4.3.1 一元线性回归模型-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1． 判断正误 （ 1 ） 函数关系是一种确定关系， 而相关关系是一种不确定关 系 . （ ） （ 2 ） 样本相关系数 r 越大， 两变量的相关性越强 . （ ） （ 3 ） 散点图可以直观地分析出两个变量是否具有相关性 . （ ） （ 4 ） 若变量 x ， y 满足函数关系， 则这两个变量线性相关 . （ ） 2. 根据一组数据判断是否线性相关时， 应选 （ ） A. 茎叶图 B. 频率分布直方图 C. 散点图 D. 频率分布折线图 3. 设一个回归直线方程为 y 赞 =3+1.2x ， 则变量 x 增加一个单位 时 （ ） A. y 平均增加 1.2 个单位 B. y 平均增加 3 个单位 C. y 平均减少 1.2 个单位 D. y 平均减少 3 个单位 4. 设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系， 它们的相关系 4.3 统计模型 4.3.1 一元线性回归模型 33 数是 r ， y 关于 x 的回归直线方程的回归系数为 b 赞 ， 回归截 距是a 赞 ， 那么必有 （ ） A. b 赞 与 r 的符号相同 B. a 赞 与 r 的符号相同 C. b 赞 与 r 的符号相反 D. a 赞 与 r 的符号相反 5. 已知 x 与 y 之间的一组数据如下表： 若 y 与 x 线性相关， 则 y 与 x 的回归直线 y 赞 =b 赞 x+a 赞 必过点 （ ） A. （ 2 ， 2 ） B. （ 1.5 ， 0 ） C. （ 1 ， 2 ） D. （ 1.5 ， 4 ） 6. 若施肥量 x （ kg ） 与水稻产量 y （ kg ） 的回归直线方程为 y 赞 = 5x+250 ， 当施肥量为 80 kg 时， 预计水稻产量约为 kg. x 0 3 y 1 7 1 3 2 5 34 参 考 答 案 8. AB 【解析】 根据超几何分布模型定义可知 ① 中随 机变量 X 服从超几何分布 . ② 中随机变量 X 服从超几何 分布， 而 ③ 中显然不能看作一个不放回抽样问题， 故随 机变量 X 不服从超几何分布 . 故选 AB. 9. 5 3 -3 【解析】 E （ X ） =1× 1 2 +2× 1 3 +3× 1 6 = 5 3 . ∵Y=aX+3 ， ∴E （ Y ） =aE （ X ） +3= 5 3 a+3=-2 ， 解得 a=-3. 10. 706 【解析】 节日期间这种鲜花需求量的均值为 E （ ξ ） =200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340 （束） . 设 利润为 η ， 则 η=5ξ+1.6× （ 500-ξ ） -500×2.5=3.4ξ-450 ， ∴E （ η ） =3.4E （ ξ ） -450=3.4×340-450=706 （元） . 11. 1.544 【解析】 X 的取值分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4. X= 1 ， 表明此人第一次参加驾照考试就通过了， 故 P （ X=1 ） =0.6. X=2 ， 表明此人在第一次考试未通过， 第二次通过 了， 故 P （ X=2 ） = （ 1-0.6 ） ×0.7=0.28. X=3 ， 表明此人在第 一、 二次考试未通过， 第三次通过了， 故 P （ X=3 ） = （ 1- 0.6 ） × （ 1-0.7 ） ×0.8=0.096. X=4 ， 表明此人第一、 二、 三次 考试都未通过， 故 P （ X=4 ） = （ 1-0.6 ） × （ 1-0.7 ） × （ 1-0.8 ） =0.024. ∴ 他一年内参加考试次数 X 的分布列为 ∴X 的均值为 E （ X ） =1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024= 1.544. 12. 