5.1.1 数列的概念-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

第五章 数 列 学 学 习 目 标 1. 了解数列的定义及有关概念 . 2. 能根据数列的前几项写出数列的一个 通项公式 . 3. 能根据数列的通项公式求解或判断项 . 4. 能根据数列的通项公式判断数列的增 减性， 并能根据增减性求参数的取值范围和 求数列的最大项和最小项 . 要 点 精 析 要点 1 数列的有关概念 1. 数列： 按照一定次序排列的一列数称 为数列 . 2. 数列的项： 数列中的每一个数都称为 这个数列的项， 第 1 项称为首项 . 3. 数列的项数： 组成数列的数的个数称 为数列的项数 . 4. 有穷数列与无穷数列： 一般地， 项数 有限的数列称为有穷数列， 项数无限的数列 称为无穷数列， 有穷数列的最后一项一般也 称为末项 . 例 1 下列说法正确的有 . ① 数列 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 和数列 9 ， 7 ， 5 ， 3 ， 1 是相同的数列； ②-4 ， -2 ， 0 ， x ， 4 ， 6 是一个项数为 6 的数列； ③ {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} 是有穷数列； ④ 所有正整数构成的数列是无穷数列； ⑤ 数列 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， …， n 是无穷数列 . 分析 结合数列的定义以及有穷数列 和无穷数列的定义即可进行判断 . 解析： ① 数列是按照一定次序排列的一 列数， 因此次序改变时， 数列就改变了， 故 ① 中两个数列不是相同的数列， 故 ① 错误； ②∵ 当 x 代表数时是项数为 6 的数列， 当 x 不代表数时便不是数列， 如 x 表示式子 b 2 -3=b ， 故 ② 错误； ③∵ {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} 是集合， 不是 数列， 故 ③ 错误； ④∵ 正整数有无限个， 故所有正整数构 成的数列是无穷数列， 故 ④ 正确； ⑤∵ 数列 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … ， n 共有 n 项， 是有穷数列， 故 ⑤ 错误 . 第五章 数 列 5.1 数列基础 5.1.1 数列的概念 1 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 变式训练 1 （多选题） 下列说法正确的有 （ ） A. 数列的项必须是数 B. 数列的项可以相等 C. 数列中的项与项的序号是相同的 D. 数列 5 ， 3 ， 2 ， 7 ， 6 ， 5 的首项为 5 ， 末项为 5 要点 2 数列的通项公式 1. 数列的通项： 数列的一般形式可以写 成 a 1 ， a 2 ， a 3 ， …， a n ， …， 其中 a n 表示数列 的第 n 项 （也称 n 为 a n 的序号， 其中 n 为正 整数， 即 n∈N + ）， 称为数列的通项 . 此时， 一般将整个数列记为 {a n } . 思考 {a n } 与 a n 有什么区别？ 2. 数列的通项公式： 一般地， 如果数列 的第 n 项 a n 与 n 之间的关系可以用 a n =f （ n ） 来表示， 其中 f （ n ）是关于 n 的不含其他未知 数的表达式， 则称上述关系式为这个数列的 一个通项公式 . 思考 数列一定都有通项公式吗？ 如 果有， 通项公式唯一吗？ 例 2 写出以下各数列的 一 个 通 项 公式： （ 1 ） 1 2 ， 3 ， 11 2 ， 8 ， 21 2 ， …； （ 2 ） - 3 姨 ， 3 ， -3 3 姨 ， 9 ， …； （ 3 ） -1 ， 0 ， -1 ， 0 ， -1 ， 0 ， …； （ 4 ） 9 ， 99 ， 999 ， 9 999 ， … . 分析 根据数列的规律得到数列的通 项公式， 即可确定结论， 具体可以考虑一 些常见的数列， 比如差值相同， 比值相同， a n （ a 为常数）， n α （ α 为常数）， 或是在这 些数列的基础上进行变化得到的 . 解： （ 1 ） 把其中的整数改写为分母为 2 的分数形式， 则发现分母为 2 ， 分子每一项 减去前一项之差为 5 ， ∴ 可以写出该数列的 一个通项公式为 a n = 5n-4 2 . （ 2 ） 先把根号外的正数移到根号里 ， 再把每项看成两部分乘积 ， 可以得到 a n = （ -1 ） n 3 n 姨 . （ 3 ） 方法一： 若按奇偶项来考虑， 可以 写成分段的形式， a n = -1 ， n 为奇数， 0 ， n 为偶数 数 . 