3.2 二项式定理与杨辉三角-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1． 判断正误 （ 1 ） （ a+b ） n 展开式中共有 n 项 . （ ） （ 2 ） 在公式中， 交换 a ， b 的顺序对各项没有影响 . （ ） （ 3 ） C k n a n-k b k 是 （ a+b ） n 展开式中的第 k 项 . （ ） （ 4 ） （ a-b ） n 与 （ a+b ） n 的二项展开式的二项式系数相同 . （ ） （ 5 ） 二项式 （ a+b ） n 与 （ b+a ） n 的展开式中第 k+1 项相同 . （ ） 2. x- 1 x x " 5 的展开式中含 x 3 项的二项式系数为 （ ） A. -10 B. 10 C. -5 D. 5 3. x 2 - 2 x 3 x " 5 的展开式中的常数项为 （ ） A. 80 B. -80 C. 40 D. -40 4. 设 S= （ x-1 ） 3 +3 （ x-1 ） 2 +3 （ x-1 ） +1 ， 则 S 等于 （ ） 第 1 课时 二项式定理 3.2 二项式定理与杨辉三角 11 A. x 3 B. -x 3 C. （ 1-x ） 3 D. （ x-1 ） 3 5. 若 （ x+2 ） n 的展开式共有 12 项， 则 n= . 6. C 0 n · 2 n +C 1 n · 2 n-1 + … +C k n · 2 n-k + … +C n n = . 12 日期： 班级： 姓名： 1． 判断正误 （ 1 ） 二项展开式的二项式系数和为 C 1 n +C 2 n + … +C n n . （ ） （ 2 ） 二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同 . （ ） 2. 已知 （ ax+1 ） n 的展开式中， 二项式系数和为 32 ， 则 n 等于 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. （多选题） x- 1 x x " 11 的展开式中二项式系数最大的项是 （ ） A. 第 5 项 B. 第 6 项 C. 第 7 项 D. 第 8 项 4. 设 （ 2-x ） 6 =a 0 +a 1 （ 1+x ） +a 2 （ 1+x ） 2 + … +a 6 （ 1+x ） 6 ， 则 a 0 +a 1 +a 2 + a 3 +a 4 +a 5 +a 6 等于 （ ） 第 2 课时 二项式系数的性质、 杨辉三角及 二项式定理的应用 3.2 二项式定理与杨辉三角 13 A. 4 B. -71 C. 64 D. 199 5. 如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒， a ， b 是某行 的前两个数， 当 a=7 时， b 等于 （ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 6. （ 2x-1 ） 6 的展开式中各项系数的和为 ； 各项的二项 式系数的和为 . 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 a b 第 5 题图 14 参 考 答 案 ② 将剩下的 2 个小球全排列， 放入剩下的 2 个小盒 中， 有 A 2 2 种放法 . 则没有空盒的放法有 C 1 3 C 2 4 A 2 2 =36 （种） . 12. 54 【解析】 根据题意知， 甲、 乙都没有得到冠 军， 且乙不是最后一名， 分两种情况讨论： ① 甲是最后一名 ， 则乙可以是第二名 、 第三名或 第四名， 即乙有 3 种名次排列情况， 剩下的三人有 A 3 3 = 6 （种） 名次排列情况， 此时有 3×6=18 （种） 名次排列 情况； ② 甲不是最后一名， 则甲、 乙需要排在第二、 三、 四名， 有 A 2 3 =6 （种） 名次排列情况， 剩下的三人有 A 3 3 = 6 （种） 名次排列情况， 此时有 6×6=36 （种） 名次排列 情况 . 综上可知， 一共有 36+18=54 （种） 不同的名次排列 情况 . 13. 解： （ 1 ） 将取出的 4 个球分成三类： ① 取 4 个 红球， 没有白球， 有 C 4 4 种取法； ② 取 3 个红球， 1 个白 球， 有 C 3 4 C 1 6 种取法； ③ 取 2 个红球， 2 个白球， 有 C 2 4 C 2 6 种取法， 故共有 C 4 4 +C 3 4 C 1 6 +C 2 4 C 2 6 =115 （种） 取法 . （ 2 ） 设取 x 个红球 ， y 个白球 ， 则 x+y=5 ， 2x+y≥7 ， 0≤x≤4 ， 0≤y≤6 6 % % % % % $ % % % % % & ， 故 x=2 ， y= = 3 或 x=3 ， y= = 2 或 x=4 ， y=1 = . 