266 81 【解析 】 依题意 ， 知 ξ 的所有可能值为 2 ， 4 ， 6 ， 设每两局比赛为一轮， 则该轮结束时比赛停 止的概率为 2 3 3 " 2 + 1 3 3 " 2 = 5 9 . 若该轮结束时比赛还将继 续， 则甲、 乙在该轮中必是各得一分， 此时， 该轮比赛 结果对下轮比赛是否停止没有影响， 从而有 P （ ξ=2 ） = 5 9 ， P （ ξ=4 ） = 4 9 × 5 9 = 20 81 ， P （ ξ=6 ） = 4 9 3 " 2 = 16 81 ， 故 E （ ξ ） =2× 5 9 +4× 20 81 +6× 16 81 = 266 81 . 13. 解： （ 1 ） 由已知得小明中奖的概率为 2 3 ， 小红 中奖的概率为 2 5 ， 两人中奖与否互不影响， 记 “这 2 人 的累计得分 X≤3 ” 为事件 A ， 则事件 A 的对立事件为 “ X=5 ”， ∵P （ X=5 ） = 2 3 × 2 5 = 4 15 ， ∴P （ A ） =1-P （ X=5 ） = 11 15 . ∴ 这两人的累计得分 X≤3 的概率为 11 15 . （ 2 ） 设小明、 小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X 1 ， 都选择方案乙抽奖中奖的次数为 X 2 ， 则这两人选择 方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E （ 2X 1 ）， 选择方案乙 抽奖累计得分的数学期望为 E （ 3X 2 ） . 由已知得 X 1 ～B 2 ， 2 3 3 " ， X 2 ～B 2 ， 2 5 3 " ， ∴E （ X 1 ） =2× 2 3 = 4 3 ， E （ X 2 ） =2× 2 5 = 4 5 . ∴E （ 2X 1 ） =2E （ X 1 ） = 8 3 ， E （ 3X 2 ） =3E （ X 2 ） = 12 5 . ∵E （ 2X 1 ） >E （ 3X 2 ）， ∴ 他们都选择方案甲进行抽奖 时， 累计得分的数学期望较大 . 14. 解： （ 1 ） 方法一： 设 “走 L 1 路线至少遇到一次 红灯” 为事件 A ， 则 P （ A ） =C 1 3 × 2 3 × 1 3 3 " 2 +C 2 3 × 2 3 3 " 2 × 1 3 +C 3 3 × 2 3 3 " 3 × 1 3 3 " 0 = 26 27 ， ∴ 走 L 1 路线至少遇到一次红灯 的概率为 26 27 . 方法二： 设 “走 L 1 路线没有遇到红灯” 为事件 A ， 则 “走 L 1 路线至少遇到一次红灯” 为事件 A ， 故 P （ A ） = 1- 2 3 3 " 1- 2 3 3 " 1- 2 3 3 " = 1 3 × 1 3 × 1 3 = 1 27 ， ∴P （ A ） =1-P （ A ） =1- 1 27 = 26 27 ， ∴ 走 L 1 路线至少遇到一次红灯的概率为 26 27 . （ 2 ） 依题意， X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2. P （ X=0 ） = 1- 3 4 3 " × 1- 3 5 3 " = 1 10 ， P （ X=1 ） = 3 4 × 1- 3 5 3 " + 1- 3 4 3 " × 3 5 = 9 20 ， P （ X=2 ） = 3 4 × 3 5 = 9 20 . 随机变量 X 的分布列为 ∴E （ X ） = 1 10 ×0+ 9 20 ×1+ 9 20 ×2= 27 20 . （ 3 ） 设选择 L 1 路线遇到红灯次数为 Y ， 随机变量 Y 服从二项分布， Y～B 3 ， 2 3 " ， ∴E （ Y ） =3× 2 3 =2>E （ X ）， ∴ 应选择 L 2 路线 . 4.3 统计模型 4.3.1 一元线性回归模型 学习手册 变式训练 1 BC 【解析】 图 A 的两个变量具有函数关 系； 图 B ， C 的两个变量具有相关关系； 图 D 的两个变 量之间既不是函数关系， 也不是相关关系 . 故选 BC. 