方法二： 对于这种奇数项为 -1 、 偶数项 为 0 的数列， 也可以考虑利用数列 （ -1 ） n -1 2 来表示， 写成 a n = -1+ （ -1 ） n 2 . 方法三 ： 若 考 虑 项 数 每 差 2 ， 项 相 同， 考虑借助三角函数来表示， 可以写成 a n = -sin 2 nπ 2 2 % . （ 4 ） 各项加 1 后变为 10 ， 100 ， 1 000 ， 10 000 ， …， 此数列的通项公式为 10 n ， 可 得原数列的通项公式为 a n =10 n -1. 反思感悟 寻找 a n 与 n 的关系， 首先要观察每项 的特点， 考虑写成结构相同的形式， 再考 虑每项的构成， 每一部分用 n 表示， 可以 结合常见的差为定值、 比为定值， 或是指 数型 a n ， 或是幂型 x n ， 或是在此基础上的 变化， 复杂的还需要考虑各部分之间的关 系 ， 对于正负交错的需要考虑 （ -1 ） n 或 （ -1 ） n+1 或 （ -1 ） n-1 ， 对于间隔几项才具有相 2 第五章 数 列 学 图 5-1-1 同规律的可以考虑分段的形式或是用三角 函数来表示 . 变式训练 2 根据下列各无穷数列的前几项， 写出数 列的一个通项公式： （ 1 ） 2 ， - 4 3 ， 8 5 ， - 16 7 ， 32 9 ， …； （ 2 ） -1 ， 1 ， -1 ， 2 ， -1 ， 3 ， …； （ 3 ） 1 ， 0 ， -1 ， 0 ， 1 ， 0 ， -1 ， 0 ， …； （ 4 ） 2 ， 22 ， 222 ， 2 222 ， 22 222 ， …； （ 5 ） 2 ， 5 ， 10 ， 17 ， 26 ， 37 ， … . 变式训练 3 下图中的三角形称为谢尔宾斯基 （ Sier鄄 pinski ） 三角形 . 图中从左向右的四个三角形 中， 着色三角形的个数依次构成一个数列的 前 4 项 ， 则这个数列的一个通项公式为 （ ） A. a n =3 n-1 B. a n =3 n C. a n =3 n -2n D. a n =3 n-1 +2n-3 要点 3 应用数列的通项公式求解项、 项数或判断项 例 3 已知数列 {a n } 的通项公式为 a n = 3n-2 3n+1 . （ 1 ） 求这个数列的第 11 项 . （ 2 ） 98 101 是 不 是 该 数 列 中 的 项 ？ 为 什么？ （ 3 ） 在区间 1 3 ， 3 4 4 " 内是否有数列中 的项？ 若有， 求出有几项； 若没有， 请说明 理由 . 分析 （ 1 ） 在通项公式中， 令 n=11 ， 计算即得解； （ 2 ） 令 3n-2 3n+1 = 98 101 ， 结合 n∈N * 即得解； （ 3 ） 令 1 3 < 3n-2 3n+1 < 3 4 ， 结 合 n∈N * 即得解 . 解： （ 1 ） 对于 a n = 3n-2 3n+1 ， 令 n=11 ， 得 第 11 项 a 11 = 31 34 . （ 2 ） 令 3n-2 3n+1 = 98 101 ， 得 n= 100 3 埸N + ， ∴ 98 101 不是该数列中的项 . （ 3 ） 令 1 3 < 3n-2 3n+1 < 3 4 ， 则 3n+1<9n-6 ， 12n-8<9n+3 3 ， 解得 7 6 <n< 11 3 . 又 ∵n∈N * ， ∴n=2 或 n=3. ∴ 区间 1 3 ， 3 4 4 " 内有数列中的项， 且有 两项 . 图 1 图 2 图 3 图 4 … 3 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 反思感悟 （ 1 ） 求指定的项， 可以对 n 进行取值， 并代入通项公式运算即可； （ 2 ） 判断给定 的数是否为数列的项， 可以借助 a n 和给定 的数， 建立关于 n 的方程， 看方程是否有 正整数解来判断； （ 3 ） 判断给定范围内是 否有数列中的项， 可以借助 a n 和给定的范 围， 建立关于 n 的不等式， 根据整数解的 情况即可判定 . 变式训练 4 已知数列 a n =n 2 -n-12. （ 1 ） 求该数列的第 6 项 . （ 2 ） 判断 30 是否为这个数列的项， 并 说明理由 . （ 3 ） 在 （ 0 ， 30 ） 内， 是否存在该数列 的项？ 若存在， 求出有几项； 若不存在， 请 说明理由 . 要点 4 数列的增减性的判定及根据增 减性求参数范围 1. 数列与函数的关系： 数列 {a n } 可以 看成定义域为正整数集的子集的函数， 数 列中的数就是自变量从小到大依次取正整数 值时对应的函数值， 而数列的通项公式也 就是相应函数的解析式， 因此数列在平面 直角坐标系中表示一群孤立的点 . 2. 