5.2.1 等差数列-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

参 考 答 案 对任意 λ>0 ， 所有的正整数 n 都有 λ 2 -kλ+2>a n 成立， 可得 λ 2 -kλ+2> 3 2 . 因此， kλ<λ 2 + 1 2 ， 即 k<λ+ 1 2λ 对 任意 λ>0 恒成立 . 由 λ+ 1 2λ ≥2 λ · 1 2λ 姨 = 2 姨 ， 当且仅当 λ= 1 2λ ， 即 λ= 2 姨 2 时取最小值， 则 k< λ+ 1 2λ $ min = 2 姨 ， ∴ 实数 k 的取值范围是 （ -∞ ， 2 姨 ） . 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列 学习手册 变式训练 1 （ 1 ） 证明： 由题设可得 a n n - a n+1 n+1 +1=0 ， 即 a n+1 n+1 - a n n =1 ， ∴ 数列 a n n n & 是以 1 为首项、 1 为公 差的等差数列 . （ 2 ） 解： 由 （ 1 ） 可得， 数列 a n n n & 的通项公式为 a n n = 1+ （ n-1 ） ×1=n ， ∴a n =n 2 （ n∈N + ） . 变式训练 2 解： （ 1 ） 记该等差数列为 {a n } ， 公差为 d ， 由 a 1 =8 ， d=5-8=-3 ， 得数列的通项公式是 a n =8- 3 （ n-1 ） =-3n+11. 该数列的第 20 项 a 20 =-3×20+11=-49. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， a n =-3n+11 ， 如果 -121 是这个数列的项， 则方程 -3n+11=-121 有 正整数解 . 解这个方程， 得 n=44 ， 故 -121 是该等差数列的第 44 项 . （ 3 ） 由 （ 1 ） 知， a n =-3n+11 ， 解不等式 -200≤-3n+11≤0 ， 得 11 3 ≤n≤ 211 3 . 因此， 该数列位于区间 ［ -200 ， 0 ］ 内的项从第 4 项 起直至第 70 项， 共有 67 项 . 变式训练 3 （ 1 ） BC 【解析】 ∵a ， b ， c 成等差数列， ∴2b=a+c ， ∴Δ=4b 2 -4ac= （ a+c ） 2 -4ac= （ a-c ） 2 ≥0 ， ∴ 二次函 数 y=ax 2 -2bx+c 的图象与 x 轴的交点个数为 1 或 2. （ 2 ） 解： ∵ （ a 2 +a 5 +a 8 ） - （ a 1 +a 4 +a 7 ） =3d ， （ a 3 +a 6 +a 9 ） - （ a 2 +a 5 +a 8 ） =3d ， ∴a 1 +a 4 +a 7 ， a 2 +a 5 +a 8 ， a 3 +a 6 +a 9 成等差数 列， ∴a 3 +a 6 +a 9 =2 （ a 2 +a 5 +a 8 ） - （ a 1 +a 4 +a 7 ） =2×33-39=27. 随堂练习 1. B 【解析】 设 {a n } 的公差为 d ， 根据题意知 a 4 =a 2 + （ 4-2 ） d ， 易知 d=-1 ， ∴a 8 =a 4 + （ 8-4 ） d=-2. 故选 B. 2. A 【解析】 由题意知 a n =2n+1 ， ∴a n+1 -a n =2 ， ∴ 数列 {a n } 是公差为 2 的等差数列 . 故选 A. 3. 3 姨 【解析】 a+b 2 = 1 3 姨 + 2 姨 + 1 3 姨 - 2 姨 2 = 3 姨 - 2 姨 + 3 姨 + 2 姨 2 = 3 姨 . 4. C 【解析】 由题意， 得 5a 8 =120 ， ∴a 8 =24 ， ∴a 9 - 1 3 a 11 = （ a 8 +d ） - 1 3 （ a 8 +3d ） = 2 3 a 8 =16. 故选 C. 5. 解： ∵a 1 =3 ， a n+1 =2a n +1 ， ∴a 2 =2a 1 +1=7 ， a 3 =2a 2 +1=15 ， a 4 =2a 3 +1=31 ， a 5 =2a 4 +1= 63. 又 a 1 =3=2 2 -1 ， a 2 =7=2 3 -1 ， a 3 =15=2 4 -1 ， a 4 =31=2 5 -1 ， a 5 =63=2 6 -1 ， 由此可归纳出 a n =2 n+1 -1. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 a 2 +a 8 =a 1 +d+a 1 +7d=2a 1 +8d=12 ， ∴a 1 +4d= 6 ， ∴a 5 =6. 故选 C. 2. A 【解析】 第一个图形需要 3 根火柴棒， 后面每 多 1 个图形， 则多用 2 根火柴棒， ∴ 火柴棒数构成以 3 为首项、 2 为公差的等差数列， 则 a 10 =3+2× （ 10-1 ） =21. 故选 A. 3. B 【解析】 ∵x-1 ， x+1 ， 2x+3 是等差数列的前 3 项， ∴2 （ x+1 ） =x-1+2x+3 ， 解得 x=0. ∴a 1 =x-1=-1 ， a 2 =1 ， a 3 =3 ， ∴d=2 ， ∴a n =-1+2 （ n-1 ） = 2n-3 （ n∈N * ） . 故选 B. 4. D 【解析】 设数列 {a n } 的公差为 d ， 选项 A ， B ， C 都不满足 b n -b n-1 = 同一常数， ∴ 三个选项都是错误的； b n -b n-1 =- a n 2 + a n-1 2 = a n-1 -a n 2 =- d 2 ， ∴ 数列 {b n } 必为等差数 列， 故 D 正确 . 故选 D. 5. C 【解析】 ∵ {a n } ， {b n } 都是等差数列， ∴ {a n +b n } 也是等差数列 . 又 ∵a 1 +b 1 =100 ， a 2 +b 2 =100 ， ∴a n +b n =100 ， 故 a 37 +b 37 =100. 故选 C. 27 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 6. BC 【解析】 由 3a n+1 =3a n +1 ， 得 3a n+1 -3a n =1 ， 即 a n+1 - a n = 1 3 ， ∴ 数列 {a n } 是公差为 1 3 的等差数列 . 又 ∵a 1 =1 ， 得到 a n =1+ （ n-1 ） × 1 3 = n 3 + 2 3 . 故选 BC. 7. -n+2 （答案不唯一） 【解析】 由题意， 只要满足 首项是 1 、 公差小于 0 即可 ， 可取公差为 -1 ， 则可得 a n =1+ （ n-1 ） × （ -1 ） =-n+2. 8. 9 【解析】 依题意， 等差数列 {a n } 各项都为正数， ∴a 3 >0 ， a 7 >0 ， ∴a 3 a 7 ≤ a 3 +a 7 2 2 # 2 = （ a 5 ） 2 =9 ， 当且仅当 a 3 =a 7 =3 时等号成立 . 9. 90 【解析】 ∵ 数列 {a n } 为等差数列， a 2 +a 8 =a 4 +a 6 = 2a 5 =10 ， ∴ （ a 4 +a 6 ） 2 -2a 5 =10 2 -10=90. 10. 解： 由题意知 a 1 +a 2 =a 3 ， a 1 a 2 =a 4 4 ， ∴ 2a 1 +d=a 1 +2d ， a 1 （ a 1 +d ） =a 1 +3d 4 ， 解得 a 1 =2 ， d=2 4 ， ∴a n =2+ （ n-1 ） ×2=2n. 故数列 {a n } 的通项公式为 a n =2n. 提升练习 11. C 【解析 】 根据等差数列的定义可知 ， 数列 6 ， 4 ， 2 ， 0 的公差为 -2 ， ∴① 错误； 由等差数列的定义 可知， 数列 a ， a-1 ， a-2 ， a-3 是公差为 -1 的等差数列， ∴② 正确； 由等差数列的通项公式 a n =a 1 + （ n-1 ） d ， 得 a n = dn+ （ a 1 -d ）， 令 k=d ， b=a 1 -d ， 则 a n =kn+b ， ∴③ 正确； ∵a n+1 - a n =2 （ n+1 ） +1- （ 2n+1 ） =2 ， ∴ 数列 {2n+1} （ n∈N * ） 是等差 数列， ∴④ 正确 . 