变式训练 2 解： （ 1 ） 由题意可知， n＝5 ， t ＝ 1 n n i = 1 移 t i ＝ 15 5 ＝3 ， y ＝ 1 n n i = 1 移 y i ＝ 36 5 ＝7.2. 又 n i = 1 移 t 2 i ＝55 ， n i = 1 移 t i y i ＝120 ， X 1 2 P 0.6 0.28 3 0.096 4 0.024 X 0 1 2 P 1 10 9 20 9 20 73 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 计算得， b 赞 ＝ 5 i = 1 移 t i y i -5 t y 5 i = 1 移 t 2 i -5 t 2 ＝1.2 ， a 赞 ＝ y -b 赞 t ＝7.2-1.2×3＝3.6. 故所求回归直线方程为 y 赞 ＝ 1.2t＋3.6. （ 2 ） 将 t＝7 代入 y 赞 ＝1.2t＋3.6 ， 可得 y 赞 ＝1.2×7＋3.6＝12 （千亿元）， ∴ 预测该地区 2021 年的人民币储蓄存款为 12 千亿元 . 变式训练 3 （1 ） C 【解析】 由这两个散点图可以判断， 变量 x 与 y 负相关， u 与 v 正相关 . （ 2 ） AD 【解析】 |r| 越大， 相关程度越大， A 正确； |r| 越小， 相关程度越小， B 错误； |r| 越趋近于 0 时， 线性 相关关系越弱， C 错误； |r| 越接近 1 时， 线性相关程度 越强， D 正确 . 综上， 正确的是 AD. 变式训练 4 解： ∵ x ＝ 2+3+4+5+6 5 ＝4 ， y ＝ 2.2+3.8+5.5+6.5+7.0 5 ＝5. 5 i = 1 移 x i y i -5x y ＝112.3-5×4×5＝ 12.3 ， 5 i = 1 移 x 2 i -5 x 2 ＝90-5×4 2 ＝10 ， 5 i = 1 移 y 2 i -5 y 2 ＝140.8-125＝ 15.8 ， ∴r＝ 5 i = 1 移 x i y i -5x y （ 5 i = 1 移 x 2 i -5 x 2 ）（ 5 i = 1 移 y 2 i -5 y 2 ） 姨 ＝ 12.3 10×15.8 姨 ＝ 12.3 158 姨 ＝ 12.3 2 姨 × 79 姨 ≈ 12.3 1.4×8.9 ≈0.987. 变式训练 5 解： 由数值表可作散点图如下： 根据散点 图可知 y 与 x 近似地呈反比例函数关系， 设 y＝ k x ， 令 t＝ 1 x ， 则 y＝kt ， 原数据变为 由置换后的数值表作散点图如下： 由散点图可以看出 y 与 t 呈近似的线性相关关系， 列表如下： ∴ t＝1.55 ， y ＝7.2. ∴b 赞 ＝ 5 i = 1 移 t i y i -5 t y 5 i = 1 移 t 2 i -5 t 2 ≈4.134 4. a 赞 ＝ y -b 赞 t ≈0.791 7. ∴ y 赞 ＝4.134 4t＋0.791 7. ∴y 与 x 的非线性回归方程是y 赞 ＝ 4.134 4 x ＋0.791 7. 随堂练习 1. （ 1 ） 姨 （ 2 ） × （ 3 ） 姨 （ 4 ） × 2. C 【解析】 判断两个变量是否有线性相关关系时， 应先画出散点图 . 若这些点大体分布在一条直线附近， 则具有线性相关关系 . 故选 C. 3. A 【解析】 由b 赞 ＝1.2>0 ， 故选 A. 4. A 【解析】 由公式可知b 赞 与 r 的符号相同 . 故选 A. 5. D 【解析】 ∵ x ＝ 0+1+2+3 4 ＝1.5 ， y ＝ 1+3+5+7 4 ＝4 ， ∴ 回归直线必过点 （ 1.5 ， 4 ） . 故选 D. 6. 650 【解析】 把 x＝80 代入回归直线方程可得其预 测值y 赞 ＝5×80＋250＝650 （ kg ） . 练习手册 效果评价 1. ACD 【解析】 相关关系不同于函数关系， 它是一 种非确定的关系， A 正确； 相关系数 |r| 越大， 两个变量的 相关性越强， B 错误； 当两个变量相关且相关系数 r>0 时， 说明两个变量正相关， C 正确； 相关系数 r 的绝对值越 接近 1 ， 表明两个变量的相关性越强， D 正确 . 