数列的增减性： 从第 2 项起， 每一 项都大于它的前一项的数列称为递增数列； 从第 2 项起， 每一项都小于它的前一项的 数列称为递减数列； 各项都相等的数列称 为常数数列 （简称为常数列） . 思考 数列的增减性与函数的增减性 之间有什么关系？ 例 4 已知数列 {a n } 的通项公式 a n = kn 2n+3 （ k∈R ） . （ 1 ） 当 k=1 时， 判断数列 {a n } 的单调性； （ 2 ） 若数列 {a n } 是递减数列， 求实数 k 的取值范围 . 分析 数列的单调性问题可以由作差 法求得 . 解： （ 1 ） 当 k=1 时， a n = n 2n+3 ， ∴a n+1 = n+1 2n+5 ， ∴a n+1 -a n = n+1 2n+5 - n 2n+3 = 3 （ 2n+5 ）（ 2n+3 ） >0 ， 故数列 {a n } 是递增数列 . （ 2 ） 若数列 {a n } 是递减数列， 则 a n+1 - a n <0 恒 成 立 ， 即 a n +1 -a n = kn+k 2n+5 - kn 2n+3 = 3k （ 2n+5 ）（ 2n+3 ） <0 恒成立 . ∵ （ 2n+5 ）（ 2n+3 ） > 0 ， ∴ 必有 3k<0 ， 故 k<0. 4 第五章 数 列 学 变式训练 5 在数列 {a n } 中， a n = （ n +1 ） 10 11 1 " n （ n∈ N * ）， 试判断数列 {a n } 的增减性 . 变式训练 6 （ 1 ） 已知数列 {a n } 是递增数列， 且其 通项公式为 a n =n 2 +λn ， 则实数 λ 的取值范 围是 （ ） A. - 7 2 ， + 1 " ∞ B. ［ 0 ， +∞ ） C. ［ -2 ， +∞ ） D. （ -3 ， +∞ ） （ 2 ） 已知数列 {a n } 满足 a n = a n-7 ， n≤8 ， 1 3 - 1 " a · n+2 ， n> % ' ' ' ' & ' ' ' ' ( 8 （ n∈N + ）， 若对任 意 n∈N + ， 都有 a n >a n+1 ， 则实数 a 的取值范 围是 （ ） A. 0 ， 1 3 1 " B. 0 ， 1 2 1 " C. 1 2 ， 1 " 1 D. 1 3 ， 1 2 1 " 要点 5 求数列的最大项与最小项 例 5 已知数列 {a n } 的通项公式为 a n = -2n 2 +15n-15 ， 求数列 {a n } 的最大项 . 分析 对于本题求最大项问题： 一是 利用作差比较 a n+1 与 a n 的大小或是利用二 次函数的性质确定数列增减性， 即可确定 数列的最大项； 二是比较相邻三项， 列不 等式组 a n ≥a n+1 ， a n ≥a n-1 1 ， 解出 n ， 即可确定最大项 . 解： 方法一 ： a n =-2 n- 15 4 1 " 2 + 105 8 ， ∵ n∈N + ， ∴ 当 n=4 时， a n 取得最大值 . 又 ∵a 4 =-2×4 2 +15×4-15=13 ， ∴ 数列 {a n } 的最大项为 13. 或考虑函数 f （ x ） =-2x 2 +15x-15=-2 x- 15 4 1 " 2 + 105 8 ， ∵f （ x ）在 1 ， 15 4 4 , 上单调递增 ， 在 15 4 ， + " ∞ 4 上单调递减 ， 且 f （ 4 ） >f （ 3 ） ， ∴ {a n } 的第 4 项最大 . a 4 =-2×4 2 +15×4-15=13 ， ∴ 数列 {a n } 的 最大项为 13. 方法二： a n+1 -a n = ［ -2 （ n+1 ） 2 +15 （ n+1 ） - 15 ］ - （ -2n 2 +15n-15 ） = 13-4n ， ∴ 当 1≤n≤3 时， a n+1 >a n ； 当 n≥4 时， a n+1 <a n . 又 ∵a 3 <a 4 ， ∴ {a n } 的第 4 项最大 . a 4 =-2×4 2 +15×4-15=13 ， ∴ 数列 {a n } 的 最大项为 13. 方法三： 设数列 {a n } 的第 n 项最大， 则 a n ≥a n+1 ， a n ≥a n-1 1 ， 即 -2n 2 +15n-15≥-2 （ n+1 ） 2 +15 （ n+1 ） -15 ， -2n 2 +15n-15≥-2 （ n-1 ） 2 +15 （ n-1 ） -15 1 ， 解得 13 4 ≤n≤ 17 4 . ∵n∈N + ， ∴n=4 ， ∴ {a n } 的第 4 项最大 . 5 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 a 4 =-2×4 2 +15×4-15=13 ， ∴ 数列 {a n } 的最大 项为 13. 反思感悟 对于数列中最大或最小项问题， 主要 有三种思考方法： 一是利用数列对应的函 数的增减性， 二是利用数列的增减性的定 义， 三是利用相邻三项比较列不等式组 . 