故选 C. 12. AC 【解析】 由 a 2n +a 2n+2 =4n （ n∈N * ）， a 2 =2 ， 得 a 4 =4-a 2 =2 ， a 6 =8-a 4 =6 ， 故 A 正确； 又 a 2n +a 2n+2 =4n ， a 2n+2 + a 2n+4 =4 （ n+1 ）， 两式相减得 a 2n+4 -a 2n =4 ， 令 n=2n 1 -1 ， n 1 ∈ N * ， 可得 a 4n 1 +2 -a 4n 1 -2 =4 ， ∴ {a 4n-2 } 是等差数列， 故 C 正 确； 通过 a 2 =2 ， a 2n +a 2n+2 =4n （ n∈N * ） 只能得到偶数项的 值， 对于奇数项， 无法确定， ∴ 无法确定 {a n } 是不是等 差数列， 故 B 错误； 同理， 令 n=2n 1 ， n 1 ∈N * ， 则 a 4n 1 +4 -a 4n 1 =4 ， ∴ {a 4n } 是以 a 4 =2 为首项、 公差为 4 的等差数列 ， ∴a 4n =2+ （ n-1 ） ×4=4n-2 ， 故 D 错误 . 故选 AC. 13. 320 【解析】 log 2 a n+1 =1+log 2 a n ， ∴log 2 a n+1 -log 2 a n =1 ， ∴ { log 2 a n } 为等差数列 ， 公差为 1 ， 第三项为 log 2 10 ， ∴log 2 a 8 =log 2 10+5 ， ∴a 8 =320. 14. 20 【解析】 在等差数列 {a n } 中， a 5 +a 6 =4 ， ∴a 1 + a 10 =a 2 +a 9 =a 3 +a 8 =a 4 +a 7 =a 5 +a 6 =4 ， ∴a 1 +a 2 + … +a 10 = （ a 1 +a 10 ） + （ a 2 + a 9 ） + （ a 3 +a 8 ） + （ a 4 +a 7 ） + （ a 5 +a 6 ） =5 （ a 5 +a 6 ） =20 ， 则 log 2 （ 2 a 1 · 2 a 2 ·… · 2 a 10 ） =log 2 2 a 1 +a 2 + … +a 10 =a 1 +a 2 + … +a 10 =20. 15. 解： 数列 {b n } 是数列 {a n } 的一个子数列， 其序 号构成以 3 为首项， 4 为公差的等差数列， 由于 {a n } 是 等差数列， 则 {b n } 也是等差数列 . （ 1 ） ∵a 1 =3 ， d=-5 ， ∴a n =3+ （ n-1 ） × （ -5 ） =8-5n. 数列 {a n } 中序号被 4 除余 3 的项是 {a n } 中的第 3 项， 第 7 项， 第 11 项， …， ∴b 1 =a 3 =-7 ， b 2 =a 7 =-27. （ 2 ） 设 {a n } 中的第 m 项是 {b n } 中的第 n 项， 即 b n = a m ， 则 m=3+4 （ n-1 ） =4n-1 ， ∴b n =a m =a 4n-1 =8-5× （ 4n-1 ） =13- 20n ， 即 {b n } 的通项公式为 b n =13-20n （ n∈N * ） . （ 3 ） b 503 =13-20×503=-10 047 ， 设它是 {a n } 中的第 m 项， 则 -10 047=8-5m ， 解得 m=2 011 ， 即 {b n } 中的第 503 项是 {a n } 中的第 2 011 项 . 5.2.2 等差数列的前 n 项和 学习手册 变式训练 1 （ 1 ） D （ 2 ） 2 500 【解析】 （ 1 ） 设等差 数列 {a n } 的公差为 d ， ∵a 14 =-8 ， S 9 =-9 ， ∴ a 1 +13d=-8 ， 9a 1 +36d=-9 4 ， 化简得 a 1 +13d=-8 ， a 1 +4d=-1 4 ， ∴ a 1 = 19 9 ， d=- 7 9 9 ( ( ( ( ( ' ( ( ( ( ( ) ， ∴S 18 =18a 1 +153d=-81. 故 选 D. （ 2 ） 由 a m =a 1 + （ m-1 ） d ， 得 99=1+ （ m-1 ） ×2 ， 解得 m= 50 ， ∴S 50 =50×1+ 50×49 2 ×2=2 500. 变式训练 2 解： （ 1 ） 由 S n =n 2 +2n+1= （ n+1 ） 2 得， 当 n>1 时， S n-1 =n 2 ， ∴a n =S n -S n-1 = （ n+1 ） 2 -n 2 =2n+1. 当 n=1 时， a 1 = 1+2+1=4 ， 不适合 a n =2n+1 ， 故 a n = 4 ， n=1 ， 2n+1 ， n≥2 4 . （ 2 ） ∵a n+1 =S n S n+1 ， 且 a n+1 =S n+1 -S n ， ∴S n+1 -S n =S n S n+1 ， ∴ 1 S n - 1 S n+1 =1 ， 即 1 S n+1 - 1 S n =-1. 