故选 ACD. 2. BCD 【解析】 由题干图 1 知气压随海拔高度的增 加而减小， 由题干图 2 知沸点随气压的升高而升高， ∴ 沸点与气压呈正相关， 沸点与海拔高度呈负相关， 由于 两个散点图中的点都成线性分布， ∴ 沸点与海拔高度、 沸点与气压的相关性都很强， 故 B ， C ， D 正确， A 错 误 . 故选 BCD. 3. B 【解析】 去掉 D 组数据之后， 剩下的 4 组数据 成线性相关关系 . 故选 B. 4. B 【解析】 由散点图可知， 此曲线类似对数函数 型曲线， 因此可用函数 y＝a＋blnx 模型进行拟合 . 故选 B. 5. ABD 【解析】 回归直线方程是一个模拟函数， 它 表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致 t 4 2 y 16 12 0.25 1 1 5 0.5 2 t y O 1 2 3 4 16 14 12 10 8 6 4 2 变式训练 5 答图 3 1 5 5 1 25 4 0.5 2 1 0.25 4 5 0.25 1 0.25 0.062 5 1 移 7.75 36 94.25 21.312 5 430 i t i y i t i y i t 2 i y 2 i 1 4 16 64 16 256 2 2 12 24 4 144 74 参 考 答 案 变化规律， ∴ 有些散点不一定在回归直线上 . 故选 ABD. 6. y 赞 ＝e 0.25x-2.58 【解析 】 ∵ z 赞 ＝0.25x-2.58 ， z 赞 ＝lny ， ∴ y 赞 ＝ e 0.25x-2.58 . 7. 0 【解析】 相关系数 r＝ n i = 1 移 （ x i -x ）（y i -y ） n i = 1 移 （ x i -x ） 2 n i = 1 移 （ y i -y ） 2 姨 与 b 赞 ＝ n i = 1 移 （ x i -x ）（y i -y ） n i = 1 移 （ x i -x ） 2 的分子相同， 故 r＝0. 8. （ 1 ） 40 （ 2 ） 14 【解析】 （ 1 ） 由y ＝38 ， 得 m＝40. （ 2 ） 由a 赞 ＝ y -b 赞 x得a 赞 ＝58 ， 故y 赞 ＝-2x＋58 ， 当 x＝22 时， y 赞 ＝14 ， 故三月中旬的销售量约为 14 件 . 9. 解： （ 1 ） 散点图如图所示 . （ 2 ） 由图知， 所有数据点接近一条直线排列 ， 因 此， 认为 y 与 x 具有线性相关关系， 且是正相关关系 . 10. 解： （ 1 ） ∵ 5 i = 1 移 x i ＝20 ， 5 i = 1 移 y i ＝25 ， ∴ x ＝ 1 5 5 i = 1 移 x i ＝ 4 ， y ＝ 1 5 5 i = 1 移 y i ＝5 ， ∴b 赞 ＝ 5 i = 1 移 x i y i -5x y 5 i = 1 移 x 2 i -5x 2 ＝ 112-5×4×5 90-5×4 2 ＝1.2 ， a 赞 ＝ y -b 赞 x ＝5-1.2×4＝0.2. ∴ 所求回归直线方程为 y 赞 ＝ 1.2x＋0.2. （ 2 ） ① 由 （ 1 ） 知b 赞 ＝1.2>0 ， ∴ 变量 x 与 y 之间是正 相关 . ② 由 （ 1 ） 知， 当 x＝8 时， y 赞 ＝1.2×8＋0.2＝9.8 ， 即使用年限为 8 年时， 支出的维修费约是 9.8 万元 . 提升练习 11. C 【解析】 根据题意， 画出利润率与人均销售额 的散点图， 如图所示 . 由散点图可知， 利润率与人均销售额成正相关关系 . 故选 C. 12. ABC 【解析】 A ， B ， C 均正确， 是回归直线方 程的性质， D 项是错误的， 回归直线方程只能预测学生 的体重， 应为大约 58.79 kg. 