变式训练 7 已知数列 {a n } 的通项公式为 a n = 1 2 n -15 ， 其最大项和最小项的值分别为 （ ） A. 1 ， - 1 7 B. 0 ， - 1 7 C. 1 7 ， - 1 7 D. 1 ， - 1 11 变式训练 8 已知数列 {a n } 的通项公式为 a n = （ n+2 ）· 7 8 ! " n （ n∈N + ）， 数列 {a n } 有没有最大项？ 若有， 求出最大项的项数； 若没有， 请说明 理由 . 数 学 文 化 例 大衍数列来源于 《乾坤谱》 中对易 传 “大衍之数五十” 的推论， 主要用于解 释中国传统文化中的太极衍生原理， 数列中 的每一项， 都代表太极衍生过程中曾经经 历过的两仪数量总和， 是中华传统文化中 隐藏的世界数学史上第一道数列题 . 其前 10 项依次是 0 ， 2 ， 4 ， 8 ， 12 ， 18 ， 24 ， 32 ， 40 ， 50 ， 则此数列的通项公式为 ， 此数 列的第 19 项为 . 解析： 观察此数列可知， 当 n 为偶数 时， a n = n 2 2 ， 当 n 为奇数时， a n = n 2 -1 2 . ∴a 19 = 19 2 -1 2 =180. 6 参 考 答 案 5.1 数列基础 5.1.1 数列的概念 学习手册 变式训练 1 ABD 【解析】 根据数列的定义， 数列是按 照一定次序排列的一列数， 故 A 正确； 同一个数在一个 数列中可以重复出现， 即数列的项可以相等， 故 B 正 确； 数列中的项与项的序号是不同的， 数列中的项是数 列中某一确定的数， 而项的序号是指这个数在数列中的 具体位置， 故 C 错误； 数列 5 ， 3 ， 2 ， 7 ， 6 ， 5 的第一 项为首项， 最后一项为末项， 都是 5 ， 故 D 正确 . 故选 ABD. 变式训练 2 解： （1 ） 分成三部分看， 正负号、 分子以 及分母， 并把第一项改写为 2 1 ， 即可得到 a n = （ -1 ） n+1 · 2 n 2n-1 . （ 2 ） 分奇偶项看， 可以发现奇数项都是 -1 ， 偶数项 为从 1 开始的自然数列 . 若考虑分段写， 则 a n = -1 ， n 为奇数， n 2 ， n 为偶数 数 # # # " # # # $ ； 若合为一个 式子， 则 a n = n 4 ［ 1+ （ -1 ） n ］ + 1 2 ［（ -1 ） n -1 ］ . （ 3 ） 观察可以发现， 数列每 4 项出现重复， 因此可 以考虑用三角函数来表示 a n =sin nπ 2 或 a n =cos （ n-1 ） π 2 . （ 4 ） 对于相同数字个数逐个增加的数列， 可以考虑 与数列 {10 n } 有关， 由数字 9 到数字 1 ， 再到数字 2 ， 则 a n = 2 9 （ 10 n -1 ） . （ 5 ） 把数列每一项都减去 1 ， 就会发现一个从 1 开 始的自然数的平方构成的数列， 故得到数列的通项公式 a n =n 2 +1. 变式训练 3 A 【解析】 每一次变化， 灰色的三角形个数 都变为原来的 3 倍， 考虑 a 1 =1 ， ∴a n =3 n-1 . 也可以考虑列 出前 4 项： 1 ， 3 ， 9 ， 27 ， 再结合规律得到 a n =3 n-1 . 故选 A. 变式训练 4 解： （ 1 ） 令 n=6 ， 得 a 6 =6 2 -6-12=18 ， ∴ 该 数列的第 6 项为 18. （ 2 ） 令 n 2 -n-12=30 ， 即 n 2 -n-42=0 ， 解得 n=7 或 n= -6. ∵n∈N + ， ∴n=7 ， ∴30 是该数列的第 7 项 . （ 3 ） 令 0<n 2 -n-12<30 ， 即 n 2 -n-12>0 ， n 2 -n-42<0 0 ， 解得 -6<n<-3 或 4<n<7. ∵n∈N + ， ∴n=5 ， 6 ， ∴ 在 （ 3 ， 30 ） 内存在数列的第 5 项和第 6 项 . 变式训练 5 解： 令 a n a n-1 ≥1 （ n≥2 ）， 即 （ n+1 ） 10 11 1 ) n n 10 11 1 1 n-1 ≥ 1 ， 整理得 n+1 n ≥ 11 10 ， 解得 n≤10. 令 a n a n+1 ≥1 ， 即 （ n+1 ） 10 11 1 1 n （ n+2 ） 10 11 1 1 n+1 ≥1 ， 整理得 n+1 n+2 ≥ 10 11 ， 解得 n≥9. ∴ 数列 {a n } 从第 1 项到第 9 项递增， 从第 10 项起 递减 . 变式训练 6 （ 1 ） D （ 2 ） C 【解析】 （ 1 ） 方法一： 由 {a n } 是递增数列且 a n =n 2 +λn ， 得 a n+1 -a n = （ n+1 ） 2 +λ （ n+1 ） - （ n 2 +λn ） =2n+1+λ>0 对 n∈N * 恒 成 立 ， ∴λ > ［ - （ 2n +1 ）］ max ， 即 λ>-3. 