4.2.1 随机变量 及其与事件的联系-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1． 判断正误 （ 1 ） 随机变量的取值只能是有限个 . （ ） （ 2 ） 试验之前不能判断离散型随机变量的所有值 . （ ） （ 3 ） 随机变量是用来表示不同试验结果的量 . （ ） 2. 在掷一枚质地均匀的骰子试验中， “出现的点数” 是一个 随机变量， 它的取值有 （ ） A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 7 个 3. 如果 X 是一个离散型随机变量且 Y=aX+b ， 其中 a ， b 是常 数且 a≠0 ， 那么 Y （ ） A. 不一定是随机变量 B. 一定是随机变量， 不一定是离散型随机变量 C. 可能是定值 D. 一定是离散型随机变量 4. （多选题） 抛掷两枚骰子， 所得点数之和记为 ξ ， 那么 ξ=4 表示的事件可能是 （ ） A. 一枚是 3 点， 一枚是 1 点 B. 两枚都是 2 点 4.2 随机变量 4.2.1 随机变量及其与事件的联系 21 C. 两枚都是 4 点 D. 一枚是 4 点， 一枚是 1 点 5. 已知随机变量 X 的取值范围是 {-1 ， 0 ， 1} ， 且 Y=X-1 ， 则 Y 的取值范围是 . 6. 一袋中装有 6 个同样大小的黑球， 编号为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6. 现从中随机取出 2 个球， 以 X 表示取出的球的最大号 码， 则 “ X=6 ” 表示的事件的样本点是 . 22 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 P （ B ） = 2 4 = 1 2 ， P （ C ） = 2 4 = 1 2 ， ∴P （ A ） =P （ B ） =P （ C ）， 故 A 正确； P （ BC ） =P （ B ） P （ C ） = 1 2 × 1 2 = 1 4 ， P （ AC ） = C 1 2 C 1 2 4×4 = 1 4 ， P （ AB ） = C 1 2 C 1 2 4×4 = 1 4 ， ∴P （ BC ） =P （ AC ） =P （ AB ）， 故 B 正确； P （ ABC ） = C 1 2 C 1 2 4×4 = 1 4 ， 故 C 错误； P （ A ）· P （ B ）· P （ C ） = 1 2 × 1 2 × 1 2 = 1 8 ， 故 D 正确 . 故选 ABD. 8. ABC 【解析】 利用古典概型概率公式计算可得 P （ A ） =0.5 ， P （ B ） =0.5 ， P （ C ） =0.5 ， P （ AB ） =0.25 ， P （ AC ） = 0.25 ， P （ BC ） =0.25. 可以验证 P （ AB ） =P （ A ） P （ B ）， P （ AC ） =P （ A ） P （ C ）， P （ BC ） =P （ B ） P （ C ） . ∴ 根据事件相互独立的 定义， 事件 A 与 B 相互独立， 事件 B 与 C 相互独立， 事 件 A 与 C 相互独立 . 9. 0.75 【解析】 ∵P （ A|B ） = P （ AB ） P （ B ） ， ∴P （ AB ） =0.3. ∴P （ B|A ） = P （ AB ） P （ A ） = 0.3 0.4 =0.75. 10. 3 88 【解析】 依题意可分类： ① 甲同学选马， 则 有 C 1 2 C 1 9 =18 种情况符合要求； ② 甲同学选牛， 则有 C 1 3 C 1 9 =27 （种） 情况符合要求 . 三位同学抽取礼物的所有情 况有 A 3 12 种， 则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物 的概率 P= 18+27 A 3 12 = 3 88 . 11. 