故选 ABC. 13. D 【解析 】 将式子两边取对数 ， 得到 ln y 赞 ＝b 赞 x- 0.5 ， 令z 赞 ＝ln y 赞 ， 得到z 赞 ＝b 赞 x-0.5 ， 列出 x ， z 的取值对应的表格如下： 则x ＝ 1+2+3+4 4 ＝2.5 ， z ＝ 1+3+4+6 4 ＝3.5 ， ∵ （x， z） 满 足z 赞 ＝b 赞 x-0.5 ， ∴3.5＝b 赞 ×2.5-0.5 ， 解得b 赞 ＝1.6 ， ∴z 赞 ＝1.6x-0.5 ， ∴ y 赞 ＝e 1.6x-0.5 ， 当 x＝5 时， y 赞 ＝e 1.6×5-0.5 ＝e 15 2 . 故选 D. 14. 185 【解析】 ∵ 儿子的身高与父亲的身高有关， ∴ 设儿子的身高为 Y （单位： cm ）， 父亲身高为 X （单 位： cm ）， 根据数据列表： 由表中数据， 求得回归系数b 赞 ＝1 ， a 赞 ＝3. 于是儿子身 高与父亲身高的关系式为y 赞 ＝x＋3 ， 当 x＝182 时， y 赞 ＝185. 故预测该老师的孙子的身高为 185 cm. 15. |r |＝ b 赞 · b 赞 ′ 姨 【解析 】 当 x 作自变量时 ， 得 b 赞 ＝ n i = 1 移 x i y i -nx ·y n i = 1 移 x 2 i -nx 2 ； 当 y 作自变量时， 得b 赞 ′＝ n i = 1 移 x i y i -nx ·y n i = 1 移 y 2 i -ny 2 ， 而 r＝ n i = 1 移 x i y i -nx ·y （ n i = 1 移 x 2 i -nx 2 ）（ n i = 1 移 y 2 i -ny 2 ） 姨 ； 从而b 赞 ·b 赞 ′＝r 2 ， ∴|r|＝ b 赞 ·b 赞 ′ 姨 . 16. 解： （ 1 ） 由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝4 ， 7 i = 1 移 （ t i - t ） 2 ＝28 ， 7 i = 1 移 （ y i - y ） 2 姨 ＝0.55 ， 7 i = 1 移 （ t i - t ）（ y i - y ） ＝ 7 i = 1 移 t i y i - t 7 i = 1 移 y i ＝40.17-4×9.32＝2.89. r≈ 2.89 0.55×2×2.646 ≈0.99. ∵y 与 t 的相关系数近似为 0.99 ， 说明 y 与 t 的线 性相关程度相当高 ， 从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系 . （ 2 ） 由y ＝ 9.32 7 ≈1.331 及 （ 1 ） 得b 赞 ＝ 7 i = 1 移 （ t i -t ）（ y i -y ） 7 i = 1 移 （ t i -t ） 2 x y O 120 110 100 90 80 70 1 2 3 4 5 6 第 9 题答图 销售额 / 千元 利润率 20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 O 第 11 题答图 x 1 2 z 1 3 3 4 4 6 x 173 170 176 y 170 176 182 75 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 ＝ 2.89 28 ≈0.103 ， a 赞 ＝y-b 赞 t≈1.331-0.103×4≈0.92. ∴y 关于 t 的回归直线方程为 y 赞 ＝0.92＋0.10t. 将 2021 年对应的 t＝9 代入回归直线方程得y 赞 ＝0.92＋0.10×9＝1.82. ∴ 预测 2021 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨 . 4.3.2 独立性检验 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 饮食习惯与年龄的 2×2 列联表如下： （ 2 ） 由列联表得， 年龄在六十岁以上且饮食以肉类 为主的人群的概率为 27 124 . 变式训练 2 解： 由公式得 χ 2 ＝ 540× （ 60×200-260×20 ） 2 320×220×80×460 ≈9.638. ∵9.638>6.635 ， ∴ 有 99% 的把握说 40 岁以上的人患胃病与生活是 否有规律有关， 即生活不规律的人易患胃病 . 