方法二 ： 数列 {a n } 对应 的函数为 f （ x ） =x 2 +λx ， 其图象如图所示， 由 {a n } 是递增 第五章 数 列 参 考 答 案 变式训练 6 答图 21 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 数列得 - λ 2 < 3 2 ， 解得 λ>-3. 故选 D. （ 2 ） 由题意可知， 数列 {a n } 为递减数列， ∴ 0<a<1 ， 1 3 -a<0 ， a> 1 3 - - " a · 9+2 2 % % % % % % % $ % % % % % % % & ， 解得 1 2 <a<1. 故选 C. 变式训练 7 A 【解析】 ∵n∈N * ， ∴ 当 1≤n≤3 时， a n = 1 2 n -15 <0 ， 且单调递减； 当 n≥4 时， a n = 1 2 n -15 >0 ， 且单调递减， 且 a 1 = 1 2-15 =- 1 13 ， ∴ 最小项为 a 3 = 1 8-15 =- 1 7 ， 最大项为 a 4 = 1 16-15 = 1. 故选 A. 变式训练 8 解： 方法一： a n+1 -a n = （ n+3 ）· 7 8 - " n+1 - （ n+2 ）· 7 8 - " n = 7 8 - " n · 5-n 8 . 当 0<n<5 时， a n+1 -a n >0 ， 即 a n+1 >a n ； 当 n=5 时， a n+1 -a n =0 ， 即 a n+1 =a n ； 当 n>5 时， a n+1 -a n <0 ， 即 a n+1 <a n . 故有 a 1 <a 2 <a 3 <a 4 <a 5 =a 6 >a 7 >a 8 > …， ∴ 当 n=5 或 n=6 时， 数列 {a n } 有最大项， 即数列 {a n } 第 5 项和第 6 项最大 . 方法二： a n+1 a n = （ n+3 ）· 7 8 - " n+1 （ n+2 ）· 7 8 - " n = 7 （ n+3 ） 8 （ n+2 ） . 令 a n+1 a n >1 ， 则 7 （ n+3 ） 8 （ n+2 ） >1 ， 解得 0<n<5 ； 令 a n+1 a n =1 ， 则 7 （ n+3 ） 8 （ n+2 ） =1 ， 解得 n=5 ； 令 a n+1 a n <1 ， 则 7 （ n+3 ） 8 （ n+2 ） <1 ， 解得 n>5. 又 ∵a n >0 ， 故有 a 1 <a 2 <a 3 <a 4 <a 5 =a 6 >a 7 >a 8 > …， ∴ 当 n=5 或 n=6 时， 数列 {a n } 有最大项， 即数列 {a n } 第 5 项和第 6 项最大 . 方法三： 假设 {a n } 有最大项， 且最大项为第 k 项， 则 a k ≥a k-1 ， a k ≥a k+1 1 ， 即 （ k+2 ）· 7 8 - " k ≥ （ k+1 ）· 7 8 - " k-1 ， （ k+2 ）· 7 8 - " k ≥ （ k+3 ）· 7 8 - " k+1 2 % % % % $ % % % % & ， 解得 5≤k≤6 ， ∴ {a n } 的最大项为第 5 项和第 6 项 . 随堂练习 1. D 【解析 】 ∵a 1 =2 ， a n+1 =a n +n ， ∴a 2 =a 1 +1=2+1=3 ， a 3 =a 2 +2=2+3=5 ， a 4 =a 3 +3=5+3=8. 故选 D. 2. 解： （ 1 ） 将原数列各项统一为分数： 2 2 ， 4 3 ， 8 4 ， 16 5 ， …， 故通项公式为 a n = 2 n n+1 . （ 2 ） 原数列各项先负后正， 符号为 （ -1 ） n ， 各项分 母依次为 4-1 ， 9-1 ， 16-1 ， 25-1 ， …， 故通项公式为 a n = （ -1 ） n · 1 （ n+1 ） 2 -1 . （ 3 ） 原数列各项分母依次为 1 2 +1 ， 2 2 +1 ， 3 2 +1 ， 4 2 + 1 ， 5 2 +1 ， …， 故通项公式为 a n = n n 2 +1 . （ 4 ） 原数列各项依次为 10-1 ， 10 2 -1 ， 10 3 -1 ， 10 4 - 1 ， …， 故通项公式为 a n =10 n -1. （ 5 ） 原数列奇数项为 -1 ， 偶数项为 1 ， 故通项公式 为 a n = （ -1 ） n . 3. D 【解析】 方法一： a n+1 -a n = ［（ n+1 ） 2 -9 （ n+1 ） +1 ］ - （ n 2 -9n+1 ） =2 （ n-4 ） . 