1 5 1 5 【解析 】 记 “第 i 个人抽中中奖彩票” 为事件 A i ， 显然 P （ A 1 ） = 1 5 ， 而 P （ A 2 ） =P ［ A 2 ∩ （ A 1 ∪A 1 ）］ = P （ A 2 ∩A 1 ） +P （ A 2 ∩A 1 ） =P （ A 2 A 1 ） +P （ A 2 A 1 ） =P （ A 1 ） P （ A 2 |A 1 ） + P （ A 1 ） P （ A 2 |A 1 ） = 1 5 ×0+ 4 5 × 1 4 = 1 5 ， P （ A 3 ） =P ［ A 3 ∩ （ A 1 A 2 + A 1 A 2 +A 1 A 2 +A 1 A 2 ）］ =P （ A 1 A 2 A 3 ） +P （ A 1 A 2 A 3 ） +P （ A 1 A 2 A 3 ） + P （ A 1 A 2 A 3 ） =0+0+0+P （ A 3 A 1 A 2 ） =P （ A 1 ） P （ A 2 |A 1 ） P （ A 3 |A 1 A 2 ） = 4 5 × 3 4 × 1 3 = 1 5 . 12. 9 22 【解析】 由题意知， A 1 ， A 2 ， A 3 是两两互斥 的事件 ， 且 A 1 ∪A 2 ∪A 3 =Ω ， ∴P （ B ） =P ［ B∩ （ A 1 ∪A 2 ∪ A 3 ）］ =P （ BA 1 ） +P （ BA 2 ） +P （ BA 3 ） =P （ A 1 ） P （ B|A 1 ） +P （ A 2 ）· P （ B|A 2 ） +P （ A 3 ） P （ B|A 3 ） = 5 10 × 5 11 + 2 10 × 4 11 + 3 10 × 4 11 = 9 22 . 13. 解 ： 设 “第一次抽到舞蹈节目 ” 为事件 A ， “第二次抽到舞蹈节目” 为事件 B ， 则 “第一次和第二 次都抽到舞蹈节目” 为事件 AB. （ 1 ） 从 6 个节目中不放回地依次抽取 2 次的事件数 为 n （ Ω ） =A 2 6 =30 ， 根据分步乘法计数原理 n （ A ） =A 1 4 A 1 5 =20 ， 于是 P （ A ） = n （ A ） n （ Ω ） = 20 30 = 2 3 . （ 2 ） ∵n （ AB ） =A 2 4 =12 ， 于是 P （ AB ） = n （ AB ） n （ Ω ） = 12 30 = 2 5 . （ 3 ） 方法一： 由 （ 1 ） （ 2 ） 可得， 在第一次抽到舞 蹈节目的条件下， 第二次抽到舞蹈节目的概率为 P （ B|A ） = P （ AB ） P （ A ） = 2 5 2 3 = 3 5 . 方法二： ∵n （ AB ） =12 ， n （ A ） =20 ， ∴P （ B|A ） = n （ AB ） n （ A ） = 12 20 = 3 5 . 14. 解： 设 A 1 = “第一次患病心肌受损害”， A 2 = “第 二次患病心肌受损害”， 则所求概率为 P （ A 1 A 2 ） . 由题意 可知， P （ A 1 ） =0.3 ， P （ A 2 |A 1 ） =0.6. 又 P （ A 1 ） =1-P （ A 1 ） =0.7 ， P （ A 2 |A 1 ） =1-P （ A 2 |A 1 ） =0.4 ， ∴P （ A 1 A 2 ） =P （ A 1 ） P （ A 2 |A 1 ） =0.7× 0.4=0.28. 4.2 随机变量 4.2.1 随机变量及其与事件的联系 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 只要取出一张， 便有一个号码， 因此被取出的卡片号数可以一一列出， 符合离散型随机 变量的定义 . （ 2 ） 从 10 个球中取 3 个球， 所得的结果有以下几 种： 3 个白球、 2 个白球和 1 个黑球、 1 个白球和 2 个黑 球、 3 个黑球， 即其结果可以一一列出， 符合离散型随 机变量的定义 . （ 3 ） 林场树木的高度是一个随机变量 ， 它可以取 （ 0 ， 30 ］ 内的一切值， 无法一一列举， 不是离散型随机 变量 . （ 4 ） 实际测量值与规定值之间的差值无法一一列 出， 不是离散型随机变量 . 变式训练 2 解： （ 1 ） X 可能取的值为 0 ， 1 ， 2 ， 3. （ 2 ） X=1 表示的事件为 “第一次取得次品， 第二次 取得正品” . （ 3 ） P （ X=1 ） = 3×9 12×11 = 9 44 . 变式训练 3 0.3 0.7 【解析】 ∵ 当 X=2 时， Y=2X-3=1 ， ∴P （ X=2 ） =P （ Y=1 ） =0.3 ； ∵ 当 X=4 时， Y=2X-3=5 ， ∴P （ Y= 5 ） =P （ X=4 ） =0.7. 随堂练习 1. （ 1 ） × （ 2 ） × （ 3 ） √ 2. C 【解析】 ∵ 掷一枚质地均匀的骰子试验中， 所 有可能结果有 6 个， 故 “出现的点数” 这一随机变量的 取值为 6 个 . 