随堂练习 1. （ 1 ） × （ 2 ） √ （ 3 ） √ 2. B 【解析】 独立性检验是判断两个随机事件是否 有关系的方法， 而 ①③ 都是求概率问题， 不能用独立性 检验 . 故选 B. 3. 男正教授人数， 女正教授人数， 男副教授人数， 女副教授人数 【解析】 由研究的问题可知， 需收集的数 据应为男正教授人数， 女正教授人数， 男副教授人数， 女副教授人数 . 4. 49 ， 54 【解析 】 ∵a＋21＝70 ， ∴a＝49. 又 ∵a＋5＝b ， ∴b＝54. 5. 3.685 【解析】 χ 2 ＝ 50× （ 5×13-10×22 ） 2 27×23×15×35 ≈3.685. 6. 95% 【解析 】 ∵χ 2 ＝4.013>3.841 ， 查阅 χ 2 表知有 95% 的把握认为两个随机事件之间有关系 . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 ∵a＋11＝63 ， b＋15＝23 ， ∴a＝52 ， b＝8. 故 选 C. 2. D 【解析】 ∵7.014>6.635 ， 查阅 χ 2 表知有 99% 的 把握认为两个随机事件之间有关系 . 故选 D. 3. C 【解析】 根据独立性检验的思想方法， 正确选 项为 C. 4. B 【解析 】 χ 2 ＝ 407× （ 32×213-61×101 ） 2 93×314×133×274 ≈0.164< 2.706 ， 即没有充足的理由认为种子是否经过处理跟生病 有关 . 故选 B. 5. AB 【解析】 由事件的独立性知， A 正确； 由独立 性检验的意义知， B 正确； χ 2 的大小是判定事件 A 与 B 是否相关的一种方法， 不是唯一依据， C 不正确； 若事 件 A 与 B 相关， 则 A 发生 B 可能发生， 也可能不发生， D 不正确 . 故选 AB. 6. 99% 有关 【解析】 ∵χ 2 ＝7.63 ， ∴χ 2 ＞6.635 ， 因此， 有 99% 的把握说， 打鼾与患心脏病是有关的 . 7. 0.05 【解析】 根据 χ 2 ＞3.841 ， 可判断有 95% 的把 握认为主修统计专业与性别有关系 . 故出错的概率为 0.05. 8. 47 92 88 82 53 【解析】 由列联表得 45+E=98 ， 98+D=180 ， A+35=D ， E+35=C ， B+C=180 0 % % % % % % $ % % % % % % % & ， 解得 A=47 ， B=92 ， C=88 ， D=82 ， E=53 0 % % % % % % 3 % % % % % % % & . 9. 解： （ 1 ） 2×2 列联表如下表所示： （ 2 ） 计算可知， 午休的考生及格率为 P 1 ＝ 80 180 ＝ 4 9 . 不午休的考生及格率为 P 2 ＝ 65 200 ＝ 13 40 ， 由 P 1 >P 2 ， 可以粗 略判断午休与考生考试及格有关系， 并且午休的及格率 高， ∴ 在以后的复习中考生应尽量适当午休， 以保持最 佳的学习状态 . 10. 解： （ 1 ） 列联表补充如下： （ 2 ） 由 χ 2 ＝ 48× （ 220-60 ） 2 28×20×32×16 ≈4.286>3.841 ， ∴ 有 95% 的把握认为喜爱打篮球与性别有关 . （ 3 ） 喜爱打篮球的女生人数 X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2. 其概率分别为 年龄在六 十岁以上 年龄在六 十岁以下 总计 饮食以蔬 菜为主 43 21 64 饮食以肉 类为主 27 33 60 总计 70 54 124 及格人数 不及格人数 总计 午休 80 100 180 不午休 65 135 200 总计 145 235 380 性别 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 总计 男生 22 6 28 女生 10 10 20 总计 32 16 48 76