当 1≤n<4 时， a n+1 <a n ； 当 n=4 时， a 5 = a 4 ； 当 n>4 时， a n+1 >a n . ∴a 1 >a 2 >a 3 >a 4 =a 5 <a 6 <a 7 < …， ∴ 该数 列先递减， 再递增 . 故选 D. 方法二： 考虑函数 f （ x ） =x 2 -9x+1 ， x∈ ［ 1 ， +∞ ）， 函 数图象的对称轴为 x= 9 2 ， ∴f （ x ）在 1 ， 9 2 2 , 上单调递减， 在 9 2 ， + " ∞ 2 上单调递增 . 又 ∵f （ 4 ） =f （ 5 ）， ∴a 1 >a 2 >a 3 >a 4 = a 5 <a 6 <a 7 < …， ∴ 该数列先递减， 再递增 . 故选 D. 4. 6 【解析】 方法一： a n = n+1 3n-16 = 1 3 + 19 3 （ 3n-16 ） ， a n+1 - a n = 1 3 + 19 3 （ 3n-13 ） 2 , - 1 3 + 19 3 （ 3n-16 ） 2 , = 19 （ 3n-13 ）（ 3n-16 ） ， ∴ 当 1≤n≤4 或 n≥6 时 ， a n+1 <a n ， 当 n=5 时 ， a n+1 >a n ， ∴a 1 >a 2 >a 3 >a 4 >a 5 ， a 6 >a 7 >a 8 > … . 又 ∵a 1 =- 2 13 ， a 6 = 7 2 ， a 6 >a 1 ， ∴ 数列 {a n } 的第 6 项最大 . 方法二： f （ x ） = x+1 3x-16 = 1 3 + 19 9 x- 16 3 ， 函数 f （ x ）在 0 ， 16 3 - " 和 16 3 ， + - " ∞ 上都是单调递减函数 . ∴ 当 1≤n≤5 时， 数列 {a n } 单调递减； 当 n≥6 时， 22 参 考 答 案 数列 {a n } 单调递减 . 又 ∵a 1 =- 2 13 ， a 6 = 7 2 ， a 6 >a 1 ， ∴ 数列 {a n } 的第 6 项最大 . 5. a n = 1 n +1 （答案不唯一） 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 构成数列的数是有顺序的， 而集合中 的元素是无序的， 故 A 说法错误； 两数列的数排列顺序 不相同， 不是相同的数列， 故 B 说法错误； 数列 1 ， 3 ， 5 ， 7 是有穷数列， 而数列 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， …是无穷数列， 故 C 说法错误； 由常数列的定义， 可知 0 ， 1 ， 0 ， 1 ， … 不是常数列， D 说法正确 ． 故选 D. 2. B 【解析】 数列 3 姨 ， 3 ， 15 姨 ， 21 姨 ， …， 可 化为数列 3 姨 ， 9 姨 ， 15 姨 ， 21 姨 ， …， 则数列的通 项公式为 a n = 6n-3 姨 . 当 a n = 6n-3 姨 = 39 姨 时， 则 6n- 3=39 ， 解得 n=7 ， 故 39 姨 是这个数列的第 7 项 . 故选 B. 3. B 【解析】 数列 0 ， 3 2 ， 4 ， 15 2 ， …， 即数列 0 2 ， 3 2 ， 8 2 ， 15 2 ， 即数列 1 2 -1 2 ， 2 2 -1 2 ， 3 2 -1 2 ， 4 2 -1 2 ， …， ∴ 该数列的一个通项公式为 n 2 -1 2 . 故选 B. 4. C 【解析】 设第 n 个图形中长度为 1 的线段条数 形成数列 {a n } ， 通过观察图形可得， 第 n 个图形的宽度 为 n ， 横向有 （ n+1 ） 条 ， 则横向长度为 1 的线段有 n （ n+1 ） 条， 纵向和横向相同， ∴ 可得 a n =2n （ n+1 ）， 则第 10 个图形中长度为 1 的线段条数为 a 10 =2×10× （ 10+1 ） = 220. 故选 C. 5. B 【解析 】 方法一 ： ∵ 数 列 {a n } 为递增数列， ∴a n+1 >a n 对一 切 n∈N + 恒成立， ∴3 （ n+1 ） 2 +2λ （ n+ 1 ） -1>3n 2 +2λn-1 对一切 n∈N + 恒 成立， 即 λ>-3n- 3 2 对一切 n∈N + 恒成立 . ∵-3n- 3 2 最大值为 - 9 2 ， ∴λ>- 9 2 . 故选 B. 方法二： 考虑函数 f （ x ） =3x 2 +2λx-1 ， ∵ 数列 {a n } 为 递增数列， ∴a n <a n+1 ， ∴ f （ n ） <f （ n+1 ）， 如图所示， - λ 3 < 3 2 ， 解得 λ>- 9 2 . 故选 B. 6. C 【解析】 ∵OA 1 =1 ， OA 2 = 2 姨 ， OA 3 = 3 姨 ， …， OA n = n 姨 ， …， ∴a 1 =1 ， a 2 = 2 姨 ， a 3 = 3 姨 ， …， a n = n 姨 ， … . 