因此 ， 符合题意的取法有 C 2 4 C 3 6 +C 3 4 C 2 6 +C 4 4 C 1 6 =186 （种） . 14. 解： （ 1 ） 只需从其他 18 人中选 3 人即可， 共 有 C 3 18 =816 （种） 选法 . （ 2 ） 只需从其他 18 人中选 5 人即可， 共有 C 5 18 =8 568 （种） 选法 . （ 3 ） 分两类： 甲、 乙中有 1 人参加； 甲、 乙都参加 . 则共有 C 1 2 C 4 18 +C 3 18 =6 936 （种） 选法 . （ 4 ） 方法一 （直接法）： 至少有 1 名内科医生和 1 名外科医生的选法可分 4 类： 1 内 4 外； 2 内 3 外； 3 内 2 外； 4 内 1 外 . ∴ 共有 C 1 12 C 4 8 +C 2 12 C 3 8 +C 3 12 C 2 8 +C 4 12 C 1 8 =14 656 （种 ） 选法 . 方法二 （间接法）： 从无限制条件的选法总数中减 去 5 名都是内科医生和 5 名都是外科医生的选法种数所 得的结果即为所求， 即共有 C 5 20 - （ C 5 12 +C 5 8 ） =14 656 （种） 选法 . 3.2 二项式定理与杨辉三角 第 1 课时 二项式定理 学习手册 变式训练 1 解： 原式 =C 0 5 （ x-1 ） 5 +C 1 5 （ x-1 ） 4 +C 2 5 （ x-1 ） 3 + C 3 5 （ x-1 ） 2 +C 4 5 （ x-1 ） +C 5 5 -1= ［（ x-1 ） +1 ］ 5 -1=x 5 -1. 变式训练 2 解 ： （ 1 ） 第 3 项的二项式系数为 C 2 6 =15 ， 又 T 3 =C 2 6 （ 2 x 姨 ） 4 - 1 x 姨 姨 * 2 =240x ， ∴ 第 3 项的系数为 240. （ 2 ） T k+1 =C k 6 （ 2 x 姨 ） 6-k - 1 x 姨 姨 , k = （ -1 ） k 2 6-k C k 6 x 3-k ， 令 3-k=2 ， 解得 k=1 ， ∴ 含 x 2 的项为第 2 项， 且 T 2 =-192x 2 . 变式训练 3 -20 【解析】 由二项展开式的通项公式可 知， 含 x 2 y 7 的项可表示为 x · C 7 8 xy 7 -y · C 6 8 x 2 y 6 ， 故 （ x-y ）· （ x+y ） 8 的展开式中 x 2 y 7 的系数为 C 7 8 -C 6 8 =8-28=-20. 变式训练 4 98 【解析】 三角形数阵中， 每一行的数由 二项式系数 C k n ， k=0 ， 1 ， 2 ， …， n 组成 . 设在第 n 行中 有 C k-1 n C k n = k n-k+1 = 4 5 ， C k n C k+1 n = k+1 n-k = 5 6 ， 那么 9k-4n=4 ， 5n-11k=6 = ， 解得 n=98 ， k=44 = . 因此答案为 98. 随堂练习 1. （ 1 ） × （ 2 ） × （ 3 ） × （ 4 ） 姨 （ 5 ） × 2. D 【解析】 T k+1 =C k 5 x 5-k - 1 x 姨 , k ， 5-k+ （ -k ） =3 ， k=1 ， x 3 项的二项式系数为 C 1 5 （ -1 ） 4 =5. 故选 D. 3. C 【解析】 T k+1 =C k 5 （ x 2 ） 5-k - 2 x 3 姨 , k ， 2 （ 5-k ） + （ -3k ） = 0 ， k=2 ， 常数项为 C 2 5 （ x 2 ） 5-2 - 2 x 3 姨 , 2 =40. 故选 C. 4. A 【解析】 S= （ x-1 ） 3 +3 （ x-1 ） 2 +3 （ x-1 ） +1=x 3 + （ -3+ 3 ） x 2 + （ 3-6+3 ） x-1+1=x 3 . 故选 A. 5. 11 【解析】 n+1=12 ， 则 n=11. 6. 3 n 【解析】 原式 = （ 2+1 ） n =3 n . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 原式 = （ 1-2 ） n = （ -1 ） n . 故选 C. 2. A 【解析】 x 姨 - 2 x 姨 , 6 的展开式中的常数项为 C 2 6 （ x 姨 ） 4 · - 2 x 姨 , 2 =60. 