 ， ∴a n =S n -S n-1 = （ n+1 ） 2 -n 2 =2n+1. 当 n=1 时， a 1 = 1+2+1=4 ， 不适合 a n =2n+1 ， 故 a n = 4 ， n=1 ， 2n+1 ， n≥2 4 . （ 2 ） ∵a n+1 =S n S n+1 ， 且 a n+1 =S n+1 -S n ， ∴S n+1 -S n =S n S n+1 ， ∴ 1 S n - 1 S n+1 =1 ， 即 1 S n+1 - 1 S n =-1. 又 ∵ 1 S 1 = 1 a 1 =-1 ， ∴ 1 S n 4 n 是首 项为 -1 、 公差为 -1 的等差数列， ∴ 1 S n =-1+ （ n-1 ）（ -1 ） = -n ， ∴S n =- 1 n . 28 参 考 答 案 当 n>1 时 ， S n-1 =- 1 n-1 ， ∴a n =S n -S n -1 =- 1 n + 1 n-1 = 1 n （ n-1 ） ， ∴a n = -1 ， n=1 ， 1 n （ n-1 ） ， n≥2 " $ $ $ # $ $ $ % . 变式训练 3 解： （ 1 ） 由 a 1 =9 ， a 4 +a 7 =0 ， 得 a 1 +3d+a 1 + 6d=0 ， 解得 d=-2 ， ∴a n =a 1 + （ n-1 ）· d=11-2n. （ 2 ） 方法一： a 1 =9 ， d=-2 ， S n =9n+ n （ n-1 ） 2 ·（ -2 ） =-n 2 + 10n=- （ n-5 ） 2 +25 ， ∴ 当 n=5 时， S n 取得最大值 . 方法二： 由 （ 1 ） 知 a 1 =9 ， d=-2<0 ， ∴ {a n } 是递减 数列 . 令 a n ≥0 ， 则 11-2n≥0 ， 解得 n≤ 11 2 . ∵n∈N * ， ∴n≤5 时， a n >0 ， n≥6 时， a n <0 ， ∴ 当 n=5 时， S n 取得最 大值 . 变式训练 4 （ 1 ） 证明： ∵S n =na n +n （ n-1 ） ① ， 则 S n-1 = （ n-1 ） a n-1 + （ n-1 ）（ n-2 ） ② ， ①－② 可得 a n =na n - （ n-1 ） a n-1 +2n-2圳 （ 1-n ） a n =- （ n-1 ）· a n-1 +2 （ n-1 ） 圳a n -a n-1 =-2 ， 故 {a n } 为等差数列 . （ 2 ） 解： 若当且仅当 n=7 时， S n 取得最大值， 则有 S 7 >S 6 ， S 7 >S 8 ) ， 得 a 7 >0 ， a 8 <0 ) ， 则 a 1 -12>0 ， a 1 -14<0 ) ， 12<a 1 <14 ， 故 a 1 的取值范围为 （ 12 ， 14 ） . 变式训练 5 解 ： （ 1 ） 在等差数列中 ， ∵S m ， S 2m -S m ， S 3m -S 2m 成等差数列 ， ∴30 ， 70 ， S 3m -100 成等差数列 ， ∴2×70=30+ （ S 3m -100 ）， ∴S 3m =210. （ 2 ） 设等差数列 {a n } 的公差为 d ， 则 S n =na 1 + 1 2 n （ n- 1 ） d ， ∵S 7 =7 ， S 15 =75 ， ∴ 7a 1 +21d=7 ， 15a 1 +105d=75 ) ， 即 a 1 +3d=1 ， a 1 +7d=5 ) ， 解 得 a 1 =-2 ， d=1 ) ， ∴ S n n =a 1 + 1 2 （ n-1 ） d= 1 2 n- 5 2 ， ∴ S n+1 n+1 - S n n = 1 2 ， ∴ 数列 S n n ) n 是等差数列， 其首项为 -2 ， 公差为 1 2 ， ∴T n = n× （ -2 ） + n （ n-1 ） 2 × 1 2 = 1 4 n 2 - 9 4 n. 随堂练习 1. A 【解析】 ∵a n =2-3n ， ∴a 1 =2-3=-1 ， ∴S n = n （ -1+2-3n ） 2 =- 3 2 n 2 + n 2 . 