又 ∵ 1 S 1 = 1 a 1 =-1 ， ∴ 1 S n 4 n 是首 项为 -1 、 公差为 -1 的等差数列， ∴ 1 S n =-1+ （ n-1 ）（ -1 ） = -n ， ∴S n =- 1 n . 28 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 理解等差数列的概念， 并能利用等差 数列的定义判断或证明一个数列是否为等差 数列 . 2. 掌握等差数列的通项公式和等差中项 的概念 . 3. 掌握等差数列的性质， 并能在具体问 题中正确应用 . 4. 了解等差数列与一次函数的关系 . 要 点 精 析 要点 1 等差数列的概念相关问题 等差数列的定义： 一般地， 如果数列 {a n } 从第 2 项起， 每一项与它的前一项之差 都等于同一个常数 d ， 即 a n+1 -a n =d 恒成立， 则称 {a n } 为等差数列， 其中 d 称为等差数 列的公差 . 例 1 判断以下数列是不是等差数列 . 如 果是， 指出公差； 如果不是， 请说明理由 . （ 1 ） 7 ， 13 ， 19 ， 25 ， 31 ； （ 2 ） 2 ， 4 ， 7 ， 11 ； （ 3 ） -1 ， -3 ， -5 ， -7. 解： （ 1 ） ∵13-7=19-13=25-19=31-25= 6 ， ∴ 是等差数列， 且公差为 6. （ 2 ） ∵4-2=2 ， 7-4=3 ， ∴4-2≠7-4 ， 不 是等差数列 . （ 3 ） ∵-3- （ -1 ） =-5- （ -3 ） =-7- （ -5 ） =-2 ， ∴ 是等差数列， 且公差为 -2. 反思感悟 判断一组数列是不是等差数列的方法 是看它的后一项减前一项是不是同一个常数 . 变式训练 1 已知数列 {a n } 满足 a 1 =1 ， n∈N + ， 若点 a n n ， a n+1 n+1 1 $ 在直线 x-y+1=0 上 . （ 1 ） 求证： 数列 a n n n & 是等差数列； （ 2 ） 求数列 {a n } 的通项公式 . 要点 2 等差数列的通项公式 1. 等差数列的通项公式有两个基本量： 首项 a 1 和公差 d ， 故求通项公式主要是利用 方程思想解 a 1 ， d. 2. 等差数列通项公式的两种形式： （ 1 ） a n =a 1 + （ n-1 ） d ； （ 2 ） a n =a m + （ n-m ） d. 3. 等差数列通项公式的函数形式： a n = kn+b （ k ， b 为常数） . 例 2 （ 1 ） 已知数列 {a n } 为等差数列， a 3 = 5 4 ， a 7 =- 7 4 ， 求 a 15 的值； 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列 12 第五章 数 列 学 （ 2 ） 已知数列 {a n } 的通项公式为 a n = 3n-5 ， 判断这个数列是不是等差数列 . 如果 是， 求出公差； 如果不是， 请说明理由 . 分析 思路一： 通过通项公式 a n =a 1 + （ n-1 ） d 建立关于 a 1 ， d 的方程， 求出 a 1 ， d 后求出 a 15 ； 思路二： 通过通项公式 a n =a m + （ n-m ） d 求出 d ， 然后再求出 a 15 . 解： （ 1 ） 方法一： 由 a 3 = 5 4 ， a 7 =- 7 4 4 # # # # # # " # # # # # # $ ， 得 a 1 +2d= 5 4 ， a 1 +6d=- 7 4 4 # # # # # # " # # # # # # $ ， 解得 a 1 = 11 4 ， d=- 3 4 4 # # # # # # " # # # # # # $ ， ∴a 15 =a 1 + （ 15-1 ） d= 11 4 +14× - 3 4 4 & =- 31 4 . 方法二： 由 a 7 =a 3 + （ 7-3 ） d ， 即 - 7 4 = 5 4 + 4d ， 解得 d=- 3 4 ， ∴a 15 =a 3 + （ 15-3 ） d= 5 4 +12× - 3 4 4 & =- 31 4 . （ 2 ） ∵a n+1 -a n =3 （ n+1 ） -5- （ 3n-5 ） =3 ， ∴ 数 列 {a n } 是等差数列， 且公差为 3. 