故选 A. 3. B 【解析】 由通项知 T 4 =C 3 9 x 6 1 x 姨 , 3 =84x 3 . 故选 B. 4. A 【解析】 在通项 T k+1 =C k 10 （ - 2 姨 y ） k x 10-k 中 ， 令 k=4 ， 即得 （ x- 2 姨 y ） 10 的展开式中 x 6 y 4 项的系数为 C 4 10 × （ - 2 姨 ） 4 =840. 故选 A. 5. D 【解析】 （ 1-x ） 5 中 x 3 的系数为 -C 3 5 =-10 ， - （ 1- x ） 6 中 x 3 的系数为 -C 3 6 ·（ -1 ） 3 =20 ， 故 （ 1-x ） 5 - （ 1-x ） 6 的展 开式中 x 3 的系数为 10. 故选 D. 6. 1 2 【解析】 二项展开式的通项为 T k+1 =C k 10 x 10-k a k ， 当 10-k=7 时， k=3 ， T 4 =C 3 10 a 3 x 7 ， 则 C 3 10 a 3 =15 ， 故 a= 1 2 . 7. 8 28 【解析】 T k+1 =C k n （ x 2 3 姨 ） n-k 1 x 姨 , k =C k n x 2n-5k 3 ， 由题意知， k=2 时， 2n-5k 3 =2 ， ∴n=8 ， 此时该项的系数 43 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 为 C 2 8 =28. 8. -40 【解析】 （ x 2 -x-2 ） 4 = ［ x 2 - （ x+2 ）］ 4 ， 展开后只有 （ x+2 ） 4 与 -C 3 4 x 2 （ x+2 ） 3 中含 x 3 项， 其系数和为 C 1 4 ×2-C 3 4 × C 2 3 ×2 2 =-40. 9. 解： （ 1 ） ∵T 3 =C 2 n （ x 姨 ） n-2 - 2 x x # 2 =4C 2 n x n-6 2 ， T 2 = C 1 n （ x 姨 ） n-1 - 2 x x x =-2C 1 n x n-3 2 ， 依题意得 4C 2 n +2C 1 n =162 ， ∴2C 2 n +C 1 n =81 ， ∴n 2 =81. 又 n∈N + ， 故 n=9. （ 2 ） 设第 k+1 项含 x 3 项， 则 T k+1 =C k 9 （ x 姨 ） 9-k - 2 x x x k = （ -2 ） k C k 9 x 9-3k 2 ， ∴ 9-3k 2 =3 ， k=1 ， ∴ 含 x 3 的项为 T 2 =-2C 1 9 x 3 = -18x 3 ， 二项式系数为 C 1 9 =9. 10. 解： 由题设知， m+n=19 ， 又 m ， n∈N + ， ∴1≤ m≤18 ， x 2 的系数为 C 2 m +C 2 n = 1 2 （ m 2 -m ） + 1 2 （ n 2 -n ） =m 2 - 19m+171. ∴ 当 m=9 或 10 时， x 2 的系数有最小值为 81 ， 此时 x 7 的系数为 C 7 9 +C 7 10 =156. 提升练习 11. AD 【解析】 二项式 1 x +x x x 3 n 的展开式的通项公 式为 T k+1 =C k n x 4k-n ， 由通项公式可知， 当 n=4k （ k∈N + ） 和 n=4k-1 （ k∈N + ） 时， 展开式中分别存在常数项和一次 项， 故选 AD. 12. B 【解析】 方法一： （ 1- x 姨 ） 6 的展开式的通 项为 C m 6 ·（ - x 姨 ） m =C m 6 （ -1 ） m x m 2 ， （ 1+ x 姨 ） 4 的展开式的 通项为 C n 4 （ x 姨 ） n =C n 4 x n 2 ， 其中 m=0 ， 1 ， 2 ， …， 6 ， n= 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4. 令 m 2 + n 2 =1 ， 得 m+n=2 ， 于是 （ 1- x 姨 ） 6 （ 1+ x 姨 ） 4 的展开式中 x 的系数等于 C 0 6 ·（ -1 ） 0 · C 2 4 +C 1 6 ·（ -1 ） 1 · C 1 4 +C 2 6 · （ -1 ） 2 · C 0 4 =-3. 方法二 ： （ 1- x 姨 ） 6 （ 1+ x 姨 ） 4 = ［（ 1- x 姨 ）（ 1+ x 姨 ）］ 4 （ 1- x 姨 ） 2 = （ 1-x ） 4 （ 1-2 x 姨 +x ）， 于是 （ 1- x 姨 ） 6 （ 1+ x 姨 ） 4 的展开式中 x 的系数为 C 0 4 · 1+C 1 4 ·（ -1 ） 1 · 1=-3. 