故选 C. 7. AB 【解析】 逐个检验即可， A ， B 满足题意； 当 n=3 时， a 3 =3≠2 ， ∴C 不符合题意； 当 n=2 时， a 2 =3≠2 ， ∴D 不符合题意 . 故选 AB. 8. （ 2 ， 3 ） 【解析】 ∵ 数列 {a n } 是递增数列 ， 又 ∵f （ x ） = （ 3-a ） x-3 ， x≤7 ， a x-6 ， x>7 7 ， a n =f （ n ） （ n∈N * ） ， ∴1<a<3 且 f （ 7 ） <f （ 8 ）， ∴7 （ 3-a ） -3<a 2 ， 解得 a<-9 或 a>2 ， 故实 数 a 的取值范围是 （ 2 ， 3 ） . 9. （ 1 ） 解： 当 n=7 时， a 7 = 7 2 7 2 +1 = 49 50 . （ 2 ） 证明： a n = n 2 n 2 +1 =1- 1 n 2 +1 ， ∵0< 1 n 2 +1 ≤ 1 2 ， ∴0< a n <1 ， 故数列的各项都在区间 （ 0 ， 1 ） 内 . （ 3 ） 解： 令 1 3 < n 2 n 2 +1 < 2 3 ， 则 1 2 <n 2 <2. ∵n∈N * ， 故 n=1 ， 即在区间 1 3 ， 2 3 3 ' 内有且只有数列中的 1 项， 为 a 1 . 10. 解： （ 1 ） 令 n 2 -7n-8<0 ， 解得 -1<n<8 ， ∴ 正整 数 n 可取 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 故数列从第 1 项至第 7 项均为负数， 共 7 项 . （ 2 ） 方法一： ∵y=x 2 -7x-8 是关于 x 的二次函数， 其 对称轴方程为 x= 7 2 =3.5 ， ∴ 当 1≤n≤3 时， {a n } 单调递 减； 当 n≥4 时， {a n } 单调递增 . ∴ 当 n=3 或 n=4 时， 数 列 {a n } 有最小项， 且最小项为 a 3 =a 4 =-20. 方法二 ： 不妨设 a n 为数列 { a n } 的最小值 ， 则 a n ≤a n-1 ， a n ≤a n+1 7 ， 即 n 2 -7n-8≤ （ n-1 ） 2 -7 （ n-1 ） -8 ， n 2 -7n-8≤ （ n+1 ） 2 -7 （ n+1 ） -8 7 ， 解得 3≤n≤ 4 ， 故当 n=3 或 n=4 时， 数列 {a n } 有最小项， 且最小项 为 a 3 =a 4 =-20. 提升练习 11. D 【解析】 ∵p>0 ， n∈N * ， 则 log 3 p n =nlog 3 p. 当 0<p<1 时， log 3 p<0 ， 则 nlog 3 p 是递减的， 即数列 {log 3 p n } 是递减数列； 第 5 题答图 23 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 当 p=1 时， log 3 p=0 ， nlog 3 p=0 ， 即数列 {log 3 p n } 是 常数数列； 当 p>1 时 ， log 3 p>0 ， 则 nlog 3 p 是递增的 ， 即数列 {log 3 p n } 是递增数列 . 故选 D. 12. D 【解 析 】 由 题 意 ， 数 列 { a n } 的 通 项 a n = 2 020-2 n 2 021-2 n =1- 1 2 021-2 n ， 又由 2 10 <2 021<2 11 ， 当 n≤10 时， 数列递减， 且 a n <1 ， 最小值为第 10 项； 当 n>10 时， 数列递减， 且 a n >1 ， 最大值为第 11 项， 故整个数列的最大项为第 11 项， 最小项为第 10 项， 使得 a T ≤a n ≤a S 对任意的 n∈N * 恒成立， ∴T+S=10+ 11=21. 故选 D. 13. B 【解析】 ∵a n b n = a n -b n 且 a n =n+a-1 （ a n ≠-1 ）， ∴b n = a n a n +1 =1+ -1 n+a . ∵ 对任意的 n∈N * ， 都有 b n ≤b 6 成立， ∴ 数列 {b n } 的第 6 项最大 . 考虑 函数 f （ x ） =1+ -1 x+a ， 如 图所示， 结合图象可得 6<-a<7 ， ∴-7<a<-6. 