反思感悟 （ 1 ） 应用等差数列的通项公式求 a 1 和 d ， 运用了方程的思想 . 一般地， 可由 a m =a ， a n =b ， 求出 a 1 和 d ， 从而确定通项公式 . 若 已知等差数列中的任意两项 a m ， a n ， 求通项 公式或其他项时， 则运用 a m =a n + （ m-n ） d 较 为简捷 . （ 2 ） 数列 {a n } 是等差数列的充要条件 是 a n =kn+b ， 其中 k ， b 是常数 . 变式训练 2 已知等差数列 8 ， 5 ， 2 ， … . （ 1 ） 求该数列的第 20 项 . （ 2 ） 试问 -121 是不是该等差数列的项？ 如果是， 指明是第几项； 如果不是， 试说明 理由 . （ 3 ） 该数列共有多少项位于区间 ［ -200 ， 0 ］ 内？ 要点 3 等差数列的性质 1. 等差中项： 如果 x ， A ， y 是等差数 列， 那么称 A 为 x 与 y 的等差中项 . 2. 在等差数列 {a n } 中 ， 若 m+n=p+q （ m ， n ， p ， q∈N * ）， 则 a m +a n =a p +a q . 特别地， 若 m+n=2p ， 则 a m +a n =2a p . 例 3 （ 1 ） 在 -1 与 7 之间顺次插入三 个数 a ， b ， c ， 使这五个数成等差数列， 求 此数列； （ 2 ） 在等差数列 {a n } 中， 已知 a 2 +2a 8 + a 14 =120 ， 则 2a 9 -a 10 的值为 . 解： （ 1 ） ∵-1 ， a ， b ， c ， 7 成等差数 列， ∴b 是 -1 与 7 的等差中项， ∴b= -1+7 2 =3. 又 ∵a 是 -1 与 3 的等差中项， ∴a= -1+3 2 =1. 又 ∵c 是 3 与 7 的等差中项， ∴c= 3+7 2 =5. ∴ 该数列为 -1 ， 1 ， 3 ， 5 ， 7. （ 2 ） ∵a 2 +a 14 =2a 8 ， ∴a 2 +2a 8 +a 14 =4a 8 =120 ， ∴a 8 =30 ， ∴2a 9 -a 10 = （ a 8 +a 10 ） -a 10 =a 8 =30. 13 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 反思感悟 数 a ， b ， c 成等差数列的充要条件是 b= a+c 2 （或 2b=a+c ）， 可用来解决等差数列 的判定或有关等差中项的计算问题 . 变式训练 3 （ 1 ） （多选题） 若 a ， b ， c 成等差数列， 则二次函数 y=ax 2 -2bx+c 的图象与 x 轴的交 点的个数可能为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （ 2 ） 在等差数列 {a n } 中， 已知 a 1 +a 4 + a 7 =39 ， a 2 +a 5 +a 8 =33 ， 求 a 3 +a 6 +a 9 的值 . 数 学 文 化 例 古代中国数学辉煌灿烂， 在 《张丘 建算经》 中记载： “今有十等人， 大官甲等 十人， 官赐金， 依等次差降之 . 上三人先入， 得金四斤， 持出； 下四人后入， 得金三斤， 持出； 中央三人未到者， 亦依等次更给 . 问 各得金几何及未到三人复应得金几何 . ” 这 段话的大致意思是 “一共有 10 个人， 按顺 序得到的赏金成等差数列， 前 3 个人得到的 赏金总质量为 4 斤， 最后 4 个人得到的赏金 总质量为 3 斤， 问每个人得到多少赏金， 未 到的三个人得到多少赏金 . ” 则该问题中未 到三人共得多少赏金？ 分析 根据题意， 由条件可得十人得 金可构成等差数列， 代入计算， 即可得到 公差 d ， 从而得到结果 . 解： 设十人得金按等级依次设为 a 1 ， a 2 ， a 3 ， …， a 10 ， 则 a 1 ， a 2 ， a 3 ， …， a 10 成等差 数列， 且 a 1 +a 2 +a 3 =4 ， a 7 +a 8 +a 9 +a 10 =3 3 ， 设等差数列 a 1 ， a 2 ， a 3 ， …， a 10 的公差 为 d ， 则 3a 1 +3d=4 ， 4a 1 +30d=3 3 ， 解得 d=- 7 78 ， ∴a 4 +a 5 +a 6 = （ a 1 +a 2 +a 3 ） +9d= 83 26 . 14