故选 B. 13. D 【解析】 1 x 2 - x x 1 5 的展开式的通项为 T k+1 =C k 5 · 1 x 2 x x 5-k ·（ -1 ） k = （ -1 ） k C k 5 x 1 10-2k . 令 10-2k=2 或 10-2k=0 ， 解 得 k=4 或 k=5. 故 （ x 2 +2 ）· 1 x 2 - x x 1 5 的展开式的常数项是 （ -1 ） 4 ×C 4 5 +2× （ -1 ） 5 ×C 5 5 =3. 故选 D. 14. （ 1 ） 10 （ 2 ） 6 【解析】 二项展开式的通项为 T k+1 =C k n 1 2 x x x 2 n-k · - 1 x 姨 x x k = （ -1 ） k 1 2 x x n-k C k n x 2n- 5 2 k . （ 1 ） ∵ 第 9 项为常数项， ∴ 当 k=8 时， 2n- 5 2 k=0 ， 解得 n=10. （ 2 ） 要使 20- 5 2 k 为整数 ， 需 k 为偶数 ， 由于 k= 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， …， 9 ， 10 ， 故符合要求的有 6 项， 分别为 展开式的第 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11 项 . 15. ［ 5 ， +∞ ） 【解析】 ∵ x 2 + 1 2x x 6 的展开式的中间 项为第 4 项， 即 f （ x ） =T 4 =C 3 6 （ x 2 ） 6-3 1 2x x x 3 = 5 2 x 3 ， 又 ∵f （ x ） ≤mx 在 x∈ 2 姨 2 ， 2 姨姨 ) 上恒成立 ， ∴ 5 2 x 3 ≤mx ， 即 m≥ 5 2 x 2 在 x∈ 2 姨 2 ， 2 姨姨 , 上恒成立， ∴m≥ 5 2 × （ 2 姨 ） 2 =5. 16. 解： （ 1 ） 当 m=3 ， n=4 时， f （ x ） g （ x ） = （ 1+x ） 3 （ 1+2x ） 4 . （ 1+x ） 3 展开式的通项为 C k 3 x k ， （ 1+2x ） 4 展开式的通项为 C k 4 （ 2x ） k ， f （ x ） g （ x ） 的展开式中含 x 2 的项为 1 · C 2 4 （ 2x ） 2 +C 1 3 x · C 1 4 （ 2x ） +C 2 3 x 2 · 1=51x 2 . （ 2 ） h （ x ） =f （ x ） +g （ x ） = （ 1+x ） m + （ 1+2x ） n . ∵h （ x ）的展开 式中 x 的项的系数为 12 ， ∴C 1 m +2C 1 n =12 ， 即 m+2n=12 ， ∴m=12-2n. x 2 的系数为 C 2 m +4C 2 n =C 2 12-2n +4C 2 n = 1 2 （ 12-2n ）（ 11-2n ） +2n （ n-1 ） =4n 2 -25n+ 66=4 n- 25 8 x x 2 + 431 16 ， n∈N + ， ∴ 当 n=3 ， m=6 时， 含 x 2 的 项的系数取得最小值 . 第 2 课时 二项式系数的性质、 杨辉三角 及二项式定理的应用 学习手册 变式训练 1 34 【解析】 由题意设第 n 行的第 14 个数与 第 15 个数的比为 2 ∶ 3 ， 它等于二项展开式的第 14 项和 第 15 项的二项式系数的比， ∴C 13 n ∶ C 14 n =2 ∶ 3 ， 即 14 n-13 = 2 3 ， 解得 n=34 ， ∴ 在第 34 行中， 从左至右第 14 个数与 第 15 个数的比为 2 ∶ 3. 变式训练 2 解： （ 1 ） ∵a 0 +a 1 +a 2 + … +a 5 =1 ， -a 0 +a 1 -a 2 + … +a 5 =-3 5 . ∴a 0 +a 2 +a 4 = 1+3 5 2 =122. （ 2 ） ∵a 0 是 （ 2x-1 ） 5 的展开式中 x 5 的系数， ∴a 0 =2 5 = 32. 又 a 0 +a 1 +a 2 + … +a 5 =1 ， ∴a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 =-31. 变式训练 3 解： ∵ （ x 2 -2x-3 ） 10 =a 0 +a 1 （ x-1 ） +a 2 （ x-1 ） 2 + … +a 20 （ x-1 ） 20 ， 令 x-1=t ， 展开式化为 （ t 2 -4 ） 10 =a 0 +a 1 t+a 2 t 2 + … +a 20 t 20 . （ 1 ） a 2 =C 9 10 （ -4 ） 9 =-4 9 ×10. （ 2 ） 令 t=1 ， 得 a 0 +a 1 +a 2 + … +a 20 =3 10 ， 令 t=-1 ， 得 a 0 - a 1 +a 2 - … +a 20 =3 10 ， ∴a 1 +a 3 +a 5 + … +a 19 =0. （ 3 ） 由 （ 2 ） 得 a 0 +a 2 +a 4 + … +a 20 =3 10 . 