故选 A. 2. C 【解析】 由题意得 S 3 ， S 6 -S 3 ， S 9 -S 6 成等差数列， 即 9 ， 36-9 ， a 7 +a 8 +a 9 成等差数列， 即 2× （ 36-9 ） =9+a 7 + a 8 +a 9 ， 解得 a 7 +a 8 +a 9 =45. 故选 C. 3. C 【解析 】 等差数列 {a n } 中 ， a 4 +a 9 =8 ， 则 S 12 = 12 （ a 1 +a 12 ） 2 = 12 （ a 4 +a 9 ） 2 =6×8=48. 故选 C. 4. 75 【解析】 ∵a n =2n+1 ， ∴a 1 =3 ， ∴S n = n （ 3+2n+1 ） 2 = n 2 +2n ， ∴ S n n =n+2 ， ∴ S n n n , 是公差为 1 、 首项为 3 的等差 数列， ∴ 前 10 项和为 3×10+ 10×9 2 ×1=75. 5. 解 ： （ 1 ） 设 {a n } 的公差为 d ， 由题意得 3a 1 + 3d=-15. 由 a 1 =-7 得 d=2 ， ∴ {a n } 的通项公式为 a n =2n-9. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 S n =n 2 -8n= （ n-4 ） 2 -16 ， ∴ 当 n=4 时， S n 取得最小值， 最小值为 -16. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 由 a 1 =2 ， S 3 =12 可得 d=2 ， ∴a 6 =a 1 +5d= 12. 故选 C. 2. B 【解析】 ∵ {a n } 是等差数列， ∴a 1 +a 20 =a 2 +a 19 =a 3 + a 18 . 又 ∵a 1 +a 2 +a 3 =-24 ， a 18 +a 19 +a 20 =78 ， ∴a 1 +a 20 +a 2 +a 19 +a 3 +a 18 =54 ， ∴3 （ a 1 +a 20 ） =54 ， ∴a 1 +a 20 = 18 ， ∴S 20 = 20 （ a 1 +a 20 ） 2 =180. 故选 B. 3. B 【解析】 ∵ 在等差数列 {a n } 中， a 1 =1 ， 其前 n 项和为 S n ， 设等差数列 {a n } 的公差为 d ， 若 S 5 5 - S 3 3 =2 ， 则 5 （ a 1 +a 5 ） 2 5 - 3 （ a 1 +a 3 ） 2 3 = a 1 +a 5 2 - a 1 +a 3 2 =d=2 ， ∴a 10 =a 1 +9d=19. 故选 B. 4. C 【解析】 由等差数列性质知 3a 3 =-15 ， 3a 4 =-21 ， 故 a 3 =-5 ， a 4 =-7 ， 则 a 2 =-3. 则 1 8 S 3 = 1 8 × 3 （ a 1 +a 3 ） 2 = 3a 2 8 =- 9 8 . 故选 C. 5. A 【解析】 由题知 S 4 =4a 1 + d 2 ×4×3=0 ， a 5 =a 1 +4d=5 5 $ $ $ . $ $ $ % ， 解得 a 1 =-3 ， d=2 n ， ∴a n =2n-5 ， 故选 A. 6. CD 【解析 】 由 S 11 = 11 （ a 1 +a 11 ） 2 =11a 6 >0 ， 得 a 6 >0. 又 S 12 = 12 （ a 1 +a 12 ） 2 =6 （ a 6 +a 7 ） <0 ， 得 a 6 +a 7 <0 ， ∴a 6 >0 ， a 7 <0 ， 29 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 d<0 ， ∴ 数列 {a n } 是递减数列， 其前 6 项为正， 从第 7 项起均为负数， 因此前 6 项和最大， ∴a 4 >0 ， a 9 <0 ， ｜a 4 ｜- ｜a 9 ｜=a 4 +a 9 =a 6 +a 7 <0 ， 即 ｜a 4 ｜<｜a 9 ｜ ， 故 A ， B 错误， C ， D 正 确 . 故选 CD. 7. C 【解析】 设等差数列为 { a n } ， 公差为 d ， 则 a 1 +a 3 +a 5 +a 7 +a 9 =15 ， a 2 +a 4 +a 6 +a 8 +a 10 =30 0 ， ∴5d=15 ， ∴d=3. 