故选 C. 3. D 【解析】 若 X 是离散型随机变量， 根据随机变 量之间的关系， 则 Y 必是离散型随机变量 . 故选 D. 4. AB 【解析】 ξ=4 可能出现的结果是一枚是 3 点， 一枚是 1 点或两枚都是 2 点 . 故选 AB. 5. {-2 ， -1 ， 0} 【解析】 ∵ 随机变量 X 的取值范围 是 {-1 ， 0 ， 1} ， 且 Y=X-1 ， ∴-1-1=-2 ， 0-1=-1 ， 1-1= 56 参 考 答 案 0 ， ∴Y 的取值范围是 {-2 ， -1 ， 0} . 6. （ 1 ， 6 ）， （ 2 ， 6 ）， （ 3 ， 6 ）， （ 4 ， 6 ）， （ 5 ， 6 ） 练习手册 效果评价 1. AB 2. A 【解析】 ∵ 随机变量 Y=2X ， 当 X=1 时， Y=2 ， ∴P （ Y=2 ） = P （ X=1 ） =0.1. 故选 A. 3. C 【解析】 击中目标或子弹打完就停止射击， 射 击次数为 X=5 ， 则说明前 4 次均未击中目标 . 故选 C. 4. C 【解析】 X 可能的取值为 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， …， 19 ， 共有 17 个 . 故选 C. 5. C 【解析】 A 中取到产品的件数是一个常量， 不 是变量； B ， D 也是一个定值 . 而 C 中取到次品的件数 可能是 0 ， 1 ， 2 ， 是随机变量 . 故选 C. 6. 1 3 【解析】 事件 X>4 表示点数朝上的为 5 点或 6 点， ∴P （ X>4 ） =P （ X=5 ） +P （ X=6 ） = 1 6 + 1 6 = 1 3 . 7. 0.5 【解析 】 由题意 ， 事件 Y=4 是 X=-2 与 X=2 的并事件， ∴P （ Y=4 ） =P （ X=-2 ） +P （ X=2 ） =0.2+0.3=0.5. 8. 第 6 次能打开房门 【解析】 X 可能取值为 1 ， 2 ， 3 ， …， 10 ， X=n 表示第 n 次能打开房门 . 9. 解： 这名同学可能有回答全对、 两对一错、 两错 一对、 全错四种结果， 相应得分分别为 300 分、 200 分、 100 分、 0 分 . （ 1 ） X 的取值范围是 {300 ， 200 ， 100 ， 0} . （ 2 ） ∵ 事件 X>0 为 “不得 0 分”， X<300 为 “不得 满分”， ∴X=0 与 X>0 是对立事件， X=300 与 X<300 是 对立事件 . 又 P （ X=0 ） =0.06 ， P （ X=300 ） =0.43 ， ∴P （ X>0 ） = 1-P （ X=0 ） =1-0.06=0.94 ； P （ X<300 ） =1-P （ X=300 ） =1- 0.43=0.57. 10. 解： （ 1 ） 由题意得， X 可能的取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ∴X 的取值范围是 {0 ， 1 ， 2 ， 3} . （ 2 ） 由题 意 可 得 Y=5X+6 ， 而 X 可 能 的 取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ∴Y 对应的值为 5×0+6 ， 5×1+6 ， 5×2+ 6 ， 5×3+6 ， 即 Y 的可能取值为 6 ， 11 ， 16 ， 21. 显然， Y 为离散型随机变量 . （ 3 ） ∵X>2 ， ∴Y=5X+6>16 ， ∴P （ Y>16 ） =P （ X>2 ） = 1 12 ， ∴P （ Y≤16 ） =1- P （ Y>16 ） =1- 1 12 = 11 12 . 提升练习 11. C 【解析】 ∵1 次试验的成功次数为 0 或 1 ， 故 X 可能取值有两种 ， 即 0 ， 1. 又 “成功率是失败率的 2 倍”， ∴P （ X=1 ） = 2 3 . 故选 C. 12. {0 ， 1 ， 2 ， 3} 【解析 】 ∵x ， y 可能取的值为 1 ， 2 ， 3 ， ∴0≤|x-2|≤1 ， 0≤|x-y|≤2 ， ∴0≤X≤3 ， ∴X 的取值范围为 {0 ， 1 ， 2 ， 3} . 13. 20 【解析】 ξ=6 表示前 5 局中胜 3 局， 第 6 局一 定获胜， 共有 C 1 2 · C 3 5 =20 （种） . 14. {0 ， 1 ， 2 ， 3} 0.95 【解析】 甲可能在 3 次射 击中， 一次也未中， 也可能中 1 次、 2 次、 3 次， 故 ξ 的 可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3. ∵ 一次也未中的概率为 0.05 ， 即 P （ ξ=0 ） =0. 