44 参 考 答 案 变式训练 4 解： ∵ x 姨 - 2 x 2 2 # n 的展开式的通项是 T k+1 = C k n （ x 姨 ） n-k · - 2 x 2 2 2 k = （ -2 ） k C k n x n-5k 2 （ 0≤k≤n ， k∈N ）， ∴T 5 =T 4+1 =2 4 C 4 n x n 2 -10 ， T 3 =T 2+1 =2 2 C 2 n x n 2 -5 . ∵ 2 4 C 4 n 2 2 C 2 n = 10 1 ， ∴n 2 -5n-24=0 ， 解得 n=8 或 n=-3 （舍去） . （ 1 ） 令 x=1 ， 则 x 姨 - 2 x 2 2 2 8 = （ 1-2 ） 8 =1 ， 即所求各项 系数的和为 1. （ 2 ） 展开式的通项为 T k+1 = （ -2 ） k C k 8 x 8-5k 2 （ 0≤k≤8 ， k∈N ） . 令 8-5k 2 = 3 2 ， 解得 k=1 ， ∴ 展开式中含 x 3 2 的项 为 T 2 =T 1+1 = （ -2 ） 1 C 1 8 x 3 2 =-16x 3 2 . （ 3 ） 展开式的第 k 项、 第 （ k+1 ） 项、 第 （ k+2 ） 项的 系数的绝对值分别为 C k-1 8 2 k-1 ， C k 8 2 k ， C k+1 8 2 k+1 . 若第 （ k+1 ） 项的系数绝对值最大， 则有 C k-1 8 2 k-1 ≤C k 8 2 k ， C k 8 2 k ≥C k+1 8 2 k+1 1 ， 解得 5≤k≤6 ， 故系数的绝对值最大的项为第 6 项和第 7 项 ， 即 T 6 =-1 792x - 17 2 ， T 7 =1 792x -11 . 变式训练 5 （ 1 ） 证明 ： 原式 =4 · 6 n +5n-4=4 ·（ 5+1 ） n + 5n-4=4 ·（ C 0 n · 5 n +C 1 n · 5 n-1 +C 2 n · 5 n-2 + … +C n n ） +5n-4 =4 （ C 0 n · 5 n +C 1 n · 5 n-1 + … +C n-2 n · 5 2 +C n-1 n · 5 1 ） +4C n n +5n-4 =4 （ C 0 n · 5 n +C 1 n · 5 n-1 + … +C n-2 n · 5 2 ） +20n+4+5n-4 =4 （ C 0 n · 5n+C 1 n · 5 n-1 + … +C n-2 n · 5 2 ） +25n. 以上各项均为 25 的整数倍， 故 2 n+2 · 3 n +5n-4 能被 25 整除 . （ 2 ） 解 ： 0.998 6 = （ 1-0.002 ） 6 =1+C 1 6 ·（ -0.002 ） +C 2 6 · （ -0.002 ） 2 + … +C 6 6 ·（ -0.002 ） 6 . 由题意知 T 3 =C 2 6 （ -0.002 ） 2 =15×0.002 2 =0.000 06<0.001 ， 且第 3 项以后 （包括第 3 项） 的项的绝对值都远小 于 0.001 ， 故 0.998 6 = （ 1-0.002 ） 6 ≈1-6×0.002=0.988. 随堂练习 1. （ 1 ） × （ 2 ） × 2. A 【解析】 二项式系数和为 2 n =32 ， ∴n=5. 故选 A. 3. BC 【解析 】 由于 n=11 为奇数 ， 则展开式中第 11+1 2 项和第 11+1 2 +1 2 2 项， 即第 6 项和第 7 项的二项式 系数相等， 且最大 . 故选 BC. 4. C 【解析】 ∵ （ 2-x ） 6 =a 0 +a 1 （ 1+x ） +a 2 （ 1+x ） 2 + … +a 6 （ 1+ x ） 6 ， 令 x=0 ， ∴a 0 +a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 +a 6 =2 6 =64. 故选 C. 5. C 【解析】 根据观察可知， 每一行除开始和末尾 的数外， 中间的数分别是上一行相邻两个数的和， 当 a= 7 时， 上面一行的第一个数为 6 ， 第二个数为 16 ， ∴b= 6+16=22. 故选 C. 6. 1 64 【解析】 令 x=1 ， 得各项系数的和为 1 ； 各 二项式系数之和为 2 6 =64. 