故选 C. 8. C 【解析】 由题意知， 该女每天的织布尺数构成 等差数列 {a n } ， 其中 a 1 =5 ， S 30 =390 ， 设其公差为 d ， 则 S 30 =30×5+ 30×29 2 d=390 ， 解得 d= 16 29 . 故该女子织布每天 增加 16 29 尺 . 9. -2n+5 4 【解析】 设等差数列 {a n } 的首项为 a 1 ， 公差为 d ， 由已知条件得 a 1 +d=1 ， a 1 +4d=-5 0 ， 解得 a 1 =3 ， d=-2 0 ， ∴a n = a 1 + （ n-1 ） d=-2n+5 （ n∈N * ） . 方法一： S n =na 1 + n （ n-1 ） 2 d=-n 2 +4n=4- （ n-2 ） 2 ， ∴ 当 n=2 时， S n 取到最大值 4. 方法二 ： 由 a n ≥0 ， a n+1 < 0 0 得 -2n+5≥0 ， -2 （ n+1 ） +5<0 0 ， 即 3 2 <n≤ 5 2 ， 故当 n=2 时， S n 最大 . 又 ∵S 2 =a 1 +a 2 =3+1=4 ， ∴ 当 n= 2 时， S n 取得最大值 4. 10. 解： （ 1 ） ∵2S n = （ n+2 ） a n -4 ， ∴2S n-1 = （ n+1 ） a n-1 -4 ， n≥2 ， 两式相减得， 2a n = （ n+2 ） a n - （ n+1 ） a n-1 ， 整理得 a n a n-1 = n+1 n ， n≥2 ， n∈N * . 又 ∵2S 1 =3a 1 -4 ， 即 a 1 =4 ， ∴a n = a n a n-1 · a n-1 a n-2 ·…· a 2 a 1 · a 1 = n+1 n · n n-1 ·…· 3 2 ×4=2n+2 ， n≥2. 又 ∵a 1 =4 符合上式， ∴ 数列 {a n } 的通项公式为 a n =2n+2. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， a n =2n+2 ， ∴b n =｜14-2n｜ ， 当 n≤7 时， b n =14-2n ， ∴T n = n （ 12+14-2n ） 2 =-n 2 +13n ， 当 n≥8 时， 令 c n =14-2n ， T n =b 1 +b 2 + … +b n =c 1 +c 2 + … +c 7 -c 8 - … -c n =2 （ c 1 +c 2 + … +c 7 ） - （ c 1 +c 2 + … +c n ） =2× 7 （ 12+0 ） 2 - （ -n 2 +13n ） =n 2 -13n+84 ， ∴ 数列 {b n } 的前 n 项和 T n = -n 2 +13n ， 1≤n≤7 ， n 2 -13n+84 ， n≥ 0 8 （ n∈ N * ） . 提升练习 11. D 【解析 】 由 a 2 3 +a 2 8 +2a 3 a 8 =9 ， 得 （ a 3 +a 8 ） 2 =9 ， ∵a n <0 ， ∴a 3 +a 8 =-3 ， ∴S 10 = 10 （ a 1 +a 10 ） 2 = 10 （ a 3 +a 8 ） 2 = 10× （ -3 ） 2 =-15. 12. C 【解 析 】 ∵ a 2 =6 ， a 5 =15 0 ， ∴ a 1 +d=6 ， a 1 +4d=15 0 ， 故 a 1 =3 ， d=3 0 ， ∴a n =a 1 + （ n-1 ） d=3n ， 故 b n =a 2n =6n ， 则 b 1 =6×1=6 ， d′=b n+1 -b n =6 0 ， 因此 {b n } 的前 5 项和为 S 5 =5×6+ 5×4 2 ×6=90. 故选 C. 13. 6n 2 -5n 【解析】 2S n -na n =n 中， 令 n=1 ， 得 2a 1 - a 1 =1 ， 即 a 1 =1. 又 a 2 =5 ， 故令 n=3 时， 2S 3 -3a 3 =3 ， 即 2a 1 +2a 2 -a 3 =3 ， ∴12-a 3 =3 ， 解得 a 3 =9. 