故选 B. 14. BCD 【解析】 a n+k -a n =-3 n+k +3 n =-3 n （ 3 k -1 ）， ∵k∈ N + ， ∴3 k -1>0 ， ∴a n+k -a n <0 ， 即 a n+k <a k ， ∴ {a n } 不是间隔递 增数列， 故 A 错误 . a n+k -a n = n+k+ 4 n+k k % - n+ 4 n k % =k · n 2 +kn-4 （ n+k ） n ， 易得 t （ n ） =n 2 +kn-4 是递增数列， 则 t （ 1 ） =k-3 ， ∴k>3 时， {a n } 一定 是间隔递增数列， 故 B 正确 . a n+k -a n =2 （ n+k ） + （ -1 ） n+k - ［ 2n+ （ -1 ） n ］ =2k+ （ -1 ） n ·［（ -1 ） k -1 ］， n 为奇数时， a n+k -a n =2k- ［（ -1 ） k -1 ］， 显然 k=1 时， a n+k - a n >0 ； n 为偶数时， a n+k -a n =2k+ ［（ -1 ） k -1 ］， 显然 k=2 时， a n+k -a n >0. 综上， {a n } 是间隔递增数列且最小间隔是 2 ， 故 C 正确 . a n+k -a n = （ n+k ） 2 -t （ n+k ） +2 021- （ n 2 -tn+2 021 ） =2kn+k 2 - tk>0 对 n∈N * 恒成立， 则 2k+k 2 -tk>0 恒成立 . ∵ 最小间 隔是 3 ， ∴2k+k 2 -tk>0 ， 即 k>t-2 对于 k≥3 恒成立， 且 k≤2 时， 2k+k 2 -tk≤0 ， 即 k≤t-2 ， 于是 4≤t<5 ， 故 D 正确 . 故选 BCD. 15. 解： 存在， 如 a n =5- 1 n . ∵n>0 ， ∴5- 1 n <5. 又 ∵ 函数 y=5- 1 n 在 （ 0 ， +∞ ） 上 递增， ∴ 数列 a n =5- 1 n 是无穷递增数列， ∴ 存在各项都 小于 5 的无穷递增数列 . 5.1.2 数列中的递推 学习手册 变式训练 1 12 48 a n+1 =4a n （ n∈N + ） 【解析】 由图可 知， a 1 =12 ， a 2 =48 ， 由 “雪花曲线” 的作法可知， a 2 =4a 1 ， a 3 =4a 2 ， …， ∴ 由第 n 条 “雪花曲线” 的每条边都可得到 第 （ n+1 ） 条 “雪花曲线” 的 4 条边， ∴a n+1 =4a n ， ∴ 数列 {a n } 的递推公式为 a n+1 =4a n （ n∈N + ） . 变式训练 2 1 6 【解析】 ∵a 1 =1 ， ∴ 1 a 2 =1+1+ 1 a 1 =3 ， 故 1 a 3 =2+1+ 1 a 2 =3+3=6 ， ∴a 3 = 1 6 . 变式训练 3 a n = n 姨 +1 【解析】 由 a n+1 =a n + 1 n+1 姨 + n 姨 ， 得 a n+1 -a n = n+1 姨 - n 姨 . ∵a 1 =2 ， a 2 -a 1 = 2 姨 -1 ， a 3 -a 2 = 3 姨 - 2 姨 ， a 4 -a 3 = 4 姨 - 3 姨 ， … ， a n -a n -1 = n 姨 - n-1 姨 . 将以上各式等号两边分别相加， 得 a n =2+ 2 姨 - 1+ 3 姨 - 2 姨 + … + n 姨 - n-1 姨 = n 姨 +1 （ n≥2 ） . ∵a 1 = 2 也适合上式， ∴a n = n 姨 +1. 变式训练 4 a n =n 【解析】 方法一： 由 a n =n （ a n+1 -a n ）， 得 a n+1 a n = n+1 n ， ∴a 1 =1 ， a 2 a 1 =2 ， a 3 a 2 = 3 2 ， a 4 a 3 = 4 3 ， …， a n a n-1 = n n-1 （ n≥2 ） . 将以上各式等号两边分别相乘 ， 得 a n =n. 又 ∵a 1 =1 也适合上式， ∴a n =n. 方法二： 由 a n =n （ a n+1 -a n ）， 得 a n+1 n+1 = a n n ， ∴ 数列 a n n n * 为常数列， ∴ a n n = a 1 1 =1 ， ∴a n =n. 变式训练 5 C 【解析】 ∵ 1 a n = 1 n 2 +n = 1 n （ n+1 ） = 1 n - 1 n+1 ， ∴S n = 1- 1 2 k % + 1 2 - 1 3 k % + 1 3 - 1 4 k % + … + 1 n - 1 n+1 k % = 1- 1 n+1 = n n+1 . 故选 C. 变式训练 6 B 【解析】 ∵a 1 =-1 ， a 2 =-3 ， a n a n+2 =-3 ， ∴a 3 = 3 ， a 4 =1 ， a 5 =-1 ， a 6 =-3 ， a 7 =3 ， a 8 =1 ， …， ∴ {a n } 是以 4 为周期的周期数列， 且 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =0 ， a 2 021 =a 1 =-1 ， a 2 022 = 第 13 题答图 24