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 第 k 项的二项式系数是 C k-1 n ， 由于 C k-1 n =C n-k+1 n ， 故第 （ n-k+2 ） 项的二项式系数与第 k 项的二项 式系数相同 . 故选 D. 2. B 【解析】 ∵ 展开式中只有第 7 项的二项式系数 最大， ∴n=12. ∵ 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的 二项式系数之和， ∴ 展开式中奇数项的二项式系数之和 为 2 12 2 =2 11 . 故选 B. 3. C 【解析 】 令 x=1 ， ∴ （ 1+a ） 5 =243=3 5 ， ∴1+a=3 ， ∴a=2. 故选 C. 4. A 【解析 】 由 C 2n+6 20 =C n+2 20 ， 可得 n=4 （ n=-4 舍 ） . 令 x=-1 ， 得 a 0 -a 1 +a 2 - … + （ -1 ） n a n =81. 故选 A. 5. B 【解析】 ∵ 二项展开式中所有项的二项式系数 之和为 2 n ， 而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数 项的二项式系数之和相等， 故由题意得 2 n-1 =1 024 ， ∴n= 11 ， ∴ 展开式共 12 项， 中间项为第 6 项、 第 7 项， 其系 数为 C 5 11 =C 6 11 =462. 故选 B. 6. 5 【解析】 （ 7a+b ） 10 的展开式中二项式系数的和为 C 0 10 +C 1 10 + … +C 10 10 =2 10 ， 令 （ x+3y ） n 中 x=y=1 ， 则由题设知， 4 n =2 10 ， 即 2 2n =2 10 ， 解得 n=5. 7. 35 8 x 4 【解析】 由 C 0 n +C 1 n +C 2 n =37 ， 得 1+n+ 1 2 n （ n-1 ） = 37 ， 解得 n=8 （负值舍去）， 则第 5 项的二项式系数最 大， T 5 =C 4 8 · 1 4 4 ·（ 2x ） 4 = 35 8 x 4 . 8. 7 【解析 】 令 x=-1 ， ∴2 8 =a 0 +a 1 +a 2 + … +a 11 +a 12 . 令 x=-3 ， ∴0=a 0 -a 1 +a 2 - … -a 11 +a 12 ， ∴2 8 =2 （ a 1 +a 3 + … +a 11 ）， ∴a 1 + a 3 + … +a 11 =2 7 ， ∴log 2 （ a 1 +a 3 + … +a 11 ） =log 2 2 7 =7. 9. 解： 设 （ 2x-3y ） 9 =a 0 x 9 +a 1 x 8 y+a 2 x 7 y 2 + … +a 9 y 9 . （ 1 ） 二项式系数之和为 C 0 9 +C 1 9 +C 2 9 + … +C 9 9 =2 9 . （ 2 ） 各项系数之和为 a 0 +a 1 +a 2 + … +a 9 ， 令 x=1 ， y=1 ， ∴a 0 +a 1 +a 2 + … +a 9 = （ 2-3 ） 9 =-1. （ 3 ） 令 x=1 ， y=-1 ， 可得 a 0 -a 1 +a 2 - … -a 9 =5 9 ， 又 a 0 + a 1 +a 2 + … +a 9 =-1 ， 将两式相加可得 a 0 +a 2 +a 4 +a 6 +a 8 = 5 9 -1 2 ， 即所有奇数项系数之和为 5 9 -1 2 . 10. 解： （ 1 ） （ 1+mx ） n 的展开式的通项公式为 T k+1 = C k n （ mx ） k =m k · C k n · x k ， ∴ 2 n =128 ， m 2 C 2 n =84 ， m>0 0 , , , + , , , - ， 解得 n=7 ， m=2 1 . （ 2 ） （ 1+mx ） n = （ 1+2x ） 7 ， 令 （ 1+2x ） 7 =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + … + a 7 x 7 ， 令含 x 的奇数次幂的系数和为 a 1 +a 3 +a 5 +a 7 . 令 x=1 ， 得 3 7 =a 0 +a 1 +a 2 + … +a 7 ， 令 x=-1 ， 得 -1=a 0 -a 1 +a 2 -a 3 +a 4 -a 5 + a 6 -a 7 ， 两式相减， 得 a 1 +a 3 +a 5 +a 7 = 3 7 +1 2 =1 094 ， ∴ 含 x 的奇 数次幂的系数和为 1 094. 