由 2S n -na n =n ， 得 2S n-1 - （ n-1 ） a n-1 =n-1 ， n≥3 ， 两式相减得 （ n-1 ） a n-1 - （ n-2 ） a n =1 ， n≥3 ， 两边同时除以 - （ n-2 ）（ n-1 ）， 得 a n n-1 - a n-1 n-2 = 1 n-1 - 1 n-2 ， n≥3 ， 即 a n n-1 - 1 n-1 = a n-1 n-2 - 1 n-2 = … = a 3 2 - 1 2 =4 ， 故 a n =4n-3 ， n≥3. 经检验， n=1 ， 2 也符合上式， 故 a n =4n-3. 数列 {4n-3} 是以 1 为首项 、 以 4 为公差的等差 数列， 数列 {3n-2} 是以 1 为首项 、 以 3 为公差的等差 数列， 这两个数列的公共项构成的新数列 {c n } 是以 1 为首 项、 以 12 为公差的等差数列， 故 {c n } 的前 n 项和为 n · 1+ n （ n-1 ） 2 ×12=6n 2 -5n. 14. 100 【解析】 ∵ O %& B =a 1 O %& A +a 200 O %& C ， 且 A ， B ， C 三点共线， ∴a 1 +a 200 =1 ， ∴S 200 = 200× （ a 1 +a 200 ） 2 =100. 30 参 考 答 案 15. 3n +1 22 7 ≤k≤ 19 6 【 解 析 】 ∵H n = （ n +1 ） 2 = a 1 +2a 2 +3a 3 + … +na n n ， ∴n （ n+1 ） 2 =a 1 +2a 2 +3a 3 + … +na n ① ， ∴ 当 n=1 时， a 1 =4 ， 当 n≥2 时， （ n-1 ） n 2 =a 1 +2a 2 + 3a 3 + … + （ n-1 ） a n-1 ② ， ①-② 得， 3n 2 +n=na n ， ∴a n =3n+1 ， 综上， a n =3n+1 ， n∈N * ， 令 b n =a n -kn= （ 3-k ） n+1 ， 则 b n+1 -b n =3-k ， 可知 {b n } 为等差数列 . 又 ∵ 对任意 n∈N * ， S n ≤S 6 恒成立， ∴ S 6 -S 5 =b 6 ≥0 ， S 7 -S 6 =b 7 ≤0 0 ， 则有 b 6 = （ 3-k ） ×6+1=19-6k≥0 ， b 7 = （ 3-k ） ×7+1=22-7k≤0 0 ， 解得 22 7 ≤k≤ 19 6 . 阶段性练习卷 （一） 1. A 【解析】 由 a 1 +a 3 +a 5 =3 及等差中项， 得 3a 3 =3 ， 解得 a 3 =1. 故 S 5 = 5 （ a 1 +a 5 ） 2 =5a 3 =5. 故选 A. 2. B 【解 析 】 ∵ 公 差 d =1 ， S 8 =4S 4 ， ∴ 8 （ a 1 +a 8 ） 2 = 4×4 （ a 1 +a 4 ） 2 ， 即 2a 1 +7d=4a 1 +6d ， 解得 a 1 = 1 2 ， ∴a 10 =a 1 + 9d= 1 2 +9= 19 2 . 故选 B. 3. C 【解析】 由 S n+1 =S n +a n +4 ， 得 a n+1 =S n+1 -S n =a n +4. 又 a 1 =2 ， ∴ 数列 {a n } 是以 2 为首项、 4 为公差的等差数列， ∴S n =2n+ n （ n-1 ） 2 ×4=2n 2 ， ∴S 200 =2×200 2 =80 000. 故选 C. 4. A 【解析 】 由题意可知 S 4 =4a 1 + 4×3 2 · d=0 ， a 5 =a 1 +4d=5 5 ' ' ' & ' ' ' ( ， 解得 a 1 =-3 ， d=2 0 ， 故 a n =2n-5 ， S n =n 2 -4n. 故选 A. 5. D 【解析】 当 n≥2 时， a n =S n -S n-1 =n 2 +3n-4- ［（ n-1 ） 2 + 3 （ n-1 ） -4 ］ =2n+2. 