05 ， ∴P （ ξ>0 ） =1-0.05=0.95. 15. 24 【解析】 后 3 个数是从 6 ， 7 ， 8 ， 9 四个数中 取 3 个组成的， 共有 A 3 4 =24 （个） . 16. 解： 样本空间 Ω={ （ 1 ， 1 ）， （ 1 ， 2 ）， （ 1 ， 3 ）， （ 1 ， 4 ） ， （ 1 ， 5 ） ， （ 1 ， 6 ） ， （ 2 ， 1 ） ， （ 2 ， 2 ） ， （ 2 ， 3 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 2 ， 5 ） ， （ 2 ， 6 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 2 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 3 ， 4 ） ， （ 3 ， 5 ） ， （ 3 ， 6 ） ， （ 4 ， 1 ） ， （ 4 ， 2 ） ， （ 4 ， 3 ） ， （ 4 ， 4 ） ， （ 4 ， 5 ） ， （ 4 ， 6 ） ， （ 5 ， 1 ） ， （ 5 ， 2 ） ， （ 5 ， 3 ） ， （ 5 ， 4 ） ， （ 5 ， 5 ） ， （ 5 ， 6 ） ， （ 6 ， 1 ） ， （ 6 ， 2 ） ， （ 6 ， 3 ） ， （ 6 ， 4 ）， （ 6 ， 5 ）， （ 6 ， 6 ） } ， 共 36 个样本点， 所得点 数之和为 X ， 则 X 的取值范围是 {2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 ， 12} . （ 1 ） “ X=6 ” 表示的事件为 （ 1 ， 5 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 3 ， 3 ）， （ 4 ， 2 ）， （ 5 ， 1 ）， 共 5 个样本点， ∴P （ X=6 ） = 5 36 . （ 2 ） 所得点数和为偶数的样本空间 Ω={ （ 1 ， 1 ） ， （ 1 ， 3 ） ， （ 1 ， 5 ） ， （ 2 ， 2 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 2 ， 6 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 3 ， 5 ） ， （ 4 ， 2 ） ， （ 4 ， 4 ） ， （ 4 ， 6 ） ， （ 5 ， 1 ） ， （ 5 ， 3 ） ， （ 5 ， 5 ） ， （ 6 ， 2 ） ， （ 6 ， 4 ）， （ 6 ， 6 ） } ， 共 18 个样本点， 所得点数之和是偶 数为 Y ， 则 Y 的取值范围是 {2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12} ， “ Y=6 ” 表示的事件为 （ 1 ， 5 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 4 ， 2 ）， （ 5 ， 1 ）， 共 5 个样本点， ∴P （ Y=6 ） = 5 18 . 4.2.2 离散型随机变量的分布列 学习手册 变式训练 1 解 ： ∵ 1 10 <X< 7 10 ， ∴X= 1 5 ， 2 5 ， 3 5 . ∴P 1 10 <X< 7 10 0 # =P X= 1 5 0 5 +P X= 2 5 5 5 +P X= 3 5 0 5 = 1 15 + 2 15 + 3 15 = 2 5 . 变式训练 2 解： 由已知可得 9c 2 -c+3-8c=1 ， ∴9c 2 -9c+ 2=0 ， ∴c= 1 3 或 2 3 . 检验： 当 c= 1 3 时， 9c 2 -c=9× 1 3 0 5 2 - 1 3 = 2 3 >0 ， 3-8c=3- 8 3 = 1 3 >0 ； 当 c= 2 3 时 ， 9c 2 -c=9× 2 3 0 5 2 - 2 3 >1 ， 3-8c=3- 16 3 <0 （不适合， 舍去） . 故 c= 1 3 . 故所求分布列为 变式训练 3 解： 由题意知， X 服从两点分布， P （ X=0 ） X 0 1 P 2 3 1 3 57