提升练习 11. B 【解析】 ∵T k+1 =C k n （ 3x ） k =3 k C k n x k ， 又由已知得 3 5 C 5 n =3 6 C 6 n ， 即 C 5 n =3C 6 n ， ∴n=7 ， 因此， x 4 的二项式系数为 C 4 7 =35 ， 故选 B. 45 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 12. C 【解析】 由于 2×10 10 +a=2× （ 11-1 ） 10 +a ， 2×10 10 + a （ 0≤a<11 ） 能被 11 整除 ， 又根据二项展开式可知 ， 2× （ 11-1 ） 10 被 11 除的余数为 2 ， 从而可知 2+a 能被 11 整除， 可知 a=9. 故选 C. 13. CD 【解析】 ∵ 展开式的第 5 项为 T 5 =C 4 n x n-4 3 -4 ， ∴ 令 n-4 3 -4=1 ， 解得 n=19. ∴ 展开式中系数最大的项是第 10 项和第 11 项 . 故选 CD. 14. 6 【解析】 （ x+y ） 2m 的展开式中二项式系数的最大 值为 C m 2m ， ∴a=C m 2m . 同理， b=C m+1 2m+1 . ∵13a=7b ， ∴13 · C m 2m =7 · C m+1 2m+1 . ∴13 · （ 2m ）！ m ！ m ！ =7 · （ 2m+1 ）！ （ m+1 ）！ m ！ . ∴m=6. 15. AD 【解析】 只要令 x=0 ， y=1 ， 即得到 （ 1+ax+ by ） n 的展开式中不含 x 的项的系数的和为 （ 1+b ） n ， 令 x=1 ， y=0 ， 即得到 （ 1+ax+by ） n 的展开式中不含 y 的项的 系数的和为 （ 1+a ） n . 如果 a ， b 是正值， 这些系数的和也 就是系数绝对值的和 ， 如果 a ， b 中有负值 ， 相应地 ， 分别令 y=-1 ， x=0 ； x=-1 ， y=0. 此时的和式分别为 （ 1-b ） n ， （ 1-a ） n ， 由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为 （ 1+|b| ） n ， （ 1+|a| ） n . 根据题意得， （ 1+|b| ） n =243=3 5 ， （ 1+ |a| ） n =32=2 5 ， 因此 n=5 ， |a|=1 ， |b|=2. 故选 AD. 16. 解： （ 1 ） 由题意可得 2 n =256 ， 解得 n=8 ， ∴ 展 开式的通项为 T k+1 =C k 8 m k x k 2 ， ∴ 含 x 项的系数为 C 2 8 m 2 = 112 ， 解得 m=2 或 m=-2 （舍去） . 故 m ， n 的值分别为 2 ， 8. （ 2 ） 展开式中偶数项的二项式系数之和为 C 1 8 +C 3 8 + C 5 8 +C 7 8 =2 8-1 =128. （ 3 ） ∵ （ 1+2 x 姨 ） 8 （ 1-x ） = （ 1+2 x 姨 ） 8 -x （1+2 x 姨 ） 8 ， ∴ 含 x 2 项的系数为 C 4 8 2 4 -C 2 8 2 2 =1 008. 阶段性练习卷 （二） 1. C 【解析】 原式 = （ 2+1 ） n =3 n . 故选 C. 2. C 【解析 】 1+ 1 x 2 2 $ （ 1+x ） 6 展开式中含 x 2 的项为 1·C 2 6 x 2 + 1 x 2 · C 4 6 x 4 =30x 2 ， 故 x 2 的系数为 30. 故选 C. 3. B 【解析】 （ x 姨 + x 3 姨 ） 12 的展开式的通项为 T r+1 = C r 12 （ x 姨 ） 12-r （ x 3 姨 ） r =C r 12 x 6- r 6 （ 0≤r≤12 ）， 6- r 6 （ 0≤ r≤12 ） 为正整数， 有 3 项， 即 r=0 ， r=6 ， r=12. 故选 B. 4. C 【解析】 ax- 1 x x & 6 的展开式的通项公式为 T k+1 = C k 6 （ ax ） 6-k - 1 x x & k = （ -1 ） k a 6-k C k 6 x 6-2k . 当 k=3 时 ， 常数项为 （ -1 ） 3 a 3 C 3 6 =-20 ， 解得 a=1. 故选 C. 5. B 【解析】 由题图知， 下一行的数是其肩上两数 的和， ∴4+a=10 ， 得 a=6. 