当 n=1 时， a 1 =S 1 =1+3-4=0 ， 不满足上式 . ∴a n = 0 ， n=1 ， 2n+2 ， n≥2 0 ， 故 AB 错误； ∵S 3 =3 2 +3×3-4=14 ， S 6 = 6 2 +3×6-4=50 ， S 9 =9 2 +3×9-4=104 ， S 12 =12 2 +3×12-4=176 ， ∴S 6 -S 3 =36 ， S 9 -S 6 =54 ， S 12 -S 9 =72. ∵ （ S 6 -S 3 ） -S 3 ≠ （ S 9 -S 6 ） - （ S 6 -S 3 ）， 故 C 错误； ∵a 1 +4=4 ， 而当 n≥2 时， a n =2n+2 ， 故 a 2 - （ a 1 +4 ） =a n+1 -a n =2 （ n≥2 ）， 故 D 正确 . 故选 D. 6. C 【解析】 ∵S m-1 =-2 ， S m =0 ， S m+1 =3 ， ∴a m =S m -S m-1 = 2 ， a m+1 =S m+1 -S m =3 ， ∴d=a m+1 -a m =3-2=1. ∵S m = m （ a 1 +a m ） 2 = m （ a 1 +2 ） 2 =0 ， ∴a 1 =-2 ， a m =-2+ （ m-1 ） ×1=2 ， ∴m=5. 故 选 C. 7. ABD 【解析】 根据题意， 等差数列 {a n } 中， 若 S 15 >0 ， 即 S 15 = （ a 1 +a 15 ） ×15 2 =15a 8 >0 ， 即 a 8 >0. 又由 a 8 +a 9 <0 ， 则 a 9 <0 ， 故 A 正确； 由于 a 8 >0 而 a 9 <0 ， 则当 n=8 时， S n 最大， 故 B 正确； S 15 >0 ， 而 S 16 = （ a 1 +a 16 ） ×16 2 =8 （ a 8 +a 9 ） <0 ， 故使 S n >0 时， n 的最大值为 15 ， 故 C 错误， D 正确 . 故选 ABD. 8. ABC 【解析】 由 a 1 +3a 2 + … +3 n-1 a n =n · 3 n+1 （ n∈N * ）， 设 b n =3 n-1 a n ， 则 b 1 +b 2 + … +b n =n · 3 n+1 ， ∴ 当 n≥2 时， b 1 +b 2 + … +b n-1 = （ n-1 ）· 3 n ， 两式相减得 ， b n = （ 2n+1 ）· 3 n . 当 n=1 时， b 1 =a 1 =9 也适合上式， 则 b n = （ 2n+1 ）· 3 n =3 n-1 a n ， 解得 a n =3 （ 2n+1 ）， ∴a n+1 -a n =6 ， 故数列 {a n } 是以 9 为首项、 6 为 公差的等差数列， 则 S n = n （ 9+6n+3 ） 2 =3n （ n+2 ） =3n 2 +6n ， 故 AB 正确； 数列 { （ -1 ） n a n } 的前 100 项和 M=3 ［（ -3+5 ） + （ -7+9 ） + … + （ -199+201 ）］ =3×2×50=300 ， 故 C 正确； ｜a n - 20｜=｜6n-17｜= 17-6n ， n≤2 ， 6n-17 ， n≥3 0 ， n∈N * ， 则 {｜a n -20｜} 前 20 项 和为 N=11+5+1+7+13+ … +103=16+ 18 （ 1+103 ） 2 =952 ， 故 D 错误 . 故选 ABC. 9. 227 【解析】 由题得每一行数字个数分别为 a 1 =1 ， a 2 =3 ， a 3 =5 ， …， a n =2n-1 ， 它们成等差数列， 则前 15 行 总共有 15 （ a 1 +a 15 ） 2 = 15× （ 1+29 ） 2 =225 个数， 因此第 16 行 从左边起第 2 个数为 227. 10. 371 【解析】 由题意知， a=3m+2=5n+3 ， m ， n∈ N * ， 则 m=5k 时， n 不存在； 当 m=5k+1 时， n 不存在； 当 m=5k+2 时， n=3k+1 ， 满足题意； 当 m=5k+3 时， n 不 存在； 当 m=5k+4 时， n 不存在 . 故 a=15k+8∈ ［ 1 ， 100 ］， ∴- 7 15 ≤k< 92 15 ， k∈Z ， 则 k=0 ， 1 ， 2 ， …， 6 ， 共 7 个数， 且这些数构成以 8 为首 项、 15 为公差的等差数列， 这 7 个数的和为 7×8+ 7×6 2 × 15=371. 31