故选 B. 6. D 【解析】 由已知得 bx n +1=b ［（ x-1 ） +1 ］ n +1=a 0 +a 1 （ x- 1 ） + … +a n （ x-1 ） n ， ∴a 1 =C n-1 n · b=nb=9 ， a 2 =C n-2 n · b= n （ n-1 ） b 2 = 36 ， ∴n-1=8 ， n=9 ， ∴b=1. 故选 D. 7. ACD 【解析】 对任意实数 x ， 有 （ 2x-3 ） 9 =a 0 +a 1 （ x- 1 ） +a 2 （ x-1 ） 2 +a 3 （ x-1 ） 3 + … +a 9 （ x-1 ） 9 = ［ -1+2 （ x-1 ）］ 9 ， ∴a 2 =-C 2 9 ×2 2 =-144 ， 故 A 正确 ； 令 x=1 ， 可得 a 0 =-1 ， 故 B 不正确； 令 x=2 ， 可得 a 0 +a 1 +a 2 + … +a 9 =1 ， 故 C 正 确； 令 x=0 ， 可得 a 0 -a 1 +a 2 + … -a 9 =-3 9 ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 8. ACD 【解析】 考虑 n+1 个同学时的情况， 若 n+1 个同学都拿到其他同学的卡片， 则第 n+2 个同学可以与 其中任何一个交换卡片， 若 n+1 个同学只有一个拿着自 己的卡片， 则第 n+2 个同学必须与该同学交换卡片， 故 a n+2 = （ n+1 ） a n+1 + （ n+1 ） a n ， D 正确； a n+2 - （ n+2 ） a n+1 =- ［ a n+1 - （ n+ 1 ） a n ］， 而 a 1 =0 ， a 2 =1 ， 故 a n -na n-1 = （ -1 ） n ， 故 a n =n ！ n i=2 移 （ -1 ） i i ！ ， 代入数据可得 a 4 =9 ， 故当 n=4 时， 每个人抽到的卡片都 不是自己的概率为 a 4 4 ！ = 3 8 ， A 正确； 当 n=5 时， 恰有一 人抽到自己的卡片的概率为 5a 4 5 ！ = 3 8 ， B 错误； 甲和乙恰 好互换了卡片的概率为 （ n-2 ）！ n ！ = 1 n-1 - 1 n ， C 正确 . 故选 ACD. 9. 240 【解析】 ∵T r+1 =C r 6 x 2 （ 6-r ） 2 r x -r =2 r C r 6 x 12-3r ， 由 12-3r= 0 ， 得 r=4 ， ∴ x 2 + 2 x & 6 的展开式中常数项是 C 4 6 · 2 4 =C 2 6 · 16=15×16=240 ， 故常数项为 240. 10. 60 【解析】 ∵ 二项展开式的通项公式为 T k+1 = C k 6 （ 2 x 姨 ） 6-k - 1 x 姨 x & k =C k 6 （ -1 ） k · 2 6-k · x 3-k ； 令 3-k=-1 ， ∴k=4 ； 故展开式中含 1 x 项的系数为 C 4 6 ×2 2 =60. 11. 2 【解析】 令 x=1 ， 得 a 0 =-2. 令 x=2 ， 得 a 0 +a 1 + a 2 + … +a 11 =0. ∴a 1 +a 2 +a 3 + … +a 11 =2. 12. 1 21 2 【解析】 由二项展开式可得 （ 1+x ） 5 =C 0 5 + C 1 5 x+C 2 5 x 2 +C 3 5 x 3 +C 4 5 x 4 +C 5 5 x 5 =1+5x+10x 2 +10x 3 +5x 4 +x 5 ， ∴a 0 =1 ， a 1 =5 ， a 2 =10 ， a 3 =10 ， a 4 =5 ， a 5 =1 ， 故 a 0 1 + a 1 2 + a 2 3 + a 3 4 + a 4 5 + a 5 5 =1+ 5 2 + 10 3 + 10 4 + 5 5 + 1 6 = 21 2 . 13. 解： （ 1 ） 由题设知 m+n=19 ， ∴m=19-n ， 含 x 2 项的系数为 C 2 m +C 2 n =C 2 19-n +C 2 n = （ 19-n ）（ 18-n ） 2 + n （ n-1 ） 2 = n 2 -19n+171= n- 19 2 x & 2 + 323 4 . ∵n∈N * ， ∴ 当 n=9 或 n=10 时， x 2 项的系数的最小值为 1 2 x $ 2 + 323 4 =81. （ 2 ） 当 n=9 ， m=10 或 n=10 ， m=9 时， x 2 项的系数取 最小值， 此时 x 7 项的系数为 C 7 10 +C 7 9 =C 3 10 +C 2 9 =156. 14. 解： （ 1 ） 由题意知： T r+1 =C r n 2 r x 2n- 5 2 r ， 则第 4 项 的系数为 C 3 n 2 3 ， 倒数第 4 项的系数为 C n-3 n 2 n-3 ， 则有 46